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(共29张PPT)
第八章
必刷小题15　直线与圆
数学
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一
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对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C D C A D
题号 8 9 10 11 12 13 14
答案 D ACD ACD BD (x－2)2+ (y－2)2＝2
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一、单项选择题
1.已知直线l与直线x－y＝0平行，且在y轴上的截距是－2，则直线l的方程是
A.x－y＋2＝0 B.x－2y＋4＝0
C.x－y－2＝0 D.x＋2y－4＝0
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答案
√
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因为直线l平行于直线x－y＝0，所以设直线l：x－y＋m＝0，因为l在y轴上的截距是－2，则直线l过点(0，－2)，代入直线方程得0－(－2)＋m＝0，解得m＝－2，所以直线l的方程是x－y－2＝0.
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答案
2.(2024·南通模拟)直线x·tan ＋y－2＝0的倾斜角为
A. B. C. D.
由题意可将原直线方程变形为y＝－tan ·x＋2＝tan ·x＋2，因为倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线的倾斜角为.
√
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答案
3.设a，b为实数，若点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外，故a2＋b2>1，
圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离为<1＝r，故直线与圆相交.
√
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答案
4.(2024·聊城模拟)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程
A.
B.＝2
C.
D.＝2
√
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答案
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由题意设所求的圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a<0，b>0，r>0)，
则
即
所以圆C的方程为＝2.
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答案
5.若直线l1：y－2＝(k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点
A.(2，0) B.(1，－1)
C.(1，1) D.(－2，0)
√
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因为直线l1：y－2＝(k－1)x过定点(0，2)，
点(0，2)关于直线y＝x＋1对称的点为(1，1)，
故直线l2恒过定点(1，1).
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答案
6.(2025·天津市武清区模拟)已知经过原点的直线l与圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则l的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
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答案
由(x－3)2＋(y＋1)2＝4，
得圆心C(3，－1)，半径r＝2，
要使|AB|≥2，则圆心C到直线l的距离d＝≤1，
设直线方程为y＝kx，
所以≤1，解得－≤k≤0.
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7.已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值是
A. B.2
C.3＋ D.3－
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答案
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两点A(－1，0)，B(0，2)，则|AB|＝，直线AB的方程为y＝2x＋2，
圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径r＝1，
点C到直线AB：2x－y＋2＝0的距离
d＝，
因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝－1，
所以△PAB面积的最小值是××＝3－.
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答案
8.已知直线l1：y＝tx＋5(t∈R)与直线l2：x＋ty－t＋4＝0(t∈R)相交于点P，且点P到点Q(a，3)的距离等于1，则实数a的取值范围是
A.[－2－3，－2－1]
B.[－2－3，2－1]
C.[－2－3，－2－1]∪[2＋1，2＋3]
D.[－2－3，－2－1]∪[2－3，2－1]
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答案
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直线l1：y＝tx＋5过定点A(0，5)，直线l2：x＋ty－t＋4
＝0过定点B(－4，1)，
又直线l1⊥l2，
因此点P(x，y)的轨迹是以线段AB为直径的圆(除去点
(0，1))，圆心C(－2，3)，半径r＝2，
圆C的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝8(x≠0且y≠1)，
又Q(a，3)，|PQ|＝1，显然点(0，1)与Q的距离大于1，
则点P在圆Q：(x－a)2＋(y－3)2＝1上，
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依题意，圆C与圆Q有公共点，
于是2－1≤|CQ|≤2＋1，
即2－1≤|a＋2|≤2＋1，
解得－2－3≤a≤－2－1或2－3≤a≤2－1，
所以实数a的取值范围是[－2－3，－2－1]∪[2－3，2－1].
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答案
二、多项选择题
9.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，则下列结论正确的是
A.若l1∥l2，则a＝6
B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C.若l1⊥l2，则a＝－
D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交
√
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答案
两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，当l1∥l2时，则3×8－4a＝0，解得a＝6，经检验，满足两直线平行，故A正确；
若l1∥l2，则a＝6，所以平行直线间的距离d＝，故B错误；
当l1⊥l2，则3a＋32＝0，解得a＝－，故C正确；
由选项A得，当a≠6时，直线l1，l2一定相交，故D正确.
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答案
10.已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下列说法正确的是
A.圆C的半径r＝3
B.点(1，2)在圆C的内部
C.圆C与圆x2＋y2＋2x＋4y－6＝0的公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0
D.圆C'：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交
√
√
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答案
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，所以半径r＝3，故A正确；
将点(1，2)代入圆C的标准方程中，得(1－3)2＋＝12>9，所以点(1，2)在圆C的外部，故B错误；
由题意知，两圆相交，由两圆方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＋2x＋4y－6＝0相减，得4x＋2y－3＝0，则公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0，故C正确；
圆C'的圆心为(－1，0)，半径为2，所以两圆C'与C的圆心距为|CC'|＝4，则3－2<|CC'|<3＋2，故两圆相交，故D正确.
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答案
11.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2＋y2＝1，点P为直线l：x－y－2＝0上的动点，则
A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为
B.若圆C与曲线x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝9
C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，∠OPQ可以为60°
D.过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
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答案
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由题知，圆心(0，0)到直线l的距离为d＝，
圆的半径为1，由<－1，所以圆上不存在点到直线l的
距离为，故A错误；
由x2＋y2－6x－8y＋m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，由题意知曲线为圆，则m<25，圆心为(3，4)，半径为，由题可知，两圆外切时有三条公切线，则＝1＋，解得m＝9，故B正确；
由切点为Q，∠OQP＝90°，则在Rt△OQP中，sin∠OPQ＝，
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答案
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当|OP|最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，过点
O作OP'⊥l，垂足为P'，
|OP'|＝，
当点P与点P'重合时，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最
大值为，∠OPQ最大为45°，不可能为60°，故C错误；
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答案
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设点P(x0，y0)，切点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切线MP的方程为x1x＋y1y＝1，
由点P在切线上，得x1x0＋y1y0＝1，
同理可得x2x0＋y2y0＝1，
故点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直线x0x＋y0y＝1上，即直线MN的方程为x0x＋y0y＝1，
又由点P(x0，y0)在直线l：x－y－2＝0上，则y0＝x0－2，
代入直线MN的方程整理得(x＋y)x0－2y－1＝0，
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由
即直线MN恒过定点，故D正确.
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三、填空题
12.已知直线l：mx－(5－2m)y－3＝0的倾斜角为，则m＝　　.
由题意直线l的倾斜角为，则直线l⊥x轴，故方程mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系数为0，即－(5－2m)＝0，解得m＝，
此时，直线l：x＝符合题意.
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13.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是　　　　　　　　　　.
(x－2)2＋(y－2)2＝2
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曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，
其圆心C(6，6)到直线l：x＋y－2＝0的距离为
d＝＝5.
又kOC＝1，kl＝－1，则直线OC与直线l垂直，
所求的半径最小的圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离为
，圆心坐标为(2，2).
标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
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14.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，过直线l：4x＋3y＋1＝0上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则||的最小值为　　.
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圆心C(3，4)，半径为2，如图，连接CA，CB，CA⊥PA，
CB⊥PB，AB和CP交于点D，
则||＝2||，
因为|PA|2＝|PD||PC|，所以|PD|＝＝|PC|－，
又|PD|，|PC|>0，且|PD|随|PC|的增大而增大，
则|PC|的最小值为圆心C(3，4)到直线l：4x＋3y＋1＝0的距离d＝
＝5，
所以|PD|的最小值为5－，那么||的最小值为.(共30张PPT)
第八章
必刷小题16　圆锥曲线
数学
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对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D A A B D A
题号 8 9 10 11 12 答案 A AC AD ACD 2 题号 13 14 答案 13
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答案
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由题得a2＝80，b2＝35，
所以a＝4，c＝＝3，
所以长轴长2a＝8，焦距2c＝6，
所以长轴长与焦距之差等于2a－2c＝2.
一、单项选择题
1.椭圆C：＝1的长轴长与焦距之差等于
A. B.2 C.2 D.3
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答案
2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率e<，则a的取值范围是
A.(0，1) B.
C.(1，＋∞) D.
由题意可知b2＝1，c2＝a2＋1，
所以e2＝，所以1<<3，且a>0，
所以a>.
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答案
3.(2024·湛江模拟)已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.8
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答案
由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右
焦点，
所以|MF2|－|MF1|＝2a，
故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2.
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答案
4.(2025·西安模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为6，则椭圆C的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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答案
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因为椭圆C的左焦点为F(－1，0)，所以c＝1.
又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为6，
所以×2a×b＝ab＝6，
结合a2＝b2＋c2＝b2＋1，a>b>0，
可得a＝3，b＝2，
故椭圆C的方程为＝1.
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答案
5.已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，|OP|＝4，则|PF|等于
A.4 B.6 C.8 D.10
√
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抛物线C：x2＝8y的焦点为F(0，2)，准线方程为y＝－2，设P(m，n)(n>0)，
则解得n＝4或n＝－12(舍去)，则|PF|＝n＋2＝6.
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答案
6.(2024·邢台统考)某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，
对称轴为坐标轴，且过A(－4，)和B两点，则曲线C的离心
率等于
A. B. C. D.
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答案
设曲线C的方程为mx2＋ny2＝1，
代入点A(－4，)得16m＋7n＝1， ①
代入点B得9m＋n＝1， ②
联立①②解得m＝，n＝－1，
所以曲线C为双曲线，其方程为－y2＝1，
a2＝2，b2＝1，
故离心率e＝.
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7.(2024·黔南模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2＋y2＝b2的一条切线l，与椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且Q为AF的中点，则椭圆E的离心率为
A. B. C. D.
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答案
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答案
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由题意可知，圆x2＋y2＝b2的圆心为点O，半径为b，c>b，
设椭圆E的右焦点为F2，连接AF2，如图，
因为点Q为AF的中点，且点O为FF2的中点，
则OQ∥AF2，|AF2|＝2|OQ|＝2b，
由椭圆定义可知|AF|＝2a－|AF2|＝2a－2b，
因为Q为切点，可知OQ⊥AF，则AF2⊥AF，
可得＋|AF|2＝，
即4b2＋(2a－2b)2＝4c2＝4(a2－b2)，
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解得2a＝3b，即，
所以椭圆E的离心率e＝.
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答案
8.已知A，B是圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|等于
A. B. C. D.
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答案
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依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是
圆C的切点，设∠APB＝2α，P，
∵圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，
∴圆心C(4，1)，半径为1，
从而sin α＝，
∵|PC|2＝－8x0＋17，
令f(x)＝－8x＋17，
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答案
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则f'(x)＝x3－8，
∴当x<2时，f'(x)<0，
即函数f(x)在(－∞，2)上单调递减；
当x>2时，f'(x)>0，
即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝，
∴(sin α)max＝，此时∠APB最大，
∴|AB|＝2|AC|cos α＝2cos α＝.
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答案
二、多项选择题
9.(2025·长沙模拟)已知抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，则下列说法正确的是
A.抛物线C的焦点坐标是(－1，0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x＝1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
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答案
因为抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，所以抛物线C的方程为y2＝－4x，
则抛物线C的焦点坐标是(－1，0)，准线方程为x＝1，故A，C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.
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答案
10.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为25
C.|PF1|的最小值为1
D.椭圆C的离心率为
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答案
由题意可知a＝3，b＝，c＝＝2，则|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10，故A正确；
当P为短轴端点时，△PF1F2面积取到最大值为|F1F2|×b＝2，故B错误；
|PF1|的最小值为a－c＝1，此时P为长轴左端点，但本题取不到长轴左端点，故|PF1|没有最小值，故C错误；
椭圆C的离心率为e＝，故D正确.
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答案
11.(2025·浙江省“浙南名校联盟”联考)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线为y＝x，直线l过点F2且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为△AF1F2和△BF1F2的内心，则下列选项正确的是
A.双曲线C的离心率为 B.直线l斜率的取值范围为
C.△MNF2为直角三角形 D.点M与点N的横坐标都为a
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答案
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依题意，双曲线C为等轴双曲线，所以离心率为，故A正确；
双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，
作图可知，
若直线l过点F2且与双曲线C的右支有两个交点，
则直线l倾斜角的取值范围为，则直线l斜率的
取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故B错误；
因为MF2和NF2分别为∠AF2F1和∠BF2F1的平分线，则2∠MF2F1＋2∠NF2F1＝π，
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答案
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所以∠MF2N＝，即△MNF2是直角三角形，故C正确；
设焦距为2c，由题可知＝1，故c＝a，
如图，过点M分别作F1A，F1F2，AF2的垂线，垂足分别
为D，E，H，
易得|F1D|＝|F1E|，|F2E|＝|F2H|，|AD|＝|AH|，
因为|AF1|－|AF2|＝2a，所以|F1E|－|F2E|＝2a，
所以E(a，0)，M点的横坐标为a，
同理可得N点的横坐标也为a，故D正确.
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三、填空题
12.(2024·北京海淀区质检)抛物线y2＝4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是　　　.
抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F(1，0)的距离为3，
则|PF|＝x0＋＝x0＋1＝3，
所以x0＝2.
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答案
13.已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0)的左、右焦点，P是C上
一点，且|PF1|＝6|PF2|，写出C的一个标准方程_______________________
　　　　 　.
＝1(答案不唯一，
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满足a2≥即可)
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答案
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因为|PF1|＝6|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝5|PF2|＝2a，所以|PF2|＝，
又因为|PF2|≥c－a，则≥c－a，即，
又因为b2＝4，所以e＝，
解得a2≥，
当a2＝6时，C的一个标准方程为＝1.
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答案
14.阿基米德是古希腊著名的物理学家和数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，点P在椭圆C上，且P与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为－.记椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，则△PF1F2的面积可能为　　　　　　 .(横线上写出满足条件的一个值)
2(答案不唯一，在(0，2)内的任何数都可以)
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答案
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由椭圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，得πab＝6π，解得ab＝6，①
设点P(x0，y0)，显然x0≠0，
由＝1，得－b2＝－，
椭圆C的上、下顶点坐标分别为(0，b)，(0，－b)，
则·＝－＝－，
即， ②
联立①②，解得a＝3，b＝2，半焦距c＝，
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答案
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△PF1F2的面积×2c×|y0|＝|y0|，
而y0∈(－2，2)且y0≠0，
因此∈(0，2)，
所以△PF1F2的面积可能为2.

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