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人教版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考全真模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2x2﹣1
C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x+2）2﹣1
6．如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．设方程的两个根为α，β， 那么的值等于（ ）
A． B． C．1 D．3
9．如图，绕点O顺时针旋转到的位置，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若关于的方程一个根是1，则另一根为 ．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
13．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ．
14．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 ．

第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考全真模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
18．解方程：
(1)
(2)
19．．如图，三个顶点的坐标分别为
(1)请画出绕点O旋转的图形；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
20．如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
21．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
23．已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线平移后得到抛物线．
探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围．
24．定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”．
(1)判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”：
① ___；② ___；③ ___
(2)若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由；
(3)已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由．
25．如图， 抛物线交x轴于点A、B两点，与y轴交于点，其顶点为点D．
(1)求a的值和顶点 D 的坐标；
(2)在x轴上有一动点，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是、，请判断以C、D、、为顶点的四边形可能是正方形吗？ 若存在，求出对应的点M的坐标； 若不存在，请说明理由；
(3)若N是直线 上的一动点，把绕点N旋转 ，原点O的对应点为，若点 恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D D C D A D A
二、填空题
11．【解】解：由题意得：，
关于的方程一个根是1，
，
故答案为：．
12．【解】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50° 33°=17°.
故答案为17°.
13．【解】解：设抛物线的解析式为
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
水管的高度为，
故答案为：．
14．【解】∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的两条直角边长分别为、，
∴这个直角三角形斜边的长为，
故答案为：．
15．【解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴关于的方程的解为，，
故答案为：，．
16．【解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①正确；
当时，，
由图象可知此时，即，因此②不正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴，故③正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴当时，，
∴顶点为，因此④正确；
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题
17．【解】（1）证明：是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图，连接，
，，
为等边三角形，
，
又，
，
．
18．【解】（1）解：，
，
，
，
令或，
解得：，；
（2）解：，
，
令或，
解得：，．
19．【解】（1）解： 如图所示，即为所求；
（2）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求，
∴P点坐标为．
∴所围成的矩形燃放地面积不能为平方米，
21．【解】（1）解：设每次上涨的百分率为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
（2）解：设销售单价降低元，销售利润为元，
，
∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元．
22．【解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
23．【解】（1）解：由题可知：
时，总有，
．
则，
∴，
∴总成立，且，
；
（2）①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或（舍）．
（ii）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，
解得或（舍），
综上，，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或（舍）．
（ii）当抛物线过点时，如图所示，

此时，，解得或0（舍）．
综上，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段的垂直平分线上．

令，解得，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
24．【解】（1）解：二次函数的顶点坐标为，则有：
①把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”；
②把点代入明显不成立，故与不是“伴随抛物线”；
③把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”；
故答案为√，×，√；
（2）解：∵，
的顶点坐标为，
∵抛物线与互为“伴随抛物线”,
点在抛物线上，
∴，化简得，
抛物线化简为：，
令，
解得或，
抛物线过定点，坐标为、；
（3）解：抛物线，
∴抛物线的顶点为，
抛物线与互为“伴随抛物线”，
点在抛物线上，
∴，
化简得①，
∵，
∴，
代入①得：②，
抛物线与轴交于点，
∴是关于的一元二次方程的两根，
∴，
∵
，
同理可得，
，
为定值，定值为4．
25．【解】（1）解：将点代入解析式得，，解得，
∴ ，
则点；
（2）解：存在，理由如下，
∵点在x轴上，
∴点只能在x轴上方，点只能在x轴下方，
则四边形只能为，即对角线和相等，且关于点M对称，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴ ，
∴ ，
即，解得，
故存在点M使得以C、D、 为顶点的四边形是正方形，点；
（3）解：令，则，解得或，则点，，
①当把绕点N逆时针旋转 ，原点O的对应点为，
∴，，
连接，过点作，如图，
则为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
则，
设，则点，
∵点 恰好落在抛物线上，
∴，化简得，解得，
那么， ，；
②当把绕点N顺时针旋转 ，原点O的对应点为，
∴，，
过点作，如图，
同理可证，
则，
设，则点，
∵点 恰好落在抛物线上，
∴，化简得，解得，
那么， ，；
故所有符合条件的点N的坐标，，，．
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