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(共63张PPT)
第五章
§5.4　复　数
数学
大
一
轮
复
习
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数的实部， 是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数
a
b
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 (a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝_________(a，b∈R).
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|z|
|a＋bi|
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝________________(c＋di≠0).
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
i
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即_____________.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)任意两个复数都不能比较大小.(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
√
×
×
×
2.(2025·八省联考)|2－4i|等于
A.2 B.4 C.2 D.6
|2－4i|＝＝2.
√
3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.
√
4.复数的共轭复数是　　　　.
－2＋i
＝－2－i，故其共轭复数是－2＋i.
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
(4)复数z的方程在复平面内表示的图形
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
微点提醒
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·咸阳模拟)已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为
A.±6 B.1或6 C.－6 D.1
√
复数的概念
题型一
由题意可得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1.
(2)(多选)(2024·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则
A.＝2－4i
B.z－2是纯虚数
C.复数z的虚部为4i
D.复数z在复平面内对应的点在第三象限
√
√
对于A，z＝＝2＋4i，∴＝2－4i，故A正确；
对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，为纯虚数，故B正确；
对于C，z＝2＋4i，虚部为4，故C错误；
对于D，z＝2＋4i，其在复平面内对应的点为(2，4)，在第一象限，故D错误.
(3)(2024·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于
A. B.4 C. D.
由题意得，＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，
由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b，
故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5，
故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝.
√
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a，b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0.
思维升华
(3)复数是纯虚数的条件
①z＝a＋bi是纯虚数 a＝0且b≠0(a，b∈R)；
②z是纯虚数 z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2025·海口模拟)下列关于复数的说法，正确的是
A.复数i是最小的纯虚数
B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个
C.i与－i是一对共轭复数
D.虚轴上的点都表示纯虚数
√
虚数不能比大小，故A错误；
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不仅四个，比如a＝，b＝时，|z|＝1，故B错误；
由共轭复数的定义可知C正确；
原点(0，0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.
(2)(2025·盐城四校联考)若(1－2i)(z－i)＝5，则等于
A. B.2 C. D.
设z＝a＋bi，a，b∈R，
则(1－2i)(z－i)＝(1－2i)＝a＋(b－1)i－2ai＋2(b－1)＝5，
所以
所以z＝1＋3i，.
√
(3)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为
A.－3 B.－1 C.1 D.3
z＝，
因为复数z＝的实部与虚部相等，
所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，
故实数a的值为－3.
√
复数的四则运算
题型二
例2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
√
因为＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i.
(2)设复数z＝，则z等于
A.1 B.－1 C.i D.－i
∵＝i，
∴z＝i2 025＝i4×506＋1＝i.
√
(3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足＝2i，则z·＝　　　.
因为＝2i，
所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz，
所以z＝＝1＋2i，
所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5.
5
复数四则运算问题的解题策略
思维升华
复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算
复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并
复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化
跟踪训练2　(1)(2024·成都模拟)若复数z满足z(1＋i)＝2－i，则z等于
A. B.
C.i D.i
依题意，z＝i.
√
(2)(2025·新乡模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝　　　.
2i
由题意得复数z对应的点的坐标为(2，－1)，
故z＝2－i，＝2＋i，
故＝2i.
(3)已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝　　　.
i
i＋i2＋i3＋i4＝0，
则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝506×0＋i＝i.
复数的几何意义
题型三
例3　(1)(2024·西宁模拟)已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于
A.－2 B.－ C.2 D.
√
由题意|z|＝＝5，
得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝，
因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以故a<0，故a＝－2.
(2)(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是
A.若复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量与，则向量对应的复数为
9＋i
B.若复数z满足|z－i|＝|z＋i|，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
C.若|z－i|＝1，则|z|的最大值为
D.若复数z满足1≤|z|≤，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面
积为π
√
√
√
对于A，因为复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量，
所以表示向量的复数为6＋5i－(－3＋4i)＝9＋i，故A正确；
对于B，因为复数z满足|z－i|＝|z＋i|，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|a＋(b－1)i|
＝|a＋(b＋1)i|，即，整理得b＝0，故在复平面内，z表示实轴，故B正确；
对于C，设z＝a＋bi(a，b∈R)，若|z－i|＝1，即|z－i|＝|a＋(b－1)i|＝＝1，所以a2＋(b－1)2＝1，即z表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆上的点，且|z|表示圆上的点到原点的距离，所以|z|的最大值为2，故C错误；
对于D，若复数z满足1≤|z|≤，则复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为2π－π＝π，故D正确.
复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系、一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·南充模拟)当1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
由1所以复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点Z(m－1，m－2)位于第四象限.
(2)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为
A.1 B.－1 C.＋1 D.3
√
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为
圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图，
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝，
所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，所以|z－i|min＝CA－1＝－1.
返回
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B A A ACD AC
题号 8 11 12 答案 i(或－i) B B 答案
1
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(1)因为z是纯虚数，
所以解得m＝－2.
(2)若m＝2，则z＝4＋i，
故i＝a＋bi，所以a＝，b＝，所以a＋b＝.
9.
答案
1
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12
(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
所以x2＝－1－i是方程的另一个根.
10.
一、单项选择题
1.(2025·沈阳模拟)已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i为虚数单位)，则
A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3
C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3
1
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知识过关
答案
因为a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.
√
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答案
2.(2024·台州模拟)已知复数z＝(i为虚数单位)，则
A.z的实部为2 B.|z|＝
C.＝2－i D.z在复平面内对应的点位于第一象限
z＝＝－(2＋i)i＝1－2i，故实部为1，|z|＝＝1＋2i，z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限.
√
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答案
3.(2025·泸州模拟)已知z＝(a∈R)为纯虚数，则实数a的值为
A.2 B.1 C.－1 D.－2
因为z＝i，
因为z为纯虚数，所以则a＝2.
√
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答案
4.(2024·银川模拟)在复平面内，已知复数z1＝1－i对应的向量为，现将向量绕点O逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为z2，则等于
A.2i B.2i C.2 D.2
√
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答案
依题意，＝(1，－1)，
设将向量绕点O逆时针旋转90°所得向量坐标为(x，y)，x>0，
则有解得y＝x＝1，
因此＝2(1，1)＝(2，2)，即z2＝2＋2i，
所以＝2i.
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答案
二、多项选择题
5.(2024·长沙模拟)设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是
A.z1 B.
C.若＝0，则z1＝0 D.
√
√
√
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答案
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2，＝a2＋b2，A正确；
＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi，而＝c2＋d2，B错误；
若＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi＝0，可得a2－b2＝2ab＝0，解得a＝b＝0，即z1＝0，故C正确；
＝a2－b2－2abi，＝(a－bi)2＝a2－b2－2abi，所以，故D正确.
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12
答案
6.(2025·临汾模拟)下列说法正确的是
A.若z＝－2＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B.若z满足z·i＝－1＋2i，则的虚部为1
C.若z是方程x2＋3＝0的根，则z＝±i
D.若z满足|z－1＋2i|＝2，则|z|的最大值为
√
√
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答案
对于A，z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限，故A正确；
对于B，因为z·i＝－1＋2i，所以z＝＝2＋i，则＝2－i，所以的虚部为－1，故B错误；
对于C，方程x2＋3＝0的根为±i，故C正确；
对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，若z满足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点(x，y)在以(1，－2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为，所以|z|的最大值为＋2，故D错误.
三、填空题
7.(2025·辽阳模拟)若复数z＝＋|3－4i|，则|z|＝　　　　.
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答案
z＝＋|3－4i|＝＋5＝＋5＝8－4i，
|z|＝＝4.
4
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答案
8.写出一个同时满足①②的复数z＝　　　　.
①z3＝；②z R.
因为z R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)3＝－b3i＝－bi，
解得b＝±1，即z＝±i符合.
i(或－i)
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答案
四、解答题
9.已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
因为z是纯虚数，
所以解得m＝－2.
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答案
(2)若m＝2，设＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值.
若m＝2，则z＝4＋i，
故i＝a＋bi，所以a＝，b＝，所以a＋b＝.
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答案
10.已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以
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答案
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
所以x2＝－1－i是方程的另一个根.
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答案
能力拓展
11.(2025·银川模拟)在复平面内，复数z＝a＋bi(a∈R，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设|OZ|＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，则复数在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
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答案
当z＝－1＋i时，r＝2，取θ＝，
故＝210＝210＝－512＋512i.
显然在复平面内所对应的点在第二象限.
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答案
12.已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为
A.2 B.3 C. D.1
根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3，
所以|z|max＝3.
√
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第五章
§5.2　平面向量基本定理及
坐标表示
数学
大
一
轮
复
习
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
不共线
λ1e1＋λ2e2
互相垂直
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，
|a|＝__________.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝
________________________.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
终点
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b .
x1y2－x2y1＝0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成.
(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b x1＝x2且y1＝y2.(　　)
√
×
√
×
2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于
A.(6，3) B.(－2，－6)
C.(2，1) D.(7，2)
2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).
√
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
A. B.－ C.1 D.－1
因为E为DC的中点，所以＝－，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
√
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　.
(1，5)
设D(x，y)，则，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即即D(1，5).
1.熟记以下常用结论
(1)基底{e1，e2}给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为.
微点提醒
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以零向量不能作为基底中的向量.
(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是
A.{a－b，b－a} B.
C.{2b－3a，6a－4b} D.{a＋b，a－b}
√
平面向量基本定理的应用
题型一
A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底向量.
B选项，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共线，不能作为基底向量.
C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为基底向量.
D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底向量.
(2)(2024·赣州模拟)在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足＝2＝4＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝　　　.
以{}为基底向量，则可得
，
所以＝λ＋μ＝λ＋μ，
可得(λ＋μ)＝，可得λ＋μ＝.
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·北京模拟)在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
，
故＝λ＋μ
＝λ＋μ
＝，
故
所以λ＋μ＝－＝－2.
(2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一个基底，则
实数λ的取值范围是　 　　　　.
∪
因为e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，
若a与b共线，则a＝μb，μ∈R，
即a＝e1＋2e2＝μ(λe1＋e2)，
所以
因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
所以实数λ的取值范围是∪.
平面向量的坐标运算
题型二
例2　(1)(多选)(2025·沈阳模拟)如图，已知A(2，1)，B(－3，4)，O为坐标原点，四边形OACB为平行四边形，下列结论正确的是
A.点C坐标为(－1，5)
B.＝60
C.若，则点E的坐标为
D.△ABC重心的坐标为
√
√
设点C的坐标为(a，b)，＝(2，1)，＝(－3，4)，＝(a，b)，
∵四边形OACB为平行四边形，∴＝
(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，
∴点C的坐标为(－1，5)，选项A正确；
又＝(－5，3)，∴＝1＋25＋25＋9＝60，选项B正确；
由重心公式可得，△ABC重心的坐标为，选项D错误.
设点E(x，y)，∵，则(x－2，y－1)＝(－5，3)，
∴
∴点E，选项C错误；
(2)(2025·山西联考)图1是古代中国的太极八卦模型图，图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时针旋转而得到的，若
＝x＋y，则x＋y等于
A. B.
C.2 D.
√
分别以射线OE，OG为x轴，y轴的正半轴建立平面直角坐标系，
设OE＝OG＝2，则G(0，2)，
∵∠HOG＝∠FOG＝，
∴F()，H(－)，
由＝x＋y，
得(0，2)＝x(－)＋y()，
∴
解得x＝y＝，∴x＋y＝.
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为
A. B. C. D.2
√
在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－2，2)，λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因为＝λ＋μ，
所以
解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝，
所以λ＋μ的值为.
(2)在△ABC中，顶点A的坐标为(3，1)，边BC的中点D的坐标为(－3，1)，则△ABC重心的坐标为　　　　　.
(－1，1)
设△ABC的重心为G(x，y)，因为A(3，1)，D(－3，1)，所以＝
(－6，0)，＝(x－3，y－1)，
由题意知，
所以(x－3，y－1)＝(－6，0)，
即解得
即G(－1，1)，
即△ABC重心的坐标为(－1，1).
向量共线的坐标表示
题型三
例3　(1)(2024·汉中模拟)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m与n共线且同向，则实数λ的值为
A.2 B.4
C.－2 D.－2或4
√
∵m与n共线，
∴2×(－4)－λ(2－λ)＝0，
即λ2－2λ－8＝0，
解得λ＝4或λ＝－2，
当λ＝4时，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，
∴m＝－n，∴m与n反向，不符合题意；
当λ＝－2时，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，
∴n＝2m，∴m与n同向，符合题意.
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
(3，3)
方法一　＝(4，0)，＝(4，4)，＝(2，6)，
由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝
(4λ－4，4λ).又＝(－2，6)，
由共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为
A.2 B.－2 C. D.－
因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，
所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，
所以4cos α＝2sin α，则tan α＝＝2.
√
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，
C(4，2)，则点D的坐标为　　　　　.
(2，4)
∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，
又＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4).
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B D AD ABD
题号 7 8 11 12 答案 CD 答案
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(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)方法一　a＋b＝(2，4)，令d－c＝λ(a＋b)，
∴|d－c|＝|λ|·|a＋b|＝2|λ|＝，
∴λ＝±，∴d＝c±(a＋b)，
∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).
9.
答案
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12
方法二　设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝，
∴
解得
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
9.
答案
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10.
(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以＝(2，0)，＝(0，1)，
所以＝λ＋μ＝(2λ，μ)，
所以
答案
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10.
(2)由(1)可知C(2，1)，设＝t＝t(2，1)，
所以E(2t，t)，
又M，
又，
且M，N，E三点共线，所以∥，
所以·(t－1)＝0，
解得t＝.
一、单项选择题
1.下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是
A.e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B.e1＝(4，－2)，e2＝(－2，1)
C.e1＝(3，3)，e2＝(－1，1) D.e1＝(2，3)，e2＝(－1，3)
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知识过关
答案
√
对于A，C，D，因为两向量不共线，所以{e1，e2}能作为一个基底；
对于B，因为e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一个基底.
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答案
2.在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为
A. B.
C. D.
因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－)＝.
√
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12
答案
3.(2024·合肥模拟)已知向量a，b满足a＋b＝(1，m)，a－b＝(3，1).若a∥b，则实数m等于
A.－ B. C.3 D.－3
因为a＋b＝(1，m)，a－b＝(3，1)，
所以a＝，b＝，
若a∥b，则2×＝－，所以m＝.
√
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答案
4.(2025·石家庄模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以{}为基底表示向量，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
√
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答案
令＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
∵，＝－，
，
∴＝λ＋μ，
∴
∴.
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12
答案
二、多项选择题
5.(2024·武威统考)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是
A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C.若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且
只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D.若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
√
√
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12
答案
由题意可知，{e1，e2}可以看成平面α内的一个基底，根据平面向量基本定理可知，A项、D项正确，B项不正确；
对于C项，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，则λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0，此时对任意实数λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C项不正确.
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答案
6.(2025·昆明模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是
A.－2 B. C.1 D.－1
√
√
√
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12
答案
因为＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，
即m＝1.
所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形.
三、填空题
7.(2024·南京模拟)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位
向量的坐标是　　 　　.
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答案
∵点A(1，3)，B(4，－1)，∴＝(3，－4)，
可得||＝＝5，
因此，与向量同方向的单位向量为·(3，－4)＝.
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答案
8.(2024·赤峰模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DAC＝30°，AB＝1，AC＝3，AD＝2，＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝　　　　.
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答案
以A为坐标原点，以AD所在直线为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B，C，D(2，0)，
故＝(2，0)，
则由＝x＋y＝x＋y(2，0)，
即∴故x＋y＝2.
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答案
四、解答题
9.平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
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答案
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标.
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12
答案
方法一　a＋b＝(2，4)，
令d－c＝λ(a＋b)，
∴|d－c|＝|λ|·|a＋b|＝2|λ|＝，
∴λ＝±，
∴d＝c±(a＋b)，
∴d＝(3，－1)或d＝(5，3).
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答案
方法二　设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝，
∴
解得
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
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答案
10.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，，AC与MN相交于点E.
(1)若＝λ＋μ，求实数λ和μ的值；
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答案
如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以＝(2，0)，＝(0，1)，
所以＝λ＋μ＝(2λ，μ)，
所以
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答案
(2)求.
由(1)可知C(2，1)，设＝t＝t(2，1)，
所以E(2t，t)，
又M，
又，
且M，N，E三点共线，所以∥，
所以·(t－1)＝0，解得t＝.
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答案
能力拓展
11.(多选)已知||＝2，||＝2，且的夹角为，点P在以O为圆心的劣弧上运动，若＝x＋y，x，y≥0，则x＋y的值可能为
A.2 B. C. D.1
√
√
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答案
方法一　如图，以O为坐标原点，
OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
所以M(2，0)，N(1，)，
设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈，
所以(2cos θ，2sin θ)＝x(2，0)＋y(1，)，
所以
解得x＝cos θ－sin θ，y＝sin θ，
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答案
所以x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈，
所以θ＋∈，
因为sin∈，
所以x＋y的取值范围为，故CD符合题意.
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答案
方法二　如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则M(2，0)，N(1，)，
则＝(2，0)，＝(1，)，
所以＝x＋y＝(2x＋y，y)，
则点P的坐标为(2x＋y，y).
由题意可知1≤2x＋y≤2，0≤y≤，
则≤x＋y≤，易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，
所以(2x＋y)2＋＝4，
1
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答案
即4x2＋4xy＋y2＋3y2＝4，
即x2＋xy＋y2＝1，即(x＋y)2－1＝xy，
易知(x＋y)2＝1＋xy≥1，故x＋y≥1.
因为x≥0，y≥0，所以xy≤，
所以(x＋y)2≤1，得1≤x＋y≤，
结合≤x＋y≤，
可得1≤x＋y≤，故CD符合题意.
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答案
12.已知{a，b}是平面内的一个基底，若m＝xa＋yb，则称有序实数对(x，y)
为向量m在基底{a，b}下的坐标.给定一个平面向量p，已知p在基底{a，b}下
的坐标为(1，2)，那么p在基底{a－b，a＋b}下的坐标为　　　　　.
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答案
返回
由p在基底{a，b}下的坐标为(1，2)，得p＝a＋2b，
设p在基底{a－b，a＋b}下的坐标为(m，n)，
则p＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
所以
所以p在基底{a－b，a＋b}下的坐标为.(共25张PPT)
第五章
必刷小题10　平面向量与复数
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C C C D B D
题号 8 9 10 11 12 13 答案 A AC AB AD －1－i (－2，－6) 题号 14 答案 1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
一、单项选择题
1.已知向量a＝(3，1)，b＝(2m－1，3)，若a与b共线，则实数m等于
A. B.5 C. D.1
√
1
2
3
4
5
6
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14
答案
由题意，得3×3－1×(2m－1)＝0，解得m＝5.
2.(2025·济宁模拟)已知向量b＝－2a，|a|＝3，则a·b等于
A.－6 B.6 C.－18 D.18
1
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3
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6
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14
答案
√
因为向量b＝－2a，|a|＝3，所以|b|＝6，且〈a，b〉＝180°，则a·b＝3×6cos 180°＝－18.
3.(2024·乌鲁木齐模拟)复数z满足，则z的虚部为
A.－i B.i C.－1 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
设z＝a＋bi且a，b∈R，则z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋(b＋2)i，
因为，所以a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，
解得b＝－1，则z的虚部为－1.
答案
4.(2024·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则
A. B.
C. D.
√
1
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3
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14
答案
因为＋2＝0，
所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示，
故)＝.
5.已知向量|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝，则b在a方向上的投影向量为
A.a B.－a C.a D.－a
√
1
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3
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5
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7
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14
答案
∵|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝，
∴|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝10，
∴4－4a·b＋4＝10，a·b＝－，
∴b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉＝|b|·a＝－a.
6.(2025·昆明模拟)已知z1，z2是方程x2－2x＋2＝0的两个复数根，则
||等于
A.2 B.4 C.2i D.4i
√
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14
答案
已知z1，z2是方程x2－2x＋2＝0的两个复数根，
所以z＝＝1±i，
则设z1＝1＋i，z2＝1－i，
所以||＝|(z1＋z2)(z1－z2)|＝|2×2i|＝|4i|＝4.
7.(2025·包头模拟)如图所示，正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则()·等于
A.4 B.3 C.－4 D.－3
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答案
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答案
如图，建立平面直角坐标系，
则B(2，0)，E(0，1)，F(1，2)，
∴＝(2，－1)，＝(1，1)，＝(－1，2)，
∴＝(3，0)，
故()·＝－1×3＋2×0＝－3.
8.(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，，λ∈[，3]，
则cos∠BAD的取值范围是
A. B.
C. D.
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答案
√
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14
设与＝e1，与＝e2，与＝e3，
由题意，所以e1＋3e2＝λe3，
所以＝λ2，
即＋6e1·e2＋9＝λ2，
所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2，
所以cos∠BAD＝，
答案
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14
因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以∈，
即cos∠BAD的取值范围是.
答案
二、多项选择题
9.(2024·开封模拟)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虚数单位，a，b∈R)，若z1·z2为纯虚数，则
A.a－b＝0 B.a＋b＝0
C.ab≠－1 D.ab≠1
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√
√
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答案
因为z1＝a＋i，z2＝1＋bi，
所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，
又z1·z2为纯虚数，所以
即a－b＝0且ab≠－1.
10.已知z为复数，设z，，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则
A.||＝|| B.⊥
C.||＝|| D.∥
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答案
√
√
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答案
设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，＝a－bi，∴B(a，－b)，
iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，
＝(a，b)，＝(a，－b)，＝(－b，a)，＝(－b－a，a－b)，＝(－b－a，a＋b)，
对于A，∵，
∴||＝||，故选项A正确；
对于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴⊥，故选项B正确；
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答案
对于C，∵||＝，||＝，
当ab≠0时，||≠||，故选项C错误；
对于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，
a2－2ab－b2可以为零，也可以不为零，∴，故选项D错误.
11.(2025·菏泽模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，4)，则
A.若a∥b，则tan θ＝－
B.若a⊥b，则sin θ＝
C.的最大值为5
D.若a·(a－b)＝0，则＝2
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14
答案
√
√
因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，4)，
所以＝1，＝5，
对于A，若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，
所以tan θ＝－，故A正确；
对于B，若a⊥b，则a·b＝－3cos θ＋4sin θ＝0，所以tan θ＝，
又
解得sin θ＝或sin θ＝－，故B错误；
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答案
对于C，
＝＝，
其中tan φ＝，
当sin(θ－φ)＝－1时，取得最大值6，故C错误；
对于D，若a·(a－b)＝0，则a2－a·b＝0，
即1＋3cos θ－4sin θ＝0，所以4sin θ－3cos θ＝1，
所以
＝＝2，故D正确.
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答案
三、填空题
12.(2024·新乡模拟)设z＝，则等于　　　　　.
1
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答案
－1－i
z＝＝－1＋i，故＝－1－i.
13.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d＝　　　 　.
1
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14
答案
(－2，－6)
由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6).
14.(2025·咸阳模拟)已知a，b是两个单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，若向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的最大值为　　　　.
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2＋
答案
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答案
已知a，b是两个单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，
则a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
则a·b＝0，则a⊥b，
设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，
则c－a－b＝(x－1，y－1)，
因为|c－a－b|＝＝2，
所以(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故c＝中，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，r＝2为半径的圆，
圆心M(1，1)到原点的距离为|OM|＝，|c|max＝|OM|＋r＝＋2.(共71张PPT)
第五章
§5.1　平面向量的概念及
线性运算
数学
大
一
轮
复
习
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量 平面向量是自由向量
长度(模) 向量的_____
零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向 或 的非零向量 0与任意向量平行(或共线)
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
大小
方向
大小
相同
相反
相等
相同
相等
相反
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝ ；
结合律：(a＋b)＋c＝__________
2.向量的线性运算
b＋a
a＋(b＋c)
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝ ，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝___ 设λ，μ为实数，则
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝________
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)
(2)单位向量都相等.(　　)
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
√
×
×
√
2.下列命题正确的是
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量与是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
√
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.在△ABC中，＝3，则等于
A. B.
C. D.
∵＝3，∴.
√
4.已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝　　　.
由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ
解得t＝.
1.熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则).
(2)在△ABC中，点P满足＝0 P为△ABC的重心 ).
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
微点提醒
2.解决向量的概念问题的两个注意点
(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向.
(2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)下列四个命题中正确的有
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.若，则A，B，C，D四点组成平行四边形
D.与非零向量a共线的单位向量为±
√
平面向量的基本概念
题型一
A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；
B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；
C不正确，若，则A，B，C，D四点共线或不共线，当四点不共线时，A，B，C，D才能组成平行四边形；
D正确，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式
中成立的是
A. B.
C. D.
√
方法一(排除法)
不共线，故A，B错误；
方向相反，C错误；故选D.
方法二　在等腰梯形ABCD中，不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴，
∴，
即，
∵EF∥AB，∴，
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴，故C错误，D正确.
平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与非零向量a同方向的单位向量.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是
A.若|a|＝0，则a＝0
B.若a，b同向，且|a|>|b|，则a>b
C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
√
√
对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，因为向量不能比较大小，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；
对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误.
(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).
①是共线向量的有　　　　　　；
②方向相反的向量有　　　　　　；
③模相等的向量有　　　　　.
a和d，b和e
①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；
②a和d，b和e是方向相反的向量；
③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.
a和d，b和e
a，c，d
平面向量的线性运算
题型二
例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
√
命题点1　向量加、减法的几何意义
－2＝()＋()＝，
∴||＝||.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
例3　(2025·广州模拟)在平行四边形ABCD中，点E满足，则等于
A. B.－
C. D.－
因为四边形ABCD为平行四边形，
则有)，
∴)－＝－.
命题点2　向量的线性运算
√
例4　(2024·宁波统考)在△ABC中，，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则等于
A.3 B. C. D.
√
命题点3　根据向量线性运算求参数
)＝×，
，
因为＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝＝3.
平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.
思维升华
跟踪训练2　(1)若||＝7，||＝4，则||的取值范围是
A.[3，7] B.(3，7)
C.[3，11] D.(3，11)
√
由题意知||＝7，||＝4，且||＝||，
当同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝
|4－7|＝3；
当反向时，||取得最大值，||＝||＝||＋||＝4＋7＝11；
当不共线时，3＝|||－|||<||<||＋||＝11，
故|| 的取值范围是[3，11].
(2)如图，在四边形ABCD中，＝3，E为边BC的中点，若＝x＋y(x，y为实数)，则x＋y＝　　　；若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ＋μ＝　　　.
＝－＝－，
∴x＝－，y＝1，∴x＋y＝.
连接AC，如图所示，
)＝，
∴λ＝，μ＝，
则λ＋μ＝.
共线定理及其应用
题型三
例5　(1)(2025·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则
A.＝－2 B.λμ＝－2
C.＝2 D.λμ＝2
√
由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R，
又e1，e2是两个不共线的向量，
故解得λμ＝2.
(2)如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　.
因为＝3，
因为＝m＝m，
且B，P，N三点共线，
所以m＋＝1，所以m＝.
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·浙江联考)已知向量e1，e2是平面内两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
√
因为向量e1，e2是平面内两个不共线的单位向量，所以{e1，e2}可以作为平面内一个基底，
对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，若A，B，C三点共线，设
＝λ，λ∈R，则无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，若A，B，D三点共线，设＝μ，μ∈R，则无解，所以A，B，D三点不共线，故B错误；
对于C，因为＝(e1＋2e2)＋(－3e1＋2e2)＝－2e1＋4e2＝，因为AC，AD有公共点A，所以A，C，D三点共线，故C正确；
对于D，因为＝(3e1－6e2)＋(e1＋2e2)＝4e1－4e2，＝－3e1＋2e2，设＝k，k∈R，则无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误.
(2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若＝m＝n，m，n∈R，则m＋n的值为　　　.
连接AO(图略)，
则)＝，
因为M，O，N三点共线，
所以＝1，所以m＋n＝2.
2
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D A A BC ACD
题号 7 8 11 12
答案 等腰梯形 C (1，＋∞)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.
存在.由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，又a与b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以解得t＝.
故存在实数t＝，使得C，D，E三点在同一条直线上.
答案
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10.
(1)在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则)＝a＋b，
故a＋b，
a＋b－a＝b－a.
答案
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10.
(2)因为b－a＝(b－2a)，
b－a＝(b－2a)，
所以∥，
又有公共点B，所以B，E，F三点共线.
一、单项选择题
1.化简等于
A. B.0
C. D.
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答案
－()＝＝0.
√
知识过关
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答案
2.已知点P为△OAB所在平面内一点，且，则
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
由·，
所以点P在射线AB上.
√
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答案
3.(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于
A.－ B.
C. D.
√
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答案
如图，
在矩形ABCD中，)，
在△DAO中，)，
∴，
∴λ＝，μ＝－，
∴λ2－μ2＝＝－.
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答案
4.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
√
设AB的中点为M，
因为＝0，
所以＝2()，
所以＝4，
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，
所以＝5，
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.
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答案
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答案
二、多项选择题
5.下列说法正确的是
A.若a，b是共线的单位向量，则a＝b
B.若a，b是相反向量，则|a|＝|b|
C.若a＋b＝0，则向量a，b共线
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
√
√
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答案
对于A，a，b是共线的单位向量，则a＝b或a＝－b，A错误；
对于B，若a，b是相反向量，则|a|＝|b|，B正确；
对于C，a＋b＝0，即a＝－b，则向量a，b共线，C正确；
对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
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答案
6.(2025·遵义模拟)在平行四边形ABCD中，设＝λ＋μ，其中λ，μ∈[0，1]，则下列命题是真命题的是
A.当λ＝μ＝时，点Q为AC的中点
B.当λ＝1时，点Q在线段DC上
C.当点Q在线段AC上时，λ＝μ
D.当λ＋μ＝1时，点Q在对角线BD上
√
√
√
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答案
对于A，当λ＝μ＝)＝，所以点Q为AC的中点，A正确；
对于B，当λ＝1时，＋μ μ，
点Q在线段BC上，B错误；
对于C，点Q在线段AC上时，存在实数m使得＝m＝m＋m，因此λ＝μ＝m，故C正确；
对于D，当λ＋μ＝1时，由＝λ＋μ可知B，D，Q三点共线，故点Q在对角线BD上，D正确.
三、填空题
7.已知在四边形ABCD中，，且||＝||，则四边形ABCD的形状是　　 　　.
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答案
由，可得AB∥CD且AB＝DC，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为||＝||，
所以梯形ABCD的两个腰相等，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
等腰梯形
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答案
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，若＝a，＝b，则
＝　　　 　，＝　　　　　.(用向量a，b表示)
－a＋b
－a＋b
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答案
∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝－＝－＝－a＋b，
∵＝3，∴＝－，
又F为AE的中点，
∴)＝
＝－＝－a＋b.
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答案
四、解答题
9.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
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答案
存在.由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，又a与b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以解得t＝.
故存在实数t＝，使得C，D，E三点在同一条直线上.
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答案
10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则)＝a＋b，
故a＋b，
a＋b－a＝b－a.
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答案
(2)求证：B，E，F三点共线.
因为b－a＝(b－2a)，b－a＝(b－2a)，
所以∥，
又有公共点B，所以B，E，F三点共线.
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答案
11.(2025·芜湖统考)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x＝y(x，y∈R)，则x＋4y的最小值为
A.9 B.4
C.3 D.
√
能力拓展
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答案
由点G是△ABC的重心，＝x＝y≤x≤1，≤y≤1，
得)＝，
由G，M，N三点共线，得＝1，
则x＋4y＝(x＋4y)≥＋2＝3，
当且仅当，即x＝1，y＝时，等号成立.
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答案
12.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是　　　 　.
(1，＋∞)
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答案
因为CO与AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，
所以共线，
设＝m，则m>1，
因为＝λ＋μ，
所以m＝λ＋μ，
可得，
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答案
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因为A，B，D三点共线，
所以＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞).(共72张PPT)
第五章
§5.3　平面向量的数量积
数学
大
一
轮
复
习
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝___________
模 |a|＝_______ |a|＝__________
夹角 cos θ＝_____ cos θ＝______________
a⊥b的充要条件 a·b＝0 _____________
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)若a，b共线，则a·b＝|a||b|.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.
(　　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)
×
×
×
√
2.(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)等于
A.2 B.1 C.0 D.－1
a－b＝(－1，1)，a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.
√
3.已知a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，则a与b的夹角为　　　　.
设a与b的夹角为θ，
因为a＝(1，)，|b|＝2，a·b＝－3，
所以cos θ＝＝－，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，
即a与b的夹角为120°.
120°
4.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝　　　.
因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3×cos ＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝.
返回
微点提醒
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
③a2＋b2＝0 a＝b＝0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·绵阳模拟)在半径为r的☉O中，弦AB的长度为a，则·的值为
A. B. C.ar D.a2
√
平面向量数量积的基本运算
题型一
取线段AB的中点D，得OD⊥AB，
所以||cos A＝||＝||.
所以·＝||||cos A＝||2＝.
(2)(2025·苏州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，动点P在BC边上(包括端点)，则·的取值范围是
A.[0，1] B.[－1，2]
C.[－2，2] D.[－1，1]
√
方法一　设＝a，＝b，
令＝λ，λ∈[0，1]，
∵＝－a＋λb，＝b，
∴·＝b·(－a＋λb)＝－a·b＋λb2
＝－2×2×cos 60°＋4λ＝4λ－2，
∵λ∈[0，1]，∴4λ－2∈[－2，2].
方法二　如图建立平面直角坐标系，△ABC为等边三角形，
A(0，)，D(2，)，
设P(x，0)，x∈[－1，1]，
∵＝(x，－＝(2，0)，
∴·＝2x∈[－2，2].
极化恒等式
微拓展
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”
与“差对角线长”平方差的，即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长
与第三边长的一半的平方差，即·
(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
典例　(1)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·等于
A.－15 B.－13
C.13 D.15
由题意，BF＝AB＝6，CF＝＝10，EF＝CF－CE＝7，
所以·＝||2－||2＝49－36＝13.
√
(2)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是
A.[0，1] B.[0，]
C.[1，2] D.[－1，1]
√
如图所示，当弦MN的长度最大时，弦MN过内切圆的圆心O，
，
圆O的半径为1，
由于P是正方形ABCD的四条边上的动点，
则||∈[1，]，
所以·＝||2－1∈[0，1]，
即·的取值范围是[0，1].
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2等于
A.－2 B.0 C.1 D.2
因为单位向量e1，e2的夹角为120°，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－＝2|e1||e2|cos 120°－＝2×1×1×－12＝－2.
√
(2)(2024·北京模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点P满足＝λ(λ>0)，则·的最大值为　　　.
－
方法一　根据题意，建立以A为原点的平面直角坐标系，如图，
则A(0，0)，C(1，1)，D(0，1)，B(1，0)，
因为＝(1，0)，
＝λ(λ>0)，所以P(λ，0)，
所以＝(λ，－1)，＝(1－λ，1)，
所以·＝λ(1－λ)－1＝－λ2＋λ－1＝－，
所以当λ＝·取得最大值为－.
方法二　如图，取CD的中点O，连接PO，
·＝－·＝－()＝，
又||min＝1，
所以(·)max＝－1＝－.
平面向量数量积的应用
题型二
例2　(2023·新高考全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝　　　.
命题点1　向量的模
方法一　因为|a＋b|＝|2a－b|，
即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝，
即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以|b|＝.
方法二　设c＝a－b，
则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
例3　(2024·太原模拟)已知单位向量a，b满足(a－b)·a＝，则a－2b与b的夹角为
A. B. C. D.
√
命题点2　向量的夹角
由题意可知，|a|＝|b|＝1，
因为(a－b)·a＝a2－a·b＝1－a·b＝，得a·b＝，
所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝3，
即，
又(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－，
可得cos〈a－2b，b〉＝＝－，且〈a－2b，b〉∈，所以a－2b与b的夹角为.
例4　(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
命题点3　向量的垂直
因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.
例5　(2024·郑州模拟)平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为
A.a B.a C.a D.a
√
命题点4　向量的投影
由|a＋b|＝＝＝＝4可得a·b＝，
而b在a上的投影向量为a＝a＝a＝a.
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·黔东南模拟)已知向量a＝(1，0)，b＝(m，2)，b在a方向上的投影向量为2a，则m等于
A.1 B.2 C.3 D.4
由向量a＝(1，0)，b＝(m，2)，可得a·b＝m且＝1，
因为向量b在a方向上的投影向量为2a，可得·＝ma＝2a，所以m＝2.
√
(2)(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|等于
A. B. C. D.1
因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
从而|b|＝.
√
(3)(2025·包头模拟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则向量a与向量a－b的夹角为
A.150° B.120° C.60° D.30°
√
如图，若|a|＝|b|＝|a＋b|，则△OAC为等边三角形，则向量a与向量a－b的夹角为30°.
平面向量的实际应用
题型三
例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是
A.|F1|的最小值为|G|
B.θ的范围为[0，π]
C.当θ＝时，|F1|＝|G|
D.当θ＝时，|F1|＝|G|
√
√
√
由题意知，F1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，
所以|F1|2＝.
当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；
当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.
用向量方法解决实际问题的步骤
思维升华
因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，又F＝(6，24)，
故力F对冰球所做的功为W＝F·＝12.
跟踪训练3　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过
程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为
A.－18 B.18
C.－12 D.12
√
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B C B ACD BCD 1
题号 8 11 12 答案 D ABD
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.
(1)，
)＝，
＝.
(2)由题意可知，||＝＝1，，
所以·＝()·＝·
＝||||·cos ＝×4－×1－×2×1×.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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10.
(1)分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以＝(2，－1)，＝(λ，1)，
因为⊥·＝2λ－1＝0，
所以λ＝.
答案
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10.
(2)当λ＝时，||＝，||＝，
因为·＝2λ－1＝，
所以cos θ＝.
一、单项选择题
1.(2024·潍坊模拟)已知平面向量a与b的夹角是60°，且|a|＝2，b＝(1，2)，则a·(2a－b)等于
A.8＋2 B.4－ C.8－ D.4＋2
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知识过关
答案
√
由b＝(1，2)可得|b|＝，
因为平面向量a与b的夹角是60°，且|a|＝2，
所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos 60°＝8－.
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答案
2.在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S等于
A. B.5 C.10 D.20
√
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答案
因为＝(1，2)，＝(－4，2)，
所以·＝1×(－4)＋2×2＝0，
则AC⊥BD，
又||＝，
||＝＝2，
所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5.
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答案
3.已知向量a＝(－1，2)，向量b满足|a－b|＝2，且cos〈a，b〉＝，则|b|
等于
A. B.3 C.5 D.3
由于向量a＝(－1，2)，可得|a|＝，
由|a－b|＝2，得|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝20，
故5－2×|b|×＋|b|2＝20，得|b|2－2|b|－15＝0，得|b|＝5或|b|＝－3(舍去).
所以|b|＝5.
√
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答案
4.(2025·杭州模拟)已知a，b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为b，则向量a与向量a－b的夹角为
A.30° B.60° C.90° D.120°
√
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答案
因为向量a在向量b上的投影向量为b，a，b是两个单位向量，
所以|a|cos〈a，b〉·b＝b，
所以cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－1×1×，
又|a|＝1，|a－b|＝＝1，
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答案
所以cos〈a，a－b〉＝，
又〈a，a－b〉∈[0，π]，
所以向量a与向量a－b的夹角为，即60°.
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答案
二、多项选择题
5.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|
√
√
√
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答案
根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；
D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，
即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
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答案
6.已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法正确的是
A.若a⊥b，则t的值为－
B.|a＋b|的最小值为1
C.若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是∪
√
√
√
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答案
选项A，a⊥b －2＋t＝0 t＝2，A选项错误；
选项B，|a＋b|＝≥1，当且仅当t＝－1时取等号，B选项正确；
选项C，方法一　|a－b|＝，解得t＝2，C选项正确；
方法二　因为|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0，即a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，C选项正确；
选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b＝t－2<0，且两个向量不能反向共线，当t＝－时，a＝－2b，于是t<2且t≠－，D选项正确.
三、填空题
7.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a＝λe1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，则实数λ＝　　　.
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答案
因为a⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λ＋(λ－4)e1·e2－2＝2λ－2＝0，故λ＝1.
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答案
8.(2025·信阳模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝2，|a－λe|＝1，则|a|的最大值为　　　.
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答案
方法一　∵|a－λe|＝1，
∴|a－λe|2＝(a－λe)2＝|a|2－2λa·e＋(λe)2＝|a|2－4λ＋λ2＝1，
∴|a|2＝－λ2＋4λ＋1＝－(λ－2)2＋5≤5，
∴|a|≤.
方法二　令e＝(1，0)，a＝(x，y)，则a·e＝x＝2，∴a＝(2，y)，
∴a－λe＝(2－λ，y)，
∴＝1，∴y2＝1－(2－λ)2，
∴|a|＝，
当λ＝2时，|a|max＝.
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答案
四、解答题
9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||＝2||＝2，∠BAD＝，E是BC边的中点.
(1)试用表示；
，
)＝，
＝.
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答案
(2)求·的值.
由题意可知，||＝＝1，，
所以·＝()·＝·
＝||||·cos ＝×4－×1－×2×1×.
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答案
10.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，＝λ，BC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥，求实数λ的值；
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答案
分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以＝(2，－1)，＝(λ，1)，
因为⊥·＝2λ－1＝0，
所以λ＝.
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答案
(2)若λ＝，求与的夹角θ的余弦值.
当λ＝时，||＝，||＝，
因为·＝2λ－1＝，
所以cos θ＝.
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答案
能力拓展
11.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把sin θ叫作向量a与b的外积，记作，即sin θ，已知点A(0，1)，B(－1，)，O为坐标原点，则等于
A.0.5 B.－1 C.0 D.1
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答案
因为点A(0，1)，B(－1，＝(0，1)，＝(－1，)，
所以＝1，＝2，
所以cos 〈〉＝＝，
因为〈〉∈〉＝，
所以sin 〈〉＝1×2×sin ＝1.
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答案
12.(多选)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有
A.若＝0，则点O为△ABC的重心
B.若···，则点O为△ABC的垂心
C.若＋2＋3＝0，则△ABC的面积与△ABO的面积之比为3∶1
D.若·＝0，·，则△ABC为等边三角形
√
√
√
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答案
对于A，取AB边的中点D，连接AB边上的中线CD(图略)，则＝2，
又∵＝0，∴2＝0，
∴＝2，
∴O为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由已知可得···()＝·＝0，
即OB⊥CA，∴点O在边AC的高上，
同理可得点O在边AB的高上，点O在边BC的高上，
∴点O是△ABC的垂心，故B正确；
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答案
对于C， 设AC的中点为M，BC的中点为N，
＋2＋3＋2＋2＝2＋4＝0，即＝－2，
∴点O为中位线MN上靠近点N的三等分点，∴＝2，故C错误；
对于D，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E(图略)，
∵方向的单位向量，
∴＝λ(λ>0)，
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答案
返回
∴·＝λ·＝0(λ>0)，
∴⊥，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，△ABC为等腰三角形，
又∵·＝cos B＝，且B∈(0，π)，∴B＝，
∴△ABC为等边三角形，故D正确.

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