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浙江省绍兴市诸暨市滨江初级中学2024-2025学年九年级上学期9月阶段性检测数学试题
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．（2024九上·诸暨月考）已知的半径为，点在内，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·诸暨月考）若将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·诸暨月考）把图形 绕点顺时针旋转度后，得到的图形是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024九上·诸暨月考）如图，⊙O的半径为5，C是弦AB的中点，OC＝3，则AB的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024九上·诸暨月考）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·诸暨月考）下列语句中，①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·诸暨月考）如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·诸暨月考）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
10．（2024九上·诸暨月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11．（2024九上·诸暨月考）抛物线的顶点坐标是　 　.
12．（2024九上·诸暨月考）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是　 　．
13．（2024九上·诸暨月考）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为　 　．
14．（2024九上·诸暨月考）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为　 　．
15．（2024九上·诸暨月考）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为　 　．
16．（2024九上·诸暨月考）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为　 　；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　 　．
三、简答题（共8题，共66分）
17．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，
（1）求出函数解析式．
（2）请求出函数图象与坐标轴的交点．
18．（2024九上·诸暨月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，画出旋转后的．并求出、的坐标．
19．（2024九上·诸暨月考）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
20．（2024九上·诸暨月考）如图，中，，以为直径作，交边于点，交的延长线于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2024九上·诸暨月考）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
22．（2024九上·诸暨月考）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）求的长．
23．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数
（1）若 当 时，y的最小值为 y 的最大值为4，求 的值；
（2）若该二次函数的图象经过点和， 当 时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
24．（2024九上·诸暨月考）如图1，是的直径，弦，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）如图2，若点E是的中点，连接，过点C作，垂足为F，若，求线段的长；
（3）若的半径为4，点P是直线上的动点，将点P绕点O逆时针旋转得点R，连接．求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
【分析】平面上一点与圆的位置关系共有3种，即点在圆外、点在圆上和点在圆内，其判断依据是点到圆心的距离与半径的大小关系，当距离大于半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2+3向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+3，
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x-3）2+3向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+5；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；
二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；
二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；
二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
3．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：观察选项中的图形可知，选项D的图形与原来的图形形状和大小相同，且所有的点都由原来的对应点绕点O顺时针旋转90°得到，故答案为：D.
【分析】根据图形旋转的定义：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，据此结合选项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是弦的中点，
∴，，
∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理的推论得，，然后利用勾股定理求出，即可得到的长.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，在抛物线上，
∴，，，
∴
故答案为：A.
【分析】将点d的坐标代入抛物线解析式中求出的值，再进行比较即可.
6．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；等圆、等弧的概念；垂径定理的推论；圆的对称性
【解析】【解答】解：①过不在同一直线上的三点能作一个圆，故①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误；
③同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故③错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故④正确；
⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，故⑤正确；
综上所述，正确的个数是2个，
故答案为：B.
【分析】根据圆的性质、垂径定理的推论、等弧以及圆心角、弧、弦的关系对各语句逐一进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由直线经过一、二、三象限可得：a＞0；
由抛物线的顶点在y轴的负半轴可得a＜0；
∴矛盾，
∴此选项不符合题意；
B、由直线经过一、二、三象限可得：a＞0；
由抛物线的开口向下可得，抛物线的二次项系数＜0，
而抛物线的二次项系数为1＞0，
∴矛盾，
∴此选项不符合题意；
C、由直线经过一、二、四象限可得：a＜0；
由抛物线的顶点在y轴的负半轴可得a＜0；
∴此选项符合题意；
D、由直线经过二、三、四象限可得：a＜0，b＜0，
而一次函数的解析式中b=2＞0；
∴矛盾，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限；再结合各选项即可判断求解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴点的横坐标为，
将代入，得，
∴，
∵水位上升，
∴点的纵坐标为，
将代入，得，
解得：，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称性得点的横坐标，从而得，进而得点的纵坐标，于是得，即可求出水面宽的值.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵的半径为8，
∴，
∵点是中点，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理得，然后求出的值，由折叠的性质求出的值，利用勾股定理求出的值，最后得出的长．
10．【答案】D
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4
∴AC＝BC＝
∵F是BC的中点
∴CF＝
∴AF＝
∵CD是直径
∴∠CED＝∠CEB ＝90°
∴△CEB是直角三角形
∵F是BC的中点
∴
∵AE≥AF-EF=
故答案为：D．
【分析】如图，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的长度，以及AF，EF的长度，根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之差小于第三边”得AE≥AF-EF可求解．
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，根据顶点式的坐标特点（顶点式的顶点坐标是（h，k））可知顶点坐标为（﹣2，﹣3）.
12．【答案】27°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，设量角器的中心为点，连接，
∵点的读数分别为85°，31°，
∴，
∴，
故答案为：27°．
【分析】设量角器的中心为点，连接，先根据的读数得到的度数，然后由圆周角定理求出的度数.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的中心是点，连接、、、，交于点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】设正六边形的中心是点，连接、、、，交于点，先根据正多边形的性质得，，从而证明是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，于是推出四边形是菱形，然后根据菱形的性质得到，，解直角三角形求出，最后求出的值.
14．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意，可知关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∵二次函数与一次函数的图象交于，，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，然后利用图象法进行求解.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质和圆周角定理可得，结合垂线的性质和直角三角形两锐角互余可得，然后根据三角形内角和等于180°和等腰三角形的性质可求得的度数，再根据角的和差∠CAO=∠CAD-∠OAD可求解．
16．【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）如图，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则抛物线的表达式为，
∵，
∴点的横坐标为6，
∵，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴设，
将点的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式，得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立①②得：，
整理得：，
∴，，
∴，
∴，
由的表达式知，其和轴的夹角为，则，
故答案为：．
【分析】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则抛物线的表达式为，然后根据抛物线的对称性得，，利用待定系数法求出抛物线的表达式以及的值，最后求的值；
（2）根据题意，得旋转前与水平方向的夹角为，然后设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，接下来联立①②并整理得关于的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得，，结合完全平方公式得，即可求出的值.
17．【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设函数解析式为，
将代入解析式，得，
解得：，
∴，
∴函数的解析式为；
（2）解：∵函数的解析式为，
∴当时，有，
解得：或，
∴函数图象与轴的交点坐标为：，
当时，有，
∴函数图象与轴交点坐标为：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由二次函数顶点式，直接利用待定系数法进行求解；
（2）令，即可求出函数图象与轴，轴的交点坐标.
（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，且过点，
∴设函数解析式为：，
将代入得：，解得：；
∴；
∴解析式为：；
（2）解：当时：，
解得：或，
∴图象与轴的交点坐标为：．
由条件知，图象与轴交点坐标为：．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据两坐标关于原点对称的性质得到点，然后顺次连接这三点即可得到；
（2）根据旋转的性质得到点，然后顺次连接三点即可得到，最后再表示点、的坐标.
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，．
19．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，由弧与圆心角的关系得，然后再根据圆周角定理求得的度数；
（2）设，则，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得到，于是得关于的方程，解方程得的值，利用勾股定理得到的值，最后根据垂径定理得的值.
（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
又，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的三线合一可求解；
（2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，根据对边对等角得出，则，由等角对等边可得，在Rt△ACD中，用勾股定理可求解．
（1）证明：是的直径，
，
，
又，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
21．【答案】（1）解：设，则矩形的长，
依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，成立，
答：花园面积可能是，此时边的长为14米．
（2）∵，则，
依题意，得：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y最大，最大为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设，则矩形的长，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设，则，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得S与x之间的函数关系式，将函数关系式配成顶点式并根据二次函数的性质即可求解．
22．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：是的中点，
，
，
由（1）得，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，连接，
，
为的直径，
，
由（2）得，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，由对顶角相等及圆周角定理得，最后根据等腰三角形的判定得证结论；
（2）根据圆周角定理得，由（1）得，然后结合三角形外角的性质证明，即可得证结论；
（3）过点作于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，由（2）得，从而得，进而得，然后利用勾股定理得，结合圆周角定理得，于是得，同理利用勾股定理得，则，最后求的值即可.
（1）证明：，
，
，
，
∴；
（2）证明：是的中点，
∴，
，
，
，
即，
∴；
（3）解：过B作于点H，连接，
为的直径，
，
由（2）可知，
∴，
，
在等腰直角三角形中， ，
在中，，
．
23．【答案】（1）解：∵，对称轴为，
∴x的值离对称轴越远，y的值越小，
∵
∴当时，y有最小值，当时，y有最大值．
即，
解得，
∴；
（2）解：由题意，得，
解得：
∴二次函数的解析式为，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵
∴①当在对称轴的左侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理得：
解得：（不在m的范围内，舍去）．
②当在对称轴的右侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理得：（不在m的范围内，舍去）．
③当在对称轴的两侧时即时，
∵y的最大值与最小值的差8，最小值为0．
∴，
解得：，（不在范围舍去），
解得：（舍去）．
综上可得，m的值为：或．
答：m的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）根据抛物线的对称轴和开口方向可得：当时，y有最小值，当时，y有最大值，则可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，再求和即可求解；
（2）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当在对称轴的同侧时，当在对称轴的异侧时，分别求出m的值即可．
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，设于点，连接，作点关于的对称点，连接，
∴，
由（1）得，
∴，
∵旋转的性质，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是过点且垂直于的直线，
∵，，
∴，
∴当、、三点共线时最小，即最小，如图，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即的最小值是．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称的性质；旋转的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，由垂直平分线的性质得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，最后根据等边三角形的判定得证结论；
（2）连接，根据等边三角形的性质得，从而得，进而得，然后由圆周角定理得，于是根据等腰三角形“三线合一”性质得，推出是等边三角形，得，结合含30°的直角三角形的性质得，可得，，最后解直角三角形求出，利用勾股定理即可求的长；
（3）设于点，连接，作点关于的对称点，连接，先求出，根据旋转的性质得，，从而得，进而证明，得，然后证明是等边三角形，得，求出，得，故可判断点的运动轨迹是过点且垂直于的直线，接下来可得当、、三点共线时最小，即最小，在中，解直角三角形得的值，根据等腰三角形“三线合一”性质得的值，即可得的值，最后利用勾股定理求出的值即可.
（1）证明：∵是的直径，弦，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
则在直角三角形中，；
（3）解：连接，如图，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点R的运动轨迹是过点C且垂直于的直线，
如图，作点B关于的对称点Q，连接，
则，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴O、R、Q三点共线最小，即最小，如图所示，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
即的最小值是．
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市滨江初级中学2024-2025学年九年级上学期9月阶段性检测数学试题
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．（2024九上·诸暨月考）已知的半径为，点在内，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
【分析】平面上一点与圆的位置关系共有3种，即点在圆外、点在圆上和点在圆内，其判断依据是点到圆心的距离与半径的大小关系，当距离大于半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内．
2．（2024九上·诸暨月考）若将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2+3向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+3，
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x-3）2+3向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+5；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；
二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；
二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；
二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
3．（2024九上·诸暨月考）把图形 绕点顺时针旋转度后，得到的图形是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：观察选项中的图形可知，选项D的图形与原来的图形形状和大小相同，且所有的点都由原来的对应点绕点O顺时针旋转90°得到，故答案为：D.
【分析】根据图形旋转的定义：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，据此结合选项进行判断即可.
4．（2024九上·诸暨月考）如图，⊙O的半径为5，C是弦AB的中点，OC＝3，则AB的长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵是弦的中点，
∴，，
∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理的推论得，，然后利用勾股定理求出，即可得到的长.
5．（2024九上·诸暨月考）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，在抛物线上，
∴，，，
∴
故答案为：A.
【分析】将点d的坐标代入抛物线解析式中求出的值，再进行比较即可.
6．（2024九上·诸暨月考）下列语句中，①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；等圆、等弧的概念；垂径定理的推论；圆的对称性
【解析】【解答】解：①过不在同一直线上的三点能作一个圆，故①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误；
③同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故③错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故④正确；
⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，故⑤正确；
综上所述，正确的个数是2个，
故答案为：B.
【分析】根据圆的性质、垂径定理的推论、等弧以及圆心角、弧、弦的关系对各语句逐一进行判断即可.
7．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由直线经过一、二、三象限可得：a＞0；
由抛物线的顶点在y轴的负半轴可得a＜0；
∴矛盾，
∴此选项不符合题意；
B、由直线经过一、二、三象限可得：a＞0；
由抛物线的开口向下可得，抛物线的二次项系数＜0，
而抛物线的二次项系数为1＞0，
∴矛盾，
∴此选项不符合题意；
C、由直线经过一、二、四象限可得：a＜0；
由抛物线的顶点在y轴的负半轴可得a＜0；
∴此选项符合题意；
D、由直线经过二、三、四象限可得：a＜0，b＜0，
而一次函数的解析式中b=2＞0；
∴矛盾，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限；再结合各选项即可判断求解.
8．（2024九上·诸暨月考）如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴点的横坐标为，
将代入，得，
∴，
∵水位上升，
∴点的纵坐标为，
将代入，得，
解得：，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称性得点的横坐标，从而得，进而得点的纵坐标，于是得，即可求出水面宽的值.
9．（2024九上·诸暨月考）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵的半径为8，
∴，
∵点是中点，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理得，然后求出的值，由折叠的性质求出的值，利用勾股定理求出的值，最后得出的长．
10．（2024九上·诸暨月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4
∴AC＝BC＝
∵F是BC的中点
∴CF＝
∴AF＝
∵CD是直径
∴∠CED＝∠CEB ＝90°
∴△CEB是直角三角形
∵F是BC的中点
∴
∵AE≥AF-EF=
故答案为：D．
【分析】如图，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的长度，以及AF，EF的长度，根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之差小于第三边”得AE≥AF-EF可求解．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11．（2024九上·诸暨月考）抛物线的顶点坐标是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，根据顶点式的坐标特点（顶点式的顶点坐标是（h，k））可知顶点坐标为（﹣2，﹣3）.
12．（2024九上·诸暨月考）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，则的度数是　 　．
【答案】27°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，设量角器的中心为点，连接，
∵点的读数分别为85°，31°，
∴，
∴，
故答案为：27°．
【分析】设量角器的中心为点，连接，先根据的读数得到的度数，然后由圆周角定理求出的度数.
13．（2024九上·诸暨月考）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的中心是点，连接、、、，交于点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】设正六边形的中心是点，连接、、、，交于点，先根据正多边形的性质得，，从而证明是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，于是推出四边形是菱形，然后根据菱形的性质得到，，解直角三角形求出，最后求出的值.
14．（2024九上·诸暨月考）如图，已知二次函数与一次函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意，可知关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，
∵二次函数与一次函数的图象交于，，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】关于的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，然后利用图象法进行求解.
15．（2024九上·诸暨月考）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质和圆周角定理可得，结合垂线的性质和直角三角形两锐角互余可得，然后根据三角形内角和等于180°和等腰三角形的性质可求得的度数，再根据角的和差∠CAO=∠CAD-∠OAD可求解．
16．（2024九上·诸暨月考）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为　 　；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　 　．
【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）如图，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则抛物线的表达式为，
∵，
∴点的横坐标为6，
∵，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴设，
将点的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式，得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立①②得：，
整理得：，
∴，，
∴，
∴，
由的表达式知，其和轴的夹角为，则，
故答案为：．
【分析】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则抛物线的表达式为，然后根据抛物线的对称性得，，利用待定系数法求出抛物线的表达式以及的值，最后求的值；
（2）根据题意，得旋转前与水平方向的夹角为，然后设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，接下来联立①②并整理得关于的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得，，结合完全平方公式得，即可求出的值.
三、简答题（共8题，共66分）
17．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，
（1）求出函数解析式．
（2）请求出函数图象与坐标轴的交点．
【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设函数解析式为，
将代入解析式，得，
解得：，
∴，
∴函数的解析式为；
（2）解：∵函数的解析式为，
∴当时，有，
解得：或，
∴函数图象与轴的交点坐标为：，
当时，有，
∴函数图象与轴交点坐标为：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由二次函数顶点式，直接利用待定系数法进行求解；
（2）令，即可求出函数图象与轴，轴的交点坐标.
（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，且过点，
∴设函数解析式为：，
将代入得：，解得：；
∴；
∴解析式为：；
（2）解：当时：，
解得：或，
∴图象与轴的交点坐标为：．
由条件知，图象与轴交点坐标为：．
18．（2024九上·诸暨月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，画出旋转后的．并求出、的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据两坐标关于原点对称的性质得到点，然后顺次连接这三点即可得到；
（2）根据旋转的性质得到点，然后顺次连接三点即可得到，最后再表示点、的坐标.
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，．
19．（2024九上·诸暨月考）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，由弧与圆心角的关系得，然后再根据圆周角定理求得的度数；
（2）设，则，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得到，于是得关于的方程，解方程得的值，利用勾股定理得到的值，最后根据垂径定理得的值.
（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（2024九上·诸暨月考）如图，中，，以为直径作，交边于点，交的延长线于点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
又，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的三线合一可求解；
（2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，根据对边对等角得出，则，由等角对等边可得，在Rt△ACD中，用勾股定理可求解．
（1）证明：是的直径，
，
，
又，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
21．（2024九上·诸暨月考）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
【答案】（1）解：设，则矩形的长，
依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，成立，
答：花园面积可能是，此时边的长为14米．
（2）∵，则，
依题意，得：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y最大，最大为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设，则矩形的长，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设，则，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得S与x之间的函数关系式，将函数关系式配成顶点式并根据二次函数的性质即可求解．
22．（2024九上·诸暨月考）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：是的中点，
，
，
由（1）得，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，连接，
，
为的直径，
，
由（2）得，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，由对顶角相等及圆周角定理得，最后根据等腰三角形的判定得证结论；
（2）根据圆周角定理得，由（1）得，然后结合三角形外角的性质证明，即可得证结论；
（3）过点作于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，由（2）得，从而得，进而得，然后利用勾股定理得，结合圆周角定理得，于是得，同理利用勾股定理得，则，最后求的值即可.
（1）证明：，
，
，
，
∴；
（2）证明：是的中点，
∴，
，
，
，
即，
∴；
（3）解：过B作于点H，连接，
为的直径，
，
由（2）可知，
∴，
，
在等腰直角三角形中， ，
在中，，
．
23．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数
（1）若 当 时，y的最小值为 y 的最大值为4，求 的值；
（2）若该二次函数的图象经过点和， 当 时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
【答案】（1）解：∵，对称轴为，
∴x的值离对称轴越远，y的值越小，
∵
∴当时，y有最小值，当时，y有最大值．
即，
解得，
∴；
（2）解：由题意，得，
解得：
∴二次函数的解析式为，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵
∴①当在对称轴的左侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理得：
解得：（不在m的范围内，舍去）．
②当在对称轴的右侧时即时：
∵y的最大值与最小值的差8，
∴，
整理得：（不在m的范围内，舍去）．
③当在对称轴的两侧时即时，
∵y的最大值与最小值的差8，最小值为0．
∴，
解得：，（不在范围舍去），
解得：（舍去）．
综上可得，m的值为：或．
答：m的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）根据抛物线的对称轴和开口方向可得：当时，y有最小值，当时，y有最大值，则可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，再求和即可求解；
（2）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当在对称轴的同侧时，当在对称轴的异侧时，分别求出m的值即可．
24．（2024九上·诸暨月考）如图1，是的直径，弦，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）如图2，若点E是的中点，连接，过点C作，垂足为F，若，求线段的长；
（3）若的半径为4，点P是直线上的动点，将点P绕点O逆时针旋转得点R，连接．求的最小值．
【答案】（1）证明：∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，设于点，连接，作点关于的对称点，连接，
∴，
由（1）得，
∴，
∵旋转的性质，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是过点且垂直于的直线，
∵，，
∴，
∴当、、三点共线时最小，即最小，如图，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即的最小值是．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称的性质；旋转的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，由垂直平分线的性质得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，最后根据等边三角形的判定得证结论；
（2）连接，根据等边三角形的性质得，从而得，进而得，然后由圆周角定理得，于是根据等腰三角形“三线合一”性质得，推出是等边三角形，得，结合含30°的直角三角形的性质得，可得，，最后解直角三角形求出，利用勾股定理即可求的长；
（3）设于点，连接，作点关于的对称点，连接，先求出，根据旋转的性质得，，从而得，进而证明，得，然后证明是等边三角形，得，求出，得，故可判断点的运动轨迹是过点且垂直于的直线，接下来可得当、、三点共线时最小，即最小，在中，解直角三角形得的值，根据等腰三角形“三线合一”性质得的值，即可得的值，最后利用勾股定理求出的值即可.
（1）证明：∵是的直径，弦，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
则在直角三角形中，；
（3）解：连接，如图，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点R的运动轨迹是过点C且垂直于的直线，
如图，作点B关于的对称点Q，连接，
则，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴O、R、Q三点共线最小，即最小，如图所示，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
即的最小值是．
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