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第八讲 和差问题
1.和差问题
已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的问题，叫和差问题。
需要注意的是题目的条件不局限于两个数，也可能是三个数或更多的数。
2.基本关系式
(和+差)÷2=较大的数；
(和-差)÷2=较小的数。
哥哥和妹妹共有60本故事书，哥哥的故事书的数量比妹妹的多10本。哥哥和妹妹各有多少本故事书
由题意可知，再给妹妹10本故事书，妹妹的故事书的数量就和哥哥的一样多，这时候故事书的总数量变成70本，用总数量除以2就可以求出哥哥的故事书的数量；当哥哥的故事书的数量减少10本，哥哥的故事书和妹妹的一样多，故事书的总数量变成50本，用总数量除以2就可以求出妹妹的故事书的数量。
哥哥：(60+10)÷2=35(本)
妹妹：(60-10)÷2=25(本)
答:哥哥有35本故事书，妹妹有25本故事书。
操场上男生和女生一共有568人，又来了12名女生，此时男生人数和女生人数一样多。原来操场上的男生和女生名有多少人
大熊猫妈妈和大熊猫宝宝一共重160千克，如果它们名自再增长10千克，那么大熊猫妈妈比大熊猫宝宝重50千克。原来大熊猫妈妈和大熊猫宝宝各重多少千克
水果店里苹果和橘子共有108个。苹果卖掉26个，橘子卖掉15个后，苹果还比橘子多3个。原来苹果和橘子各有多少个
甲、乙、丙三辆车共装苹果 27吨。甲车苹果的重量比乙车重8吨，乙车苹果的重量比丙车重5吨。求甲、乙、丙三辆车各装苹果多少吨。
1.答案:(568+12)÷2=290(人)
(568-12)÷2=278(人)
答:原来操场上的男生有290人，女生有278人。
2.解析:大熊猫妈妈和大熊猫宝宝各自同时增重10千克的情况下，它们之间的体重差是不变的，仍然是50千克。
答案:(160+50)÷2=105(千克)
(160-50)÷2=55(千克)
答:原来大熊猫妈妈的重量是105千克，大熊猫宝宝的重量是55千克。
3.解析:
先求出原来苹果和橘子的数量差多少个。
答案:(26+3-15)=14(个)
(108+14)÷2=61(个)
(108-14)÷2=47(个)
答:原来苹果有61个，橘子有47个。
解析:
答案:(27+5-8)÷3=8(吨)
8+8=16(吨)
8-5=3(吨)
答:甲车装有苹果16吨，乙车装有苹果8吨，丙车装有苹果3吨。第二讲 移多补少问题
1.移多补少问题:
把两组或多组数量不同的事物变成一样多，这类问题叫作移多补少问题，解决此类问题主要有移动、增补和删减 3 种方法。
2.基本关系式:
移动的数量=数量差÷2；
数量差=移动的数量×2。
小猴摘了18朵花，小熊摘了6朵花，小猴给小熊多少朵花后，它们的花朵数量同样多
由题意可知，把小猴比小熊多摘花朵的一半分给小熊，它们的花朵数量就同样多了。
18-6=12(朵)
12÷2=6(朵)
答:小猴给小熊6朵花后，它们的花朵数量同样多。
园园原来有50支铅笔，分给亮亮18支后，两个人的铅笔数量一样多。亮亮原来有多少支铅笔
小白兔有 25 根胡萝卜，小灰免有18根胡萝卜，兔妈妈又带回来9根胡萝卜。兔妈妈要怎么样分才能让两只小兔子的胡萝卜同样多
两排书架,从第一排拿14本书放入第二排后,第一排还比第二排多6本。原来第一排书架比第二排书架多多少本书
小明和小花在海边分别捡了一些贝壳，小明给小花19个贝壳后，小明比小花少5个。原来小明比小花多多少个贝壳
答案:18x2=36(支)
50-36=14(支)
答:亮亮原来有14支铅笔。
解析:先看两只兔子的胡萝卜相差多少根，把这些胡萝卜给到少的小兔子，然后剩下的胡萝卜再平均分给两只小兔子。
答案:25-18=7(根)
(9-7):2=1(根)
7+1=8(根)
答:给小兔子1根胡萝卜，给小灰兔8根胡萝卜，两只小白兔的胡萝卜一样多。
答案:14x2=28(本)
28+6=34(本)
答:原来第一排比第二排多34本书。
答案:19x2=38(个)
38-5=33(个)
答:原来小明比小花多33个贝壳。第九讲 植树问题
1.两端植树
如果两端都植树，则植树的棵数比间隔数多1，即植树棵数=间隔数+1。
2.一端植树一端不植树
如果一端植树，另一端不植树，则植树的棵数与间隔数相等，即植树棵数=间隔数。
3.两端都不植树
如果两端都不植树，则植树的棵数比间隔数少1，即植树棵数=间隔数-1。
4.封闭路线植树
如果在封闭路线上植树，则植树的棵数与间隔数相等，即植树棵数=间隔数。
小明家门口有一条路长42米，每7米栽一棵树，如果两端都栽树，一共要栽多少棵树
两端都栽树，间隔数为42÷7=6，所以栽的数量为6+1=7(棵)
42÷7=6，6+1=7(棵)。
答:一共要栽7棵树。
在一条长16米的马路两边挂彩旗，且两端都挂，一共挂了18面彩旗，相邻两面彩旗的距离都相等。求相邻两面彩旗之间的距离。
一个正方形的池塘，在它四周栽树，四个角上都要栽，每边栽7棵。一共栽树多少棵
个圆形花坛的周长是25米，在它周围每隔5米插一面彩旗，一共需要多少面彩旗
从丽丽家到超市的马路一侧有9盏路灯，且每盏路灯之间的间隔都是 50米，当她从家步行150米时看到了第一盏路灯，当她走到最后一盏路灯旁，再继续走200米就到超市了。丽丽家距离超市多少米
1.解析:根据题意，需要求每个间隔的距离，就相当于求几个间隔，因为两端都挂，所以参考情况1。需要注意的是，这里是马路两边都要挂，马路一边就是挂了18÷2=9面旗，因为两端都挂，所以间隔数=9-1=8，所以间距=16÷8=2(米)。
答案:18÷2=9(面)
9-1=8
16÷8=2(米)
答:相邻两面旗之间的距离是2米。
2.解析:有两种方法，第一种:4个角加上每边的5棵树。
总数=4+(7-2)×4=24(棵)
第二种:每条边上的树减1棵，然后乘4条边。
总数=(7-1)×4=24(棵)
答案:4+(7-2)×4=24(棵)
(7-1)×4=24(棵)。
答:共栽树24棵。
3.解析:这道题考的是封闭路线植树，可以求出有几个间隔，然后树的数量等于间隔数。
答案:彩旗的数量=25÷5=5(面)
答:一共需要5面彩旗。
解析：总路程分了三段，第一段是从家到第一盏路灯的距离，第二段是第1盏路灯到最后一盏路灯的距离，第三段是最后一盏路灯到超市的距离。
答案：第一段路程：150米
第三段路程：200米
第二段路程：一共9盏路灯两端都有路灯，参考第1种间隔数=9-1=8第二段路程：8×5=40米
所以总路程：150+200+40=390米
答:丽丽家距离超市390米。第六讲 和倍问题
1.和倍问题
已知两个数的和还有这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫和倍问题。
在和倍问题中，一般会把较小的数看作1倍数，较大的数就是几倍数。
2.基本关系式
和÷(倍数+1)=1倍数(较小的数)；
1倍数(较小的数)×倍数=几倍数(较大的数)；
和-较小的数=较大的数。
小兔和兔爸爸共采了72个蘑菇，兔爸爸采的蘑菇的数量是小兔的7倍，小兔和兔爸爸各采了多少个蘑菇
由题意可知，把较少的小兔采的蘑菇数量看作1倍数，那么兔爸爸采的蘑菇数量则为7倍数，总数量为8倍数，也就是72个对应8倍数，从而可以求出1倍数，然后1倍数乘7即可求出7倍数。
小兔:72÷(7+1)=9(个)
兔爸爸:9×7=63(个)
答:小兔采了9个蘑菇，兔爸爸采了63个蘑菇。
实验小学三年级二班表演舞台剧，共有30人参加舞台剧演出，已知参加的女生人数是男生人数的4倍。参加舞台演出的男生和女生各有多少人
宠物商店里小白兔和小黑兔共有 40只，小白兔的数量比小黑兔的3倍多4只。宠物商店里的小白兔和小黑兔各有多少只
仓库存有面粉和大米共216吨，面粉的质量比大米的3倍多20吨。大米和面粉各多少吨
实验小学三年级三个班参加跳绳比赛的学生共110人，三年级二班参加的人数是三年级一班的2倍，三年级三班参加的人数比三年级一班的2倍多10人。三年级三个班各有多少人参加跳绳比赛
1.答案:男生:30÷(4+1)=6(人)
女生:6×4=24(人)
答:参加活动的男生有6人，女生有 24人。
2.解析:小白兔的数量比小黑兔的3倍多4只，那么也就是总数40减4后,小白兔的数量正好是小黑兔的3倍。
答案:小黑免:(40-4)÷(3+1)=9(只)
小白兔:40-9=31(只)
答:宠物商店里的小白兔有31只，小黑兔有9只。
3.答案:大米:(216-20)÷(3+1)=49(吨)
面粉:216-49=167(吨)
答:仓库里存有大米49吨，存有面粉167吨。
解析:
答案:一班:(150-20)÷(1+2+2)=26(人)
二班:26×2=52(人)
三班:26×2+20=72(人)
答:一班参加跳绳比赛的有26人，二班有52人，三班有72人。第七讲 差倍问题
1.差倍问题
已知两个数的差还有这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫差倍问题。
2.基本关系式
差÷(倍数-1)=1倍数(较小的数)；
1倍数(较小的数)×倍数=几倍数(较大的数)；
较小的数+差=较大的数。
阅读室有大、小两个书架，大书架上书的本数是小书架上书的本数的4倍，大书架上书的本数比小书架上多360本。大、小书架上各有多少本图书？
由题意可知，把较少的小书架上书的数量看作1倍数，那么大书架上书的数量则为4倍数，数量差为3倍数，也就是360本对应的是3倍数，从而可以求出1倍数，然后用1倍数乘4即可求出4倍数。
小书架:360÷(4-1)=120(本)
大书架:120×4=480(本)
答:小书架上有120本图书，大书架上有480本图书。
两箱橘子的数量相等，从第一箱里拿出18个橘子后，第二箱橘子的数量就是第一箱的4倍。原来每箱有多少个橘子
小白和小红在玩卡牌游戏，小白的卡牌数是小红的卡牌数的3倍，如果小白把自己的卡牌给小红50张，那么他的卡牌数就和小红的卡牌数相等。原来小白和小红各有多少张卡牌
小宋在看一本科普书，已看的页数是没看的页数的3倍，如果少看160页，那么已看的页数就和原来没看的页数相等。这本科普书共有多少页
有大、小两个蓄水池，大蓄水池里水的体积比小蓄水池里水的体积的6倍多500立方米，从大蓄水池里抽取1500立方米水给小蓄水池后，两个蓄水池里的水同样多。原来大蓄水池和小蓄水池里各有水多少立方米
1.答案:第一箱:18÷(4-1)
=6(个)
第二箱:6×4=24(个)
答:原来每箱有24个橘子。
2.解析:小白给小红50张卡牌后，小白和小红的卡牌数量一样多，那么他们两人手中的卡牌数就是50加50。
答案:小红:(50+50)÷(3-1)=50(张)
小白:50x3=150(张)
答:原来小红有50张卡牌，小白有 150 张卡牌。
3.答案:160÷(3-1)=80(页)
80×(3+1)=320(页)
答:这本科普书共有320页。
答案:(1500+1500-500)÷(6-1)=500(千克)
500×6+500=3500(千克)
答:大罐存水3500千克，小罐存水500千克。第三讲 间隔问题
1.一端有点:点数=段数。
2.两端有点:点数=段数+1。
3.两端无点:点数=段数-1。
4.常见题型有锯木头、植树、爬楼梯。
一段公路长64米，为了美化公路，在路的一边每隔8米栽1棵松树。从头到尾一共可以栽多少棵松树
此题属于两端有点的间隔问题，所以点数=段数+1。
64÷8+1=9(棵)
答:从头到尾一共可以栽9棵松树。
1.伐木工将一段木头锯成了4段，锯一次需要3分钟。伐木工锯这段木头一共需要多少分钟
2.为了庆祝儿童节，学校要在一个周长为20米的圆形花坛上摆放绿植,每隔4米摆放一盆,一共需要摆放多少岔绿植
3.丽丽家在花园小区5楼，每层楼有18级台阶，丽丽走多少级台阶才能到家
小明爸爸和小明一起爬楼梯，小明爸爸爬到9楼的时候，小明爬到3楼，按照这样的速度，小明爸爸爬到21楼时，小明爬到哪层楼
1.解析:锯的次数=段数-1答案:4-1=3(次)
3×3=9(分钟)
答:伐木工锯这段木头需要9分钟。
2.解析:由题意可知，一端有点:点数=段数
答案:20÷4=5(盆)
答:一共需要摆放5盆绿植。
3.解析:从1楼到5楼间隔4层。
答案:5-1=4(层)
4×18=72(级)
答:丽丽走72级台阶才能到家。
解析:小头爸爸到达9楼时实际爬了8层;大头儿子到达3楼时实际爬了两层，所以小头爸爸的速度是大头儿子的四倍。
答案:9-1=8(层)
3-1=2(层)
8÷2=4
(21-1)÷4+1=6(楼)
答:小头爸爸上到21楼时大头儿子上到6楼。第十讲 爬井问题
1.在蜗牛爬井的问题中，最特殊的就是最后一天，因为只有这一天是“只上不下”。
2.每天实际爬的高度=向上爬的高度－向下滑的高度。
一只蜗牛在7米深的井底。第一天白天向上爬3米，晚上下滑1米；第二天白天再向上爬3米，晚上又下滑1米。这只蜗牛第几天可以爬到井口
第一天白天向上爬3米，晚上下滑1米，第一天爬了2米；
第二天白天向上爬3米，晚上下滑1米，两天爬了4米；
第三天白天向上爬3米，爬了4+3=7(米)，7=7，所以第三天可以爬到井口。
3-1=2(米)
2+2+3=7(米)
答:这只蜗牛第三天可以爬到井口。
1.爬出井口的蜗牛又想爬上11米高的树顶去看风景，如果它从底部开始爬，白天向上爬3米，晚上下滑1米，这只蜗牛几天才可以爬上树顶看风景呢
2.一只小蚂蚁练习爬树，每天爬上去3米又滑下1米。照这样，小蚂蚁几天能爬上5米高的树顶呢
3.有一口井，深度未知。蜗牛白天向上爬5米，晚上下滑3米。已知蜗牛在第7天白天刚好爬到井口，求井的深度。
有一口井深24米，蜗牛甲白天向上爬4米，晚上下滑2米；蜗牛乙白天向上爬6米，晚上下滑4米。两只蜗牛同时从井底开始爬，哪只蜗牛先爬到井口？快多少天？
1.解析:每天爬的高度=白天
爬的-晚上下滑的，最后一天爬 3米。
答案:最后一天爬3米之前要爬11-3=8米
每天爬3-1=2米
之前天数:8÷2=4天
共需:4+1=5天
答:这只蜗牛5天才可以爬上树顶看风景。
2.答案：实际爬行高度=爬上去的-滑下来的=3-1=2米
最后一天爬行高度3米
之前要爬5-3=2米
之前天数:2÷2=1天
共需:1+1=2天
答:小蚂蚁2天就可以爬上树顶。
3.答案：前6天每天实际向上爬5-3=2米。
前6天一共向上爬了6×2=12米。
第七天白天向上爬5米就爬出井口，所以井深12+5=17米。
答:井深17米。
答案：蜗牛甲：每天实际向上爬的距离是4-2-2米
在最后一天白天爬出井口前，它需要爬24-4=20米
那么爬这 20米需要的天数是20÷2=10天
再加上最后一天，所以蜗牛甲爬出井口总共需要10+1=11
天蜗牛乙：每天实际向上爬的距离是6-4=2米
在最后一天白天爬出井口前，它需要爬 24-6=18米
爬这18米需要的天数是18÷2=9天
再加上最后一天，蜗牛乙爬出井口总共需要9+1=10天
11-10=1(天)
答：蜗牛乙先爬出洞口，快1天。第四讲 搭配问题
1.搭配问题是数学中常见的排列组合问题，如用数字组数时，可以通过分类枚举的方法依次确定最高位、次高位……
2.用三个不同的数字组成没有重复数字的两位数时，先把其中的一个数字(0除外)看作十位上的数，再把其余的两个数字分别看作个位上的数，依次与它组成两位数。
3.组数属于排列问题，求和属于组合问题。组数时变换数的位置，组成的数也发生变化；求和时只要选择的数不变，和就不变。
4.解决搭配问题时，注意两个数的和与顺序没有关系。
从 1、2、3这三个数字中，任意选取其中的两个求和，得数有几种可能？分别是多少？
由列表可知，1+2等于2+1，结果相同看作是一种可能。
列表如解析所示。
答:得数有3种可能，分别是3、4、5。
明明一家想去西安旅游，从成都到西安可以乘坐火车、汽车或者飞机。若成都去往西安的飞机有2班，火车有67班，汽车有1班。明明一家从成都到西安共有多少种不同的选择
运动会期间，四年级的三个班要进行足球比赛，每两个班踢一场，一共要踢多少场
在数学学习的奇妙旅程中，我们常常会遇到一些有趣的数字组合挑战。现在，我们从1～9这九个数字中选取三个不同的数，使其和等于12，共有几种不同的选法？
丽丽有一个带密码的日记本，她想打开日记本写日记，但是她忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有大于5的数字。丽丽最多试几次就能打开日记本
1.答案:2+67+1=70(种)
答:明明从成都到西安共有70种不同的选择。
2.解析:设四年级三个班分别为甲、乙、丙。踢球回合分别为:甲乙、甲丙、乙丙，共3场。
答案:一共要踢3场。
3.解析:要选出三个不同的数，可以先把第一个加数确定为最小的1，然后根据第二个加数逐次增加寻找第三个加数，此类写全之后，再把第二个加数确定为2，再变换第二个加数，以此类推，直到符合要求为止。
答案:12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6(共4种)
12=2+3+7=2+4+6(共2种)
12=3+4+5(共1种)
4+2+1=7(种)
答:共有7种不同的选法。
解析:由“这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大”可知，百位数字最小，先考虑百位数字最小有3种情况，分别是1、2、3。画树状图可以解答。
6+1+3=10(次)
答:丽丽最多试10次就能打开日记本。第五讲 人民币问题
1.分类枚举--列表法
要做到先进行分类，再考虑顺序。
2.付钱时最简便的原则
付钱的金额越接近，找的钱越少。
3.提示:解决人民币问题时，要做到考虑全面、不重复、不遗漏。
亮亮和妈妈去买菜，妈妈带了1张50元、5张10元和5张5元的纸币。妈妈买了50元的水果，在不找零钱的情况下有几种付款方式
付钱方式 50元/张 10元/张 5元/张 总面值/元
1 1 0 0 50
2 0 5 0 50
3 0 4 2 50
4 0 3 4 50
解题方法如上表所示。
答:在不找零钱的情况下有4种付款方式。
1.明明想买一个13元5角的文具盒，他带了2张10 元、3张5元、5张1元的纸币以及3枚5角的硬币。在不找零钱的情况下明明有几种付款方式
2.乐乐想买一个18元的玩具小猫，他带了1张10元、3张5元、5张1元的纸币。在不找零钱的情况下，乐乐有几种付款方式
3.小敏有2张20元、3张10元、3张5元和5张1元的纸币。买一个足球37元，有几种付款方式正好不找零钱
明明和妈妈总共买了35元的商品，妈妈递给售货员7张纸币刚好不用找钱，已知妈妈和明明带的纸币最小金额是1元，1元钱张数最多有10张，5元有3张。妈妈是怎样付款的
1.解析:付款金额不是整数，所以必须得有奇数个5角的硬币，可以采用图标的形式一一列举。
付钱方式 10元/张 5元/张 1元/张 5角/张 总面值/元
1 1 0 3 1 13.5
2 0 2 3 1 13.5
3 1 0 2 3 13.5
4 0 2 2 3 13.5
答案:如图所示，在不找零的情况下明明有4种付钱方式。
解析:先考虑钱数个位8,所以在付款的过程中必须有3张1元的纸币。
付钱方式 10元/张 5元/张 1元/张 总面值/元
1 1 1 3 18
2 0 3 3 18
答案:如图所示，在不找零的情况下乐乐有2种付钱方式。
3.解析:付钱的金额个位上是7，由题意可知一元的张数必须是2张，以此类推其他金额的张数。
付钱方式 20元/张 10元/张 5元/张 1元/张 总面值/元
1 1 1 1 2 37
2 1 0 3 2 37
3 0 3 1 2 37
4 0 2 3 2 37
答案:总共有4种付款方式正好不找钱。
解析:付钱金额为35元，所以能用到的纸币最大金额为20元，且只能用一张，最小为一元，列表解答。
付钱方式 20元/张 10元/张 5元/张 1元/张 总张数
1 1 1 1 0 3
2 1 0 3 0 4
3 1 0 2 5 8
4 1 1 0 5 7
5 1 0 1 10 12
6 0 3 1 0 4
7 0 2 3 0 5
8 0 1 3 10 14
9 0 3 0 5 8
10 0 2 2 5 9
答案:如图所示，妈妈付钱的时候给了一张 20元、一张 10元和五张 1元。第一讲 排队问题
1.基数--几个
表示物体的数量是多少。
2.序数--第几
表示物体的排列顺序和位置，此时只表示一个物体。
3.排队问题
需要特别注意是否有重复数或者漏数的部分。
游乐场门口排队买票。从前往后数，琪琪排第5，从后往前数，琪琪排第7。一共有多少人排队买票
用1个〇代表1个人
由题意可知，琪琪被重复数了1次，所以需要减1。
5+7-1=11(人)
答:一共有11人排队买票。
小朋友站成一排玩游戏。甜甜左边有10人，右边有8人。一共有多少人在玩游戏
24 个小朋友排队打饭，小亮前面有13人，他后面有多少人
46名同学排队上校车。小玉前面有18人，从后往前数，小锐排在第22个。小玉和小锐之间有多少人
同学们排成一个方队，小雨站在正中间，不管从前面数还是从后面数，也不管从左边数还是从右边数，小雨都是第6个。这个方队一共有多少人
答案:10+8+1=19(人)
答:一共有19人排队玩游戏。
解析:小亮后面的人数包括小亮。
答案:24-13-1=10(人)
答:他后面有 10人。
解析:总数减前面和后面的人数就是中间的人数，需要注意小玉前面有18人里不算小玉，求之前的人数需要多减1。从后往前数小锐排在第22个，里面算上小锐。
答案:46-18-1-22=5(人)
答:小玉和小锐之间有5人。
解析:
从前往后数和从后往前数都排第6个，由图可以看出小雨重复了1次，所以算每一列有多少人时，需要减1，因为是方队，行数和列数相同，所以相乘。
答案:6+6-1=11(个)
11×11=121(个)
答:这个方队一共有 121个同学。第二十讲 喝汽水问题
喝汽水问题
喝掉汽水后，用一定数量的空瓶子去换取新的汽水，并求最终能喝到多少瓶汽水的问题就是喝汽水问题。
某店规定，喝完汽水后，可用4个空瓶换1瓶汽水。张明买了21瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水 (不能借空瓶)
喝掉21 瓶后，得到21个空瓶。
每4个空瓶可以换1瓶汽水，所以可以换5瓶汽水(用掉20个空瓶，剩余1个)，因此，这一轮可以喝到5瓶汽水。
喝掉5瓶后，得到5个空瓶，加上之前剩余的1个空瓶，现在总共有6个空瓶，可以换1瓶汽水(用掉4个空瓶，剩余2个)，因此，这一轮可以喝到1瓶汽水。
剩下3个空瓶不能换。所以喝到的汽水总数：21＋5＋1=27(瓶)。
21＋5＋1=27(瓶)
答:他最多可以喝到 27瓶汽水。
1.某商店规定5个空瓶可以换1瓶汽水，夏令营的同学喝了181瓶汽水，其中有一些是用喝完的汽水的空瓶换的，那么他们最少买了多少瓶汽水
2.商店出售啤酒，规定每5个空瓶能换1瓶啤酒。张叔叔家买了80瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒
3.一瓶汽水1元钱，喝完后瓶子能卖5角钱，20元能喝到几瓶汽水
某校开运动会，学校给同学们买来50箱矿泉水，每箱24瓶。由于商店规定6个空瓶可换到1瓶矿泉水，所以同学们每喝完6瓶就去换1瓶，这样他们共能多喝多少瓶矿泉水
1.答案:181÷5=36……1
36×4=144(瓶)
买的汽水144＋1=145(瓶)
答:最少买了145瓶汽水。
2.答案:80＋16＋3＋1=100(瓶)
答:他们家前后共能喝到100瓶啤酒。
3.解析:20元钱可以购买20瓶汽水。喝完后，可以用这20个空瓶换取10瓶汽水。接着，喝完这10瓶汽水后，又可以换取5瓶汽水。之
后，用5个空瓶换取2瓶汽水，并留下1个空瓶。喝完这2瓶汽水后，再用剩下的3个空瓶(包括之前留下的1个)换取1瓶汽水。最后，喝完这瓶汽水后，再用这2个空瓶换取1瓶汽水。因此，总共可以喝到
20＋10＋5＋2＋1＋1=39瓶汽水。
答案:20＋10＋5＋2＋1＋1=39(瓶)
答:20元能喝到39瓶汽水。
答案:50×24=1200(瓶)
1200÷6=200
200÷6=33……2
(33＋2)÷6=5……5
(5＋5)÷6=1……4
多喝的瓶数:200＋33＋5＋1=239(瓶)
答:这样他们共能多喝239瓶汽水。第十八讲 还原问题
1.还原问题
已知一个数经过某些运算后的结果，求这个数原来是多少的问题叫还原问题。通常可以采用倒推法来解决，即从结果出发，倒推出要求的数。
2.解题技巧
原来是加，倒推时用减；原来是减，倒推时用加；原来是乘，倒推时用除；原来是除，倒推时用乘。
小明有一些糖果，他先给了小红一半多2颗，接着又给了小刚剩下糖果的一半多3颗，最后自己还剩下5颗糖果。小明原来有多少颗糖果
从最后结果出发，逐步往前推。
最后自己剩下5颗糖果，在给小刚之前，是(5＋3)×2=16(颗)。
在给小红之前，是(16＋2)×2=36(颗)。
所以小明原来有36颗糖果。
(5＋3)×2=16(颗)
(16＋2)×2=36(颗)
答:小明原来有36 颗糖果。
1.一个数加上5，乘5，再减去5，最后除以5，结果还是5。求这个数是多少。
2.某人去银行取款，第一次取了银行卡中钱数的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的卡中还剩1250 元。他这张银行卡中原有多少元
3.盆中有一些鸡蛋，第一次吃了其中的一半又半个，第二次吃了剩下的一半又半个，这时盆中还剩下1个鸡蛋。盆中原有鸡蛋多少个
有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使乙、丙油各增加1倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加1倍；最后把丙桶的油倒入乙、甲两桶，使它们的油各增加1倍，这时各桶油皆为16千克。各桶原来盛油多少千克
1.答案:5×5=25 25＋5=30 30÷5=6 6－5=1
答:这个数是1。
2.答案:(1250＋100)×2=2700(元)
(2700＋50)×2=5500(元)
答:原有存款5500元。
3.答案:(1＋0.5)×2=3(个)
(3＋05)×2=7(个)
答:盆子里原有鸡蛋7个。
解析:从最后各桶油都是16千克倒推。
答案:第三次倒之前:
甲有16÷2=8千克
乙有16÷2=8千克
丙有16＋8×2=32千克
第二次倒之前:
甲有8÷2=4千克
丙有32÷2=16千克
乙有8＋4＋16=28千克
第一次倒之前:
乙有28÷2=14千克
丙有16÷2=8千克
甲有4＋14＋8=26千克
答:原来甲盛油26千克，乙盛油14千克，丙盛油8千克。第十二讲 周期问题
1.周期问题
事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，这种规则性的问题便是周期问题，其连续两次出现所经过的时间叫作周期。
2.解题技巧
确定周期长度。
总数÷周期长度=组数……余数。
根据余数确定所求位置的情况，余数是几，就对应一个周期中的第几个；若没有余数，则对应周期中的最后一个。
有一串彩色珠子，按“3红、2黄、2绿”的顺序排列，第 36颗珠子是什么颜色
先确定周期长度：3+2+2=7(颗)；再用总数除以周期长度：36÷7=5……1其中余数是1，说明第36颗珠子与一个周期中的第1颗珠子颜色相同，即红色。
3+2+2=7(颗)
36÷7=5……1
答:第36颗珠子是红色。
1.2024年10月31日是星期四，那么2024年11月30日是星期几
2. 观察图形“★▲█★▲█★▲█……”，前 50 个图形中，有多少个“▲”
3.把1到100这100个自然数依次写下来，得到一个多位数123456789101112…99100，在这个多位数中，数字“8”出现了多少次
一串珠子按照“4颗紫珠子、3 颗橙珠子、2颗粉珠子”的顺序循环排列，如果一共有300颗珠子，那么橙珠子比粉珠子多多少颗
1.解析:10月有31天，从10月31日到11月30日一共有30天。
一周有7天，30÷7=4……2。也就是说过了4个完整的星期零2天，10月31日是星期四，往后数两天，11月30日是星期六。
答案:30÷7=4……2
答:11月30日是星期六。
2.解析:看图前50个图形的周期数为50:3=16…2.即有16个完整周期还余2个图形。每个周期中“▲”的个数为16个。余下的两个图形是“★▲”，又有1个“▲”。那么总共“▲”的个数是17个。
答案:50÷3=16……2
16+1=17(个)
答:有17个。
解析:“8”在个位上的数有8,18，28，…，98，数字“8”在个位上共出现了10次;“8”在十位上的数有80，81，…，89，数字“8”在十位上也出现了10次。所以从1到100的自然数中，数字“8”出现了 10+10=20(次)。
答案:10+10=20(次)
答:数字“8”出现了20次。
解析:周期长度为4+3+2=9颗珠子。300÷9=33……3，有33个完整周期余3颗珠子，这颗珠子是4颗紫珠子中的前3颗。
一个周期中橙珠子比粉珠子多3-2=1(颗)。
所以橙珠子比粉珠子多33×1=33(颗)。
答案:300÷(4+3+2)=33……3
33×(3-2)=33(颗)
答:橙珠子比粉珠子多33颗。第十九讲 重叠问题
1.重叠问题
当两个或多个计数部分有重复部分时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分，这样的问题叫重叠问题。
2. 解题技巧
总数=部分数＋部分数－重叠部分；
部分数=总数＋重叠部分－另一部分数；
重叠部分=部分数＋部分数－总数。
学校开设了体育、音乐、美术三个兴趣小组。参加体育小组的有50人，参加音乐小组的有45人，参加美术小组的有40人。同时参加体育和音乐小组的有20人，同时参加体育和美术小组的有15人,同时参加音乐和美术小组的有10人,三个小组都参加的有5人。学校共有多少人参加了兴趣小组
根据公式，总数=部分数＋部分数－重叠部分。三个小组都参加的有5人，因为它们同时属于两两组合的重复部分，这5人被多减了一次，所以需要再加上一次。
50＋45＋40－20－15－10＋5=95(人)
答:学校共有 95 人参加了兴趣小组。
1.学校图书馆统计借阅情况，借阅了童话书的有45人，借阅了科普书的有38人，两种书都借阅的有15人，还有10人没有借阅这两种书中的任何一本。问图书馆这次统计的总人数是多少
2.有两块木板，一块长30厘米，另一块长20厘米。把它们钉成一块长木板，重叠部分长5厘米。求钉成的长术板的长度。
3.在一次考试中，有60人参加。做对第一题的有45人，做对第二题的有40人，两题都做对的有30人。两题都做错的有多少人
实验小学三年级一班有男生28人，其中会打篮球的有13人，会唱歌的有17人，两种都不会的有7人。既会打篮球又会唱歌的有多少人
1.解析:将借阅童话书的45人加上借阅科普书的38人，由于两种书都借阅的人在这两个数字中都被重
复计算了一次，所以要减去重复的15人，得到借阅了童话书或科普书的人数，再加上没有借阅这两种书中任何一本的10人，就可得出图书馆这次统计的总人数。
答案:(45＋38－15)＋10=78(人)
答:图书馆这次统计的总人数是78人。
2.答案:30＋20－5=45(厘米)
答:两块木板拼接在一起后的总长度是45厘米。
3.答案:至少做对一题的人数：45＋40－30=55(人)
两题都做错的有：60－55=5(人)
答:两题都做错的有5人。
答案:(13＋17)－(28－7)=9(人)
答:既会打篮球又会唱歌的有9人。第十六讲 日期推算
1.日期推算
通常涉及闰年、平年的判断以及对日期规律的掌握。
2.解题技巧
计算天数时要注意区分大月、小月和闰年的二月。
利用余数来确定星期几，余数是几就从已知的星期几往后数几天。
可以通过制作日历表的方式来辅助理解和计算日期推算问题。
2024年1月1日是星期一，2024年3月1日是星期几？
2024年是闰年，1月有31天，2月有29天，所以一共经过了31－1＋29＋1=60(天)，60－7=8……4，往后数4天，是星期五。
31－1＋29＋1=60(天)
60÷7=8……4，往后数4天，是星期五。
答：2024年3月1日是星期五。
1.从2022年8月10日到2023年3月5日，经过了多少天
2.2024年1月1日是星期一，经过100天后是星期几
3.在某闰年中，2月1日是星期日，这一年的10月1日是星期几
小红在2024年2月29日出生，那么当她过第5个生日的时候是哪一年哪一天？
1.解析：先计算2022年8月10日到2022年12月31日的天数，再加上2023年1月1日到3月5日的天数。8月有31－10=21天，9月、11月各30天，10月、12月各31天；2023年1月有31天，2月(2023年是平年)有28天，3月有5天，总共21＋30＋31＋30＋31＋31＋28＋5=207(天)
答案：21＋30＋31＋30＋31＋31＋28＋5=207(天)
答：经过了207天。
2.解析：用100÷7=14……2,即经过14个星期余2天，星期一往后推两天是星期三。
答案:100－7=14……2
答：经过100天后是星期三。
3.闰年2月有29天，从2月1日到10月1日，2月的天数为29－1=28天(因为2月1日这一天不算在间隔天数内)，3月有31天，4月有30天，5月有31天，6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，10月1日算1天。所以总天数为28＋31＋30＋31＋30＋31 ＋31＋30＋1=243天；243÷7=34……5，因为2月1日是星期日，往后数5天，所以10月1日是星期五。
答案:
(29－1)＋31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋1
=28＋31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋1
=243(天)
243÷7=34……5
答:这一年的10月1日是星期五。
解析:小红出生在2024年2月29日，只有闰年才有2月29日，每四年一闰。她过第5个生日时经过了4×5=20(年)，即2044年2月29日。答案:4×5=20(年)
答:当她过第5个生日的时候是2044年2月29日。第十七讲 分段计费
1.分段计费
需要根据不同的计费标准进行分段计算。
2.解题步骤
确定分段区间：仔细分析问题，明确各个分段的范围。
分别计算各段费用：根据不同区间的计费标准，计算每一段的费用。
求和得到总费用：将各段费用相加，得到最终的总费用。
某市出租车收费标准为：3千米以内(含3千米)收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.5元。小明乘坐出租车行驶了 10千米，他需要支付车费多少元
小明乘坐出租车行驶了10千米，超过3千米部分的费用加上3千米以内的费用即可。
超过3千米部分的费用:(10－3)×1.5=10.5(元)
总费用:8＋10.5=18.5(元)
答:他需要支付车费 18.5 元。
1.某地电费分段计价，每月100千瓦时内每千瓦时0.6元，超过100千瓦时但不超过200千瓦时部分每千瓦时0.8元，超过 200千瓦时部分每千瓦时1.2元。小红家上个月用电230 千瓦时，求小红家上个月电费是多少元。
2.某市居民用水实行阶梯水价，每月不超过 10立方米时，每立方米为2.5元；超过10立方米但不超过20立方米，每立方米为3元；用水量超过20立方米的部分，每立方米为4元。小明家上个月用水 25 立方米，求小明家上个月水费是多少元。
3.某快递公司收费标准为：首重1千克内(含1克)10元；超过1千克的部分(不足1千克按1千克计重)，每千克5 元。小张寄一个重5千克的包裹，需支付快递费多少元？
某景区门票收费标准为：1.2米以下儿童免费；1.2米至1.5米儿童，门票30元；18岁以上成年人(学生除外)，门票50元。小红的爸爸妈妈带着她和哥哥去该景区，小红身高1.1米，哥哥身高14米。他们需要支付门票多少元？
1.答案:100×0.6＋100×0.8＋(230－200)×1.2=176(元)
答:小红家上个月电费176元。
2.答案:10×2.5＋10×3＋(25－20)×4=75(元)
答:小明家上个月水费是75元。
3.答案:1×10＋(5－1)×5=30(元)
答:需支付30元运费。
解析:爸爸身高1.8米，门票价格为50元。妈妈身高1.6米，门票价格为50元。孩子一身高1.1米，免费。孩子二身高1.4米，门票价格为30元。
答案:总费用：50＋50＋30=130(元)
答:需要支付130元门票费用。第十三讲 逻辑推理问题
1.逻辑推理问题
通过已知事实或条件，运用逻辑思维进行推理解答的问题，这类问题一般不涉及专门的数学定理和公式。
2.解题技巧
选准突破口，分析时综合几个条件进行判断。
根据题中已知条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。
对可能出现的情况作出假设，然后根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的。
遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
甲、乙、丙三人中，只有一人会游泳。甲说:“我会”。乙说:“我不会”。丙说:“甲不会”。如果这三句话只有一句是真的，那么会游泳的是谁
甲说“我会”，丙说“甲不会”，这两句话相互矛盾。
因为矛盾关系必有一真一假，而题干中明确三句话只有一句是真的，所以真话就在甲和丙的话中，那么乙说的一定是假的。
乙说“我不会”是假的，所以乙会游泳。
答:会游泳的是乙。
1.有红、黄、蓝三个箱子，梨放在其中某个箱子里。红箱写着：“梨在这箱。”黄箱写着：“梨不在这箱。”蓝箱写着：“梨不在红箱。”已知三句话中仅一句是真，梨在哪个箱子里
2.三位老师分别教语文、数学、英语。已知张老师不教语文，王老师既不教语文也不教数学，那么李老师教什么科目
3.已知 A、B 是羊或狼中的一种，但不知道具体身份。羊只说真话，狼只说假话。A说:“如果我是羊，那么B也是羊。”请判断A和B的真实身份。
A、B、C、D四位同学参加唱歌比赛，赛后四人预测名次。A说:“C第一，我第三。”B说:“我第一，D第四。”C说:“我第三，D第二。”D没有说话。
公布结果后发现每人只说对一半，他们的名次分别是怎样的
1.解析:红箱上写的“梨在这箱”和蓝箱上写的“梨不在红箱”相互矛盾。
答案:因为矛盾关系必有一真一假，而题干中明确三句话只有一句是真，所以真话就在红箱和蓝箱的话中,那么黄箱上的话是假的。
黄箱上写着“梨不在这箱”是假的，所以梨在黄箱。
答案:梨在黄箱里。
2.答案:王老师既不教语文也不教数学，所以王老师只能教英语。张老师不教语文，那么张老师只能教数学。由于张老师教数学，王老师教英语，所以李老师教语文。
综上，李老师教语文。
答:李老师教语文。
3.答案:假设A是天使，因为天使说真话，根据他说的话，那么B也是天使;假设A是恶魔，恶魔说假话，那么其所说的“如果我是天使，那B也是天使”的反话为真，即“如果A是天使，那B不是天使”为真，但这与假设A是恶魔矛盾，所以该假设不成立。综上A 和B都是天使。
答:A和B都是天使。
假设A说的“C第一”是真的，那么C说的“我第三”就是假的,“D第二”就是真的;这样B说的“我第一”就是假的,“D第四”就是真的，这就产生了矛盾，所以假设不成立。那么A说的我第三”是真的，C说的“我第三”就是假的，“D第二”就是真的;B说的“D第四”就是假的，“我第一”就是真的。
所以名次依次为B第一，D第二，A第三，C第四。
答:B第一，D第二，A第三，C第四。第十四讲 盈亏问题
1.盈亏问题
将相同数量的事物分配给同样的组数，有时候会多出来(盈)，有时候会不够(亏)，这种问题被称为盈亏问题。
2.常用关系式
一盈一亏:
(盈数+亏数)÷两次分配之差=份数；
总数量=每次分得的数量×份数+盈数或总数量=每次分得的数量×份数-亏数。
两次皆盈:
(大盈-小盈)÷两次分配之差=份数；
总数量=每次分得的数量×份数+对应的盈数。
两次皆亏:
(大亏-小亏)÷两次分配之差=份数；
总数量=每次分得的数量×份数－对应的亏数。
小朋友分糖果，每人分4颗则多9颗；每人分5颗则少6颗。问有多少个小朋友和多少颗糖果
这里是一盈一亏的情况。盈数是9颗，亏数是6颗，两次分配之差是 5-4-1(颗)。
按照公式可得小朋友人数和糖果总数。
5-4=1(颗) (9+6)÷1=15(人) 4×15+9=69(颗)
答:有15 个小朋友和 69颗糖果。
1.工人搬运货物，如果每人搬8箱，还差 12 箱;如果每人搬 10 箱,还差 24 箱。一共有多少名工人？有多少箱货物？
2.一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3人没有位置。有多少条船？多少名同学？
3.用一根绳子测量井深，如果把绳子对折量，井外余8 米；如果把绳子三折量,井外余2米。问井深和绳长各是多少
同学们去植树，如果每人栽5棵树，还有3棵树没人裁；如果其中2人各栽4棵树，其余每人栽6棵树，就恰好栽完所有的树。共有多少人？要栽多少棵树？
1.答案:人数:(24-12)÷(10-8)=6(个)
货物数量:8×6-12=36(箱)
答:一共有6个工人，36箱货物。
2.答案:船的数量:(3+3)÷(5-4)=6条
同学数量:5×6-3=27人。
答:有6条船，27个同学。
3.答案:井深:(8×2-2×3)÷(3-2)=10(米)
绳长:2×(10+8)=36(米)
答:井深10米,绳长36米。
解析:第二种情况可以假设所有人一开始都挖6个树坑，那么相比实际情况就多挖了2×(6-4)=4个树坑，所以此时亏4个树坑。
答案:2×(6-4)=4(个)
少先队员人数:(3+4)÷(6-5)=7(名)
树坑总数:5×7+3=38(个)
答案:有7名少先队员，38个树坑。第十五讲 方阵问题
1.方阵问题
把若干人或物排列成正方形队列的问题叫作方阵问题。方阵分为实心方阵和空心方阵两种。
2.方阵问题每边数与四周数之间的数量关系式
全县和四周数=(每边数-1)×4；
每边数=四周数÷4+1。
3.实心方阵的数量关系式
总数=最外层每边个数×最外层每边个数。
4.空心方阵的数量关系式
总数=(最外层每边个数－层数)×层数×4；
最外层每边个数=总数÷4÷层数+层数；
最里层每边个数=最外层每边个数－2×(层数－1)。
用围棋子摆成一个3层空心方阵，最外层每边有15枚棋子，这个空心方阵一共有多少枚围棋子
根据空心方阵的公式：总数 =(最外层每边个数－层数)×层数×4。(15-3)×3×4=144(枚)
答:这个空心方阵一共有144 枚围棋子。
1.在一个正方形场地四周插入彩旗，四个角都插一面，共插了28面彩旗。四周每边插彩旗多少面
2.一个实心方阵，最外层每边站了8人，这个方阵共有多少人
3.同学们排成一个两层空心方阵，外层每边12人，这个方阵一共有多少人
做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵(正方形队列)时还多10人，若站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少 15 人。原来有多少人
1.答案:四边数=28÷4+1=8(面)
答:四周每边插彩旗8面。
2.答案:8×8=64(人)
答:这个方阵共有64人。
3.答案:(12-2)×2×4=80(人)
答:这个方阵一共有80人。
解析:需要额外补充的人数:10+15=25(人);额外的人将被安置在两个相邻边上，形成一个直角拐角。
答案:10+15=25(人)
(25+1)÷2=13(人)
扩大后的方阵人数:13×13=169(人)
原来的人数:169-15=154(人)
答案:原来有154人。第十一讲 年龄问题
1.年龄问题
本质是和差问题、和倍问题、差倍问题。
2.年龄问题的三个特点
两个人的年龄差，永远不变。
时间向前或者向后，几个人的年龄一定分别减少或增加相等的数量。
两个人的年龄倍数会发生变化。
东东今年6岁，妈妈今年42岁，几年后妈妈的年龄是东东年龄的4倍
因为年龄差永不变，所以几年之后妈妈和东东的年龄差还是 42-6=36(岁)，把几年后东东的年龄看作1倍数，妈妈的年龄就是4倍数，年龄差就是3倍数，三倍数对应的是36，1倍数是36÷3=12，即若干年后东东的年龄减去东东今年的年龄即可求出答案。
(42-6)÷(4-1)=12(岁)
12-6=6(年)
答:6年后妈妈的年龄是东东年龄的4倍。
1.3年前，甲的年龄是乙的4倍，甲今年47岁，乙今年多少岁
2.今年李老师比小刚大30岁，3年前，李老师的年龄比小刚年龄的5倍多2岁。今年李老师和小刚各几岁
3.今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁，3年后甲比乙大6岁，丙比乙小3岁。今年甲、乙、丙三人各多少岁
一家四口，父亲、母亲、儿子、女儿，现在他们的年龄和为71岁。父亲比母亲大3岁，女儿比儿子小2岁。4年前全家的年龄和为56岁，现在每个人的年龄分别是多少岁
1.答案:(47-3)÷4+3=14(岁)
答:乙今年14岁。
2.解析:三年前，小刚的年龄(30-2)÷(5-1)=7(岁)，3年前李老师的年龄7×5+2=37(岁)，那么李老师今年的年龄是37+3=40(岁),小刚的年龄是7+3=10(岁)。
答案:(30-2)÷(5-1)=7(岁)
7+3=10(岁)
7×5+2=37(岁)
37+3=40(岁)
答:今年李老师40岁，小刚10岁。
3.解析:三年后，三人的年龄差不变。
答案:乙的年龄:(60-6+3)÷3=19(岁)
甲的年龄:19+6=25(岁)
丙的年龄:19-3=16(岁)
答:甲乙丙的年龄分别是25、19、16。
解析:71-4×4=55(岁),比56岁小一岁，说明4年前女儿没出生,所以女儿今年3岁。
答案:女儿:今年3岁
儿子:2+3=5(岁)
爸爸:(71-3-5+3)÷2=33(岁)
妈妈:33-3=30(岁)。
答:爸爸33岁，妈妈30岁，儿子5岁，女儿3岁。第二十一讲 鸡兔同笼问题
1.已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题
假设全都是兔，则鸡的数量=(4×鸡兔总数－已知脚数)÷(4-2)；
假设全都是鸡，则兔的数量=(已知脚数－2×鸡兔总数)÷(4-2)。
2.已知鸡、兔的总数和鸡比兔多多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题
假设全都是兔，则鸡的数量=(4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差)÷(4+2)；假设全都是鸡，则兔的数量=(2×鸡免总数－鸡与兔脚之差)÷(4+2)。
一个笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有 94只脚。求鸡和兔各有多少只。
假设全是鸡，那么兔的数量为(94－2×35)÷(4－2)=12(只)；鸡的数量为35－12=23(只)。
(94－2×35)÷(4－2)=12(只)
35－12=23(只)
答:有12只兔，23只鸡。
1.鸡兔同笼，鸡与兔共有140只，鸡脚比兔脚多160只。鸡、兔各有多少只
2.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有多少只
3.用80根小棒拼装成了18个正方形和正五边形。已知正方形有4条边，正五边形有5条边。正方形和正五边形各有多少个
鸡兔同笼共有100只，鸡的脚数比兔的4倍多2只。鸡和兔各有多少只
1.答案:假设全是鸡，那么兔的总数为(2×140－160)÷(4＋2)=20(只)
鸡的数量为140－20=120(只)
答:20只免，120只鸡。
2.答案:假设全是鹤，龟的总数:(112－2×40)÷(4－2)=16(只)
鹤有 40－16=24(只)
答:龟有16只，鹤有24只。
3.答案:假设全是正方形，正五边形的总数(80－4×18)÷(5－4)=8(个)正方形有18－8=10(个)
答:正方形有10个，正五边形有8个。
答案:
解:设鸡有只，则免有(100－)只。
列方程：2=4(100－)×4＋2
解得=89
那么兔子的数量为：100－89=11(只),因此鸡有89只，免子有11只。
答:鸡有89只，免子有11只。第二十二讲 基本行程问题
1.基本行程问题
主要涉及速度、时间之间的关系。
2.基本关系式
路程=速度×时间；
速度=路程÷时间；
时间=路程÷速度；
平均速度=总路程÷总时间。
小明骑自行车以12千米/时的速度从家出发去图书馆，用了30分钟到达。小明家到图书馆的路程是多少千米？
已知小明骑自行车的时间是30分钟，因为速度的单位是千米/时，所以我们需要先将时间单位换算成小时。因为1小时等于60分钟，所以30分钟换算成小时为0.5小时。
已知速度是12千米/时，时间是0.5小时，根据路程=速度×时间，可得小明家到图书馆的路程。
30分=0.5小时
12×0.5=6(千米)
答:小明家到图书馆的路程是6千米。
1.一辆汽车以60千米/时的速度行驶了4小时，然后减速到40千米/时再行驶了2小时。这辆汽车总共行驶了多少千米
2.小红和小明同时从两地出发相向而行，小红的速度是5千米/时，小明的速度是7千米/时。他们在2小时后相遇。两地之间的距离是多少千米
3.小华早上以80米/分的速度跑步去上学，用了15分钟到达学校。下午放学后，他以60米/分的速度走回家，小华回家需要多长时间
一辆汽车从A城开往B城，计划每小时行驶60千米，5小时到达。但行驶了1.5小时后，因故停留了0.5小时。为了按时到达 B城，汽车之后的速度应是多少
1.答案:60×4＋40×2=320(千米)
答:这辆汽车总共行驶了320千米。
2.答案:(5＋7)×2=24(千米)
答:两地之间的距离是24千米。
3.答案:(80×15)÷60=20(分钟)
答:小华回家需要20分钟。
答案:距离剩：60×5－60×1.5=210(千米)
时间剩：5－1.5－0.5=3(小时)
速度为：210÷3=70(千米/小时)
答:速度应是70千米/小时。第二十八讲 平均数问题
1.平均数问题
在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数所得的商叫作平均数。
2.基本关系式
平均数=总数量÷总份数。
3.解题技巧
确定总数量以及与总数量相对应的总份数，然后用总数量除以总份数求得平均数。
小明在四次某项体育测试中分别获得了90分、85分、92分和88分。求小明这四次某项体育测试的平均分。
根据关系式：平均数=总数量÷总份数可解，总数量为小明四次某项体育测试的总分数，总份数为4，相除的结果就是四次某项体育测试的平均分分数。
90＋85＋92＋88=355(分)
355÷4=88.75(分)
答:小明这四次某项体育测试的平均分是88.75分。
1.某地在一周内每天的最高气温分别是25℃、26℃、24 ℃、28 ℃、27 ℃、25 ℃、24 ℃，那么该地这一周的最高气温平均约是多少摄氏度
2.某班级学生的身高情况如下：第一组10名同学的平均身高是150厘米，第二组15名同学的平均身高是155 厘米。求这个班级所有同学的平均身高。
3.有5个数的平均数是20，把其中一个数改为10后，这5个数的平均数变为18。这个被改动的数原来是多少
某工厂两天的生产任务都是制造600件产品。第一天每小时制造30件，完成了任务；第二天每小时制造60件，完成了任务。这两天该工厂平均每小时制造多少件产品
1.答案:(25＋26＋24＋28＋27＋25＋24)÷7≈25.57(℃)
答:这一周的平均气温是25.57℃。
2.答案:(150×10＋155×15)÷(10＋15)=153(厘米)
答:这个班级所有同学的平均身高是153厘米。
3.答案:(20×5)－(18×5)＋10=20
答:这个数原来是20。
答案:600×2÷(600÷30＋600÷60)=40(件/小时)
答:这两天该工厂平均每小时制造40件产品。第二十九讲 分数应用题
1.找准单位“1”。通常情况下，“是”“比”“占”“相当于”后面的量是单位“1”。
2.解决分数应用题的关键是分量与分率的对应。分量是具体的数值，分率是指一个数是另一个数的几分之几。
3.基本关系式
分量÷分率=单位“1”；
分量÷单位“1”=分率；
单位“1”×分率=分量。
一本故事书有120页，小明第一天看了这本书的，第二天看了这本书的。小明两天一共看了多少页
把这本故事书看成是单位“1”:第一天看的页数，120×=30(页);第二天看的页数，120×=40(页);两天一共看了，30+40=70(页)。
120×＋120×=70(页)
答:小明两天一共看了70页。
1.一条绳子长20米，第一次用去了它的，第二次用去了米。两次一共用去多少米
2.有一批货物，第一天运走了这批货物的，第二天运走了这批货物的，两天一共运走了55 吨。这批货物一共有多少吨
3.一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了全程的，两小时共行驶了114千米。甲、乙两地相距约多少千米 (结果保留整数)
有两筐苹果，第一筐苹果重36千克，如果从第一筐中取出放入第二筐，那么两筐苹果一样重。两筐苹果其重多少千克
1.解析:要注意第二次用了米。
答案:20×＋=(米)。
答:两次一共用了米。
2.答案:55÷(＋)=75(吨)
答:这批货物一共有75吨。
3.答案:114÷(＋)≈239(千米)
答:甲乙两地相距约239千米。
答案:第一筐取出苹果的重量：36×=15(千克)
第二筐的苹果重量：36－15－15=6(千克)
两筐苹果的重量：36＋6=42(千克)
答:两筐苹果一共重42千克。第二十六讲 流水行船问题
1.流水行船问题
主要涉及到船在静水中行驶的速度、水流速度以及船的实际速度之间的关系。
2.基本关系式
顺水速度=船在静水中的速度＋水流速度；
逆水速度=船在静水中的速度－水流速度；
船在静水中的速度=(顺水速度＋逆水速度)÷2；
水流速度=(顺水速度－逆水速度)÷2；
顺水路程=顺水速度×顺行时间；
逆水路程=逆水速度×逆行时间。
一艘船在静水中的速度是25千米每小时，水流速度是5千米每小时，这艘船顺水行驶的速度是多少？逆水行驶的速度是多少？
根据顺水速度=船在静水中的速度＋水流速度；逆水速度=船在静水中的速度－水流速度可解。
顺水速度：25＋5=30(千米/时)
逆水速度：25－5=20(千米/时)
答:这艘船顺水速度为30千米/时，逆水速度为20千米/时。
1.一艘小船顺水行驶48千米需要4小时，逆水行驶48千米需要6小时。求船在静水中的速度和水流速度。
2.两艘船分别从A地和B地同时出发，相向而行。A地和B地之间的距离是100千米，水流的速度是2千米每小时。如果两艘船在静水中的速度都是20千米每小时，那么它们将在多少小时后相遇
3.一艘船从A地到B地顺水行驶需要4小时，从B地返回A地逆水行驶需要6小时。已知水流速度是2千米每小时，求A、B两地之间的距离。
一艘船往返于上下游两港之间，顺水行驶需要8小时，逆水行驶需要12小时。有一天遇到暴雨，水速增大，这艘船顺水行驶只需6小时，那么此时逆水行驶需要多少小时
1.答案:静水中的速度:(48÷4＋48÷6)÷2=10(千米/小时)
水流速度:(48÷4－48÷6)÷2=2(千米/小时)
答:静水速度10千米/小时;水流速度2千米/小时。
2.答案:100÷(20＋2＋20－2)=2.5(小时)。
答:它们在2.5小时后相遇。
3.答案:
解:设船在静水中的速度为千米/小时。
(＋2)×4=(－2)×6
解得:=10
则AB两地间的航程为:(10＋2)×4=48(千米)
答A、B两地之间的距离为48千米。
答案:船在静水中的速度：(1÷8＋1÷12)÷2=
暴雨后水流的速度：－=
暴雨后船逆水而上需用的时间为：1÷(－)=24(小时)
答案:此时逆水行驶需要24小时。第二十七讲 页码问题
1.页码问题
计算一本书的页码中某个数字出现的次数、不同数字组成的页码数量等，这种问题叫作页码问题。
2.解题技巧
一般需要仔细分析数字的规律和不同位数的特点，通过分类讨论的思想求解。
一本故事书共有150页，在这本书的页码中，数字2一共出现了多少次？
先考虑个位上数字2出现的次数：每10个数中，个位上数字2会出现一次。150÷10=15，所以个位上数字2出现了15次。
再考虑十位上数字2 出现的次数：从20到99，十位上是2，每 100个数中有10这样的数。150页中，有20-29和120-129，共20个数，所以十位上数字2 出现了20次。
最后考虑百位上数字2不会出现，因为这本书只有 150页。
汇总数字2出现的总次数:15+20=35(次)。
所以在150 页的这本书的页码中，数字2一共出现了35次。
150÷10=15(次) 15＋20=35(次)
答:数字2一共出现了35次。
1.一本画册，页码从1开始，到100页结束。数字5在页码中出现了多少次
2.一本80页的书，一共用了多少个数字来表示页码
3.一本书用了252个数字来表示页码，这本书有多少页
一套书分上下两册，两册的页码共有777个数字，但下册页码与上册页码不接排且上册比下册多7页。上册有多少页
1.解析:个位上是5的情况：每个数中就有一个数个位是5，如 5、15、25等，十位上是5的情况:从50到59这个数十位是5，所以十位是5的数有10个。
答案:100÷10=10(次)
10＋10=20(次)
答:数字5在页码中出现了20 次。
2.答案:1×9＋(80－10＋1)×2=151(个)
答:一共用了151个数字。
3.答案:一位数页码:9个
二位数页码:(99－10＋1)×2=180(个)
三位数页码:(252－9－180)÷3=21(个)
总页码为9＋90＋21=120(页)
答:这本书有120页。
答案:(777－7×3)÷2=378(个)
(378－189)÷3=63(页)
63＋99＋7=169(页)
答案:上册有169页。第二十三讲 相遇问题
1.相遇问题
两个或多个物体(如人、车辆等)从不同地点出发，以不同的速度移动，最后在某一点相遇。这类问题被称为相遇问题。
2.基本关系式
相遇时间=路程和÷速度和；
路程和=速度和×相遇时间；
速度和=路程和÷相遇时间。
甲和乙分别从 A、B两地出发，相向而行。甲的速度为5千米每小时，乙的速度为7千米每小时。A、B两地相距24千米，求甲和乙相遇所需的时间。
已知甲的速度是5千米每小时，乙的速度是7千米每小时，那么两人的速度和就是甲的速度与乙的速度相加，即5＋7=12(千米/时)。
由题意可知，路程和就是 A、B 两地之间相距的24千米，速度和是12千米/时，根据相遇问题的关系式：相遇时间=路程和÷速度和可解。
24÷(5＋7)=2(时)
答:甲和乙相遇需要2小时。
1.一辆客车和一辆货车同时从相距420千米的两地相对开出，客车每小时行驶80千米，货车每小时行驶60千米。几小时后两车相遇
2.两列火车同时从两地相对开出，甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶70千米，经过小时两车相遇。两地相距多少千米
3.一个环形跑道长400 米，甲和乙同时从同一地点背向而行。甲的速度为6米每秒，乙的速度为4米每秒。求他们第一次相遇时各自跑了多少米。
小军和小刚分别从相距1000米的两地同时相向而行。小军每分钟走120米，小刚每分钟走80米。同时有一只小狗以500米每分钟的速度在两人之间来回跑，直到小军和小刚相遇。小狗共跑了多少米
1.答案:420÷(80＋60)=3(小时)
答:3小时后两车相遇。
2.答案:(50＋70)×=90(千米)
答:两地相距90千米。
3.答案:400÷(6＋4)=40(秒)
甲:6×40=240(米)。
乙:4×40=160(米)
答案:甲跑了240米，乙跑了160米。
解析:从出发到相遇，小狗一直在跑没有停。
答案:1000÷(120＋80)×500=2500(米)
答:小狗共跑了2500米。第二十四讲 追及问题
1.追及问题
两个物体同向而行，速度快的在后面追速度慢的。这类问题叫作追及问题。
2.基本关系式
追及时间=路程差÷速度差；
路程差=速度差×追及时间；
速度差=路程差÷追及时间；
快者速度=速度差＋慢者速度；
慢者速度=快者速度－速度差。
甲从A地出发，以6千米每小时的速度前往B地。1小时后，乙也从A地出发，以8千米每小时的速度追甲。求乙追上甲所需的时间。
追及时间=路程差÷速度差，如图所示，路程差为甲先行1小时所走的路程，即6×1=6(千米)。
(6×1)÷(8－6)=3(时)
答:乙追上甲所需的时间为3小时。
1.兄弟二人同时从家出发去学校，弟弟每分钟走60米，哥哥每分钟走75米，弟弟出发10分钟后哥哥出发。哥哥多久能追上弟弟 (哥哥追上弟弟时，两人未到学校)
2.甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶80千米。出发2小时后，乙车返回A地取东西，然后立即追赶甲车，乙车再次从A地出发后多久能追上甲车
3.小明在沿铁路方向的公路上慢跑，速度是2米每秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒。已知火车全长336米，求火车的速度是多少。
甲、乙、丙三人从A地到 B地。甲、乙早上六时出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米。丙上午八时出发，傍晚六时和甲同时到达B地，丙什么时候追上乙
1.答案:(60×10)÷(75－60)
=40(分钟)
答:哥哥40分钟后能追上弟弟。
2.解析:乙车返回A地还需要两个小时，所以此时甲车已经行驶了4个小时。
答案:60×(2＋2)=240(千米)
240÷(80－60)=12(小时)
答:乙车12小时后能追上甲车。
3.答案:速度差:336÷21=16(米/秒)
火车的速度:16＋2=18(米/秒)
答:火车的速度是18米/秒。
答案:两地之间距离：5×12=60(千米)
丙的速度：60÷10=6(千米/小时)
追上乙的时间：4×2÷(6－4)=4(小时)
丙上午八点钟出发,经过4小时那么丙在中午十二点追上乙。
答案:丙中午十二点追上乙。第二十五讲 火车过桥问题
1.火车过桥问题
火车的车头上桥，是过桥的开始；车尾离开桥，是过桥的结束。
2.基本关系式
火车过桥时行驶的路程=桥长＋火车车身长；
火车通过桥的时间=(桥长＋火车车身长)－速度。
一列火车长300米，以900米/分的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。这座大桥长多少米
如图所示，大桥长=行驶的路程－火车车身长
900×3-300=2400(米)
答:这座大桥长2400米。
1.火车长360米，每秒行驶20米，火车通过一座长480米的隧道，需要多长时间
2.小芳站在铁道口等火车通过，一列火车从她身边开过用了2分钟。已知这列火车长360米，以同样的速度通过一座大桥，用了6分钟。这座大桥长多少米
3.一列火车通过356米的山洞需60秒，若以同样的速度通过一条长 499米的大桥，则需73秒。求这列火车的速度和车身的长度。
两列火车相向而行，甲车的速度是108千米每小时，乙车的速度是90千米每小时。两车错车时，甲车上一名乘客从看见乙车车头到看见乙车车尾共用了8秒。乙车的车长是多少米
1.答案:(360＋480)÷20=42秒
答:需要42秒。
2.答案:360÷2×6－360=720米
答:这座大桥长720米。
3.答案:火车速度是(499－356)÷(73－60)=11(米/秒)
车身长是11×60－356=304(米)。
答:火车速度是11米/秒，车身长304米。
解析:换算甲车的速度为108×1000÷3600=30米/秒；
乙车的速度为90×1000÷3600=25米/秒。
答案:108×1000÷3600=30(米/秒)
90×1000÷3600=25(米/秒)
乙车车长:(30＋25)×8=440(米)。
答：乙车的车长为440米。第三十讲 百分数应用题
1.明确单位“1”，有时候题目中会出现多个分率，要根据具体情况确定不同分率对应的单位“1”是否相同。
2.明确百分数与分数、小数的互化方法，以便在解题过程中灵活转换。
3.在涉及百分数的增减问题时，要清楚是在哪个量的基础上进行增减。
4.常用关系式
合格率=×100%；
出勤率=×100%。
某班有学生50人，今天有两名同学请假未到，求该班学生今天的出勤率。
可解。
50－2=48(人)
答:该班学生今天的出勤率是96%。
1.某工厂去年生产化肥300万吨，今年计划比去年增产15%。今年计划生产化肥多少万吨
2.某工厂加工一批零件，已经加工了这批零件的60%，还剩下240个零件未加工。这批零件一共有多少个
3.某商场进行促销活动，一款商品先降价20%销售，活动结束后又提价20%。现在这款商品的价格与原价相比是涨了还是降了 变化幅度是多少
某商店同时售出两件商品，售价均是30元，其中一件盈利20%，另一件亏损20%。这个商店售出这两件商品总体上是盈利还是亏损 具体是多少元
1.答案:300×(1＋15%)=345(吨)
答:今年计划生产化肥345吨。
2.答案:240÷(1－60%)=600(个)
答:这批零件一共有600个。
3.答案:
解:设商品原价为1。
先降价20%后价格为：1×(1－20%)=0.8
再提价20%后的价格：0.8×(1＋20%)=0.96
比较现在价格与原价：因为0.96<1，所以现在的价格比原价降了。
变化幅度：(1－0.96)÷1×100%=4%
答:这款商品的价格与原价相比降了，变化幅度为4%。
答案:盈利商品的成本：30÷(1＋20%)=25(元)
亏本商品的成本：30÷(1－20%)=37.5(元)
两件商品的总成本：25＋37.5=62.5(元)
两件商品的售价：30×2=60(元)。
62.5－60=2.5(元)
答案:总体上是亏本，亏了2.5元。

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