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第三十八讲 利润、利率、税率问题
1.利润问题
售价=定价×折扣;
利润=售价－成本;
利润率=利润÷成本×100%。
2.利率问题
利息=本金×利率×存期;
利率=利息÷本金÷存期×100%;
本金=利息÷利率÷存期。
注意计算利息时，如果存款的利率是年利率，那么计算时所用的存期的单位应是“年”;如果存款的利率是月利率，那么计算时所用的存期的单位应是“月”。
3.税率问题
应纳税额=应纳税部分的金额×税率。
某超市有一款洗地机的进价为1500元，售价为2100元。过年期间，超市为了促销，准备将这款洗地机打折出售，但要保证利润率不低于5%，最低可以打几折
若要求出最低打儿折、则需要先求出打折销售的最低价格。因为打折出售的这款洗地机的利润率需不低于5%,所以要先求出最低售价后再计算折扣。
1500×(1＋5%)=1575(元)
1575÷2100×100%=75%
答:最低可以打七五折。
1.电器商场一款热水器按20%的利润率定价后，再打七折出售，结果每台亏228元。这款热水器的进价是多少元每台
2.妈妈把20000元存入银行，定期存储一年，若年利率为1.1%，到期后她可取回多少元
按照规定，公民每月收入(不计税收入除外)未超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为本月应纳税所得额,且应纳税所得额不超过3000元的部分按照3%的税率缴纳个人所得税，应纳税所得额在3000元～12000元的部分按照10%的税率缴纳个人所得税……周周的爸爸本月的收人(不计税收入除外)是12000元，他本月应缴纳个人所得税多少元
如果某银行定期整存整取的年利率是二年期2.2%、三年期2.75%、五年期2.95%，那么甲、乙两人同时各存入银行10000元，甲先存二年期，到期后连本带利整存三年期;乙直接存五年期。那5年后，两人同时将钱取出，谁的收益多 多多少元
1.解析:将进价看作单位“1”。
答案:(1＋20%)×70%=84%
228÷(1－84%)=1425(元)
答:这款热水器的进价是1425 元。
2.解析:利息=本金×年利率×存期
答案:20000×3.2%×1=640(元)
可取回的钱数包括利息和本金:640＋20000=20640(元)
答:到期后她可取回20640元。
3.解析:应纳税所得额为12000-5000=7000元。
应纳税所得额不超过3000元的部分按照3%的税率纳税，这部分税额为3000×3%=90元。
应纳税所得额在3000元～12000元的部分为7000-3000=4000元，这部分按照10%的税率纳税，税额为 4000×10%=400元。
答案:3000×3%＋(12000－5000－3000)×10%=490元
答:周周的爸爸本月应缴纳个人所得税490元。
答案:
甲:10000＋10000×2.2%×2=10440(元)
10440＋10440×2.75%×3=11301.3(元)
乙:10000＋10000×2.95%×5=11475(元)
11475>11301.3
11475－11301.3=173.7(元)
答:乙的收益多,多173.7元。第三十二讲 浓度问题
1.浓度问题
一般指溶液中所含溶质的百分数的问题。
2.常见浓度问题的类型
稀释问题：加入溶剂，溶质的质量不变；
浓缩问题：蒸发溶剂，溶质的质量不变；
加浓问题：添加溶质，溶剂的质量不变；
混合问题：混合前后，溶液和溶质的质量都不变。
3.常用的关系式
溶质质量＋溶剂质量×100%；
溶质质量=溶液质量×溶液浓度；
溶液质量=溶质质量÷溶液浓度；
溶剂质量=溶液质量×(1－溶液浓度)。
将浓度为20%的盐水与浓度为4%的盐水混合，配成浓度为16%的盐水500克，需要多少克浓度为20%的盐水和多少克浓度为4%的盐水
设浓度为20%的盐水的质量为克。
列式计算：×20%＋(500－)×4%=500×16%
=375
浓度为4%的盐水的质量：500－375=125(克)
解:设浓度为20%的盐水的质量为克，则浓度为4%的盐水的质量为(500－)克。
×20%＋(500－)×4%=500×16%
=375
500－375=125(克)
答:需要375克浓度为20%的盐水和125克浓度为4%的盐水。
1.一种糖水，糖和水的质量比为1:24，这种糖水的浓度是多少
2.有浓度为4.5%的盐水600克，为了把它变成浓度为8%的盐水，需要蒸发多少克水
3.甲容器中有浓度为10%的盐水400克，乙容器中有浓度为15%的盐水200克。往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器中应倒人多少克水
甲容器中有浓度为5%的溶液600克，乙容器中有浓度为15%的溶液300克。先分别从甲、乙两个容器中取出相同质量的溶液，再把从甲容器中取出的溶液倒人乙容器中，把从乙容器中取出的溶液倒入甲容器中，这时两个容器中的溶液的浓度刚好相同。从甲、乙两个容器中分别取出溶液多少克
1.解析:由题意可知，甲容器的盐水中盐的质量为400×10%=40(克)，乙容器的盐水中盐的质量为200×15%=30(克)。
答案:400×10%=40(克)
200×15%=30(克)
设每个容器中应倒入克水。
40÷(400＋)=30÷(200＋)
解得=400
答:每个容器中应倒人400克水。
2.解析:糖水浓度=糖的质量÷糖水的总质量×100%
答案:1÷(1＋24)×100%=4%
答:糖水的浓度是4%。
3.解析:水蒸发前后食盐的质量保持不变。
答案:食盐的质量是：600×4.5%=27(克)
蒸发一部分水后盐水的质量：27÷8%=337.5(克)
蒸发的水：600－337.5=262.5(克)
答:需要蒸发262.5克的水。
解析:甲、乙两个容器混合前后的溶质质量不变，混合后的两个容器中的溶液的浓度相同。
答案:
解:设分别从甲、乙两个容器中取出溶液克。
(5%×600-5%＋15%)÷600×100%=(15%×300－15%＋5%)÷300 ×100%
解得=200
答:分别从甲、乙两个容器中取出溶液200克。第三十九讲 基本工程问题
1.工程问题
日常生活中，做某件事、制造某种产品、完成某件任务、做某项工程等，都需要涉及工作总量、工作效率和工作时间。一般把工作总量看作单位“1”，工作效率则表示单位时间内完成的工作量。
2.基本关系式
工作总量=工作效率×工作时间;
工作效率=工作总量÷工作时间;
工作时间=工作总量÷工作效率。
学校图书馆新到的一批图书需要整理上架，如果6名志愿者整理4小时，那么可以完成。如果再增加3名志愿者，那么完成整理工作需要多长时间
解决工程问题，需要找准对应的工作总量以及工作时间和工作效率。
根据6名志愿者4小时的工作量求出工作总量，然后根据工作时间=工作总量÷作效率，求出增加3名志愿者后的工作时间。
(4×6÷)÷(6＋3)=16(时)
答:如果再增加3名志愿者，那么完成整理工作需要16小时。
1.一批物资，若6辆车运，则18趟可以运完，现公司要隶12趟运完，至少要加派多少辆车
2.仓库有1800吨货物，甲运输队单独运需要24天，乙运输队单独运需要12天。两队合作运，需要多少天
3.某工程队挖一条水渠，原计划需要8天，实际采用新的施工方法后6天就完成了。采用新的施工方法后工作效率提高的百分率约是多少
某工厂接到一批订单，需要生产某种特定规格的零件。如果安排8台机器进行生产，20天可以完成任务。但由于市场需求变化，客户要求在16天内完成生产任务，而每台新增加的机器每天的生产效率比原来的机器低10%。为了按时完成任务，至少需要增加多少台机器
1.答案:6×18÷12=9(辆)
9－6=3(辆)
答:至少要加派3辆车。
2.答案:1800÷(1800÷24＋1800÷12)=8(天)
答案:两队合作运需要8天。
3.答案:
答:工作效率提高了。
答案:8×20÷16÷(1－10%)
≈11.85(台)
11＋1－8=4(台)
答:至少需要增加4台机器。第三十六讲 时间问题
1.时间问题
主要涉及时刻与时间的区别、时间的计算、单位换算等。常用的时间单位有时、分、秒。
2.换算关系
1时=60分;
1分=60秒。
小刚有一个特别的手表，这个手表走时不太准确，每走标准时间的1小时，它就会比标准时间慢2分钟。早上7时小刚按照标准时间把手表调准了，当标准时间到中午12时时，小刚这个走得慢的手表显示的时间是几时几分
早上7时到中午12时经过的时间:12－7=5(时)。
手表每小时比标准时间慢2分钟，那么5个小时一共慢的时间为5×2=10(分)。
中午12时时，标准时间是12:00，而手表慢了10分钟，所以手表显示的时间11时50分。
12－7=5(时)
5×2=10(分)
12时－10分=11时50分
答:手表显示的时间是11时50分。
1.小明上午7时30分去上学，下午4时30分放学回家。他在学校的时间是多少小时
2.一列火车从A站开往B站，18时出发，第二天6时到达，火车行驶的时间是多少小时
3.某商店从上午8时开始营业，一直到第二天早上4时停止营业，这段时间一共收入1800元。此商店平均每小时收入多少元
小明早上6时起床，洗漱和吃早餐需要30分钟。然后他乘坐公交车去上学，车程需要45分钟。学校上午的第一节课从8时开始。小明最晚应该在什么时间出门，以确保他不会迟到
1.解析:下午4点30分即16点30分
答案:16:30－7:30=9(小时)
答:他在学校的时间是9小时。
2.答案:24－18＋6=12(小时)
答:火车行驶的时间是12小时。
3.答案:1800÷(24－8＋4)=90(元)
答:这个商店平均每小时收人90元。
解析:第一节课8点开始，小明早上6点起床，这之间间隔2小时，即120分钟;洗漱和吃早餐需要30分钟，车程45分钟，总共30＋45=75分钟。
答案:30＋45=75(分钟)
120－75=45(分钟) 即6点45分
答:小明最晚在6点45分出门。第三十七讲 水管问题
1.水管问题
水池中装有水管，用这些水管向水池中注水或排水的问题叫作水管问题，是工程问题的一种特殊类型。工作总量通常是水池的容积，而进水管的工作效率就是单位时间内的注水量，出水管的工作效率是单位时间内的排水量。
2.基本关系式
排水量=(排水速度－进水速度)×时间;
进水量=(进水速度一排水速度)×时间。
一个水池上装有1根进水管和3根粗细相同的出水管，单开进水管15分钟可以将水池注满，单开1根出水管40分钟可以将整池水放完。若池中无水，先开进水管8分钟，再将3根出水管同时打开，则多少分钟后水池中的水被排完
排水时间=水量÷(排水速度－进水速度)
答:64分钟后水池中的水被排完。
1.甲、乙两个一样的水池装满了水。已知甲池的排水管15分钟可将水排完，乙池的排水管10分钟可将水排完。同时打开甲、乙两个水池的排水管，多长时间后甲池的水位高度正好是乙池的4倍
2.一个水池有甲、乙两个进水管和丙一个出水管。单开甲管6小时可将空池注满，单开乙管8小时可将空池注满，单开丙管12小时可将满池水放完。现在三管齐开，几小时可将空水池注满
3.一个蓄水池有进水管和出水管各一根。单开进水管20分钟可注满蓄水池，单开出水管30分钟可将满池水放完。现在蓄水池里有半池水，若同时打开进水管和出水管，多长时间能把水池注满
有一个水池，地下水从四壁渗人，每小时渗入该水池的水量是固定的。当这个水池水满时，打开A管6小时可将水排空;打开B管8小时可将水池排空;打开管10小时可将水池排空。若同时打开A、B两管，则3小时可将水池排空;若同时打开 B、C两管，则将水池排空需要多少小时
1.答案:
设分钟后，甲池的水位高度正好是乙池的4倍，由题意得:
解得=9
答:需要9分钟。
2.解析:把水池容积看作单位“1”。甲管的注水效率为;乙管的注水效率为;丙管的放水效率为。
答案:注满水池需要的时间为:
答:小时能把水池注满。
3.解析:进水管的注水速度是，出水管的排水速度是。因为已有半池水，所以注满另外半池水即可。
答案:
答:30分钟能把水池注满。
答案:设每小时的渗水量为。
解得=
同时打开B、C两管，将水池排空需要:
答:将水池排空需要小时。第三十三讲 归一、归总问题
1.归一问题
根据已知条件，在解题时要先求出一份是多少(归一)，如单位时间内的工作量、单位面积的产量、商品的单价、单位时间内所行的路程等，然后再求所要求解的数量的问题。
2.归一问题基本关系式
总量÷份数=单一量；
单一量×新的数量=新的总量；
新的总量÷单一量=新的数量。
3.归总问题
解答时要先计算出总数量(称为“总”)，然后再算出所要求的数量是多少的问题。解答归总问题的关键在于先求“总数”，且总数相等。
4.归总问题基本关系式
单一量×份数=总量；
总量÷新的单一量=新的份数。
1.60千克花生可以榨花生油24千克，照这样计算，榨花生油18千克，需要花生多少千克
2.某项工作，由现有的60人做需要30天完成，若再增加15人一起做，则可以提前多少天完成这项工作
1.由题意可知，照这样计算表示需要先求出榨1千克化生油需要多少花生，再求出榨18千克花生油需要多少花生。
60－24×18=45(千克)
答:需要花生45千克。
2.由题意可知，这项工作的总量不变，所以我们可以用现有的人数乘他们需要完的天数，求出这项工作的总量，再增加15人就是75人来做同样的工作，求出后来完成工作的时间，30天减后来的时间就是提前的天数。
60×30÷(60＋15)=24(天)
30－24=6(天)
答:可以提前6天完成这项工作。
1.15台收割机一周收割小麦的面积是168公顷，照这样计算，6台收割机15天收割小麦的面积是多少公顷
2.苹果园需要运送一批苹果，用每辆能装载60千克的三轮车4辆运送25次可以运完。如果改用每辆能装载80千克的三轮车5辆，几次能够运完这批苹果
3.对一本书重新排版，原计划每页排20行，每行排25个字，则可排360页；实际每页排24行，每行排30个字，实际比原计划少多少页
某办公区用瓷砖铺地，用边长为4分米的方砖，需要600块。若改用边长为8分米的方砖，需要多少块
1.解析:一周=7天
答案:168÷3÷7=8(公顷)
8×6×15=720(公顷)
答:6台拖拉机15天收割粮食的面积是720公顷。
2.解析:这批苹果的总数是不变的，所以是归总问题。
答案:60×4×25÷(80×5)
=15(次)
答:15次能够运完这批苹果。
3.答案:360×20×25÷(24×30)=250(页)
360－250=110(页)
答:这本书实际比原计划少印110页。
解析:给出的条件是方砖的边长，用归总关系式计算之前需要先算出变成为4分米和变成为8分米的方砖的面积分别是多少。
答案:4×4×600÷(8×8)=150(块)
答:需要 150块。第三十四讲 鸽巢问题 (抽屉原理)
1.鸽巢问题
把3只鸽子放进2个鸽巢里，可以一个鸽巢放1只，另一个鸽巢放2只；还可以一个鸽巢放3只，另一个鸽巢一只也不放。但不论怎么放，总有一个鸽巢里至少放进2只鸽子，这种现象被称为鸽巢问题，也称为抽屉原理。
2.鸽巢问题主要有以下两种
若将m只鸽子分别放进n个鸽巢里(m>n，且m与n都是正整数)，则总有一个鸽巢里至少放进2只鸽子；若将多余km＋1只鸽子分别放进n个鸽巢里(k与n都是正整数)，则总有一个鸽巢里至少放进k＋1只鸽子。
教室里有30名学生，老师至少拿几本书，随意分给学生,才能保证一定有一个学生能拿到至少两本书
最不利的情况是先让每个学生都拿到一本书。这时只要再拿一本书，就一定能保证有一个学生拿到两本书。
30＋1=31(本)
答:至少拿31本书。
1.有红、黄、蓝三种颜色的袜子各10只，混合放在一个袋子里。蒙上眼睛，从袋子里至少摸出几只袜子，才能保证一定有一双颜色相同的袜子
2,明明、亮亮、红红三人有一些橡皮，总数是18块。是否有人有6块或6块以上的橡皮
3.一副扑克牌(大小王除外)有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽多少张牌才能保证有4张牌是同一花色
从1至20的自然数中，至少任选几个数，才可以保证其中一定有两个数的差是12
1.答案:3＋1=4(只)
答:至少摸出4只袜子。
2.答案:3×5=15(块)
18>15
所以一定有人有6块或6块上的橡皮。
答:一定有人有6块或6块以上的橡皮。
3.答案:4×(4－1)＋1=13(张)
答:至少要抽13张牌。
解析:可以列出差为12的数对有(1，13)、(2，14)、(3，15)、(4，16)、(5，17)、(6，18)、(7，19)、(8，20)这八组。
另外还有9、10、11、12这四个数暂时无法与其他数组成差为的数对。先把这四个数选出来，然后再从八组数对中每组选一个数，此时共选了4＋8=12 个数。
再任意选一个数，就一定会与前面选出的数组成差为12的数对。
答案:4＋8＋1=13(个)
答:所以至少任选13个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。第三十五讲 牛吃草问题
1.牛吃草问题
由于草在不断生长，所以涉及到牛吃草的数量、草生长的速度以及草地原有的草量等。
2.基本关系式
草生长的速度=(对应的牛头数×吃得较多天数－相应的牛头数×吃得较少天数)÷(吃得较多天数－吃得较少天数);
原有草量=牛的头数×吃的天数－草生长的速度×吃的天数;
吃的天数=原有青草量÷(牛的头数－草生长的速度);
牛的头数=原有青草量÷吃的天数＋草生长的速度。
有一片草地，可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天。这片草地可供25头牛吃多少天
假设每头牛每天吃草量为“1”份，那么根据已知条件可求出草地每天新生草量及草地原有草量，进而求出答案。
10头牛20天的吃草量:10×20=200
15头牛10天的吃草量:15×10=150
草地每天新生的草量:(200－150)÷(20－10)=5
草地原有草量:200－(5×20)=100
25头牛吃的天数:100÷(25－5)=5(天)
答:可供25头牛吃5天。
1一片草地，草均匀生长。24头牛6天可以把草吃完;20头牛10天可以把草吃完。19 头牛多少天可以吃完
2.有一口井，不断有泉水匀速涌出。如果用8台抽水机,10小时可以把水抽干;如果用12台抽水机，6小时可以把水抽干。那么用14台抽水机，多少小时可以把水抽干
3.一片牧场的草匀速生长，可供17头牛吃30天，或者可供19头牛吃24天。现在有一群牛吃了6天后，少了4头牛,余下的牛又吃了2天，将草吃完。这群牛原来有多少头
有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷。草一样厚，长得一样快。第一块可供24头牛吃6周，第二块可供36头牛吃12周，第三块可供50 头牛吃多少周
1.答案:新生草量:(20×10-24×6)÷(10-6)=14
原有草量:20×10-14×10=60
19头牛吃的天数:60÷(19－14)=12(天)
答:19头牛12天可以吃完这片草地。
2.答案:新涌出的泉水:(8×10－12×6)÷(10－6)=2
原有水量:8×10－2×10=60
14台抽水机工作的时间:60÷(14－2)=5(小时)
答:5小时可以把水抽干。
3.答案:新生草量:(17×30－24×19)÷(30－24)=9
原有草量:17×30－30×9=240
现在这群牛吃了:240＋9×(6＋2)=312
如果不卖牛可吃:312＋(4×2)=320。
这群牛原有:320－8=40(头)
答:这群牛原来有40头。
解析:第一块草地4公顷可供24头牛吃6周，每公顷可供6头牛吃6周;第二块草地8公顷可供36头牛吃12周，每公顷可供 4.5头牛吃 12周。
答案:24÷4=6(头)
36÷8=4.5(头)
每公顷每周新生草量:(4.5×12－6×6)÷(12－6)=3
10公顷的每周新生草量:3×10=30
每公顷原有草量:(6－3)×6=18
10公顷的原有量:18×10=180
吃的周数:180÷(50-30)=9(周)
答案:第三块草地可供50头牛吃9周。第三十一讲 排列组合
1.分类加法计数原理
如果完成一件事有n类方案，在第1类方案中有m1利不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法…，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有M=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。
2.分步乘法计数原理
如果完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn,种不同的方法，那么完成这件事共有M=m1×m2×…×mn种不同的方法。
从甲地到乙地有火车、汽车、轮船三种交通工具可以选择，从乙地到丙地有火车和汽车两种交通工具可以选择。那么从甲地经乙地到丙地一共有多少种不同的走法
根据分步乘法计数原理，甲地经乙地到丙地的不同走法总数为3×2-6(种)。
3×2=6(种)
答:从甲地经乙地到丙地一共有6种不同的走法。
1学校组织运动会，有4个跑步项目和3个跳远项目，小明只能参加一个项目，他有儿种选择方法
2,书架上有语文、数学、英语三种不同的课本各一本，物理、化学两种不同的辅导书各一本。从这些书中任取一本，有多少种不同的取法
3.从10本不同的书中选3本阅读，有多少种不同的选法
五个小朋友站成一排拍照，其中小明和小红必须站在一起，有多少种不同的站法
1.答案：4＋3=7(种)
答:有7种选择方法。
2.答案：(10×9×8)÷(3×2×1)=120(种)
答:有120种不同的选法。
3.答案：3＋2=5(种)
答:有5种不同的取法。
解析:这样相当于四个“人”进行排列。
答案:4×3×2×1=24(种)
小明和小红两人进行排列：2×1=2(种)
总的排列：24×2=48(种)
答:有48种不同的站法。第四十讲 排队问题
1.多人合作工程问题
在一项工程任务中，有两个或两个以上的人(或团队等)共同参与。这类问题便是多人合作工程问题。解决这类问题的关键在于理解每个人(或团队)的工作效率、工作时间与工作总量。
2.基本关系式
工作量=各工作效率之和×合作时间;
各工作效率之和=合作的工作量÷合作时间;
合作时间=合作的工作量÷各工作效率之和。
生产300个零件，王师傅单独做需要6小时完成，张师傅单独做需要5小时完成。如果两人合作，几小时可以完成
王师傅每小时完成:300÷6=50(个)，张师傅每小时完成:300÷5=60(个)。
两人合作每小时完成:50＋60=110(个)
两人合作完成需要的时间是300÷110=(时)
300÷(300÷5＋300÷6)=(时)
答:如果两人合作，小时可以完成。
1.一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。甲、乙合作几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假了几天
2.一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要20天完成。两队合作3天后，剩下的工程由乙队单独做,还需要多少天才能完成
3.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，丙单独做需要20天完成。现在甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成这项工程
某镇要建一个粮仓，甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲队单独做12天可以完成。现在甲队先做了若干天，剩下的由乙队单独完成，共用了16天。甲队做了几天
1.答案:(1－×16)÷
=6(天)
16－6=10(天)
答:乙请假了10天。
2.答案: 1－(＋)×3=
÷=13(天)
答:还需要13天才能完成
3.答案: 1÷(＋＋)=(天)
答:需要天完成这项工程。
答案:乙队的工作效率:
设甲做了天，则乙做了16－天。
＋(16－)=1
=8
答:甲做了8天。第四十八讲 长方形和正方形
1.长方形
长方形的周长:(长＋宽)×2;长方形的面积:长×宽。
2.正方形
正方形的周长:边长×4;正方形的面积:边长×边长。
3.不规则图形
不规则图形的周长:通过平移法，把不规则的图形转化为规则图形。
不规则图形的面积:
把不规则图形分割成几个规则图形，分别求面积后相加。
把不规则图形补成一个大的规则图形，用大的规则图形面积－添补的规则图形面积。
计算下面图形的周长。(单位:厘米)
仔细观察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以可以通过平移法补成一个长方形(如下图所示)。
长方形的周长:(10＋15)×2=50(厘米)
答:图形的周长是50厘米。
1.一片菜地(如下图)，它的面积是多少平方米 (单位:米)
2.一块不规则形状的空地(如下图)，它的面积是多少 (单位:米)
3.如图，一个长方形草地，长10米，比宽多2米，现在要在它的周围铺设2米宽的步道，步道的面积是多少
用7张长4厘米、宽3厘米的小长方形纸片，拼成一个大长方形，大长方形的周长可能是多少厘米
1.解析:使用割补法，先求出大长方形的面积，再减去空白处小长方形的面积。
答案:5×6－2×(5－2)=24(平方米)
答:面积是24平方米。
2.解析:使用割补法，先求出大长方形的面积，再减去空白处小长方形的面积。
答案:13＋13＋13=39(米)
39×25－13×7=884(平方米)
答:面积是884平方米。
3.解析:用包括步道在内的大长方形减去草地长方形就是步道的面积。
已知草地长是10米，长比宽多2米，那么宽为10-2=8(米)。
计算包括步道在内的大长方形的长和宽:
因为步道宽2米，所以大长方形的长为10＋2×2=14(米)
大长方形的宽为8＋2×2=12(米)。
答案:(10＋2×2)×(10－2＋2×2)=168(平方米)
10×(10－2)=80(平方米)
168－80=88(平方米)
答:步道的面积是88平方米。
解析:有下图所示三种不同的拼法，可以根据长宽求出周长。
答案:第一种:(4＋3×7)×2=50(厘米)
第二种:(4×7＋3)×2=62(厘米)
第三种:(4×3＋4＋3)×2=38(厘米)
答:大正方形的周长可能是50厘米、62厘米、38厘米。第四十二讲 按比例分配问题
1.按比分配问题
把一个数量按照一定的比进行分配。
2.解题技巧
求出总份数:把各个部分的比相加，得到总份数。
求出一份的数量:用总数除以总份数,得到一份的数量。
分别求出各部分的数量:用一份的数量乘各部分所占的份数。
学校把植树180棵的任务交给三、四、五年级完成，已知三、四、五年级植树的棵数之比是3:4:5。三个年级各植树多少棵
根据比求出总份数，然后求出一份是多少棵，进而求出各个年级的植树任务。
180÷(3＋4＋5)=15(棵)
三年级:3×15=45(棵)
四年级:4×15=60(棵
五年级:5×15=75(棵)
答:三年级植树45棵，四年级植树60棵，五年级植树75棵。
1.一个三角形三个内角的度数之比是1:2:3，这个三角形的三个内角分别是多少度
2.甲、乙、丙三个数的比是2:3:4，它们的平均数是18，这三个数分别是多少
3.某工厂有三个车间，第一车间和第二车间的人数之比是3:5，第二车间和第三车间的人数之比是9:11。已知三个车间共有381人，三个车间各有多少人
把一批货物按3:4:2的比分配给甲、乙、丙三个商家。已知乙商家比甲商家多分得8件货物，求甲、乙、丙三个商家各分得多少件货物。
1.解析:三角形的内角和是180°。
答案:180÷(1＋2＋3)=30°。
1×30=30° 2×30=60° 3×30=90°
答:三角形的三个内角分别是30°、60°、90°。
2.答案:(18×3)÷(2＋3＋4)=6 6×2=12 6×3=18 6×4=24
答:三个数分别是12、18、24。
3.解析:三个车间的人数比是27:45:55。
答案:381÷(27＋45＋55)=3
3×7=81(人)
3×45=135(人)
3×55=165(人)
答:第一车间有81人，第二车间有135人，第三车间有165人。
解析:乙比甲多4－3=1份,乙比甲多8件货物，所以一份是8件货物。
答案:3×8=24(份)
4×8=32(份)
2×8=16(份)
答:甲分得24份，乙分得32份，丙分得16份。第四十九讲 多边形的面积
1.三角形的面积公式:三角形面积=底×高÷2。
2.平行四边形的面积公式:平行四边形面积=底×高。
3.梯形的面积公式:梯形面积 =(上底＋下底)×高÷2。
4.不规则多边形的面积
割补法:将不规则多边形分割成若干个规则图形(如三角形、矩形、梯形等)，然后分别计算这些规则图形的面积，最后将它们的面积相加，就得到不规则多边形的面积。
旋转法:先把原图进行旋转，使它变成常见的规则图形，再进行计算。
求图中多边形的面积。(单位:厘米)
可以将图形分割成一个长方形和一个梯形，分别求出长方形和梯形的面积，最后相加，得出答案。
8×6＋(6＋14)×(16－8)÷2
=48＋80
=128(平方厘米)
答:多边形的面积为 128 平方厘米。
1.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，面积是80平方厘米，AB=12厘米，DC=4厘米。求阴影部分的面积。
奶奶家菜园的平面图如下，求菜园(阴影部分)的面积。(单位:米)
3.妈妈和诺诺玩剪纸游戏，妈妈把一张长方形的纸从长边的中点到两个宽边的中点分别连一条线，让诺诺沿这两条线剪下来两个角。求剩下的纸的面积。(单位:厘米)
如图，BC=8厘米，AD=3厘米，∠B=∠D=90°，∠C=45°。求四边形ABCD的面积。(单位:厘米)
1.解析:阴影部分是个三角形，三角形的高和梯形的高相等。
答案:80÷(12＋4)×2=10(厘米)
12×10÷2=60(平方厘米)
答:阴影部分的面积是60平方厘米。
2.解析:用长方形的面积－空白处梯形的面积。
答案:10×6－[(3＋6)×2÷2]=51(平方米)
答:菜园的面积是51平方米。
3.解析:剩下面积是长方形的面积－两个直角三角形的面积。
答案:28×20－(20÷2)×(28÷2)÷2×2=420(平方厘米)
答:剩下的剪纸的面积是420平方厘米。
解析:延长AB和CD相交于点E(如图所示),四边形ABCD的面积等于三角形BCE的面积减去三角形ADE的面积。
答案:10×10÷2－(3×3÷2)=45.5(平方厘米)
答:四边形ABCD的面积是45.5平方厘米。第四十六讲 条形统计图
条形图是一种常见的数据可视化工具，用于展示不同类别数据的数量或频率对比。它通过一系列等宽的条形来表示数据，条形的长度(或高度)对应数据值的大小。
大林是班级“图书角”的管理员，他把“图书角”的图书进行了整理，并根据相应的数据，绘制了如下所示的条形统计图。请你根据大林绘制的条形统计图回答问题。
(1)这个条形统计图中的1格表示多少本
(2)从统计图上看,“图书角”中什么种类的书最多 是多少本
根据统计图的纵轴数据确定单位量，然后对数据进行比较和运算。
(1)1格表示10本。
(2)由图可知，科普书最多，是70本。
1.某校四年级同学参加兴趣小组情况统计图如下，一共调查了同学多少人 参加趣味数学的同学比参加科技小组的同学少几分之几
某农户承包的土地，近5年种植蔬菜的面积如下图所示，如果8平方米的产值是200元，2022年该农户承包的这个土地年的收益是多少元 2024年的收益是多少
3.某小学四年级两个班拾取易拉罐情况如下图所示。四(1)班平均每个月拾取多少个易拉罐
两个修路队四天修路情况统计图如下，根据统计图回答下列问题。
(1)一队平均每天修路多少米
(2)二队平均每天修路多少米
(3)一队第三天修路的米数是第二天的百分之几
(4)二队第三天比第四天约多修百分之几 (保留一位小数)
解析:这是一个水平条形图,根据横轴坐标可得出数据。
答案:6＋8＋9＋12=35(名)
(9－6)÷9=
答:一共调查了35名同学,参加趣味数学的同学比参加科技小组的同学少。
解析:可以先根据统计图算出每平方米的产值，再分别计算不同承包面积的年收益。
答案:200÷4×600=30000(元)
200÷4×800=40000(元)
答:2022年的收益是30000元，2024年预计年收益40000 元。
解析:根据统计图可得出数据。
答案:(23＋25＋26＋34)÷4=27(个)
答:四年(1)班平均每个月回收27个易拉罐。
解析:可通过统计图找到计算的数据。
答案:(1)(44＋50＋40＋51)÷4=46.25(米)
答:一队平均每天修路46.25米。
(2)(42＋47＋57＋51)÷4=49.25(米)
答:二队平均每天修路 46.25米。
(3)40÷50×100%=80%
答:一队第三天修路的米数是第二天的80%。
(4)(57－51)÷51×100%≈11.8%
答:第三天比第四天多修约11.8%。第四十七讲 折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数据描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图叫作折线统计图。
波波家距图书馆5千米，他从家骑车去图书馆借书，根据折线统计图回答下列问题。
(1)波波在图书馆借书用了多长时间
(2)从图书馆返回家中，波波骑车的速度是多少米/分
(1)根据折线统计图，路程5千米没有变化，但是时间在变，就是波波在图书馆借书的时间。
100－60=40(分钟)
答:波波在图书馆借书用了40分钟。
(2)由折线统计图可知，波波从图书馆回家一共用了120－100=20分，可由路程和时间算出速度。
5千米=5000米
5000÷(120－100)=250米/分
答:从图书馆返回家中，波波骑车的速度是每分钟250米/分。
1.某电脑专卖店A、B两种品牌的电脑在去年月销量情况统计如下图所示。哪种品牌的电脑去年销量最高
2.根据统计图回答问题
(1)汽车每分钟行驶多少千米
(2)汽车比火车早到多少分钟
3.跃跃一家自驾游，行驶路程与所用时间如图所示。不计休息时间，平均每小时行驶多少千米
某地2024年9月30日至10月7日的最高气温和最低气温如图所示，10月1日这天的最高气温和最低气温相差多少摄氏度 这八天的最高气温平均是多少
1.解析:根据折线统计图中所标记的数据相加之后比较即可。
答案:A品牌:68＋90＋75＋32＋30＋28＋50＋42 ＋35＋24＋28＋10=512(台)
B品牌:15＋22＋18＋25＋39＋35＋40＋51＋60＋65＋67＋74=511(台)
512>511，所以A品牌销量高。
答:A品牌的电脑全年总销量最高。
2.解析:根据统计图可知汽车行驶的时间和路程，从而求出汽车的速度。
答案:(1)8:20－7:55=25(分钟)
15÷25=0.6(千米/分钟)
答:汽车的速度是0.6千米/分钟。
答案:(2)8:25－8:20=5(分钟)
答:汽车比火车早到5分钟。
3.解析:如图所示，时间在变，路程不变就是跃跃家休息的时间，休息了1小时。
答案:360÷(6－1)=72(千米/小时)
答:跃跃家平均每小时行72千米。
解析:根据统计图的数据可算出答案。
答案:27－14=13℃
(25＋27＋26＋26＋24＋24＋25＋25)÷8=25.25℃
答:10月1日这天的最高气温和最低气温相差13℃;长假期间平均最高气温是25.25℃。第四十三讲 正比例、反比例问题
1.正比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
数学表达式:
如果和成正比例，那么存在一个常数从(≠0)，使得。
2.反比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
数学表达式:
如果和成反比例，那么存在一个常数(≠0)，使得。
3.解题步骤
识别关系:首先确定两个量之间是正比例关系还是反比例关系。
列方程:根据正比例或反比例的定义列方程。
解方程:通过代数运算求解方程，求得未知量。
用相同的方砖铺地，铺18平方米要用618块方砖。如果铺24平方米，要用多少块方砖
因为每块方砖的面积是一定的，所以铺地面积与方砖数量成正比例。
解:设要用块方砖。
解得=824
答:要用 824 块方砖。
1.小明骑自行车从家到学校，速度是200米每分钟,10分钟到达。如果他想8分钟到达学校，那么速度应该是多少
2.师傅加工一批零件，4小时加工了60个。照这样的速度，9小时可以加工多少个零件
3.李叔叔准备捐一笔钱给贫困山区的学生买书包，每个书包60元，可以买20个。后来商家决定每个书包降价，那么现在这笔钱可以买多少个书包
甲、乙两车的速度之比是3:5，两车从两地同时出发相对而行，在距中点20千米处相遇。两地相距多少千米
1.解析:路程一定，速度和时间成反比例。
答案:
解:设速度为米/分钟。
8=200×10
解得=250
答:速度应该是250米/分钟。
2.解析:工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例。
答案:解:设每小时可以加工个零件。
解得=135
答:9小时可以加工135个。
3.答案:
解:设这笔钱可以买个书包。
60×(1－)=60×20
解得=25
答:现在这笔钱可以买25个书包。
解析:因为速度比是3:5,所以相遇时甲乙所行路程比也是3:5。
答案:20×2＋()=160(千米)
答:两地相距160千米。第四十四讲 分数裂项法
1.分数裂项法
将一个复杂的分数表达式拆分成两个或多个较简单的分数，这些简单的分数在求和过程中可以相互抵消或者合并，从而简化计算。
2.基本公式
先裂项，再进行相关运算。
计算:。
计算:。
计算:。
计算:。
1.解析:裂项后通过加减相互抵消后可简算。
答案:
2.解析:整数部分相加，分数部分裂项相加。
答案:
3.解析:设分母中与两个因数相邻的自然数是，则每一项都如:。
答案:
解析:每个分子比分母大1，据此可写成带分数的形式，再裂项进行解答。
答案:
。
解题思路
举二反三
口■提高挑战
Q参看答案
举一反
提高挑战
■知识汇总"
典型例题第四十五讲 扇形统计图
1.扇形统计图
用整个圆表示总数(单位“1”)，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。这样的统计图是扇形统计图。
2.扇形统计图的特点
通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量与总量之间的关系。
下图是红星小学某班的数学期中考试情况统计图。根据该回答下列问题。
(1)考60～79 分的人数占总人数的百分之几
(2)不及格的人数是考90～100分的人数的几分之几
(3)已知考90～100 分的有24人，这个班共有学生多少人
(1)把总人数看成单位“1”,减去 60～79 分以外各分数占的百分数，就是 60～79分的人数占总人数的百分之几。
1－32%－4%－60%=4%
答:考 60～79 分的人数占总人数的4%。
(2)用不及格人数所占总人数的百分数除以90～100分人数所占总人数的百分数即可。
4%÷60%=
答:不及格的人数是考90～100分的人数的。
(3)总人数的60%对应24人，由此用除法求出总人数。
24÷60%=40(人)
答:这个班共有学生40人。
1.一个农场种植了4种蔬菜，分布情况如下图。若黄瓜的种植面积是450平方米，则西红柿的种植面积比芹菜的种植面积多多少平方米
2.王阿姨家2024年的生活开支情况如下图。其中服装支出10800元,那么食品支出多少元
3.图书馆向希望小学捐赠了一批图书，各类图书所占百分比如下图所示，B代表科技书，共900本。图书馆一共捐赠了多少本图书
李叔叔对承包的土地进行规划，秋季种植农作物的规划图如下，求李叔叔在秋季种植的大麦占种植所有农作物的百分比。
1.解析:把总面积看成“1”,先算出黄瓜所占的百分比，可得出种植的总面积。西红柿比芹菜多20%，通过总面积进而求出答案。
答案:450÷(1－15%－35%－20%)=1500(平方米)
1500×(35%－15%)=300(平方米)
答:西红柿的种植面积比芹菜的种植面积多300平方米。
2.解析:把全年总开支看成“1”。
答案:10800÷15%×35%=25200(元)
答:购买食品用去25200元。
3.解析:捐书的总数看成“1”。
答案:900－30%=3000(本)
答:图书馆一共捐赠了3000本图书。
解析:可先求出所有农作物的种植总面积，再用大麦的种植面积除以总面积，最后将结果转化为百分数，即可得到大麦占种植所有农作物的百分比。
答案:450＋500＋300=1250(亩)
450÷1250×100%=36%
答:大麦占种植所有农作物的36%。第四十一讲 比例尺问题
1.比例尺
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
2.基本关系式
比例尺=图上距离:实际距离。
甲、乙两个城市间的实际距离是120千米，在比例尺是1:4000000的地图上，这两个城市间的图上距离是多少
因为1千米=100000厘米、所以120千米=120×100000=12000000厘米。根据比例尺公式，可计算出图上距离。
解:设图上距离为厘米。
根据比例尺可得1:4000000=:12000000
解得=3
答:这两个城市间的图上距离是3厘米。
1.把一个长5毫米、宽3毫米的长方形零件按40:1的比例尺画在图纸上，图纸上零件的长和宽各是多少厘米
2.在比例尺是1:500的图上，量得一个长方形操场的长是20厘米,宽是15厘米。操场的实际面积是多少平方米
3.有一幅比例尺是1:2000000的地图，在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离为30厘米。如果一列火车以150千米每小时的速度从甲地开往乙地，需要多少小时才能到达
计划挖一个养鱼池，在比例尺是1:100的设计图上，养鱼池长80厘米，宽3厘米，深1.5厘米。若按图施工，则挖这个养鱼池共能挖出多少立方米的土
1.答案:5×40÷10=20(厘米)
3×40÷10=12(厘米)
答:长是20厘米，宽是12厘米。
2.答案:20×500÷100=100(米)
15×500÷100=75(米)
100×75=7500(平方米)
答:这个操场的面积是7500平方米。
3.答案:30×2000000÷100000=600(千米)
600÷150=4(小时)
答:需要4小时才能到达。
答案:80×100÷100=80(米)
3×100÷100=3(米)
1.5×100÷100=1.5(米)
80×3×1.5=360(立方米)
答案:这条水渠共挖土360立方米。第五十讲 求阴影的面积
先通过增补或者删减将图形阴影部分变成易于计算的图形，再求阴影部分的面积。
如图，当=12，=5时，π取3.14，求阴影部分的面积。
由图可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个四分之一圆的面积，也就是一个半圆的面积，并且圆的半径等于.
长方形的面积:×=12×5=60
半圆的面积:3.14×5×5÷2=39.25
阴影部分的面积:60-39.25=20.75
答:阴影部分的面积是20.75。
1.如下图所示，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
2.已知下图中半圆的半径为4米，求阴影部分的面积。
3.如下图所示，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
正方形ABCD的边长为9厘米，三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积彼此相等。求三角形AEF的面积是多少
解析:如图所示，将阴影部分分割成两部分，上部分是一个长方形减去一个半圆的面积，下部分也是一个长方形减去一个半圆的面积。所以整个阴影部分是一个长方形的面积，也就是正方形面积的一半。
答案:20×20÷2=200(平方厘米)
答:阴影部分的面积是200平方厘米。
解析:将半圆内的阴影部分从左边割下并补到右边，阴影部分变成一个三角形，其底为半圆半径的2倍，即8米，高为半圆半径即4米。
答案:8×4÷2=16(平方米)
答:阴影部分的面积是16平方米。
解析:阴影面积等于直径为14＋8的半圆面积减去直径为14的半圆的面积，加上直径为8的半圆的面积。
答案:三个圆的半径分别是:(14+8)÷2=11 14÷2=7 8÷2=4
3.14×11×11÷2－3.14×7×7÷2＋3.14×4×4÷2=138.16(平方厘米)
答:阴影部分的面积是138.16平方厘米。
解析:由题意可知，三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积彼此相等，那么他们的面积等于9×9÷3=27，三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三角形ECF的面积。
答案:四边形AECF的面积=9×9÷3=27(平方厘米)
EC=9－27×2÷9=3(厘米)
CF=9－27×2÷9=3(厘米)
三角形AEF的面积=27－3×3÷2=22.5(平方厘米)
答:三角形AEF的面积是22.5平方厘米。第五十二讲 长方体和正方体的表面积
1.长方体的表面积公式
长方体的表面积=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2。
2.正方体的表面积公式
正方体的表面积=棱长×棱长×6。
一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体，拼成的新长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原来正方体的表面积是多少平方厘米
拼成的新长方体的表面积增加的部分是正方体的4个面的面积，所以正方体一个面的面积是50－4=12.5平方厘米。正方体有6个面，所以原来正方体的表面积是12.5×6=75平方厘米。
50÷4=12.5(平方厘米)
12.5×6=75(平方厘米)
答:原来正方体的表面积是 75平方厘米。
1.一根长90厘米、宽和高都是14厘米的长方体木材,从它的一端锯下一个正方体后，其表面积减少了多少平方厘米
2.有一个棱长是6厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2厘米的小正方体后，剩下的物体的表面积是多少
3.一个长方体形状的笔筒，它的长、宽都是8厘米，高是12厘米，在它的四周贴上商标纸(接头处不计)，这张商标纸的面积是多少平方厘米
有一个长方体木块，长 125厘米，宽40厘米，高25厘米，把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正方体的表面积是多少平方厘米
1.解析:从长方体木材的一端锯下一个正方体，这个正方体的棱长就是长方体木材的宽和高,即14厘米。锯下正方体后，表面积减少的部分就是正方体4个侧面的面积。
答案:14×14×4=784(平方厘米)
答:它的表面积减少了784平方厘米。
2.解析:由于挖去小正方体后表面积没有发生变化，所以剩下物体的表面积仍然是大正方体的表面积。
答案:6×6×6=216(平方厘米)
答:剩下的物体的表面积是216平方厘米。
3.解析:商标纸的面积就是四个侧面的总面积。
答案:18×8×4=576(平方厘米)
答:这张商标纸的面积至少有576平方厘米。
解析:大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积。
答案:长方体的体积:125×40×25=125000(立方厘米)
将125000分解质因数:125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5=(2×5×5)×(2×5×5)×(2×5×5)
大正方体的棱长是:2×5×5=50(厘米)
大正方体的表面积是:50×50×6=15000(平方厘米)
答:这个大正方体的表面积是15000平方厘米。第五十六讲 容积问题
1.容积
容器所能容纳物体的体积叫作容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积常用容积单位升和毫升。计算方式跟体积计算相同，但要从容器里面测量相关数据。1升=1000毫升=1立方分米=1000立方厘米。
2.不规则物体的体积的计算方法
等积变形法:将不规则物体分解为规则的长方体、正方体、圆柱等。长方体或正方体的体积就是不规则物体的体积。
排水法:把不规则物体(物体与水不相溶)完全浸入水中，水未溢出，记录物体浸入水中前后的水位，水面上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
一个正方体鱼缸，从里面量棱长是10厘米，装有7厘米深的水，放入一块珊瑚石后水面上升了2厘米。这块珊瑚石的体积是多少
放入珊瑚石后水面上升的体积就是珊瑚石的体积。
10×10×2=200(立方厘米)
答:这块珊瑚石的体积是 200立方厘米。
1.2500立方厘米是多少立方分米
2.一个底面为正方形的长方体容器，从里面量底面边长为5厘米，高为8厘米，将容器盛满水，再将一个底面为正方形，边长为3厘米、高为10厘米的铁块放进容器。求溢出的水的体积。
3.有一个内部棱长为6分米的正方体容器，里面装满水。把水倒入一个内部长8分米、宽6分米的长方体容器中，为了使水不溢出，这个长方体容器的高至少是多少分米
有一个长方体容器，长20厘米，宽15厘米，高8厘米,里面的水深4厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，容器里面的水深多少厘米
1.解析:1立方分米=1000立方厘米。
答案:2500÷1000=2.5(立方分米)
答:是2.5立方分米。
2.解析:因为铁块浸入水中会占据一部分水的空间，所以将铁块放进容器后移除水的体积就等于铁块浸入水中部分的体积。
答案:3×3×8=72(立方厘米)
答:移除的水的体积是72立方厘米。
3.解析:正方体容器中水的体积不变。
答案:6×6×6÷(8×6)=4.5(分米)
答:这个长方形容器的高至少是4.5分米。
解析:当容器朝左竖起来后,容器的底面积发生了变化，此时底面积变为原来容器的宽和高所构成的面，再根据水的体积不变以及新的底面积，就可以求出竖起来后水的深度。
答案:20×15×4÷(15×8)=10(厘米)
答:容器里面的水深是10厘米。第五十七讲 圆柱和圆锥
1.圆柱公式
侧面积:底面周长×高，用字母表示S侧=2rh。
表面积:底面积×2＋侧面积，用字母表示S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh。体积:底面积×高，用字母表示V圆柱=πr2h。
2圆锥公式
体积:×底面积×高，用字母表示V圆维=πr2h。
一个大圆柱形容器，从里面量底面半径是10厘米，高是30厘米，里面装了20厘米深的水。一个小圆锥形物体，底面半径是5厘米，高是18厘米。将小圆锥形物体完全浸没在大圆柱形容器的水中，水面会上升几厘米 (π取3.14)
先求出小圆锥形物体的体积，这个体积等于大圆柱形容器中水上升的体积。根据圆柱体积公式:V圆柱=πr2h，可以求出水面上升的高度。
小圆锥的体积:×3.14×52×18=471(立方厘米)
水面上升的高度:471÷3.14÷102=1.5(厘米)
答:水面会上升1.5厘米。
1.一个从里面量底面直径为20厘米的圆柱形水杯里装有一些水，将一个底面直径为12厘米、高5厘米的圆锥形铁锥完全浸入水中。取出铁锥后水杯中的液面会下降多少 (取 3.14)
2.一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆锥的高是圆柱的三分之二，求两者的底面积之比。
3.把一个棱长为20厘米的正方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少 (π取 3.14)
有一个圆柱，如果把它的高截短5厘米，那么它的表面积会减少188.4平方厘米。这个圆柱的体积会减少多少立方厘米 (π取3.14)
1.解析:可根据圆锥的体积等于下降的水的体积这一关系来求解液面下降的高度。
答案:圆锥的体积:×3.14×(12÷2)2×5=188.4(立方厘米)
下降的高度:188.4÷3.14÷(20÷2)2=0.6(厘米)
答:取出铁椎后玻璃杯中液面下降0.6厘米。
2.解析:用圆柱和圆锥的体积公式即可。
答案:设圆柱的高为h，圆锥的高为h，圆柱的底面积为S1，圆锥的底面积为S2。圆柱体积V1=S1h，圆锥体积V2 =S2×h=S2h
因为V1=V2,即S1h=S2h,可得S1:S2=2:9
答:两者的底面积之比2:9。
3.解析:这个圆柱的直径和高度等于正方体的棱长。
答案:S表=2×3.14×10×10＋2×3.14×10×20=1884(平方厘米)
答:这个圆柱的表面积是1884平方厘米。
解析:把圆柱体的高截短5厘米，其表面积减少的部分就是截去的这部分圆柱体的侧面积。
答案:根据圆柱侧面积公式S侧=2πrh=2×3.14×r×5=188.4
解得r=6
减少的体积:3.14×62×5=565.2(立方厘米)
答:这个圆柱体体积会减少565.2立方厘米。第五十三讲 长方体和正方体的体积
1.长方体的体积公式
长方体的体积=长×宽×高。
2.正方体的体积公式
正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
一个长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，剩下的部分是一个正方体，表面积减少了48平方厘米。求原来长方体木块的体积。
表面积减少的部分是4个相同的以原来长方体底面边长为长，2厘米为宽的长方形的面积。先求出底面边长，再求出原来长方体的高，最后计算体积。
底面边长:48÷4÷2=6(厘米)
原来长方体的高:6＋2=8(厘米)
体积:6×6×8=288(立方厘米)
答:原来长方体木块的体积是288立方厘米。
1.一个长方体的棱长之和与一个正方体的棱长之和相等,已知长方体的长、宽、高分别是8分米、6分米、4分米。求正方体的体积。
2.学校运来30立方米的沙子，铺在一个长8米、宽25米的沙坑里，可以铺多厚
3.把一根4米长的长方体木料锯成2米长的两段，表面积增加了4平方分米，求这根木料原来的体积。
把一个正方体的高增加2厘米，就得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原来正方体的表面积增加了96平方厘米。求原来正方体的体积。
1.解析:长方体棱长和为4×(长＋宽＋高)。已知长方体长、宽、高分别为8分米、6分米、4分米，那么其长和为4×(8＋6＋4)=72(分米),那么正方体的棱长也是72分米，可以根据正方体的棱长求出正方体的体积。
答案:4×(8＋6＋4)=72(分米)
72÷6=6(分米)
6×6×6=216(立方分米)
答:正方体的体积是216立方分米。
2.解析:沙子铺的厚度其实就是这个长方体沙坑的高。
答案:30÷(8×25)=0.15(米)
答:可以铺0.15米。
3.解析:把长方体木料锯成两段，会增加两个底面的面积。
答案:4米=40分米
4÷2×40=80(立方分米)
答:这根木材原来的体积是80立方分米。
解析:已知表面积增加了96平方厘米是正方体4个侧面的面积，那么每个侧面的面积是96÷4=24平方厘米，那么它的棱长是24÷2=12厘米。
答案:96÷4÷2=12(厘米)
12×12×12=1728(立方厘米)
答:原来正方体的体积是1728立方厘米。第五十四讲 巧求表面积
1.表面积
长方体或正方体6个面的面积之和，叫作它的表面积。
2.组合体的表面积
要考虑各个组成部分的表面积之和,并减去重复计算的部分的面积。
3.几何体被切割后的表面积
当一个几何体被切割后,表面积会增加;要分析切割面的大小和形状，将增加的面积加上原几何体的表面积来得到新的表面积。
把19个棱长为2厘米的正方体拼成一个几何体，如图所示，求这个几何体的表面积。
上、右、前看时的平面图分别如下图所示。
因为上下面的面积相同，左右面的面积相同，前后面的面积相同。所以共有(9＋8＋10)×2=54个小正方形。
(9＋8＋10)×2=54(个) 54×2×2=216(平方厘米)
答:这个几何体的表面积是216平方厘米。
1.在一个棱长为6分米的大正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，如图所示，求这个立体图形的表面积。
2.4个棱长为10厘米的正方体堆放在墙角处(如图所示)，求露在外面的面积是多少。
3.教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积共10平方米。现要粉刷四壁和天花板，粉刷的面积是多少平方米
如图，一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长为1厘米的正方体，放在它上面。求新几何体的表面积。
解析:立体图形的面积=大正方体的表面积＋小正方体表面积－重合面的面积×2。
答案:6×6×6＋4×4×6－4×4×2=280(平方分米)。
答:立体图形的表面积280平方分米。
解析:前面露在外面4个面，右侧露在外面2个面，上面露在外面3个面。
答案:(4＋2＋3)×10×10=900(平方厘米)
答:露在外面的面积是900平方厘米。
解析:总粉刷的面积是顶面＋四壁的面积－门窗的面积。
答案:8×6＋6×4×2＋8×4×2－10=150(平方米)
答:粉刷的面积是150平方米。
解析:挖去小正方体后大正方体的表面积没有改变，再把这个小正方体粘到另一面后增加了小正方体4个面的面积。
答案:4×4×6＋1×1×4=100(平方厘米)
答:新物体的表面积是100平方厘米。第五十五讲 等体积变形问题
1.等体积变形
物体的形状发生改变，但体积保持不变的情况叫等体积变形。
2.解题的关键
抓住物体在形状变化过程中体积始终保持不变，即变形前后体积相等解决问题。
有一个棱长为10厘米的正方体铁块，将其熔铸成长20厘米、宽 10厘米的长方体铁块。求这个长方体铁块的高。
因为铁块熔铸前后体积不变，所以先求出正方体的体积，再根据长方体体积公式求长方体的高。
10×10×10=1000(立方厘米)
20×10=200(平方厘米)
1000÷200=5(厘米)
答:这个长方体铁块的高是5厘米。
1.把一个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体铁块和一个棱长是3厘米的正方体铁块熔铸成一个新的长方体铁块,这个新铁块的底面积是6平方厘米。求它的高。
2.把一个长、宽、高分别为12 厘米、7厘米、5厘米的长方体平均分成12份，每个小长方体的体积是多少立方厘米
3.有一个正方体木块，把它切成两个完全一样的长方体后，表面积增加了32平方厘米。求原正方体的体积。
有一个底面是正方形的长方体，高是36厘米，侧面展开后恰好是一个正方形。求这个长方体的体积。
1.解析:是将长方体铁块和正方体铁块熔铸成一个长方体铁条，所以熔铸后长方体铁条的总体积等于长方体铁块的体积与正方体铁块的体积之和。
答案:5×3×2＋3×3×3=57(立方厘米)
57÷6=9.5(厘米)
答:高是9.5厘米。
2.解析:大长方体的体积不变。
答案:12×7×5÷12=35(立方厘米)
答:每个长方体的体积是35立方厘米
3.解析:增加的表面积实际上就是正方体两个面的面积。
答案:32÷2=16(平方厘米)解得正方体的棱长为4厘米。
原正方体的体积:4×4×4=64(立方厘米)
答:原正方体的体积为64立方厘米。
解析:长方体的侧面展开后是一个正方形，说明侧面的宽和长都是36厘米。根据长方体体积公式可求出答案。
答案:36÷4=9(厘米)
9×9×36=2916(立方厘米)
答:这个长方体的体积是2916立方厘米。第五十一讲 圆的周长和面积
1.圆心(0)
圆心是圆的中心位置的点。
2.半径(r)
连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径。
3.直径(d)
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。
4.圆周率(π)
圆周率是圆的周长与直径的比值，用希腊字母π表示。无论圆的大小如何，这个比值是一个固定的常数。
5.圆的周长公式
圆的周长=圆周率x直径，用字母表示为C=πd=2πr。
6.圆的面积公式
圆的面积=圆周率x半径的平方，用字母表示为S=πr2。
求涂色部分的面积。(单位:厘米)
由图可知，半圆的直径就是正方形的边长，涂色部分的面积，就是正方形的面积减去圆的面积。
半径:10÷2=5(厘米)
涂色部分的面积:10×10-3.14×5×5=21.5(平方厘米)
答:涂色部分的面积是21.5平方厘米。
1.如图，求阴影部分的周长和面积。(单位:厘米)
2.求阴影部分的周长和面积。(单位:米)
3.下图的正方形部分是运动场，其他部分是草坪，运动场的面积是 160平方米，草坪的面积是多少
如下图，已知圆内接正方形的面积是40平方厘米，求圆外切正方形的面积
1.解析:阴影部分的周长等于直径是12＋6厘米的半圆加上直径是6厘米和12厘米的半圆的长度。阴影部分的面积等于直径是12＋6厘米的半圆的面积减去直径是6厘米和直径是12厘米的半圆的面积。
答案:周长:3.14×(12＋6)÷2＋3.14×6÷2＋3.14×12 ÷2=56.52(厘米)
面积:3.14×(18÷2)2÷2－3.14×(6 ÷2)2÷2－3.14×(12÷2)2÷2=56.52(平方厘米)
答:阴影部分的周长是56.52厘米，面积是56.52平方厘米。
2.解析:阴影部分的周长等于一个圆的周长加正方形的4条边长。面积等于圆的面积加正方形的面积。
答案:周长:2×3.14×4＋4×4=41.12(米)
面积:3.14×4×4＋4×4=66.24(平方米)
答:阴影部分的周长是41.12 米,面积是6624平方米。
3.解析:看图可知，正方形的边长正好是圆的半径，由此可以求出圆的面积，减去四分之一的运动场，剩下的就是草坪的面积。
答案:3.14×160÷4×3=376.8(平方米)
答:草坪的面积是376.8平方米。
解析:圆内正方形可分为4个相等的小三角形，小三角形的边长是圆的半径。圆外正方形的边长等于圆的直径。
答案:解:设圆的半径为。
×÷2×4=40
解得=20
圆外正方形面积:
2×2=4×20=80(平方厘米)
答:圆外接正方形的面积为80平方厘米。

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