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一元一次方程的解法(2)—— 移项
学新知　知识导学 01
知识点一　移项
把方程中的某一项　 　后,从方程的一边移到另一边,这种变形称为移项。
改变符号
1.下列变形属于移项且正确的是( )
D
2.根据移项填空:
(1)如果3x+5=12,那么3x=12　 　;
(2)如果2x=5x+3,那么2x　 　=3;
(3)如果5x+1=4x-6,那么5x　 　=-6　 　。
-5
-5x
-4x
-1
知识点二　用移项法解一元一次方程
利用移项解一元一次方程的步骤:
(1)移项:把含有　 　的项移到方程的一边,　 　项移到另一边;
(2)合并同类项:把方程化为ax=b(a≠0)的形式;
未知数
常数
3.下列方程变形结果正确的是( )
A.由x+3=6,得x=6+3
B.由2x=x+1,得x-2x=1
C.由-2y=12-y,得-2y+y=12
D.由x+5=1-2x,得x-2x=1+5
C
①
5.解下列方程:
(1)-x-4=3x;(2)5x-1=9;
解:(1)移项,得-x-3x=4。
合并同类项,得-4x=4。
两边都除以-4,得x=-1。
(2)移项,得5x=9+1。
合并同类项,得5x=10。
两边都除以5,得x=2。
(3)4x+2=2x-5。
精评价　题组训练 02
典型例题
6.典例 解下列方程:
(1)3x-2=5x-6;
解:(1)移项,得3x-5x=-6+2。
合并同类项,得-2x=-4。
方程的两边都除以-2,得x=2。
(3)4.2x-1.3=7.1。
解:(3)移项,得4.2x=7.1+1.3。
合并同类项,得4.2x=8.4。
方程的两边都除以4.2,得x=2。
变式训练
7.移项:
(1)由2x+3=1,得2x=　 ;
(2)由3x-4=x+2,得3x　 　=2　 　。
8.解下列方程:
(1)2x-19=7x+6;
1-3
-x
+4
解:(1)移项,得2x-7x=19+6。
合并同类项,得-5x=25。
方程两边同除以-5,得x=-5。
典型例题
4
变式训练
10.若m+1与-4互为相反数,则m的值为　 　。
3
典型例题
11.典例 某同学在解关于x的方程4x+3a=2x+15时,在移项过程中2x没有改变符号,得到的方程的解为x=1,求a的值及原方程的解。
解:由题意,得x=1是关于x的方程4x+2x=15-3a的解,
所以4+2=15-3a,解得a=3。
把a=3代入原方程,得4x+9=2x+15,解得x=3。
因此,a的值是3,原方程的解是x=3。
变式训练
12.一位同学在解方程x-2=ax+1时,因看错了a的符号而得方程的解为x=1,试求a的值并正确地解方程。
解:根据题意,把x=1代入方程x-2=-ax+1,得1-2=-a+1,
-1=-a+1,解得a=2,
方程为x-2=2x+1,
x-2x=1+2,-x=3,x=-3,
即a=2,方程的解是x=-3。
13.拓展 阅读下列解题过程:解方程:|x+3|=2。
分析:由于x+3的值的正负不能确定,因此需要分类讨论。
①当x+3≥0时,原方程可化为x+3=2,解得x=-1;②当x+3<0时,原方程可化为x+3=-2,解得x=-5。
所以原方程的解是x=-1或x=-5。
根据以上方法,可得方程|3x-2|-4=0的解为　 　。
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一元一次方程的解法(3)—— 去括号
学新知　知识导学 01
知识点一　去括号解一元一次方程
解含有括号的一元一次方程的步骤:①去括号:根据去括号法则,先去掉等式两边的括号,将有括号的方程转化为无括号的方程;②移项;③合并同类项;④未知数的系数化为1。
1.解方程2(x-1)=1时,“去括号”将其变形为2x-2=1的依据是
( )
A.乘法结合律 B.乘法对加法的分配律
C.等式性质1 D.等式性质2
2.在解方程6(x-4)=7-(x-1)的过程中,去括号正确的是( )
A.6x-4=7-x+1 B.6x-24=7-x-1
C.6x-4=7-x-1 D.6x-24=7-x+1
B
D
3.教材 P143例题变式 解下列方程:
(1)8-2x=2(2x+1);
解:(1)去括号,得8-2x=4x+2。
移项,得-2x-4x=2-8。
合并同类项,得-6x=-6。
两边同除以-6,得x=1。
(2)4x-2(x-1)=1。
知识点二　用去括号解一元一次方程解决实际问题
实际问题中,如出现多个未知量时,设其中一个量为x(一般求什么设什么),用含x的代数式表示其他未知量,再找出等量关系,列方程解决。
4.某运输车队有载重为8 t、10 t的卡车共12辆,全部车辆运输一次能运输110 t沙石。求车队载重为8 t、10 t的卡车各有多少辆
解:设载重为8 t的卡车有x辆,
则载重为10 t的卡车有　 　辆。
根据题意,得　 　,
解这个方程,得x=　 　。
12-x=　 　。
答:车队载重为8 t的卡车有　 　辆,载重为10 t的卡车有
　 　辆。
(12-x)
8x+10(12-x)=110
5
7
5
7
5.毕业在即,九年级某班为纪念师生情谊,班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册,分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念,其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元,请问这两种不同留念册的单价分别为多少元
解:设送给任课老师的留念册单价为x元,则送给同学的留念册的单价为(x-8)元。
根据题意,得10x+50(x-8)=800,解得x=20,x-8=12。
答:送给任课老师的留念册的单价为20元,送给同学的
留念册的单价为12元。
精评价　题组训练 02
典型例题
6.典例 解方程:
(1)3x+2(x-2)=6;
解:(1)去括号,得3x+2x-4=6。
移项,得3x+2x=6+4。
合并同类项,得5x=10。
方程两边同除以5,得x=2。
(2)-2(5-2x)=1-x;
(3)2-3(x+1)=1-2(1+0.5x)。
解:(3)去括号,得2-3x-3=1-2-x。
移项,得-3x+x=1-2+3-2。
合并同类项,得-2x=0。
方程两边同除以-2,得x=0。
变式训练
7.方程4(2-x)-4(x+1)=60的解是( )
D
8.当x=　 　时, 2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数。
9
9.解方程:
(1)5(x-5)+2x=-4;
解:(1)去括号,得5x-25+2x=-4。
移项,得5x+2x=-4+25。
合并同类项,得7x=21。
方程两边同除以7,得x=3。
(2)4(x-1)-3(20-x)=5(x-2)。
解:(2)去括号,得4x-4-60+3x=5x-10。
移项,得4x+3x-5x=4+60-10。
合并同类项,得2x=54。
方程两边同除以2,得x=27。
典型例题
10.典例 一张试卷有25道选择题,做对一题得4分,不做或做错一题扣1分,某同学做完了25道题,共得了70分,那么他做对的题数是多少
解:设他做对了x道题,则不做或做错了(25-x)道题,
根据题意,得4x-(25-x)=70,
解得x=19。
答:他做对了19道题。
变式训练
11.某校为了奖励学期综合能力优秀的学生,现决定把2 380元奖学金按照两种奖项发给21名学生,其中一等奖每人220元,二等奖每人80元。获得二等奖的学生有多少人
解:设获得二等奖的学生有x人,
根据题意,得80x+220(21-x)=2 380,
解得x=16。
答:获得二等奖的学生有16人。
12.拓展 小莹解关于x的一元一次方程3(-x+m)=2-2(x+3),在去括号时,将m漏乘了3,得到方程的解是x=9。
(1)求m的值;
(2)求该方程正确的解。
解:(1)由题意,得x=9是方程-3x+m=2-2(x+3)的解,
所以-3×9+m=2-2×(9+3),解得m=5。
(2)由(1),得m=5,
所以原方程为3(-x+5)=2-2(x+3),解得x=19。
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一元一次方程的解法(1)—— 等式的基本性质
学新知　知识导学 01
知识点一　等式的基本性质
(1)等式的基本性质1:等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是　 　;
(2)等式的基本性质2:等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是　 　。
等式
等式
1.已知等式m=n,则下列式子不成立的是( )
D
2.填空:
(1)等式x+5=7的两边都　 　,得x=2,根据是　 .
　;
减去5
(3)等式5x=15的两边都　 　,得x=3,根据是　 .
　。
等式的基本
性质1
乘-3
等式的
基本性质2
除以5
等式的
基本性质2
知识点二　利用等式的基本性质解方程
3.解方程2x+5=7时,先根据等式的基本性质　 　,两边同减去
　 　,得2x=　 　,再根据等式的基本性质　 　,两边同除以
　 　,得x=　 　。
1
5
2
2
2
1
解:(1)方程两边都加3,得x=-6。
(2)方程两边都乘-5,得x=-10。
精评价　题组训练 02
典型例题
5.典例 从2a+3=2b+3能否得到a=b 为什么 (要求写出详细的解题过程)
解:能。
理由如下:2a+3=2b+3,
等式两边同时减3,得2a=2b。
等式两边同时除以2,得a=b。
即从2a+3=2b+3能得到a=b。
变式训练
C
典型例题
7.典例 利用等式的性质解下列方程,并检验。
(1)x-5=6;
解:(1)方程两边都加5,得x-5+5=6+5,
即x=11,
检验:当x=11时,左边=11-5=6,右边=6,
所以左边=右边。
所以x=11是原方程的解。
(2)8-2x=10。
解:(2)方程两边都减8,得8-2x-8=10-8,
合并同类项,得-2x=2,
方程两边都除以-2,得x=-1,
检验:当x=-1时,
左边=8-2×(-1)=8+2=10,右边=10,
所以左边=右边。
所以x=-1是原方程的解。
变式训练
8.利用等式的性质解下列方程,并检验:
(1)x+5=10;
解:(1)方程两边都减5,得x+5-5=10-5,
即x=5,
检验:当x=5时,左边=5+5=10,右边=10,
所以左边=右边。
所以x=5是原方程的解。
(2)-5x=30。
典型例题
9.典例 某厂今年计划生产A,B,C三种型号的设备共12 500
台,其中A型,B型,C型的设备数量比为2∶3∶5,那么其中C型设备预计生产多少台
解:设三种设备的数量分别为2x台,3x台,5x台,
可得方程2x+3x+5x=12 500,
解得x=1 250,所以5x=6 250。
答:C型设备预计生产6 250台。
变式训练
10.新课标 数学文化 《孙子算经》中有一道题,原文如下:
“今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽,问城中家几何 ”大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问城中有多少户人家 请解答上述问题。
典型例题
11.典例 小明对等式5m-2=3m-2进行变形,得出“5=3”的错误结论,但他找不到错误原因,聪明的你能帮助他找到原因吗
解:第②步错误,错误的原因:等式两边同时除以一个可能等于零的m,等式不成立。
两边都加2,得5m=3m(第①步)
两边都除以m,得5=3(第②步)
变式训练
12.下面是小颖解方程x-4=3x-4的过程:
x-4+4=3x-4+4,①
x=3x,②
1=3。③
(1)步骤①的依据是　 　;
(2)小颖出错的步骤是　 　,错误的原因是　 .
　;
(3)方程正确的解是　 　。
等式的基本性质1
③
没有考虑x=0
的情况
x=0
5
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一元一次方程的解法(4)—— 去分母
学新知　知识导学 01
知识点一　去分母的概念及过程
方程中的系数为分数时,根据等式的基本性质2,把含有分数系数的方程两边都乘所有分母的　 　,约去分母的过程叫作去分母。
最小公倍数
D
去分母时,等式右边的项漏乘12
知识点二　去分母解一元一次方程
一般步骤 依　据 注意事项
(1)去分母(方程的两边同时乘各个分母的最小公倍数) 等式的 . ①不要漏乘不含分母的项;
②若分子是含未知数的多项式,其作为一个整体应加上 .
基本性质
括号
(2)去括号 乘法对加法的分配律、去括号法则 ①不要漏乘括号里的项;②不要搞错符号
(3)移项 移项法则 移项要 .
(4)合并同类项 合并同类项法则 ①系数相加;②字母部分不变
(5)未知数的系数化为1 等式的基本性质 不要颠倒分子与分母
变号
x=7
2(3y-1)=y+1
6y-2=y+1
6y-y=1+2
5y=3
解:(1)去分母,得4x+x-1=-6。
移项、合并同类项,得5x=-5。
方程的两边都除以5,得x=-1。
精评价　题组训练 02
典型例题
解:(1)去分母,得12x-3(x+1)=4(x+3)。
去括号,得12x-3x-3=4x+12。
移项,得12x-3x-4x=12+3。
合并同类项,得5x=15。
两边都除以5,得x=3。
解:(1)去分母,得2(2x-1)-(x-2)=6。
去括号,得4x-2-x+2=6。
移项,得4x-x=6+2-2。
合并同类项,得3x=6。
方程两边同除以3,得x=2。
变式训练
解:(2)去分母,得2(2x-5)-4=3x+1。
去括号,得4x-10-4=3x+1。
移项,得4x-3x=1+10+4。
合并同类项,得x=15。
典型例题
变式训练
C
11.拓展 某车间每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该车间每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,则该车间要完成的零件任务为多少个
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