资源简介

(共30张PPT)
第一章
必刷小题1　集合、常用逻辑
用语、不等式
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D A A D C D B
题号 8 9 10 11 12 13 答案 C BCD AD AD 4 (0，2) 题号 14 答案 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
一、单项选择题
1.已知集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝，那么A∪B等于
A.(－1，4) B.(－1，4]
C.(－2，5) D.[－2，5)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，
即A＝[－2，4].
由<0，解得－1即B＝(－1，5)，
所以A∪B＝[－2，5).
2.已知直线a，b和平面α，a α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为b∥α，则存在c α使得b∥c且b α，
若a∥b且a α，则a∥c，
又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；
设β∥α，b β，a β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件.
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为B＝{x|x≥1}， RB＝{x|x<1}，
因为( RB)∪A＝A，所以( RB) A，
所以a≥1.
答案
4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是
A.abb－c
C.an>bn D.b(b－c)√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误；
对于B，例如，当a＝2，b＝1，c＝－3时，可得a－b对于C，例如，当a＝2，b＝1，n＝－1时，a－1对于D，由a>b>0>c，可得05.当x>1时，不等式2x＋≥a恒成立的充要条件是
A.a≤2 B.a≤4
C.a≤2＋2 D.a≥2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为当x>1时，不等式2x＋≥a恒成立，故a≤，x>1，
当x>1时，x－1>0，故2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立，故a≤2＋2，
所以“当x>1时，不等式2x＋≥a恒成立”的充要条件是“a≤2＋2”.
6.已知命题p：“ x∈[－1，1]，x2－a>0”，命题q：“ x∈R，x2＋2ax＋4＝0”.若命题p为假命题且命题q为真命题，则实数a的取值范围是
A.a≤－2或a＝1 B.a≤－2或1≤a≤2
C.a≥1 D.a≥2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
依题意 p：“ x∈[－1，1]，x2－a≤0”为真命题，
则 x∈[－1，1]，a≥x2，∴a≥1，
若 x∈R，x2＋2ax＋4＝0，
则Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2.
∵命题 p和命题q都是真命题，
∴a≥2.
7.已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b的最大值为
A.2 B.4 C.8 D.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
a2＋b2＝ab＋4，则有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4，
可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立.
所以a＋b的最大值为4.
8.(2025·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T＝{|a－b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)＝1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}，N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}，则
A.M是规范数集，N不是规范数集
B.M是规范数集，N是规范数集
C.M不是规范数集，N是规范数集
D.M不是规范数集，N不是规范数集
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
集合M＝{－0.1，－1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2－2.5|＝0.5<1，
即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；
集合N＝{－1.5，－0.5，0.5，1.5}中，|－1.5－(－0.5)|＝1，|－0.5－0.5|＝1，|0.5－1.5|＝1，
|－1.5－0.5|＝|－0.5－1.5|＝2，|－1.5－1.5|＝3，
即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.
答案
二、多项选择题
9.已知a>b>c，且ac<0，则
A.ab>bc B.>
C.bc
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为a>b>c，ac<0，所以a>0，c<0，则有>0>，故B正确；
因为b可正，可负，也可以为0，故A错误；
由b>c，c<0，可得bc因为a>b>c，所以－c>－b，所以a－c>a－b>0，所以>，故D正确.
10.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，其中a≠0，若A∪B＝R，A∩B＝{x|3A.a>0
B.关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为
C.a＋b＋c>0
D.bc>10a－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题知A＝{x|x<－2或x>3}，
又A∪B＝R，A∩B＝{x|3所以B＝{x|－2≤x≤5}，故－2，5是ax2＋bx＋c＝0的两个根且a>0，A对；
则 则a＋b＋c＝－12a<0，C错；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由cx2＋bx＋a＝－a(10x2＋3x－1)>0，
得10x2＋3x－1<0，即(5x－1)(2x＋1)<0，
所以解集为，B错；
bc－10a＋1＝30a2－10a＋1＝30>0，即bc>10a－1，D对.
11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列结论正确的是
A.的最小值为4 B.的最小值为
C.的最大值为2 D.a2＋b2的最小值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当，即a＝b＝时等号成立，故A正确；
对于B，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2 ≤，当且仅当a＝b＝，故B不正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于C，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≤ ≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C不正确；
对于D，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≥ a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.
三、填空题
12.已知正数a，b满足＝2，则ab的最小值为　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
4
∵≥2，
∴2≥，即ab≥4，
当且仅当且ab＝4，
即a＝1，b＝4时等号成立，∴ab的最小值为4.
13.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
(0，2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由|x－1|<1，解得0对于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0若a＝1，则q为{x|x＝1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).
14.当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合A＝，B＝{x|x2＝a}.若A与B构成“全食”，则a的取值范围是　　 　　　　；若A与B构成“偏食”，
则a的取值范围是　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
{a|a<0或a＝1}
答案
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由B＝{x|x2＝a}可知，
当a<0时，B＝ ，此时B A；
当a＝0时，B＝{0}，此时A∩B＝ ；
当a>0时，B＝{－}，
又A＝，若A与B构成“全食”，则B A，当a<0时，满足题意；当a＝0时，不满足题意；当a>0时，要使B A，则B＝{－1，1}，即＝1，解得a＝1.综上，若A与B构成“全食”，则a的取值范围是{a|a<0或a＝1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
若A与B构成“偏食”，显然当a≤0时，不满足题意，
当a>0时，由A∩B≠ 且B不包含于A，
所以B＝，解得a＝，
此时a的取值范围是.(共66张PPT)
第一章
§1.5　基本不等式的综合
应用
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握基本不等式及其常见变形.
2.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
4.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
课标要求
例1　(1)若a>1，b>1，且a≠b，则a2＋b2，2ab，a＋b，2中的最大值是
A.a2＋b2 B.2ab
C.a＋b D.2
√
基本不等式的常见变形应用
题型一
因为a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b，
根据基本不等式可知a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，
因为a≠b，所以a2＋b2>2ab，
同理a＋b>2，
综上所述，上述四个式子中的最大值为a2＋b2.
(2)(2024·桂林模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为
A.≥(a>0，b>0)
B.a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
√
由题意知圆O的半径r＝OF＝AB＝，
又由OC＝OB－BC＝－b＝，
在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝，
因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号.
基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤(a，b∈R).
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
思维升华
跟踪训练1　(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.≥ B.≤
C.≤ D.ab≤
√
√
A选项，由选项可知a与b同号，
当a>0且b>0时，由基本不等式可知≥恒成立，
当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项，当a＋b>0时，>0，
则≤0恒成立，
即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b>0时，2ab－≤0，即2ab≤≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－≤0，即2ab≤≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确.
例2　(1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为
A.4 B.6
C.8 D.9
√
与基本不等式有关的恒(能)成立问题
题型二
因为a>0，b>0，≤恒成立，
即m≤＋2恒成立，即m≤，
又因为＋2≥2＋2＝4，
当且仅当，即a＝b时取等号，
所以m≤4，所以m的最大值为4.
(2)若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋A.(－1，2)
B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－2，1)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，
得＝2，
则x＋＝≥＝2，
当且仅当，即y＝4x＝4时取等号，
由不等式x＋得m2－m>2，解得m<－1或m>2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
因为x>－1，x＋1>0，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，
所以x＋有最小值2－1，
因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.
(2)若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
√
当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<，
因为≤，当且仅当x＝(x>0)，即x＝时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，，
故a<.
例3　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为
75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
基本不等式的实际应用
题型三
设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝>75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥－6.
所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝.
当且仅当，即v＝100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为 h.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
思维升华
跟踪训练3　第33届奥运会于2024年7月26日—8月11日在巴黎举行，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润
＝售价－供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得
的总利润是多少万元？
每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
供货单价为50＋＝52(元)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元).
所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元，
单套利润为x－50－＝x－50－，
因为15－0.1x>0，所以0所以单套利润为y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80，
当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号.
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题，借助柯西不等式可以达到事半功倍的效果.
1.二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
柯西不等式
微拓展
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(3)(a＋b)(c＋d)≥()2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
3.推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(＋…＋＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立).
典例　(1)已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为　　　.
　
(x＋3y)2≤(4x2＋y2)，
所以4x2＋y2≥16×，
当且仅当y＝12x且x＋3y＝4，即x＝，y＝时等号成立，所以4x2＋y2的最小值为.
(2)函数y＝5的最大值为　　　　.
由题意得解得1≤x≤5，
y2＝(5)2＝(5·)2≤(52＋2)(x－1＋5－x)＝108，当且仅当x＝<5时等号成立，所以y≤6.
　6
返回
课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B C ABC ABD 1
题号 8 11 12 答案 C 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因为x>1，
所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，
即x＝4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，
解得－7≤a≤1，
所以a的取值范围是[－7，1].
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由题意可得W(x)＝
所以W(x)＝
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)当0W(x)＝－2x2＋140x－400，
当x＝35时，W(x)取最大值，
W(35)＝2 050(万元)；
当40W(x)＝－x－＋1 700＝－＋1 700≤－2＋1 700
＝1 580，
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当且仅当x＝60时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，
所获年利润最大，
最大年利润为2 050(万元).
10.
一、单项选择题
1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.13 B.12 C.9 D.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知识过关
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
2.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a5＝b6，则
A.a3＋a7≤b4＋b8 B.a3＋a7≥b4＋b8
C.a3＋a7≠b4＋b8 D.a3＋a7＝b4＋b8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a3＋a7≥2＝2＝2a5＝2b6＝b4＋b8，当且仅当a3＝a7，即数列{an}的公比为1时取等号，所以a3＋a7≥b4＋b8.
答案
√
3.已知a，b为正实数，则“≤2”是“ab≤16”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由a，b为正实数，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，
若ab≤16，可得≤≤＝2，故必要性成立；
当a＝2，b＝10，此时≤2，但ab＝20>16，故充分性不成立.
因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件.
4.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c＝4，则此三角形面积最大时，A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
则S＝≤×＝4，
当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.
二、多项选择题
5.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为
A. B. C.3 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由x>0，y>0，得xy>0，
≤x＋2y恒成立，
即≤恒成立，
又(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
故≤9，即－9＝≤0，
即
解得m<1或m≥.
6.(2024·中山模拟)设a>0，b>0，已知M＝，N＝，则下列说法正确的是
A.M有最小值 B.M没有最大值
C.N有最大值为 D.N有最小值为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
a>0，b>0，M＝≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，M有最小值，无最大值，故A正确，B正确；
又a>0，b>0，≤≤，所以N＝≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故C错误，D正确.
三、填空题
7.(2025·南京模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为_______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
∵正实数x，y满足x＋y＝2，
∴xy≤＝1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝≥.
所以≤cos B<1，
又y＝cos x在区间(0，π)上单调递减，
所以0答案
四、解答题
9.已知函数f(x)＝x＋(x>1).
(1)求f(x)的最小值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因为x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a的取值范围是[－7，1].
10.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，
且G(x)＝由市场调研知，该产品每台的
售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由题意可得W(x)＝
所以W(x)＝
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
当0当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(万元)；
当40＋1 700＝1 580，
当且仅当x＝60时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050(万元).
11.(2024·德阳模拟)设双曲线＝1(a>0)的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e等于
A. B.2 C. D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
能力拓展
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
双曲线＝1(a>0)的离心率为e＝，
e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，
当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，
此时e＝.
12.(2025·昆明模拟)已知正实数a，b满足ea－≥e1－b－，则a2＋b2的最小值为　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为函数f(x)＝ex－在R上单调递增，
由f(a)≥f(1－b)，则a≥1－b，即a＋b≥1.
因为a>0，b>0，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2(a＋b)2≥，
当且仅当a＝b＝时，a2＋b2取得最小值.(共63张PPT)
第一章
§1.3　等式性质与不等式
　　　性质
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R).
>
<
＝
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么_______.
b＝a
a＝c
3.不等式的性质
性质1　对称性：a>b ；
性质2　传递性：a>b，b>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，则b×
√
×
×
2.(多选)下列命题为真命题的是
A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2
C.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误.
√
√
3.设M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，则有
A.MC.M>N D.无法确定
√
因为M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，
所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝>0，所以M>N.
4.若实数a，b满足0(－1，2)
∵01.a>b，ab>0 <.
2.若a>b>0，m>0，则：<；>.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是
A.x2－2x>－3(x∈R) B.≥(a>0，b>0)
C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0)
√
数(式)的大小比较
√
√
题型一
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
，又a，b均为正实数，∴a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0，∴≥，故B正确；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
用作差法比较，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正确.
(2)若a>0，b>0，则p＝与q＝abba的大小关系是
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p√
由题知p>0且q>0，，
若a>b>0，则>1，a－b>0，
∴>1，即p>q；
若b>a>0，则0<<1，a－b<0，
∴>1，即p>q；
若a＝b，则＝1，∴p＝q，
综上，p≥q.
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是
A.x>y B.x＝y
C.x√
由题设，易知x>0，y>0，又<1，∴x(2)已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是　　　　.
M>N
因为M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0，
所以M－N>0，即M>N.
例2　(1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a，b，c，d满足aA.a＋cC.a2d2>b2c2 D.>
√
不等式的基本性质
题型二
√
√
由a当a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2时，满足a由ab2>0，d2>c2>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正确；
由a－b>0，d>c>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc，
两边同除以正数－bd得>，故D正确.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；
对于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正确；
对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误；
对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确.
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·西安模拟)已知a>b，c>d>0，则
A.< B.a－c>b－d
C.> D.<
√
对于A，，因为c>d>0，所以d－c<0，所以<0，即<，故选项A正确；
对于B，a>b，c>d>0，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，则a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，a>b，c>d>0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，则，故选项C错误；
对于D，a>b，取a＝1，b＝－1，则>，故选项D错误.
(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误；
对于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确；
对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<<，
等价于>，等价于ac>bd，故C正确；
对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
则ac＋bd>ad＋bc，故D正确.
例3　(1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x，y满足1A.3C.2√
不等式性质的综合应用
题型三
√
因为2因为2因为1因为2所以<<6，故D正确.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2
(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定
√
原来公园的绿化率为，
则，
所以的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5)
C.[4，7] D.(5，8)
√
由题意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
√
设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，
则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为，
∵a>b>0，∴>0，即该手机“屏占比”和升级前比变大.
返回
课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B D A AB AC
题号 8 11 12 答案 ≥ C [－7，2] 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵y＝在定义域R上单调递减，∴0<<1，
又∵二次函数y＝ax2＋bx顶点的横坐标x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范围为(0，1).
9.
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2)∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，
∴a>b>0或ab>0时，
a3＋b3>a2b＋ab2；
②当aa3＋b39.
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，则<.
(2)∵a>b>0，c－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
则＝＝>0，
∴>.
10.
11
12
一、单项选择题
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小关系不确定
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
知识过关
答案
因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a11
12
2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.
答案
√
11
12
3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列结论一定正确的是
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由题知a>b>c且a＋b＋c＝0，则有a>0，c<0，b>c，则bcb－c>0，因为b与0的大小关系未知，不能确定>0，B选项错误；
a>c，当b＝0时，ab2＝cb2，C选项错误；
a－b>0，c<0，<0，D选项正确.
答案
11
12
4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
根据题意得
显然d>b，d>c，②＋①可得a>d，
由②－①可得b>c，
故a>d>b>c，
即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
11
12
二、多项选择题
5.已知c>b>a，则下列结论正确的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
对于选项A，因为c>b>a，所以c＋b>2a，故选项A正确；
对于选项B，因为c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故选项B正确；
对于选项C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，满足c>b>a，此时＝－2，＝－<，故选项C错误；
对于选项D，当c＝1，b＝－1，a＝－2时，＝2，＝－>，故选项D错误.
11
12
6.(2025·洛阳联考)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确；
由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误；
因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确；
因为1≤a2b2≤16，≤≤≤ab3≤4，D错误.
11
12
三、填空题
7.已知0<β<α<，则α－β的取值范围是　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
11
12
8.已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1　　　ab＋2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
≥
由题知，
－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝＋(a－1)2
≥0，当且仅当a＝1且b＝2时，取等号.
11
12
四、解答题
9.(2024·岳阳联考)已知指数函数y＝在定义域内单调递减，二次函数y＝ax2＋bx的图象顶点的横坐标为x0.
(1)求2x0＋1的取值范围；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵y＝在定义域R上单调递减，
∴0<<1，
又∵二次函数y＝ax2＋bx顶点的横坐标x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范围为(0，1).
11
12
(2)比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，∴a>b>0或a①当a>b>0时，a3＋b3>a2b＋ab2；
②当a11
12
10.证明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求证：<；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，则<.
11
12
(2)已知a>b>0，c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
则＝>0，
∴>.
11
12
11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
能力拓展
11
√
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
11
由已知及三角形三边关系得
所以
两式相加得0<<4，
所以0<<2.
12.已知实数x，y满足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，则3x－4y的取值范围为　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
11
[－7，2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
答案
设3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)，m，n∈R，则
解得
所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)，
因为－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，
所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，
所以－7≤3x－4y≤2.
返回
11(共67张PPT)
第一章
§1.2　常用逻辑用语
数学
大
一
轮
复
习
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的充分不必要条件 ___________
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的 条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分
p q且q p
充要
必要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.


名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 _______________ _____________
3.全称量词命题和存在量词命题
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2”是真命题.(　　)
×
√
√
√
2.(2025·南通模拟)命题“ x∈R，2x2－3x＋4>0”的否定为
A. x∈R，2x2－3x＋4≤0 B. x∈R，2x2－3x＋4>0
C. x R，2x2－3x＋4≤0 D. x∈R，2x2－3x＋4≤0
√
命题“ x∈R，2x2－3x＋4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是“ x∈R，2x2－3x＋4≤0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
4.设p：1≤x≤4，q：x由p是q的充分条件，且p：1≤x≤4，q：x可得{x|1≤x≤4}是{x|x所以m>4.
1.谨记两个常用结论
(1)p是q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充分不必要条件.
(2)命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·福州模拟)设直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0，l2：2x＋ay－2a－1＝0，则“a＝0”是“l1∥l2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
充分、必要条件的判定
题型一
因为l1∥l2，则a(a＋1)＝2a2，解得a＝0或a＝1.
若a＝0，则l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，两直线平行，符合题意；
若a＝1，则l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，两直线重合，不符合题意.
综上所述，l1∥l2等价于a＝0.
所以“a＝0”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)(2024·北京)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，
即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，
当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，
|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，
故充分性不成立；
当a＝－b或a＝b时，
(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立.
所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件.
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·海口市海南中学模拟)“θ＝＋2kπ”是“cos θ＝”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
若θ＝＋2kπ，则cos θ＝cos＝cos ＝，k∈Z，充分性成立；
若cos θ＝，则θ＝＋2kπ或θ＝－＋2kπ，k∈Z，必要性不成立，所以“θ＝＋2kπ”是“cos θ＝”的充分不必要条件.
(2)(2024·山东联考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.设甲：d>0；乙：{Sn}是递增数列，则甲是乙的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
若公差d>0，如数列－10，－9，－8，－7，…，0，1，2，…，则数列的前n项和Sn先减后增；
若{Sn}是递增数列，如Sn＝n，则an＝1，{an}为常数列也为等差数列，且d＝0；
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.
充分、必要条件的应用
题型二
(－∞，1)
(－∞，1]
因为p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1，
即实数a的取值范围是(－∞，1).
若p是q的必要条件，则(－∞，a] (－∞，1]，
因此a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a为实数).若 q的一个充分不必要条件是 p，则实数a的取值范围是　　　　　　.
[1，＋∞)
由已知得 p：－3≤x≤1， q：x≤a.
设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，
若 p是 q的充分不必要条件，则 p q， q p，
所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
由>1可得x(x－1)<0，解得0记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0].
(2)设p：0≤x≤2，q：m－1≤x≤m＋2.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　.
[0，1]
p：0≤x≤2，q：m－1≤x≤m＋2.若p是q的充分不必要条件，
则
且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1.
例3　(多选)下列说法正确的是
A.“菱形是正方形”是全称命题
B.“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
√
命题点1　含量词的命题的否定
全称量词与存在量词
题型三
√
对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称命题，故A正确；
对于B，由全称命题的否定知其否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误；
对于D，因为A＝B时，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B时，A＝B不一定成立，如A＝，B＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，故D错误.
命题点2　含量词的命题的真假判断
例4　(多选)下列命题中，为真命题的是
A. x∈R，2x－1>0
B. x∈R，x2＋1<2x
C. xy>0，x＋y≥2
D. x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
√
√
对于A项， x∈R，2x－1>0，A项正确；
对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B项错误；
对于C项，当x<0，y<0时，x＋y<0<2，C项错误；
对于D项，取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D项正确.
例5　(2025·台州模拟)若命题“ x∈R，x2－x－m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是　　 　　.
命题点3　含量词的命题的应用
方法一　原命题的否定“ x∈R，x2－x－m＝0”为真命题，
∴Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－，
∴实数m的取值范围是.
方法二　若命题“ x∈R，x2－x－m≠0”是真命题，
则Δ＝1＋4m<0，解得m<－，
故当原命题为假命题时，m≥－，
∴实数m的取值范围是.
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
√
对于命题p，取x＝－1，
则有|x＋1|＝0<1，
故p是假命题， p是真命题，
对于命题q，取x＝1，
则有x3＝13＝1＝x，
故q是真命题， q是假命题，
综上， p和q都是真命题.
(2)已知命题“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　 　　.
(－∞，－4]
由题意得，“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命题，则a≤－x2＋3x对 x∈[－1，2]恒成立，在区间[－1，2]上，－x2＋3x的最小值为
－(－1)2＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a的取值范围是(－∞，－4].
返回
课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D C D B C BC
题号 8 9 10 11 答案 BC BCD 存在一个素数不是奇数 (－∞，1] 题号 12 13 14 答案 [0，4) C [5，6) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
一、单项选择题
1.“x<0”是“＝－x”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
＝－x x≤0，因为x<0 x≤0，但x≤0 x<0，所以“x<0”是“＝－x”的充分不必要条件.
2.(2024·天津模拟)命题“ m∈N，∈N”的否定是
A. m∈N，∈N B. m N， N
C. m∈N， N D. m∈N， N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
由命题否定的定义得存在量词命题“ m∈N，∈N”的否定是“ m∈N， N”，故D正确.
3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
若棱柱的相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满足必要性.故“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件.
答案
4.下列叙述错误的是
A.命题“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”
B.若幂函数y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的
　值为－1
C. x∈(0，＋∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>”的充分不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A，命题“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”，A正确；
对于B，由解得m＝－1，B正确；
对于C，当x>0时，函数y＝2x的图象在直线y＝x上方，函数y＝log2x的图象在直线y＝x下方，则2x>log2x，C正确；
对于D，由a2>3，得a<－或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分条件，D错误.
5.(2024·玉林统考)已知命题p： x∈[1，2]，x2＋ax－2>0，则命题p的一个必要不充分条件是
A.a<－1 B.a>－2
C.a>1 D.a>2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为 x∈[1，2]，x2＋ax－2>0，所以a>－x＋在x∈上恒成立，
只需y＝－x＋在[1，2]上的最大值小于a，
因为y＝－x＋在[1，2]上单调递减，故当x＝1时，y＝－x＋在[1，2]上取最大值1，所以a>1.则结合选项可得命题p的一个必要不充分条件是a>－2.
6.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－＝，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即＝＝为常数，设为t，即＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
则＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
二、多项选择题
7.下列既是存在量词命题又是真命题的是
A. x∈R，|x|<0
B. x∈Z，cos x＝－1
C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，即|x|≥0，所以A是假命题；
选项B为存在量词命题，当x＝2时，满足cos＝cos π＝－1，所以B既是存在量词命题又是真命题；
选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；
选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.
答案
8.下列说法正确的是
A.命题“ x≥1，x2>1”的否定是“ x<1，x2≤1”
B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”
的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是“ab>0”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A，命题的否定是“ x≥1，x2≤1”，故A错误；
对于B，若a>0且Δ＝b2－4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0且Δ＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正确；
对于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D错误.
答案
9.下列说法正确的为
A.“ x>0，ln x>0”为真命题
B.若“ x∈R，sin xC.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充
　分不必要条件，则实数a的取值范围是a>4
D.已知p：0值范围为m≥6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
对于A，当0对于B，“ x∈R，sin x－1，故B正确；
对于C，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，C正确；
对于D，由p是q的充分条件得p q，即 x∈(0，1]，4x＋2x－m≤0恒成立，令t＝2x，t∈(1，2]，则m≥t2＋t对于t∈(1，2]恒成立，又y＝t2＋t＝
∈(2，6]，则m≥6，D正确.
三、填空题
10.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：_________
　 　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
存在一个
因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
素数不是奇数
11.(2025·连云港模拟)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥b－a}，若“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，则实数b的取值范围为　 　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
(－∞，1]
若A∩B＝A，则A B，则b－a≤－1，即b≤a－1，
要使“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，只需b≤2－1＝1，所以实数b的取值范围为(－∞，1].
12.已知命题“ x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
[0，4)
由题意得原命题的否定“ x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，
即不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立.
①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；
②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，
则解得0综上，实数a的取值范围是[0，4).
13.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”
C.“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要
条件
D.“cos2α＋sin2β＝1”的充要条件是“α＝β”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
能力拓展
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>－2，而12<(－2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(－2)2>12，而－2<1，即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此它的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”，B错误；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
对于D，当α＝，β＝时，cos2α＋sin2β＝1成立，因此cos2α＋sin2β＝1成立，不一定有α＝β，D错误；
对于C，当ω＝π时，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2时，ω＝π或ω＝－π.
所以“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C正确.
答案
14.(2024·河南省学校联盟联考)已知p：≥1，q：x>1，r：a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
[5，6)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由≥1得≥0，解得6≤x<10，即p：6≤x<10.
记p，q，r中x的取值构成的集合分别为A，B，C，则A＝{x|6≤x<10}，B＝{x|x>1}，C＝{x|a由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，则A是C的真子集，
C是B的真子集，则解得5≤a<6，
即实数a的取值范围是[5，6).
返回(共65张PPT)
第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 _______________ _____________ _____
{x|xx2}
R
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
×
×
√
×
2.(2024·保山模拟)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.若关于x的不等式－x2＋ax－7≤0恒成立，则a的取值范围为
A.(－)
B.
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－∞，－]∪[，＋∞)
√
由题意得Δ＝a2－4××(－7)≤0，
解得－≤a≤.
因此，实数a的取值范围是.
4.若关于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为　　　.
－3
根据题意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的两根为3和4，
故有解得m＝－3.
避免三种失误
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是 .
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(多选)下列选项中，正确的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
求解一元二次不等式
√
√
题型一
命题点1　不含参的不等式
由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤
x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1例2　解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0.
命题点2　含参的不等式
原不等式可化为(ax－4)(x－1)<0，
所以当a＝0时，解得x>1；
当0当a＝4时，不等式无解；
当a>4时，解得当a<0时，不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1，
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝4时，不等式的解集为 ；
当a>4时，不等式的解集为；
当a<0时，不等式的解集为.
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
思维升华
跟踪训练1　解关于x的不等式：
(1)>1；
因为>1 －1>0 >0 >0 <0
(3x－1)(2x＋1)<0 －所以原不等式的解集为.
(2)x2－ax－2a2>0.
不等式x2－ax－2a2>0可化为(x－2a)(x＋a)>0，
当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a；
当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0，
当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a.
综上所述，当a<0时，
解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；
当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞).
例3　(1)(多选)(2024·龙岩模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－3，1)，则下列结论正确的是
A.b<0且c>0
B.9a－3b＋c<0
C.关于x的不等式ax－b<0的解集是(2，＋∞)
D.关于x的不等式ax2－bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)
√
三个二次之间的关系
题型二
√
√
对于A项，由题意可知，a<0，－3和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得－3＋1＝－，－3×1＝，所以b＝2a<0，c＝－3a>0，故A项正确；
对于B项，因为－3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以9a－3b＋c＝0，故B项错误；
对于C项，由A项知ax－b<0，即ax－2a<0，即a(x－2)<0，因为a<0，解得x>2，故C项正确；
对于D项，不等式ax2－bx＋c<0即ax2－2ax－3a<0，化简得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，故D项正确.
(2)已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0有两正根x1，x2，则的最小值为　　　　.
18
依题意有
解得k≥6，
∴＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2－2(k＋3)＝(k－1)2－7，
∵k≥6，∴当k＝6时，()min＝18.
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
思维升华
跟踪训练2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根，
由
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(2025·连云港模拟)已知方程x2－2ax＋a2－4＝0的一个实根小于2，另一个实根大于2，则实数a的取值范围为　　　　.
(0，4)
设f(x)＝x2－2ax＋a2－4，
因为方程x2－2ax＋a2－4＝0的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足f(2)＝a2－4a<0，解得0即实数a的取值范围为(0，4).
例4　(1)若对于一切实数x，不等式mx2－3mx－2<0恒成立，求m的取值范围；
一元二次不等式恒成立问题
题型三
要使mx2－3mx－2<0恒成立，
若m＝0，显然－2<0恒成立，满足题意；
若m≠0，则解得－综上，m的取值范围是.
(2)当x∈(0，4)时，不等式x2＋mx＋4>0恒成立，求m的取值范围.
当x∈(0，4)时，x2＋mx＋4>0恒成立，
即－m<恒成立，
又＝x＋≥2＝4，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
∴－m<4，即m>－4，
∴m的取值范围是(－4，＋∞).
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
思维升华
跟踪训练3　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈[－1，1]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围；
由题意得，f(x)<－m＋5在[－1，1]上恒成立，
即m(x2－x＋1)<6在[－1，1]上恒成立，
∵x2－x＋1＝≥对一切实数恒成立，
∴m<在[－1，1]上恒成立，
∵函数y＝x2－x＋1在上单调递增，∴ymax＝1＋1＋1＝3，
∴在[－1，1]上的最小值为2，
∴m<2.
故m的取值范围为(－∞，2).
(2)若对于m∈[－2，2]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范围.
∵mx2－mx－1<－m＋5对于m∈[－2，2]恒成立，
∴m(x2－x＋1)－6<0对于m∈[－2，2]恒成立，
∴
解得－1故x的取值范围为(－1，2).
返回
课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B D BCD ABD (1，3]
题号 8 11 12 答案 (－2，3) AD 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x－3，f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}.
(2)f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
则二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∵f(3)＝3a－3，f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，转化为f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故实数a的取值范围为[1，＋∞).
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以
解得
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m10.
一、单项选择题
1.(2025·威海模拟)设集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知识过关
答案
由题意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1√
2.若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是
A.{a|－1≤a<2} B.{a|－1C.{a|－11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；
当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1综上，－1故a的取值范围为{a|－1答案
√
3.关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于－1，另一个根大于1，则a的取值范围是
A.(－2，1) B.(－2，0)
C.(0，1) D.(－2，－1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
由题意知
即
所以－24.当x∈(－1，1)时，不等式2kx2－kx－<0恒成立，则k的取值范围是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
当k＝0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令f(x)＝2kx2－kx－，则f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x＝，
当k>0时，f(x)在上单调递增，
则有解得01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
当k<0时，f(x)在上单调递减，
则有f <0，解得－3综上可知，k的取值范围是.
二、多项选择题
5.对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为
A.R B.(－1，a)
C.(a，－1) D.(－∞，－1)∪(a，＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
根据题意，易知a≠0.
当a>0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为
(－∞，－1)∪(a，＋∞).
当a<0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为 ；
若－1若a<－1，则不等式的解集为(a，－1).
6.已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A.x1＋x2＋2＝0 B.x1x2＋3<0
C.<4 D.x1<－3，x2>1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1所以a<0，且x1，x2是方程ax2＋2ax＋2－3a＝0的两根，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，
所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，B正确；
又因为＝2>4，故C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
作出y＝a(x－1)(x＋3)和y＝－2的图象，则x1，x2为
两函数图象交点的横坐标，
由图象可知x1<－3，x2>1，故D正确.
三、填空题
7.不等式≥3的解集是　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(1，3]
由题设－3＝≥0，则解得x∈(1，3].
8.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4).那么原不等式的解集为　　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
(－2，3)
依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集为(－2，3).
四、解答题
9.已知函数f(x)＝ax2－2ax－3.
(1)若a＝1，求不等式f(x)≥0的解集；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
当a＝1时，f(x)＝x2－2x－3，
f(x)≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，
∴不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}.
(2)已知a>0，且f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
f(x)＝ax2－2ax－3＝a(x－1)2－a－3(a>0)，
则二次函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1，
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∵f(3)＝3a－3，
f(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，转化为f(3)≥0，
∴3a－3≥0，解得a≥1，
故实数a的取值范围为[1，＋∞).
10.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以解得
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m11.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
能力拓展
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
关于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
当k＝1时，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1时，(x－1)(x－k)<0的解满足1要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
当k<1时，(x－1)(x－k)<0的解满足k要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
综上，k的可能取值为－1，3.
12.若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实根，满足题意；
当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，
关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，设根为x1，x2，
当Δ＝4－8m＝0，即m＝x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意；
当Δ＝4－8m>0，即m<，且m≠0时，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
若有一个负实根，则x1x2＝<0，解得m<0，
若有两个负实根，则
解得0综上所述，实数m的取值范围是.
返回(共70张PPT)
第一章
§1.4　基本不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.
(3)其中_______叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数.
a＝b
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最
大值____.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2
S2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤≤等号成立的条件是相同的.(　　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　)
×
×
×
√
2.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
√
当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.
3.已知0A. B. C. D.1
√
因为00，
所以x(1－x)≤，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，
故x(1－x)的最大值为.
4.(2025·滨州模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为　 　.
9
由题意得a>0，b>0且a＋b＝1，
所以(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当，即a＝2b＝时等号成立.
所以的最小值为9.
谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)(2025·广州模拟)下列代数式中最小值为2的是
A.x＋ B.2x＋2－x
C.y＝|sin x|＋ D.
√
直接法求最值
题型一
√
选项A中，当x<0时，函数y＝x＋<0，不符合题意；
选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意；
选项C中，在y＝|sin x|＋中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋≥
2＝2，当且仅当|sin x|＝1时，等号成立，满足题意；
选项D中，≥2＝2，当且仅当时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意.
(2)(2025·青岛统考)若1≤x≤4，则的最大值为
A.4 B.
C.2 D.2
√
因为1≤x≤4，所以6－x>0，x＋2>0，
所以≤＝4，
当且仅当6－x＝x＋2，即x＝2时取等号，
所以的最大值为4.
对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥ 成立的前提条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.
思维升华
跟踪训练1　(1)函数y＝(x>0)的最大值为
A.－3 B. C.3 D.1
√
因为x>0，所以y＝≤＝3，
当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，故原函数的最大值为3.
(2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为
A.1 B. C.2 D.2
√
由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2，
当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时等号成立，x2＋2y2取得最小值2.
例2　(1)已知0A. B. C. D.
配凑法求最值
题型二
√
x≤×，
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时取等号.
(2)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为
A.6 B.8 C.10 D.12
√
因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0，
则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8，
当且仅当即x＝时，等号成立，
故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8.
延伸探究　在例2(2)中，若把“x∈(－1，＋∞)”改为“x∈(－∞，
－1)”，求f(x)的最大值.
∵x∈(－∞，－1)，
∴x＋1<0，∴－(x＋1)>0，
∴f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4
＝－－4≤－2－4
＝－2×6－4＝－16，
当且仅当－4(x＋1)＝，即x＝－时取等号.
∴当x＝－时，f(x)max＝－16.
如图，
对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞).
(1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝
＝2；
(2)当(3)当>b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
微拓展
典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.
　
由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，
即当x＝0时，f(x)min＝.
配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·哈尔滨模拟)已知x<0，y<0，且2x＋y＝－2，则4x＋2y的最小值为
A.1 B.
C.2 D.2
√
因为x<0，y<0，所以4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝1，当且仅当22x＝2y，即2x＝y＝－1时，等号成立，所以4x＋2y的最小值为1.
(2)(2025·海口模拟)设x<2，则关于函数y＝2x－1＋，下列说法正确的是
A.最小值为7 B.最小值为－1
C.最大值为7 D.最大值为－1
√
因为x<2，所以2－x>0，
所以y＝2x－1＋＝2(x－2)＋＋3＝－＋3，
因为2(2－x)＋≥2＝4，
当且仅当2(2－x)＝，即x＝1时等号成立，
故－＋3≤－4＋3＝－1，
所以函数y＝2x－1＋有最大值为－1.
例3　(1)已知正数x，y满足x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值是
A.6 B.16
C.20 D.18
√
常数代换法求最值
题型三
因为正数x，y满足x＋8y＝xy，即＝1，
则x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18，
当且仅当，即x＝12，y＝3时等号成立.
(2)(2025·无锡模拟)已知x，y均为正实数，且，则x＋y的最小值为
A. B.1
C.19 D.24
√
因为x，y均为正实数，且，
则x＋y＝(x＋2)＋(y＋3)－5＝6[(x＋2)＋(y＋3)]－5
＝6－5，因为>0，>0，
所以6－5≥6－5＝19，
即x＋y≥19，当且仅当
即时，等号成立.
所以x＋y的最小值为19.
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
思维升华
跟踪训练3　(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是
A.＝1 B.ab的最大值为4
C.2a＋b的最小值为3＋2 D.的最小值为2
√
√
√
因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正确；
对于B，因为ab＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2，ab≥4，
所以ab的最小值为4，B错误；
对于C，(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2(当且仅当a＝1＋，b＝1＋时取等号)，C正确；
对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确.
例4　(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a2＋b2≥32 D.a＋3b≥4＋6
√
构造不等式法求最值
题型四
√
√
对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，解得t≥8或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2，
当且仅当a＝b时等号成立，
不妨设＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，a2＋b2≥2ab，又由B项知ab≥16，所以a2＋b2≥2ab≥32，当且仅当a＝b时等号成立，故C项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝，则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6＝3(b－1)时取等号，即b＝＋1，a＝3＋1时，a＋3b有最小值4＋6，故D项正确.
若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值.
思维升华
跟踪训练4　若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x2＋y2的最大值为　　　，x＋y的最大值为　　　.
2
2
x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以x2＋y2的最大值为2；
x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝1时右边取等号，所以x＋y的最大值为2.
返回
课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B D BD ACD 15
题号 8 11 12 答案 C B 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0即0<≤3，
所以09.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，02(x＋2)＋－5≥2－5＝11，
当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号，
所以2x＋y的最小值为11.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)因为x，y都是正数，
则2x＋3y≥2＝2，即2≤3，
解得xy≤，当且仅当2x＝3y，
即时取等号，
所以xy的最大值为.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)已知x，y都是正数，且x>y，
令x－y＝m，2y＝n，
所以m>0，n>0，＝2，
所以x＋y＝m＋n＝(m＋n)·＝≥×(2＋2)＝2，
当且仅当m＝n＝1，即x＝，y＝时，取等号，所以x＋y的最小值为2.
10.
一、单项选择题
1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
A.9 B.18 C.9 D.27
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知识过关
答案
因为m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，
所以m＋n的最小值是18.
2.(2025·滨州模拟)已知a2＋b2＝5，则的最小值为
A.9 B.7 C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为a2＋b2＝5，所以(a2＋b2)×≥，
当且仅当且a2＋b2＝5，
即b2＝，a2＝.
答案
√
3.函数f(x)＝(x>1)的最小值为
A.2 B.3＋2
C.2＋2 D.5
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为x>1，所以x－1>0，
所以f(x)＝
＝(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号，
所以函数f(x)＝(x>1)的
最小值为3＋2.
4.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为
A.4 B.2 C.3 D.1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，
所以≤＝1，
当且仅当(x>0，y>0)，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1.
二、多项选择题
5.下列说法正确的是
A.函数y＝ln x＋的最小值是4
B.函数y＝x＋(x<0)的最大值是－4
C.函数y＝的最小值是2
D.若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值是8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A选项，由于ln x可能小于0，即y＝ln x＋的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故A错误；
B选项，对于函数y＝x＋(x<0)，
x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立，故B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C选项，y＝≥2＝2，但无实数解，所以等号不成立，所以最小值为2不成立，故C错误；
D选项，由基本不等式得≥，所以x2＋y2≥2＝2×22＝8，当且仅当x＝y＝2时等号成立，故D正确.
6.(2024·重庆统考)已知x，y都为正数，且x＋2y＝4，则下列说法正确的是
A.2xy的最大值为4 B.x2＋4y2的最小值为12
C.的最小值为 D.的最大值为2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由题意知正数x，y满足x＋2y＝4.
对于A，2xy＝x·2y≤＝4，当且仅当x＝2y＝2时取等号，A正确；
对于B，x2＋4y2＝≥(x＋2y)2＝8，当且仅当x＝2y＝2时取等号，B错误；
对于C，(x＋2y)≥，当且仅当x＝y＝时取等号，C正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
对于D，≤＝2，当且仅当x＝2y＝2时取等号，D正确.
三、填空题
7.设x>2，则函数y＝4x－1＋的最小值为　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
15
因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝4x－1＋＝4(x－2)＋＋7≥2＋7＝15，
当且仅当4(x－2)＝，即x＝3时等号成立，
所以函数y＝4x－1＋的最小值为15.
8.已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
　
因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
则2x＋y＝＋y＝≥2，
当且仅当，即y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是.
四、解答题
9.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0所以0(2)2x＋y的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号，
所以2x＋y的最小值为11.
10.已知x，y都是正数.
(1)若2x＋3y＝3，求xy的最大值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为x，y都是正数，
则2x＋3y≥2＝2，即2≤3，
解得xy≤，当且仅当2x＝3y，
即时取等号，所以xy的最大值为.
(2)若＝2，且x>y，求x＋y的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
已知x，y都是正数，且x>y，
令x－y＝m，2y＝n，
所以m>0，n>0，＝2，
所以x＋y＝m＋n＝(m＋n)·＝≥×(2＋2)＝2，
当且仅当m＝n＝1，即x＝，y＝时，取等号，所以x＋y的最小值为2.
11.正数a，b满足a>b，ab＝4，则的最小值为
A.2 B.3 C.4 D.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
由题意得a>0，b>0，a－b>0，则＝a－b＋≥2＝4，
当且仅当a－b＝2且ab＝4，即a＝＋1，b＝－1时，等号成立.
能力拓展
√
12.(2024·山东济南实验中学模拟)已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为
A.24 B.25
C.6＋4 D.6－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
因为x，y为正实数，且x＋y＝1，
所以(x＋y)＝13＋≥13＋2＝25，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为25.
返回(共61张PPT)
第一章
§1.1　集　合
数学
大
一
轮
复
习
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3.会求两个集合的并集、交集与补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.
(3)集合的表示法： 、 、 .
(4)常见数集的记法
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ____ N*(或N＋) ____ ____ ____
N
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 (或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作 (或B A).
(3)相等：若A B，且 ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是 的子集，是 的真子集.
A B
B A
任何集合
任何非空集合
A B
3.集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 __________________ ______
交集 _________________ ______
补集 __________________ _____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
2.(2025·榆林模拟)设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)
≥0}，则A∩( RB)等于
A.{－2，－1，0} B.{－1，－2}
C.{0，1，2} D.{1，2}
√
因为 RB＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1所以A∩( RB)＝{0，1，2}.
3.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x≤1}，则
A.A＝B B.A∩B＝
C.B A D.A B
√
因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A中元素都属于B，且A≠B，所以A是B的真子集.
4.已知集合M＝{x|－1(－∞，－1]
因为M∩N＝M，所以M N，所以a≤－1.
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B A∩B=A A B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是
A.M={3，－1}，P={(3，－1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2＋1，x∈R}，P={x|x=t2＋1，t∈R}
D.M={y|y=x2－1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2－1，x∈R}
√
集合的含义与表示
√
√
题型一
选项A中，M={3，－1}是数集，P={(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M={y|y=x2＋1，x∈R}=[1，＋∞)，P={x|x=t2＋1，t∈R}=
[1，＋∞)，故M=P；
选项D中，M是二次函数y=x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.
(2)已知集合M={1，a＋3，a2＋2}，且6∈M，则a的值为　　　　.
由M={1，a＋3，a2＋2}，且6∈M，
得a＋3=6或a2＋2=6，
解得a=3或a=±2，
当a=3时，M={1，6，11}，符合题意；
当a=2时，M={1，5，6}，符合题意；
当a=－2时，M={1，1，6}，不符合元素的互异性，舍去.
所以a的值为2或3.
2或3
解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2025·遵义模拟)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，y∈B}，则C的元素之和为
A.9 B.12 C.16 D.18
√
因为0×1=0×2=0×3=0，1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，2×2=4，2×3=6，
所以集合C={0，1，2，3，4，6}，集合C的元素之和为0＋1＋2＋3＋4＋6=16.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m＋n，0}，则m2 025＋n2 025的值为
A.－2 B.－1
C.1 D.2
√
因为={m2，m＋n，0}，m≠0，
所以
解得
当m=1时，不满足集合元素的互异性，
故m=－1，n=0，m2 025＋n2 025=(－1)2 025＋02 025=－1.
例2　(1)(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是
A.A=B B.B A
C.A∩( UB)= D.( UA)∩B=
√
集合间的基本关系
题型二
因为集合A，B满足A (A∩B)，故可得A B，
对A，当A为B的真子集时，不成立；
对B，当A为B的真子集时，也不成立；
对C，A∩( UB)= ，恒成立；
对D，当A为B的真子集时，不成立.
(2)(2025·扬州模拟)已知集合A={x}，B={x}.若A∪B=A，则实数m的取值范围为
A.[3，＋∞) B.[2，3]
C.(－∞，3] D.[2，＋∞)
√
由题意，集合A={x|x2－3x－10≤0}={x|－2≤x≤5}，
∵A∪B=A，
∴B A.
①若B= ，则m＋1>2m－1，即m<2；
②若B≠ ，则解得2≤m≤3.
综上所述，m≤3.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)已知I为全集，若A∪B=A，则
A.A B B.B A
C. IA IB D. IB IA
√
√
因为A∪B=A，所以B A，所以 IA IB.
(2)(2025·洛阳模拟)已知全集为R，集合A={x|2{a|a≤－2或a≥10}
由题可知B≠ ，
RB={x|xa＋4}，
因为A RB，所以6≤a－4或2≥a＋4，
解得a≥10或a≤－2，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a≥10}.
例3　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|－5A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
√
命题点1　集合的运算
集合的基本运算
题型三
因为A={x|－且1<<2，－2<－<－1，所以A∩B={－1，0}.
(2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k＋1，k∈Z}，N={x|x=3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)等于
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k－1，k∈Z}
C.{x|x=3k－2，k∈Z}
D.
√
方法一　M={…，－2，1，4，7，10，…}，N={…，－1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)={…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，
即 U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(2024·佛山模拟)已知集合A={x}，B={x|x>m}，若∪B
=R，则m的取值范围是
A.(－∞，3) B.(3，＋∞)
C.(－∞，7) D.(7，＋∞)
√
方法一　由集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，可得 RA={x|x<3或x≥7}，
因为∪B=R，则满足m<3.
方法二　因为A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，
( RA)∪B=R，
所以A B，所以m<3.
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
思维升华
跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A={x|x2－3x＋2≤0}，B={x|1A.A∪B=B B.( RB)∪A=R
C.A∩B={x|12}
√
√
由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A={x|x2－3x＋2≤0}={x|1≤x≤2}，
由B={x|1所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A错误；
A∩B={x|1又 RB=(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以( RB)∪A=(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B错误；
RA=(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以( RB)∪( RA)=(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正确.
(2)设集合A={x|x<2或x≥4}，B={x|a≤x≤a＋1}，若( RA)∩B= ，则a的取值范围是
A.a≤1或a>4 B.a<1或a≥4
C.a<1 D.a>4
√
由集合A={x|x<2或x≥4}，得 RA={x|2≤x<4}，又集合B={x|a≤x≤a＋1}且( RA)∩B= ，则a＋1<2或a≥4，即a<1或a≥4.
返回
课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C C D D BCD
题号 8 9 10 11 答案 AC ABC (－∞，2] {－2，0，2，4} 题号 12 13 14 答案 ABC (1)100110　 (2)4 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
一、单项选择题
1.(2025·南宁模拟)若集合A={x||x|≤2}，B={x|x2<4x}，则A∪B等于
A.{x|0≤x≤2} B.{x|－2≤x≤4}
C.{x|－2≤x<4} D.{x|0√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
A={x|－2≤x≤2}，x2<4x x(x－4)<0 0所以A∪B={x|－2≤x<4}.
2.(2024·怀化模拟)已知集合M={－1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，则P的真子集共有
A.3个 B.6个
C.7个 D.8个
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为M={－1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，所以P=M∩N={1，2，4}，所以P的真子集共有23－1=7(个).
答案
√
3.(2025·河北联考)已知集合A={1，2，3}，则集合B={(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为
A.2 B.4
C.6 D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为A={1，2，3}，所以B={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，
(2，3)}，B中含6个元素.
答案
4.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A) ＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).某校初一四班有46人在寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为
A.2 B.3 C.4 D.5
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
设集合A={x|x是参加足球队的学生}，
集合B={x|x是参加排球队的学生}，
集合C={x|x是参加游泳队的学生}，
则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24，
card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9，
设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，又card(A∪B∪C)=46，
所以由card(A∪B∪C)=card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
得46=25＋22＋24－12－8－9＋m，解得m=4，
所以三项都参加的有4人.
5.(2025·宜宾模拟)已知集合A={2a－1，a2，0}，B={1－a，a－5，9}，若A∩B={9}，则实数a的值为
A.5或－3或3 B.5
C.3 D.－3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为A={2a－1，a2，0}，B={1－a，a－5，9}且A∩B={9}，
所以9∈A.若2a－1=9，则a=5，
此时A={9，25，0}，B={－4，0，9}，不满足A∩B={9}，故舍去；
若a2=9，解得a=3或a=－3，
当a=3时，1－a=a－5，集合B不满足集合元素的互异性，故舍去；
当a=－3时，A={－7，9，0}，B={4，－8，9}，满足A∩B={9}，符合题意.
综上可得a=－3.
6.(2025·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2－2x＋1=0}中只有一个元素，则实数a等于
A.1 B.0
C.2 D.0或1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
当a=0时，由ax2－2x＋1=0可得x=，满足题意；
当a≠0时，由ax2－2x＋1=0只有一个根需满足Δ=(－2)2－4a=0，解得a=1.
综上，实数a的值为0或1.
答案
二、多项选择题
7.已知集合M={－1，1}，N={x|mx=1}，且N M，则实数m的值可以为
A.－2 B.－1
C.0 D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
当N= 时，满足N M，此时m=0；
当N≠ 时，m≠0，
解mx=1可得，x=.
因为N M，所以=－1或=1.
当=－1时，m=－1；
当=1时，m=1.
综上所述，m=0或m=－1或m=1.
答案
8.(2025·武汉模拟)图中阴影部分表示的集合是
A.M∩( UN) B.N∩( UM)
C.M∩ U(M∩N) D.( UM)∩( UN)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
将全集U分成如图所示的4个区域，M=③＋④，N=②＋③，U=①＋②＋③＋④，
对于A， UN=①＋④，则M∩( UN)=④，故A正确；
对于B， UM=①＋②，则N∩( UM)=②，故B错误；
对于C，M∩N=③， U(M∩N)=①＋②＋④，故M∩ U(M∩N)=④，故C正确；
对于D，( UM)∩( UN)=①，故D错误.
答案
9.对于集合A，B，定义A－B={x|x∈A，且x B}，下列命题正确的有
A.若A－B=A，则A∩B=
B.若A∪B=A，则A－B= AB
C.若A={x∈N*|－1≤x<5}，B={x|x≤2，或x>3}，则A－B={3}
D.若A={x|x≥0}，B={x|－3≤x≤3}，则B－A={x|－3≤x≤0}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为A－B={x|x∈A，且x B}，所以若A－B=A，则A∩B= ，故A正确；
若A∪B=A，则B A，则A－B= AB，故B正确；
若A={x∈N*|－1≤x<5}={1，2，3，4}，B={x|x≤2，或x>3}，则A－B={3}，故C正确；
若A={x|x≥0}，B={x|－3≤x≤3}，则B－A={x|－3≤x<0}，故D错误.
三、填空题
10.(2024·厦门模拟)设集合M={x|－2≤x≤2}，N={y|y=2x＋1}，则M∪( RN)=　 　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
(－∞，2]
由题知N={y|y>1}，
所以 RN={y|y≤1}，
故M∪( RN)=(－∞，2].
11.(2024·襄阳市第四中学模拟)已知集合A=，则用列举法表示A=　　　 　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
{－2，0，2，4}
由题意可得x－1可为±1，±3，
即x可为0，2，－2，4，即A={－2，0，2，4}.
12.(2024·南京模拟)已知非空集合A={x|a－1A∩( RB)=A，则实数a的取值范围为__________________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为A为非空集合，则a－1<2a＋3，
解得a>－4， RB={x|x<－2或x>4}，
若A∩( RB)=A，则A ( RB)，
则2a＋3≤－2或a－1≥4，
解得a≤－或a≥5，又a>－4，
综上所述，实数a的取值范围为.
13.(多选)设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，都有a＋b∈S且a－b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是
A.存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集
B.集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集”
C.若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠
D.对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2=R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
能力拓展
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A项中，根据题意S={0}是“和谐集”，又是有限集，故A正确；
B项中，设x1=3k1，x2=3k2，k1，k2∈Z，则x1＋x2=3(k1＋k2)∈S，x1－x2=3(k1－k2)∈S，所以集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集”，故B正确；
C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠ ，故C正确；
D项中，取S1={x|x=2k，k∈Z}，S2={x|x=3k，k∈Z}，S1，S2都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D错误.
答案
14.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若N={2，3，6}，则 UN表示的6位字符串为　　　　；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
100110
答案
因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以 UN={1，4，5}，所以 UN表示的6位字符串为100110.
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4
答案
因为集合A∪B表示的字符串为011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即满足条件的集合A的个数为4.
返回

展开更多......

收起↑