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人教版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。笞卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置
，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．如图，将绕着点C顺时针旋转50°后得到，若，则∠BCA的度数是（ ）
A．120° B．30° C．20° D．10°
4．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润5万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一月份到二月份的增长率为x，二月份到三月份的增长率是，若三月份获得利润为7.8万元，则可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．
12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 ．
13．关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．若关于的一元二次方程的常数项为，则 ．
15．如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，点C恰好落在边上，若，则 ．
16．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接．则的长为 ．
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求的值；
(2)解这个一元二次方程．
19．已知关于x的方程．
(1)当时，解这个方程；
(2)若方程有两个实数根，，且，求k的值．
20．如图，矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，求的值．
21．如图，三个顶点的坐标分别为
(1)请画出绕点O旋转的图形；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
22．某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
(1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？
(2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
23．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像．
(1)若在 的“青一对称”图像上，则 ；
(2)若在 的“青一对称”图像上，求的值；
(3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围．
24．如图，已知抛物线经过两点，直线是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
(2)设点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标；
(3)已知与抛物线相交于点，连接，若，求的值．
25．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：
(1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值；
(2)若直线的“幸福值”为，求的值；
(3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D A A A B C A
二、填空题
11．【解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，
由题意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路的宽为，
故答案为：．
12．【解】解：点关于原点对称点的坐标是．
故答案为：．
13．【解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且 =（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
14．【解】解：∵常数项为0，
∴，
解得：或2，
又∵，即，
∴．
15．【解】解：∵是绕点O顺时针旋转后得到的图形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【解】解：在中，，，
故，
由旋转的性质可知：，，
∴，
在中，，，
故．
故答案为：．
三、解答题
17．【解】（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：
﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；
已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：
，解得
∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；
（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．
18．【解】（1）解：依题意，得，
解得．
∴a的值为3．
（2）解：把代入原方程，得，
，
，
解得，．
19．【解】（1）解：当时，方程化为，
配方得，
∴，
解得，．
（2）解：，
方程总有实数根，
又，
或，
当时，，解得；
当时，则，解得；
或0．
20．【解】（1）证明：矩形中，，，，
平分，
，又，
，又，
，即，
又，，
，
；
（2）解：，且，
为等边三角形，
，设，，
则，，
，整理得，
故，开方得，又，
，
．
21．【解】（1）解： 如图所示，即为所求；
（2）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求，
∴P点坐标为．
22．【解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
将代入，得（件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得，
解得，
即三月份每件产品的成本是20万元；
（2）解：四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为，
由题意得：
，
则抛物线的对称轴为，且，开口向下，
则时，取得最小值，
此时，，
即四月份最少利润是500万元．
23．【解】（1）解：由题意得：图像的函数解析式为，
当时，，
，
故答案为：；
（2）解：，
顶点坐标为，
图像的顶点坐标为，
的解析式为，
在 的“青一对称”图像上，
当时，，
解得：或（舍去），
当时，，
解得：或，
的值为或或；
（3）解：，
顶点坐标为，
将的图像绕着原点旋转得到图像，
的顶点坐标为，
的解析式为，
①当直线与：相切时，即直线与的图像只有一个交点，则，
整理得：，
，
解得：，
此时的解析式为：，
联立直线与的解析式得：，
整理得：，
此时，
直线与的图像只有两个交点，
当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点；
②当时， 的解析式为，的解析式为，
联立直线与的解析式得：，
解得：或（不合题意，舍去），
此时直线与的图像只有一个交点，
联立直线与的解析式得：，
解得：或，
当时，的图像与直线有两个交点和，
当时，二次函数的“青一对称”图像与直线只有三个交点；
当时，的解析式为，的解析式为，
联立直线与的解析式得：，
解得：或，
此时直线与的图像只有两个交点和，
联立直线与的解析式得：，
解得：或，
此时直线与的图像只有两个交点和，，
当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有四个交点；
当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点；
综上所述，的值或取值范围是或．
24．【解】（1）解：把代入，得，
解得，
抛物线的函数解析式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：设，则，
当时，，
解得，
；
（3）解：延长交轴于，
设，在中，，
即，
解得，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
的解析式为，
联立，
解得（舍去），，
，
．
25．【解】（1）解：将代入得：，
∴
∴点的“双减差”的值为：
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∴随的增大而增大．
故：当时，有最小值，且最小值为：，
∴，
解得：（舍去）
∴
（3）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为：，
∴
∴
令，则其对称轴为直线；
∵，
∴，即：；
，此时（不符合题意）；
，即：，
此时，当，取最小值，
则，
解得：（舍去），
∴；
，即：，
此时，当，取最小值，
则，
解得：（舍去），
综上所述，该抛物线的解析式为：；
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