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四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（2025八下·泸县期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
B、找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可，找到对称轴是关键．
2．（2025八下·泸县期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
B.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
C.，
∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意；
D.，
∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】
利用勾股定理的逆定理判断三角形形状时，注意必须用较小的两个数和平方和与最大数的平方进行比较．
3．（2025八下·泸县期末）2025年2月7日，据龙芯中科消息，搭载龙芯3号的设备成功启动运行模型，龙芯3号，是国内首款采用（ ）先进工艺，主频达到的多核处理器．将“”用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的定义，可表示为的形式，其中为整数，对于大于0且小于1的数，n为第一个非0的数的前面的0的个数．
4．（2025八下·泸县期末）点关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故选：B．
【分析】
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5．（2025八下·泸县期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，此选项不正确，故运算A不符合题意；
B．，此选项不正确，故运算B不符合题意；
C．，此选项不正确，故运算C不符合题意；
D．，此选项正确，故运算D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的化简、幂的乘方、合并同类型法则以及同底数幂的除法法则，逐一进行判断即可．
6．（2025八下·泸县期末）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：A．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
7．（2025八下·泸县期末）下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A.对角线相等的四边形不一定是矩形，故A不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故B符合题意；
C.对角线相等的矩形不一定是正方形，故C不符合题意；
D.对角线相垂直的四边形不一定是菱形，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
对于选项A：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误；
对于选项B：根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，故B正确；
对于选项C：根据正方形的判定定理： 对角线互相垂直的矩形是正方形，故C错误；
对于选项D：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D错误；
由此即可得出答案.
8．（2025八下·泸县期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象，可得：
不等式的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据图象，不等式的解集就是直线y=kx高于直线y=-2x+4所对应的x的取值范围，结合图象中两直线的交点的横坐标即可求解．
9．（2025八下·泸县期末）如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（　　）
A．48 B．36 C．40 D．24
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：A
【分析】
由平行四边形的面积公式可得，则可得与的数量关系，再由平行四边形的对边相等得，则求出或即可．
10．（2025八下·泸县期末）关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数必过点 B．的值随着的增大而增大
C．图象与轴交于点 D．图象经过第一、三、四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
∴函数必过点；
故选项A错误，不符合题意；
∵，
∴的值随着的增大而减小；
故选项B错误，不符合题意；
令y=0，可得，
解得：，
∴图象与轴交于点；
故选项C正确，符合题意；
∵，
∴图象经过一，二，四象限；
故选项D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】令x=-2，求出y的值，即可判断选项A；令y=0，求出x的值，即可判断选项C；根据一次函数的图象和性质，即可判断选项B、D．
11．（2025八下·泸县期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，AB=4，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得，即可得，设，则，再在中利用勾股定理解答即可求解.
12．（2025八下·泸县期末）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
与不一定相等，
故不成立，故①错误；
由①中证明，
∴，
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，
故③不正确，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【分析】
由于可证明是等腰直角三角形，则由手拉手全等模型可证，则，若则有，则可证明，即有，但已知未明确指出，故结论①不正确；
如图所示，连接，则可证明，则，由勾股定理结合等量代换可得②正确；
如图设AD交EF于点G，则由知等于的一半，又由和知垂直平分，则，但显然，故结论③错误；
由根据勾股定理结合等量代换即可得出④．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（2025八下·泸县期末）因式分解：x2y﹣y=　 　．
【答案】y（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
14．（2025八下·泸县期末）若当时，分式无意义，则a的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当时，分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式无意义的条件"分母为0"可得关于a的方程，解方程即可求解．
15．（2025八下·泸县期末）如图，在中，，，，P为斜边上一动点，过点P分别作交于点E，作交于点F．则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，∠ACB=90°，
∴
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
而当时，最小，
∵，，∠ACB=90°，
，
∵CP⊥AB时，，
的最小值为：．
线段长的最小值为；
故答案为：．
【分析】连接，证明四边形PECF为矩形，可得EF=CP，当时，最小，则最小，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积求出时CP的长，即可得到答案．
16．（2025八下·泸县期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
三、（每小题6分，共18分）
17．（2025八下·泸县期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式乘法和负整数指数幂，同时去绝对值，再计算加减法即可得到答案．
18．（2025八下·泸县期末）如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：．
【答案】证明：，
，
，
，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】先利用等式的性质得到，再利用HL即可证明．
19．（2025八下·泸县期末）先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后约分化简，再代入求值即可．
四、（每小题7分，共14分）
20．（2025八下·泸县期末）在践行“生态教育，书香校园”读书活动中，我市某校为了解学生每月课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的每月课外阅读量，绘制成了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
（1）被抽查到的学生总数为 人，补全条形统计图；
（2）求被抽查到的学生每月课外阅读量的众数和平均数；
（3）若该校共有学生2000人，估计学生每月课外阅读量不低于7本的人数．
【答案】（1）解：被抽查到的学生总数为：（人），
每月课外阅读量为7本的学生人数有（人），
补全条形统计图，如下，
（2）解：由条形统计图得：
，
这组数据的平均数是；
在这组数据中，每月课外阅读量为7本的人数有14人，出现的次数最多，
这组数据的众数为7；
（3）解：（人）
答：学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察扇形统计图和条形统计图可知、每月课外阅读量为6本的学生有12人，占，可求出抽查学生人数，再求得每月课外阅读量为7本的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；平均数指一组数据中所有数据和的平均值；
（3）用样本估计总体即可得出结果．
（1）解：被抽查到的学生总数为：（人），
每月课外阅读量为7本的学生人数有（人），
补全条形统计图，如下，
（2）解：由条形统计图得：
，
这组数据的平均数是；
在这组数据中，每月课外阅读量为7本的人数有14人，出现的次数最多，
这组数据的众数为7；
（3）解：（人）
答：学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人．
21．（2025八下·泸县期末）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
（1）请求出观测点C到公路的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）解：过点C作于H，如图所示：
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：此车没有超速，理由如下：
米，，米，米
（米），
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒≈16.7米/秒，14.6<16.7，
∴此车没有超速．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
（1）解：过点C作于H，
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：米，
米
米
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒，
∴此车没有超速．
五、（每小题8分，共16分）
22．（2025八下·泸县期末）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同
（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？
【答案】解：（1）设A类玩具的进价为x元，则B类玩具的进价是（x－3）元，
由题意得，
解得：x=18，
经检验x=18是原方程的解．
所以18－3=15（元）
答：A类玩具的进价是18元，B类玩具的进价是15元；
（2）设商店购进A类玩具m个，则购进B类玩具（100﹣m）个，
由题意得：(30－18)m+(25－15)（100﹣m）≥1080，
整理得：12m+10(100－m)≥1080，
解得：m≥40．
答：至少购进A类玩具40个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设A类玩具的进价为x元，则B类玩具的进价是（x－3）元，根据题意得等量关系“900元购进A类玩具的数量=用750元购进B类玩具的数量相同”，据此列出方程求解即可．
(2)设商店购进A类玩具m个，则购进B类玩具（100﹣m）个，根据题意列出不等式，解答即可．
23．（2025八下·泸县期末）如图，在中，点G、H分别是、的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接BD 交于点O，如图所示：
四边形是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得∠BAC=∠DCA，利用SAS证明，可得，，进而可证明，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明结论；
（2）根据平行四边形对角线的性质可得，，进而可证明AE=OE.证明是△AOB的中位线，即可求解．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
六、（每小题12分，共24分）
24．（2025八下·泸县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点．
（1）当时，求的面积；
（2）若，求的值；
（3）若是以为腰的等腰三角形，求的值．
【答案】（1）解：当时，，当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，解得，即，
在中，当时，，解得，即，
∴；
（2）解：如图，作交于，作轴，过点作交于，作于，
，
∴
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，即，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解，
∵直线与轴的夹角为的外角，，
∴直线与轴的夹角大于，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得，由（2）可得：，，
如图，当时，此时，，
∴，
解得：或，
检验：当或时，，是分式方程的解，
（不符合题意，舍去）
如图，当时，此时，即，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去；
综上所述，的值为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）把代入到直线中得，再与直线联立解方程组即可求出A、B两点的坐标，再令即可求出点C坐标，则面积可求；
（2）由于，则过点作的垂线段，作轴，再分别过点、作的垂线段，则由一线三垂直全等模型可得，由全等的性质可得，则点，再由一次函数图象上点的坐标特征列方程计算即可；
（3）分两种情况：当时，则点B在AC的垂直平分线上，所以点B的横坐标等于A、C两点横坐标和的一半；当时，由两点距离公式列方程并解方程即可．
（1）解：当时，，
当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，解得，即，
在中，当时，，解得，即，
∴；
（2）解：如图，作交于，作轴，过点作交于，作于，
，
∴
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，即，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解，
∵直线与轴的夹角为的外角，，
∴直线与轴的夹角大于，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得，
由（2）可得：，，
如图，当时，此时，，
∴，
解得：或，
检验：当或时，，是分式方程的解，
（不符合题意，舍去）
如图，当时，此时，即，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去，
综上所述，的值为或．
25．（2025八下·泸县期末）如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．
【深入研究】
（2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值．
【拓展延伸】
（3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．
【答案】解：（1）四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，得到．
，，
∴，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
又，，
，
，
；
（3）的周长是定值，理由如下：
延长至，使，连接，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
的周长是定值，结论得证．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由直角三角形的两锐角互余和平角的定义即可得到结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，利用SAS证明，可得，即可得解；
（3）延长至，使，连接，利用SAS可证，可得，，再证明∠FAH=∠PAF，即可证明，可得，最后利用三角形的周长公式即可求解．
1 / 1四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（2025八下·泸县期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·泸县期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26
3．（2025八下·泸县期末）2025年2月7日，据龙芯中科消息，搭载龙芯3号的设备成功启动运行模型，龙芯3号，是国内首款采用（ ）先进工艺，主频达到的多核处理器．将“”用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·泸县期末）点关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·泸县期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·泸县期末）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·泸县期末）下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．（2025八下·泸县期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·泸县期末）如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（　　）
A．48 B．36 C．40 D．24
10．（2025八下·泸县期末）关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数必过点 B．的值随着的增大而增大
C．图象与轴交于点 D．图象经过第一、三、四象限
11．（2025八下·泸县期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·泸县期末）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（2025八下·泸县期末）因式分解：x2y﹣y=　 　．
14．（2025八下·泸县期末）若当时，分式无意义，则a的值为　 　．
15．（2025八下·泸县期末）如图，在中，，，，P为斜边上一动点，过点P分别作交于点E，作交于点F．则的最小值为　 　．
16．（2025八下·泸县期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为　 　．
三、（每小题6分，共18分）
17．（2025八下·泸县期末）计算：．
18．（2025八下·泸县期末）如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：．
19．（2025八下·泸县期末）先化简再求值：，其中．
四、（每小题7分，共14分）
20．（2025八下·泸县期末）在践行“生态教育，书香校园”读书活动中，我市某校为了解学生每月课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的每月课外阅读量，绘制成了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
（1）被抽查到的学生总数为 人，补全条形统计图；
（2）求被抽查到的学生每月课外阅读量的众数和平均数；
（3）若该校共有学生2000人，估计学生每月课外阅读量不低于7本的人数．
21．（2025八下·泸县期末）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
（1）请求出观测点C到公路的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
五、（每小题8分，共16分）
22．（2025八下·泸县期末）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同
（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？
23．（2025八下·泸县期末）如图，在中，点G、H分别是、的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
六、（每小题12分，共24分）
24．（2025八下·泸县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线相交于点；直线与轴交于点．
（1）当时，求的面积；
（2）若，求的值；
（3）若是以为腰的等腰三角形，求的值．
25．（2025八下·泸县期末）如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．
【深入研究】
（2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值．
【拓展延伸】
（3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项A不符合题意；
B、找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、找不到对称轴，不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可，找到对称轴是关键．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
B.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
C.，
∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意；
D.，
∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】
利用勾股定理的逆定理判断三角形形状时，注意必须用较小的两个数和平方和与最大数的平方进行比较．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的定义，可表示为的形式，其中为整数，对于大于0且小于1的数，n为第一个非0的数的前面的0的个数．
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故选：B．
【分析】
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，此选项不正确，故运算A不符合题意；
B．，此选项不正确，故运算B不符合题意；
C．，此选项不正确，故运算C不符合题意；
D．，此选项正确，故运算D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的化简、幂的乘方、合并同类型法则以及同底数幂的除法法则，逐一进行判断即可．
6．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：A．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A.对角线相等的四边形不一定是矩形，故A不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故B符合题意；
C.对角线相等的矩形不一定是正方形，故C不符合题意；
D.对角线相垂直的四边形不一定是菱形，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
对于选项A：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误；
对于选项B：根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，故B正确；
对于选项C：根据正方形的判定定理： 对角线互相垂直的矩形是正方形，故C错误；
对于选项D：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D错误；
由此即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象，可得：
不等式的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据图象，不等式的解集就是直线y=kx高于直线y=-2x+4所对应的x的取值范围，结合图象中两直线的交点的横坐标即可求解．
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：A
【分析】
由平行四边形的面积公式可得，则可得与的数量关系，再由平行四边形的对边相等得，则求出或即可．
10．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
∴函数必过点；
故选项A错误，不符合题意；
∵，
∴的值随着的增大而减小；
故选项B错误，不符合题意；
令y=0，可得，
解得：，
∴图象与轴交于点；
故选项C正确，符合题意；
∵，
∴图象经过一，二，四象限；
故选项D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】令x=-2，求出y的值，即可判断选项A；令y=0，求出x的值，即可判断选项C；根据一次函数的图象和性质，即可判断选项B、D．
11．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，AB=4，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得，即可得，设，则，再在中利用勾股定理解答即可求解.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
与不一定相等，
故不成立，故①错误；
由①中证明，
∴，
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，
故③不正确，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【分析】
由于可证明是等腰直角三角形，则由手拉手全等模型可证，则，若则有，则可证明，即有，但已知未明确指出，故结论①不正确；
如图所示，连接，则可证明，则，由勾股定理结合等量代换可得②正确；
如图设AD交EF于点G，则由知等于的一半，又由和知垂直平分，则，但显然，故结论③错误；
由根据勾股定理结合等量代换即可得出④．
13．【答案】y（x+1）（x﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当时，分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式无意义的条件"分母为0"可得关于a的方程，解方程即可求解．
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，∠ACB=90°，
∴
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
而当时，最小，
∵，，∠ACB=90°，
，
∵CP⊥AB时，，
的最小值为：．
线段长的最小值为；
故答案为：．
【分析】连接，证明四边形PECF为矩形，可得EF=CP，当时，最小，则最小，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积求出时CP的长，即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式乘法和负整数指数幂，同时去绝对值，再计算加减法即可得到答案．
18．【答案】证明：，
，
，
，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】先利用等式的性质得到，再利用HL即可证明．
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后约分化简，再代入求值即可．
20．【答案】（1）解：被抽查到的学生总数为：（人），
每月课外阅读量为7本的学生人数有（人），
补全条形统计图，如下，
（2）解：由条形统计图得：
，
这组数据的平均数是；
在这组数据中，每月课外阅读量为7本的人数有14人，出现的次数最多，
这组数据的众数为7；
（3）解：（人）
答：学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察扇形统计图和条形统计图可知、每月课外阅读量为6本的学生有12人，占，可求出抽查学生人数，再求得每月课外阅读量为7本的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是几个；平均数指一组数据中所有数据和的平均值；
（3）用样本估计总体即可得出结果．
（1）解：被抽查到的学生总数为：（人），
每月课外阅读量为7本的学生人数有（人），
补全条形统计图，如下，
（2）解：由条形统计图得：
，
这组数据的平均数是；
在这组数据中，每月课外阅读量为7本的人数有14人，出现的次数最多，
这组数据的众数为7；
（3）解：（人）
答：学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人．
21．【答案】（1）解：过点C作于H，如图所示：
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：此车没有超速，理由如下：
米，，米，米
（米），
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒≈16.7米/秒，14.6<16.7，
∴此车没有超速．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
（1）解：过点C作于H，
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：米，
米
米
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒，
∴此车没有超速．
22．【答案】解：（1）设A类玩具的进价为x元，则B类玩具的进价是（x－3）元，
由题意得，
解得：x=18，
经检验x=18是原方程的解．
所以18－3=15（元）
答：A类玩具的进价是18元，B类玩具的进价是15元；
（2）设商店购进A类玩具m个，则购进B类玩具（100﹣m）个，
由题意得：(30－18)m+(25－15)（100﹣m）≥1080，
整理得：12m+10(100－m)≥1080，
解得：m≥40．
答：至少购进A类玩具40个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设A类玩具的进价为x元，则B类玩具的进价是（x－3）元，根据题意得等量关系“900元购进A类玩具的数量=用750元购进B类玩具的数量相同”，据此列出方程求解即可．
(2)设商店购进A类玩具m个，则购进B类玩具（100﹣m）个，根据题意列出不等式，解答即可．
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接BD 交于点O，如图所示：
四边形是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得∠BAC=∠DCA，利用SAS证明，可得，，进而可证明，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明结论；
（2）根据平行四边形对角线的性质可得，，进而可证明AE=OE.证明是△AOB的中位线，即可求解．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
24．【答案】（1）解：当时，，当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，解得，即，
在中，当时，，解得，即，
∴；
（2）解：如图，作交于，作轴，过点作交于，作于，
，
∴
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，即，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解，
∵直线与轴的夹角为的外角，，
∴直线与轴的夹角大于，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得，由（2）可得：，，
如图，当时，此时，，
∴，
解得：或，
检验：当或时，，是分式方程的解，
（不符合题意，舍去）
如图，当时，此时，即，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去；
综上所述，的值为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）把代入到直线中得，再与直线联立解方程组即可求出A、B两点的坐标，再令即可求出点C坐标，则面积可求；
（2）由于，则过点作的垂线段，作轴，再分别过点、作的垂线段，则由一线三垂直全等模型可得，由全等的性质可得，则点，再由一次函数图象上点的坐标特征列方程计算即可；
（3）分两种情况：当时，则点B在AC的垂直平分线上，所以点B的横坐标等于A、C两点横坐标和的一半；当时，由两点距离公式列方程并解方程即可．
（1）解：当时，，
当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，解得，即，
在中，当时，，解得，即，
∴；
（2）解：如图，作交于，作轴，过点作交于，作于，
，
∴
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
当时，解得，此时，
∴，
在中，当时，，即，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，是分式方程的解，
∵直线与轴的夹角为的外角，，
∴直线与轴的夹角大于，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得，
由（2）可得：，，
如图，当时，此时，，
∴，
解得：或，
检验：当或时，，是分式方程的解，
（不符合题意，舍去）
如图，当时，此时，即，
解得：或，
检验：当时，，是分式方程的解，是增根，舍去，
综上所述，的值为或．
25．【答案】解：（1）四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，得到．
，，
∴，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
又，，
，
，
；
（3）的周长是定值，理由如下：
延长至，使，连接，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
的周长是定值，结论得证．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由直角三角形的两锐角互余和平角的定义即可得到结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，利用SAS证明，可得，即可得解；
（3）延长至，使，连接，利用SAS可证，可得，，再证明∠FAH=∠PAF，即可证明，可得，最后利用三角形的周长公式即可求解．
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