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第一章二次函数单元测试卷浙教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．关于函数的图像和性质，下列说法错误的是（ ）
A．函数图像开口方向向下 B．函数图像对称轴是直线
C．函数图像的顶点坐标是 D．函数图像与x轴有2个交点
5．若点在二次函数的图像上，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．7
6．一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
8．北京时间2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．某校九年级学生做炮弹模拟发射实验，其运动轨迹可以近似看成抛物线，若此炮弹在第6秒和第12秒时的高度一致，则该炮弹回到地面上时，所经过的时间为（　　）
A．9秒 B．15秒 C．18秒 D．20秒
9．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ．
12．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ．
13．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ．
14．已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．如图所示，已知抛物线的顶点为，且与x轴的一个交点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求时，x的取值范围．
16．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
17．某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示：
(1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式；
(3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元．
18．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式；
(2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标；
(3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围．
20．如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D C B B C B A
二、填空题
11．【解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
12．【解】解：如图，建立直角坐标系，则，
可设这条抛物线为，
把代入得：，
解得：，
，
当时，，
解得：，
水面下降，水面宽度增加．
故答案为：．
13．【解】解：∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的表达式为．
故答案为：．
14．【解】解：当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
抛物线与轴的交点之间的距离为，
二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
每相邻两点间的距离都为1，
平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
平移后的抛物线解析式为，
即，
抛物线向上平移个单位所得的抛物线解析式为，
．
故答案为：4．
三、解答题
15．【解】（1）解：设抛物线的表达式为．
把代入，得，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：令，得，解得， ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为．
根据图象得，当时，x的取值范围为．
16．【解】（1）解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为，
∴．
（2）（2）是有最大值，理由如下：
∵当时，，
∴．
设直线的函数表达式为，
∴，
解得．
∴直线的函数表达式为，
设，
则．
∴
．
当时，有最大值，
此时，
∴有最大值，为．此时．
17．【解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将点代入得：，解得，
则与之间的函数表达式为．
∵销售单价不低于进价，，
∴，
解得，
答：与之间的函数表达式为，的取值范围为．
（2）解：由题意得：
，
答：与之间的函数关系式为．
（3）解：令，则，
解得或，均在范围内，
答：当满天星的销售价格定为20元或30元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元．
18．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M和点F关于直线对称，
∴，
∴矩形的周长为，
即的最大值为，此时，即；
（3）存在，
设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点，
由题意可知，，且,
即，且，
解得，，
∴或
19．【解】（1）解：由题意，得：
（2）∵点在函数的图象上，
∴设，
由题意，得：，即：，
∵点在点的上方，，
∴，
解得：，
∴；
（3），
令，整理，得：，
∵与的图象交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，则：，与矛盾，不符合题意，
∴，
∴，
∵
，
，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴．
20．【解】（1）解：∵拋物线经过，，三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交直线于，连接、，
由题意可得，点、关于直线对称，
∴，
∵的周长，其中为定值，
∴的周长的最小值为，
∵，，，
∴，，
∴周长的最小值为；
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），设点E的横坐标为m，
∴，
∵过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，
∴，，
∴，，，
如图，连接，
∴四边形的面积为
，
∵，，
∴当时，四边形的面积为S最大，最大值为，此时，即．

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