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(共68张PPT)
第二章
§2.4　函数的周期性
和对称性
数学
大
一
轮
复
习
1.了解函数的周期性及其几何意义.
2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
3.会依据函数的性质进行简单的应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且 ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
最小
最小正数
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点 对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为 .
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 对称.
(a,0)
x＝a
(a,0)
y轴
x轴
原点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(　　)
(2)若函数y＝f(x)是奇函数,则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称.(　　)
(3)若函数y＝f(x＋1)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称.
(　　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　)
√
√
×
√
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,则f(2 024.5)等于
A. B. C.2 D.1
√
由f(x＋2)＝f(x)可知,函数f(x)的周期为2,
当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,
∴f(2 024.5)＝f＝f＋1＝.
3.下列函数与y＝ex关于直线x＝1对称的是
A.y＝ex－1 B.y＝e1－x
C.y＝e2－x D.y＝ln x
√
记f(x)＝ex,则关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x,即y＝e2－x.
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),则函数y＝－f(－x)的图象必过点
　　　　.
y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称,y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),
则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).
(－1,2)
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－则T＝2|a|.
微点提醒
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝＋1,则f等于
A.2 B. C. D.
√
函数的周期性
题型一
由已知可得f(x＋2)＋f(x)＝0 f(x＋4)＋f(x＋2)＝0 f(x＋4)＝f(x),
即T＝4是函数f(x)的一个周期,
所以f＝f ＝f＋1＝.
(2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,则当6≤x≤8时,f(x)的解析式为
A.f(x)＝－x2－4x
B.f(x)＝x2－16x＋60
C.f(x)＝x2－12x＋32
D.f(x)＝－x2＋12x－32
√
因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x－2)为偶函数,
所以f(－x)＝－f(x),f(－x－2)＝f(x－2),即f(－x)＝f(x－4),
所以f(x－4)＝－f(x),所以f(x＋4)＝－f(x),可得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x),
所以f(x)的一个周期为8,
又当0≤x≤2时,f(x)＝x2－4x,
当6≤x≤8时,则0≤8－x≤2,所以f(8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32,
又f(x)是周期为8的奇函数,
则f(x)＝f(x－8)＝－f(8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32,
故f(x)＝－x2＋12x－32,x∈[6,8].
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
思维升华
跟踪训练1　(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x),当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则下列结论正确的是
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6,－3]时,f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝
√
√
√
因为f(x－3)＝－f(x),所以f(x)＝－f(x＋3),则f(x－3)＝f(x＋3),所以f(x＋6)＝f(x),故A正确；
当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则当x∈[－6,－3]时,x＋6∈[0,3],f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18,故B不正确；
由f(x＋6)＝f(x),得函数f(x)的一个周期为6,得f(2 023)＝f(1＋337×6)＝f(1)＝－2,f(2 025)＝f(3＋337×6)＝f(3)＝0,f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2,所以f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024),故C正确；
由A选项知,f(x)＝－f(x＋3),又f(x)＝－f(－x),则f(x＋3)＝f(－x),所以函数f(x)的一条对称轴为直线x＝故D正确.
例2　(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对 x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确的是
A.f(x)在[3,5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1,最小值是0
C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4时,f(x)＝－(x－4)2
函数的对称性
题型二
命题点1　自对称中的轴对称
√
√
√
因为f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,故C正确；
因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0,所以f(4＋x)＝f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)＝x2单调递增,所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A正确；
因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[－1,3]上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B错误；
当3≤x≤4时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D正确.
例3　(多选)下列说法中,正确的是
A.函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称
C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)
D.函数y＝的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2
命题点2　自对称中的中心对称
√
√
√
对于A,f(x)＝＝2－其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y＝－的图象关于原点对称,故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称,A正确；
对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝
－f(－x－1),
所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B正确；
对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象,由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2),C正确；
对于D,函数y＝＝1＋的图象关于点(3,c)中心对称,
所以解得
所以b＋c＝4,D不正确.
例4　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
命题点3　互对称问题
√
设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)),
所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上,
而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1对称,
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是
A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝ex－3＋e3－x
C.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝|x2－6x|
√
√
若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则f(6－x)＝f(x).
对于A,f(6－x)＝6－x＋≠f(x),A错误；
对于B,f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x),B正确；
对于C,∵f(0)＝0,f(6)＝64－18×62＝648,∴f(0)≠f(6),即f(6－x)＝f(x)不恒成立,C错误；
对于D,f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x),D正确.
(2)(多选)已知函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数,又函数g(x)＝且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…, P2 026(x2 026,y2 026),则下列叙述中正确的是
A.f(x)的图象关于点(2,2)对称
B.g(x)的图象关于点(1,2)对称
C.x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026
D.y1＋y2＋…＋y2 026＝2 026
√
√
函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数,则有f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)
＋2,
即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4,
又＝1＝2,所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,2)对称,无法判断是否关于点(2,2)对称,A选项错误；
函数g(x)＝＝2＋结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知,g(x)的函数图象也关于点(1,2)对称,B选项正确；
f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1,2)对称,不妨设x1则有x1＋x2 026＝x2＋x2 025＝…＝x1 013＋x1 014＝2,
y1＋y2 026＝y2＋y2 025＝…＝y1 013＋y1 014＝4,
所以x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026,C选项正确；
y1＋y2＋…＋y2 026＝4 052,D选项错误.
返回
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C A D BD ABC [-1，0]
题号 8 11 　12 13 14 答案 A 　D D BD 13
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答案
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(1)因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)，
即有f(-x)=f(x+4)，
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
有f(-x)=f(x)，
所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数.
9.
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答案
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(2)当x∈[-2，2]时，
f(x)=-x2+1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，
所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，
所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].
9.
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答案
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(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，
则g(x)为奇函数，
故g(-x)=-g(x)，
故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x+a)=2b，
即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.
整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，
10.
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答案
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故解得
所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2).
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
10.
13
14
一、单项选择题
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),则f(2 026)等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
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知识过关
答案
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,
又f(x＋2)＝f(x),
所以2是f(x)的一个周期,
所以f(2 026)＝f(0)＝0.
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答案
2.函数y＝－ex与y＝e－x的图象
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
√
根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称.
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14
3.若函数y＝f(x)与函数y＝2x＋1－1的图象关于直线x＝2对称,则f(4)的值为
A.1 B.－1 C.2 D.－2
√
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设g(x)＝2x＋1－1,
因为函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称,
所以f(4)＝g(0)＝2－1＝1.
答案
13
14
4.(2024·茂名模拟)函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R上的奇函数,若f(－1)＝－2,则f(2 025)等于
A.－2 B.－1 C.0 D.2
√
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答案
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因为y＝f(x－2)为奇函数,f(x－2)＝－f(－x－2),
所以y＝f(x)的图象关于点(－2,0)对称,
即f(－x)＋f(x－4)＝0,
又y＝f(x)的图象关于原点对称,
则f(－x)＝－f(x),
有f(x)＝f(x－4) f(x＋4)＝f(x),
所以y＝f(x)的一个周期为4,
故f(2 025)＝f(1＋2 024)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
答案
13
14
二、多项选择题
5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),且满足f(x)－f(2－x)＝0,则下列说法正确的是
A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称
B.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C.函数f '(x)的图象关于直线x＝1对称
D.函数f '(x)的图象关于点(1,0)对称
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答案
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由f(x)－f(2－x)＝0,可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.对f(x)－f(2－x)＝0求导,得f '(x)＋f\'(2－x)＝0,则函数f '(x)的图象关于点(1,0)对称,所以A,C错误,B,D正确.
答案
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6.(2025·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0,f(π)＝0,且对任意的x,y∈R,有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),则
A.f(0)＝1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称
D.2π是f(x)的一个周期
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答案
√
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对于A,根据题意令x＝y,则由f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),可得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0),又f(x)不恒等于0,则f(0)＝1,即A正确；
对于B,令y＝－x,可得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x),所以f(2x)＝f(－2x),
即对任意的x∈R满足f(x)＝f(－x),即f(x)是偶函数,所以B正确；
对于C,令x＋y＝π,则由f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),可得f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)f(π－2y)＝0,
即f(x)满足f(2π－x)＋f(x)＝0,因此可得f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,即C正确；
对于D,由于f(x)是偶函数,所以满足f(x－2π)＋f(x)＝0,即f(x)＋f(x＋2π)＝0,
可得f(x－2π)＝f(x＋2π),即f(x)＝f(x＋4π),所以4π是f(x)的一个周期,即D错误.
答案
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三、填空题
7.(2024·龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),且f(x)在
(－∞,2]上单调递减,则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　.
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答案
[－1,0]
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因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),
则f(x)的图象关于直线x＝2对称,
又因为f(x)在(－∞,2]上单调递减,
则f(x)在[2,＋∞)上单调递增,
则由f(2x＋3)≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|,
即|2x＋1|≤1,解得－1≤x≤0,
则不等式的解集为[－1,0].
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8.(2025·八省联考)已知曲线C:y=x3-,两条直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C交于M,N两点,l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为,则△MNQ的面积为　　　　.
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答案
2
因为函数y=x3-为奇函数,所以曲线C的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称,则四边形PNQM为平行四边形.
又S△OPM=,则S△MNQ=2.
13
14
四、解答题
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；
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答案
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称,所以f(x＋2)＝f(2－x),
即有f(－x)＝f(x＋4),
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,有f(－x)＝f(x),
所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x),
即f(x)是周期为4的周期函数.
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14
(2)若当x∈[－2,2]时,f(x)＝－x2＋1,求当x∈[2,6]时,f(x)的解析式.
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答案
当x∈[－2,2]时,f(x)＝－x2＋1,
又f(x)是周期为4的周期函数,
当x∈[2,6]时,x－4∈[－2,2],
所以f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)2＋1,
所以f(x)＝－(x－4)2＋1＝－x2＋8x－15,x∈[2,6].
13
14
10.函数y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)若f(x)＝x3－3x2,求此函数图象的对称中心；
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答案
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答案
设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a,b),g(x)＝f(x＋a)－b,
则g(x)为奇函数,故g(－x)＝－g(x),
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b,
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b,
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0,
故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1,－2).
13
14
(2)类比上述推广结论,写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
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答案
推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
13
14
11.已知函数f(x)的定义域为R,f为偶函数,f(2－x)＋f(x)＝0,f＝
－则f等于
A. B. C.0 D.－
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答案
能力拓展
√
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答案
因为f为偶函数,
所以f＝f
所以f(－x＋2)＝f(x－1),
又因为f(2－x)＋f(x)＝0,故f(x－1)＋f(x)＝0,即f(x)＝－f(x－1),
所以f(x－1)＝－f(x－2),
故f(x)＝f(x－2),
故函数f(x)的一个周期为2,
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答案
故f＝f＝f
在f(x－1)＋f(x)＝0中,令x＝得,
f＋f＝0,
因为f＝－所以f
故f＝f.
13
14
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(x－2)为偶函数,f(x－3)＋f(－x＋1)＝0,当x∈
[－1,0]时,f(x)＝x＋1,则f(k)等于
A.19 B.0 C.1 D.－1
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答案
√
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答案
因为f(x－2)是偶函数,所以f(x－2)＝f(－x－2),
则f(x)＝f(－4－x), ①
即对称轴为直线x＝－2,
又因为f(x－3)＋f(－x＋1)＝0,
所以f(x－3)＝－f(－x＋1),
则f(x)＝－f(－x－2), ②
即对称中心为点(－1,0).
由①②得f(－4－x)＝－f(－x－2),
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答案
令t＝－x－2,则－4－x＝t－2,
所以f(t－2)＝－f(t),
即f(x－2)＝－f(x), ③
所以f(x－4)＝－f(x－2). ④
由③④得f(x－4)＝f(x),
所以f(x)＝f(x＋4),
所以函数f(x)是周期为4的周期函数,
当x∈[－1,0]时,f(x)＝x＋1,则f(0)＝1,f(－1)＝0,
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答案
f(－2)＝－f(0)＝－1,f(－3)＝－f(－1)＝0,
根据周期性得f(1)＝f(－3)＝0,f(2)＝f(－2)＝－1,f(3)＝f(－1)＝0,f(4)＝f(0)＝1,
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0－1＋0＋1＝0,
又因为19＝4×4＋3,故f(k)＝4[ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝4×0＋0－1＋0＝－1.
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答案
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13.(2025·吕梁模拟)已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=，则下列结论不正确的是
A.f(0)=3
B.函数f(2x-1)的图象关于直线x=对称
C.f(x)+f(0)≥0
D.f(x)的周期为3
√
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令x=1，y=0，
则2f(1)=f(1)f(0)，
又f(1)≠0，解得f(0)=3，A正确；
令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，
所以f(y)=f(-y)，即f(x)是偶函数，
所以f(2x-1)=f(-2x+1)=f[2(1-x)-1]，
所以函数f(2x-1)的图象关于直线x=对称，B正确；
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答案
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令y=x，则f(2x)+f(0)=[f(x)]2≥0，
令t=2x，则f(t)+f(0)≥0，所以f(x)+f(0)≥0，C正确；
令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ①
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)， ②
联立①②得f(x+2)=-f(x-1)，
所以f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期为6，D错误.
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答案
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14.(多选)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x，y都有f(x)+f(y)= f f ，且f(1)=1，则下列说法正确的是
A.f(0)=3
B.f(x)=f(-x)
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.f(1)+f(2)+…+f(2 024)=0
√
√
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答案
返回
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定义域为R的函数f(x)对任意实数x，y都有f(x)+f(y)=f f ，令x=y=1，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)，而f(1)=1，因此f(0)=2，A错误；
令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)f(x)=2f(x)，则f(x)=f(-x)，B正确；
显然f(0)+f(1)=3≠0，则函数f(x)的图象关于点不对称，C错误；
令y=x-2，则f(x)+f(x-2)=f(x-1)f(1)=f(x-1)，同理f(x+1)+f(x-1)=f(x)，因此f(x+1)=
-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)，从而f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即函数f(x)的周期是6，由f(x+3)=-f(x)，得f(2)=-f(-1)=-f(1)，则f(1)+f(2)=0，显然f(4)=-f(1)，f(5)=-f(2)，f(6)=-f(3)，所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1) +f(2)=0，D正确.(共72张PPT)
第二章
§2.11　函数的图象
数学
大
一
轮
复
习
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.利用描点法作函数图象的步骤： 、 、 .
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
列表
描点
连线
f(x)+k
f(x+h)
f(x-h)
f(x)-k
(2)对称变换
①y＝f(x) y＝ .
②y＝f(x) y＝ .
③y＝f(x) y＝ .
④y＝ax (a>0,且a≠1) y＝ .
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
logax(a>0,且a≠1)
(3)翻折变换
①y＝f(x) y＝ .
②y＝f(x) y＝ .
|f(x)|
f(|x|)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数.(　　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象,可由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到.
(　　)
(3)当x∈(0,＋∞)时,函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)
√
×
×
×
2.函数y＝21－x的大致图象为
√
3.函数f(x)＝的大致图象为
√
要使函数f(x)有意义,即x2＋1≠1,所以x≠0,故f(x)的定义域为(－∞,0)∪
(0,＋∞),关于原点对称.
因为f(－x)＝＝－f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项B,C；
当x>0时,－x<0,ln(x2＋1)>ln 1＝0,所以f(x)<0,排除选项A.
4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称,再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象,则g(x)＝　　　　.
由题意可知f(x)＝e－x,把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝
e－(x－1)＝e－x＋1的图象.
e－x＋1
谨记三个图象变换的注意点
(1)“左加右减”只针对x本身,与x的系数没有关系,如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度,即将x变成x－.
(2)“上加下减”只针对函数值f(x).
(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　作出下列各函数的图象：
(1)y＝；
作函数的图象
题型一
原函数解析式可化为y＝2＋故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图所示.
(2)y＝|x2－4x－5|；
y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到,如图所示.
y＝－1,其图象可看作由函数y＝的图象
向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到,
而y＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象,
然后将该部分关于y轴对称得到,
则y＝－1的图象如图所示.
(3)y＝－1.
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
思维升华
跟踪训练1　作出下列各函数的图象：
(1)y＝x2－2|x|－3；
y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示.
(2)y＝|log2(x＋1)|.
y＝|log2(x＋1)|,其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度,
再保留x轴上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,如图所示.
例2　(1)函数f(x)＝cos x图象的大致形状是
函数图象的识别
题型二
√
依题意,函数f(x)＝·cos x的定义域为R,f(－x)＝·cos(－x)＝·cos x＝－f(x),
即函数f(x)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,选项A,C不满足；
当x∈时<0,cos x>0,即f(x)<0,选项D不满足,B符合题意.
(2)已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为
A.f(x)＝ln|x|－
B.f(x)＝ln|x|＋
C.f(x)＝＋ln|x|
D.f(x)＝－ln|x|
√
对于A,f(1)＝ln 1－＝－1,显然不满足图象,故A错误；
对于B,f(－1)＝ln|－1|＋＝1,显然不满足图象,故B
错误；
对于C,当x→＋∞时,f(x)→＋∞,故C错误；
对于D,经检验,f(x)＝－ln|x|满足对应图象,故D正确.
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
思维升华
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝的图象大致为
由函数f(x)＝可得函数的定义域为{x|x≠0},
由f(－x)＝＝－＝－f(x),可知函数f(x)为奇函数,
其图象关于坐标原点对称,故排除B,D两项；
又由f(2)＝<0可得C项不合题意,故A项正确.
√
(2)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为
A.f(x)＝ex－e－x
B.f(x)＝1－
C.f(x)＝x
D.f(x)＝
√
根据函数f(x)的图象,知f(1)≈1,而对A选项,f(1)＝e－e－1
>2,排除A；
对B选项,f(x)＝1－因为ex＋1>1,则∈(0,2),
则f(x)＝1－∈(－1,1),但图象中函数值可以大于1,排除B；
根据C选项的解析式,f(2)＝2≈2.8,而根据函数f(x)的图象,知f(2)≈1,排除C.
例3　(多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)
＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)＝0有三个解
C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D.函数F(x)有4个单调区间
√
命题点1　利用图象研究函数的性质
函数图象的应用
题型三
√
√
根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2,画出函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象,如图.
由图象可知,函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称,所以A项正确；
函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)＝0有三个解,所以B项正确；函数F(x)在(－∞,－1]上单调递增,在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减,所以C项错误,D项正确.
例4　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为
A.(－0)∪(2)
B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)
C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2)
D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞)
命题点2　利用图象解不等式
√
根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示,
由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0,
则或
解得x<－2或故不等式的解集为(－∞,－2)∪(－0)∪(2).
命题点3　利用图象求参数的取值范围
例5　已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是　　　　 　.
(2,2 025)
函数f(x)＝的图象如图所示,
不妨令a而1当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
思维升华
跟踪训练3　(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,＋∞)上单调递增,则a的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,得到函数g(x)＝ln|x＋
2－a|的图象,
则函数g(x)在(a－2,＋∞)上单调递增,
又因为所得函数在(0,＋∞)上单调递增,
所以a－2≤0,即a≤2.
所以a的最大值为2.
(2)已知f(x)＝若存在x1(2,3]
作出函数f(x)的图象,如图,
因为存在x1所以f(－1)返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C C B BCD BC
题号 9 10 13 　14 15 16 答案 ex-1　e-x-1 A 　D C A 15
16
答案
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
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14
(1)y=log2|x|=
易知函数为偶函数，所以函数y=log2|x|的图象如图1
所示.
(2)把y=log2x的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，
即可得y=-log2(-x)的图象，如图2所示.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)当x≤0时，0<2x≤1，
则f(x)=|2x-2|=2-2x∈[1，2)，
作出函数f(x)的图象，如图所示.
12.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
(2)由f(x)-m=0可得m=f(x)，
则方程f(x)-m=0的根的个数即为直线y=m与函数y=f(x)图象的交点个数，如图所示.
当m≤0时，方程f(x)-m=0无实根；
当0当1≤m<2时，方程f(x)-m=0有两个不相等的实根.
12.
15
16
一、单项选择题
1.(2024·南昌模拟)函数f(x)＝的图象大致为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
√
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16
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
14
答案
f(－x)＝＝－f(x),且函数定义域为{x|x≠0},关于原点对称,所以f(x)为奇函数,排除C,D；
当x>0时,2x－2－x>0,所以f(x)>0,排除B,经检验A选项符合题意.
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
答案
2.(2025·岳阳模拟)函数y＝的大致图象为
因为y＝所以当x＝0时,y＝＝2,故排除A,B,C；
又y＝＝－的图象可由函数y＝－的图象向右平移1个单位长度得
到,故D正确.
√
15
16
3.已知函数f(x)＝则y＝－f(x)的大致图象为
√
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答案
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答案
结合题意可得,当x<0时,f(x)＝x－2＝f(x)在(－∞,0)上单调递增；
当x≥0时,易知f(x)＝f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
故函数f(x)＝的大致图象如图所示,
要得到y＝－f(x)的图象,只需将y＝f(x)的图象沿x轴对称即可得到,C中图象符合题意.
15
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4.已知函数f(x)＝则f(2－x)的大致图象是
√
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答案
方法一　画出f(x)的大致图象如图所示.
要得到y＝f(2－x)的图象,只需将y＝f(x)的图象沿y轴对称,再向右平移2个单位长度即可.
方法二　设g(x)＝f(2－x),则g(1)＝f(1)＝2,从而排除A,B,D.
15
16
5.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式最有可能是
A.f(x)＝x2＋
B.f(x)＝xsin x
C.f(x)＝sin x－xcos x
D.f(x)＝ln|x|
√
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答案
由题图可得0在定义域内,A,D选项的解析式的定义域
为{x|x≠0},故A,D错误；
B选项,f(x)＝xsin x的定义域为R,
且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x),故f(x)＝xsin x为偶函数,故B错误；
C选项,f(x)＝sin x－xcos x的定义域为R,
f(－x)＝sin(－x)－(－x)cos(－x)＝－sin x＋xcos x＝－f(x),
故f(x)＝sin x－xcos x为奇函数,满足要求.
15
16
6.已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不同的实数根,则实
数a的取值范围是
A.(1,3) B.(0,1) C.(0,3) D.[0,1]
√
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答案
方程f(x)＝a有三个不同的实数根,即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个交点.
作出函数y＝f(x)的图象如图所示,f(2)＝3,
由图可得,0所以实数a的取值范围是(0,1).
15
16
二、多项选择题
7.设函数f(x)＝ln x,则下列说法正确的是
A.函数f(x)的图象与函数y＝ln(－x)的图象关于x轴对称
B.函数f(|x|)的图象关于y轴对称
C.函数|f(x＋1)|的图象在(0,＋∞)上单调递增
D.<|f(4)|
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答案
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答案
函数f(x)＝ln x的图象如图1所示,
对于A,由函数图象变换可知,y＝ln(－x)的图象如图2所示,函数图象与原函数图象关于y轴对称,故A错误；
对于B,由函数图象变换可知,f(|x|)的图象如图3所示,函数图象关于y轴对称,故B正确；
对于C,由函数图象变换可知,|f(x＋1)|的图象
如图4所示,函数图象在(0,＋∞)上单调递增,故C正确；
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答案
对于D,即＝ln 3,|f(4)|＝|ln 4|＝ln 4,
∵y＝ln x在定义域上单调递增,
∴ln 315
16
8.设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有四个不同的解
x1,x2,x3,x4,且x1A.x1x2>4
B.0C.x3＋x4>2
D.1√
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答案
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答案
如图,作出函数f(x)的图象,
由题意,直线y＝a与f(x)的图象有4个交点,
由图象可知0且x1＋x2＝－4,－2所以ln(x3x4)＝0,即x3x4＝1,则x3＋x4>2＝2,故C正确；
x1x2＝(－4－x2)x2＝－－4x2＝－＋4∈[0,4),故A错误；
当f(x4)＝f(0)＝2时,ln x4＝2,x4＝e2,
又015
16
三、填空题
9.将函数y＝ex的图象先向右平移1个单位长度,得到函数y＝　　　的图象,再把图象作关于y轴对称,得到函数y＝　 　　的图象.
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答案
ex－1
e－x－1
将函数y＝ex的图象向右平移1个单位长度,得到函数y＝ex－1的图象,将y＝ex－1的图象再作关于y轴对称,得到函数y＝e－x－1的图象.
15
16
10.若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m,n]上的最小值是－1,最大值是3,则n－m的最大值为　　　　 .
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答案
4＋
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16
作出函数
f(x)＝x(|x|－2)＝的图象,如图所示,
当x≥0时,
令x(x－2)＝3,
得x1＝－1(舍),x2＝3,
当x<0时,令x(－x－2)＝－1,
得x3＝－1－x4＝－1＋(舍),
结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋.
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答案
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四、解答题
11.画出下列函数的大致图象：
(1)y＝log2|x|；
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答案
y＝log2|x|＝易知函数为偶函数,
所以函数y＝log2|x|的图象如图1所示.
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(2)y＝－log2(－x).
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答案
把y＝log2x的图象先关于y轴对称,再关于x轴对称,
即可得y＝－log2(－x)的图象,如图2所示.
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12.已知函数f(x)＝
(1)作出函数f(x)的图象；
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答案
当x≤0时,0<2x≤1,则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2),
作出函数f(x)的图象,如图所示.
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(2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况.
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答案
由f(x)－m＝0可得m＝f(x),
则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数,
如图所示.
当m≤0时,方程f(x)－m＝0无实根；
当0当1≤m<2时,方程f(x)－m＝0有两个不相等的实根.
15
16
13.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.已知f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能是
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
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答案
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能力拓展
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答案
因为函数f(x)＝的定义域为{x|x≠1},函数f(x)＝的定义域为R,
函数f(x)＝与f(x)＝的定义域均为{x|x≠±1}.
由图知f(x)的定义域为{x|x≠±1},所以排除选项B,D；
对于C,因为当x＝0时,f(0)＝－1,不符合图象f(0)＝1,
所以排除选项C.
15
16
14.(2025·萍乡模拟)若把函数f(x)＝＋2(a>0,且a≠1)的图象平移,可以使图象上的点P(－2,0)变换成点Q(－1,－2),则函数y＝f(x)的图象经此平移变换后所得的函数图象大致形状为
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答案
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答案
由题意可知图象上的点P(－2,0)变换成点Q(－1,－2),
意味着函数f(x)＝＋2(a>0且a≠1)的图象向右平移1个单位长度且向下平移2个单位长度,此时对应的函数解析式为g(x)＝
将点Q(－1,－2)代入得a＝
则当x>0时,015
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答案
15.(2025·惠州模拟)如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为
A.y=|x|
B.y=x
C.y=
D.y=
√
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答案
由图可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数y=x和y=都不满足，故排除B，D；
y=|x|的图象过点(0，0)，(-2，0)，(2，0)，
且当0即函数y=|x|的最大值为2，又“心形”在x轴上方的图象对应的函数的最大值为1，故排除A；
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答案
由y=的图象过点(0，0)，(-2，0)，(2，0)，
且当0y===≤1，当x=1时，等号成立，
即函数y=的最大值为1，满足题意，故C满足.
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答案
16.(2024·成都模拟)若函数f(x)=xex-ln x的最小值为m，则函数g(x)=ln x-xeex+1
的最大值为
A.-m-1 B.-em+1
C.-m+1 D.-em-1
√
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答案
f(x)=xex-ln x，x>0，
令x=ex，有f(ex)=ex·eex-ln(ex)=xeex+1-ln x-1，
则f(ex)=-g(x)-1，即g(x)=-f(ex)-1，
根据已知条件函数f(x)=xex-ln x的最小值为m，
由此可知函数g(x)=ln x-xeex+1的最大值为-m-1.
返回
15
16(共42张PPT)
第二章
§2.10　指、对、幂的
大小比较
数学
大
一
轮
复
习
函数“比大小”是非常经典的题型,难度不定,方法无常,很受命题者的青睐.每年高考基本都会出现,难度逐年上升.高考命题中,常常在选择题中出现,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻,即利用函数的性质与图象解答.
重点解读
例1　(2024·鄂尔多斯模拟)已知a＝b＝log8c＝则
A.bC.b√
直接法比较大小
题型一
命题点1　利用函数的性质
由于y＝0.7x是R上的减函数,
则0<<0.70＝1,所以0由于y＝log8x是(0,＋∞)上的增函数,
则log8由于y＝4x是R上的增函数,
则>40＝1,所以c>1,
所以b例2　设a＝0.20.5,b＝log53,c＝50.2,则a,b,c的大小关系是
A.aC.c√
命题点2　找中间值
01>b＝log53>log5
c＝50.2>50＝1,所以a例3　已知a>b>1,0A.acC.alogbc√
命题点3　特殊值法
取特殊值,令a＝4,b＝2,c＝
则ac＝bc＝∴ac>bc,故A错误；
abc＝4×bac＝2×
∴abc>bac,故B错误；
logac＝log4＝－1,logbc＝log2＝－2,
alogbc＝－8,blogac＝－2,
∴alogbclogbc,故C正确,D错误.
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,01”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1＝log22思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·宁河模拟)设a＝2－0.5,b＝c＝log0.50.3,则a,b,c的大小关系为
A.cC.b√
因为a＝2－0.5,b＝＝2－0.3,
易知函数y＝2x在R上是增函数,
又－0.5<－0.3<0,所以a又易知y＝log0.5x在(0,＋∞)上是减函数,
所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1,
综上,a(2)(2025·天津模拟)设a＝log2π,b＝loπ,c＝π－2,则
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
√
依题意,a＝log2π>log22＝1,b＝loπc>b.
例4　设a＝log62,b＝log123,c＝log405,则
A.aC.c利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
题型二
命题点1　作差法
√
∵＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋＝log540
＝1＋log58＝1＋＝1＋
∴＝＝
＝<0,
∴<
又b>0,c>0,∴b>c；
∵＝1＋log58<1＋log5
＝1＋log5∴c>
∵＝log26＝1＋log23>1＋log2
＝1＋log2∴a<
∴a例5　(2025·成都模拟)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
命题点2　作商法
√
因为0令××
而×()12＝3×2－4＝<1,
即×<1,所以a又因为c＝lo＝lo>lo＝lo＝1,所以c>b>a.
例6　已知a＝log35,b＝log57,c＝则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
命题点3　乘方法
√
因为53＝125>＝81,所以5>
所以log35>log3即a>c.
因为73＝343<＝625,所以7<
所以log57所以a>c>b.
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知正数a,b,c满足2 024a＝2 025,2 025b＝2 024,ec＝2,下列说法正确的是
A.logac>logbc B.logca>logcb
C.ac√
∵2 024a＝2 025,2 025b＝2 024,ec＝2,
∴a＝log2 0242 025>1,b＝log2 0252 024<1,c＝ln 2<1,
∴a>1,0∴logac<0,logbc>0,∴logac∵0b,∴logcabc,ca(2)若a＝b＝log147,c＝log126,则
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
√
a＝
b＝log147＝1－log142＝1－c＝log126＝1－log122＝1－
因为4log142＝log1424＝log1416>1,则log142>
所以1－log142<1－即b而ln 2>0,ln 14>ln 12>0,所以<
所以1－>1－即b>c,
综上,a>b>c.
课时精练
对一对
答案
1
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9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A D B A AC BD
题号 9 　　10 答案 aa>c 一、单项选择题
1.(2024·湛江模拟)已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则
A.b>c>a B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
√
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3
4
5
6
7
8
9
10
答案
依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3a>c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.(2025·攀枝花模拟)若a＝(b＝log3e,c＝则
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
√
易知y＝在(0,＋∞)上单调递增,则(>即a>c,
而由y＝3x,y＝ex均为增函数,得>30＝1>e0＝1,即a>c>1,
又y＝log3x为增函数,故1＝log33>log3e＝b,
则a>c>1>b.
3.已知a＝ln b＝c＝ln 则a,b,c的大小关系为
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
√
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5
6
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8
9
10
∵＝27＝π2,27>π2,∴>
∴0∵b＝>1,∴b>a>c.
答案
4.已知a＝log32,b＝log43,c＝sin 则a,b,c的大小关系为
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.b>a>c
√
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答案
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7
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9
10
c＝sin 因为函数y＝log3x,y＝log4x在(0,＋∞)上单调递增,
则a＝log32>log3b＝log43>log42＝.
a－b＝
因为ln 2>0,ln 4>0,则ln 2＋ln 4>2
ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2.
故aa>c.
答案
5.(2025·沈阳模拟)设a＝b＝ln c＝则
A.aC.b√
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4
5
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10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a＝>e0＝1,b＝ln <1,c＝<1,故a>b,a>c,
要比较ln 与的大小,即比较ln与ln 2.2的大小,
等价于比较1.110与2.2的大小,等价于比较1.19与2的大小,
又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1× 1.96>2,
故1.19>2,即ln >即b>c,
故c答案
6.已知log4m＝log12n＝0.9p＝0.8,则正数m,n,p的大小关系为
A.p>m>n B.m>n>p
C.m>p>n D.p>n>m
√
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答案
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7
8
9
10
由log4m＝得m＝<2,
由log12n＝得n＝
>1,因此2>m>n；
由0.9p＝0.8,得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2,于是p>m>n,
所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n.
答案
二、多项选择题
7.已知x>y>0,则
A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B.cos x>cos y
C.(x＋1)3>(y＋1)3
D.e－x＋1>e－y＋1
1
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10
√
答案
√
对于A,由x>y>0,得x2＋1>y2＋1,又f(t)＝log2t是增函数,所以log2(x2＋1) >log2(y2＋1),故A正确；
对于B,由于g(t)＝cos t在(0,＋∞)上不单调,所以cos x与cos y的大小关系无法确定,故B错误；
对于C,由x>y,得x＋1>y＋1,又h(t)＝t3是增函数,所以(x＋1)3>(y＋1)3,故C正确；
对于D,由x>y,得－x＋1<－y＋1,又φ(t)＝et是增函数,所以e－x＋11
2
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答案
8.设a＝ln 4,b＝lg 4,c＝20.6,则
A.b>a B.c>a
C.a－b>ab D.a＋b>ab
√
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答案
√
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因为a＝ln 4>ln e＝1,b＝lg 4因为42因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝－lg 4－
而lg(4e)>1,lg 4>0,lg e>0,所以a－b－ab<0,即a－b由a＋b－ab＝＋lg 4－·lg 4＝lg 4·>0,所以a＋b>ab,故D正确.
答案
三、填空题
9.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin 2,则a,b,c的大小关系为　　　　.
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答案
a1
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答案
因为函数y＝log2x是增函数,且0.5<1,
则a＝log20.5因为函数y＝2x是增函数,且0.5>0,
则b＝20.5>20＝1,
因为正弦函数y＝sin x在区间上单调递减,且<2<π,
所以0＝sin π所以a10.定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数,且当x10恒成立,a＝f(1),b＝f(ln 10),c＝f(),则a,b,c的大小关系为　　　 .
(从大到小排列)
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10
答案
b>a>c
1
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10
因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称,
当x10,
由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0,
得f(x2)－f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(－∞,2)上单调递增,
则f(x)在(2,＋∞)上单调递减,
根据函数y＝ln x在(0,＋∞)上单调递增,且e2<10<2.53答案
1
2
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10
根据函数y＝3x在R上单调递增,且1<
则3<
则有>3>ln 10.
由函数f(x)在(2,＋∞)上单调递减,f(1)＝f(3),
可知f(ln 10)>f(3)>f(),即b>a>c.
答案(共77张PPT)
第二章
§2.1　函数的概念及其表示
数学
大
一
轮
复
习
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 .
(2)如果两个函数的 相同,并且 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
唯一确定
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
解析法
列表法
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数.(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(　　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　)
×
×
√
√
2.以下图形中,不是函数图象的是
根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象.
√
3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是
A.y＝与y＝
B.y＝x2与y＝(x－1)2
C.y＝与y＝x
D.y＝1与y＝x0
√
√
√
对于A选项,y＝的定义域是[－3,3),y＝的定义域是[－3,3),并且所以两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个
函数；
对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数；
对于C选项,y＝＝|x|,所以两函数的对应关系不同,所以不是同一个函数；
对于D选项,y＝1的定义域是R,y＝x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
4.已知函数 f(x)＝则 f ( f (－2))＝　　.
因为f (－2)＝(－2)2＝4,所以 f ( f (－2))＝f(4)＝log44＝1.
1
防范四个易错点
(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列选项中正确的是
A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞)
B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数
D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同
√
函数的概念
题型一
√
√
对于A,由题意解得x≥0,A正确；
对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确；
对于C,函数y＝的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝x－1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数,C错误；
对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确.
(2)若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为　　　 .
若函数f(x)的定义域为(1,3),
则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈.
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.
思维升华
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为
A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞)
C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞)
√
因为f(x)＝＋ln(x－1),
所以要使函数有意义,则
解得x>1且x≠2,
所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞).
(2)(多选)下列命题中是假命题的是
A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)＝是函数
C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3)
D.f(x)＝x＋和g(t)＝t＋是同一个函数
√
√
√
对于A,因为函数y＝2x(x∈N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点,横坐标和纵坐标都是整数)组成的,A错误；
对于B,因为要使与有意义,则不等式组无解,所以
由函数的定义可得f(x)＝不是函数,B错误；
对于C,由f(x)的定义域为(－1,2)可得－1对于D,两函数的定义域都是(－∞,0)∪(0,＋∞),且对应关系相同,故这两个函数是同一个函数,D正确.
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式；
函数的解析式
题型二
(换元法)设1－sin x＝t,t∈[0,2],
则sin x＝1－t,
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x,
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].
即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).
(2)已知f＝x4＋求f(x)的解析式；
(配凑法)f＝x4＋－2,
又x2＋≥2＝2,
当且仅当x2＝即x＝±1时等号成立.
设t＝x2＋则t≥2,∴f(t)＝t2－2(t≥2),
∴f(x)＝x2－2(x≥2).
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式；
(待定系数法)∵f(x)是一次函数,
可设f(x)＝ax＋b(a≠0),
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17,
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17,
∴解得
∴f(x)＝2x＋7(x∈R).
(4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式.
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2, ①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2, ②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6,
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
函数解析式的求法
(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
思维升华
跟踪训练2　(多选)下列命题中正确的有
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1
B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞)
C.若f＝x3－则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f ＝3x,则f(x)＝－x
√
√
√
对于A,设f(x)＝kx＋b,
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b,
因为f(f(x))＝4x＋3,
所以解得或
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A错误；
对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0),
则f(t)＝＋4log3t,t>0,
故函数的定义域为(0,＋∞),B正确；
对于C,f ＝x3－
且x－的取值范围是R,
所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正确；
对于D,由f(x)＋2f＝3x,
得f＋2f(x)＝
联立解得f(x)＝－x,D正确.
例3　(1)(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(－∞,4]
C.若f(x)＝2,则x的值是－
D.f(x)<1的解集为(－1,1)
√
分段函数
题型三
√
函数f(x)＝的定义域是[－2,＋∞),故A错误；
当－2≤x<1时,f(x)＝x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)＝－x＋2,值域为(－∞,1],故f(x)的值域为(－∞,4],故B正确；
当x≥1时,令f(x)＝－x＋2＝2,无解,当－2≤x<1时,令f(x)＝x2＝2,解得x＝
－故C正确；
当－2≤x<1时,令f(x)＝x2<1,解得x∈(－1,1),当x≥1时,令f(x)＝－x＋2<1,解得x∈(1,＋∞),故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1,＋∞),故D错误.
(2)定义max{a,b}＝设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],则n－m的最大值为
A.1 B. C. D.2
√
令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0；
令f(x)0,
所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝
F(x)的图象如图所示,
又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0,
要使函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],
当n＝0时,－2≤m≤－1；
当m＝－2时,－1≤n≤0,
则当n＝0,m＝－2时,n－m取得最大值2.
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f ( f (a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
当f(x)＝2时,若x≤0,则有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,则有ln x＝2,解得x＝e2.
即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分条件；
反之,当x＝－1时,代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要条件,
综上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分条件.
(2)(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)＝称为狄利克雷函数,对于狄利克雷函数,下列结论正确的是
A.D(D(2))＝D(D())
B.D(x)的值域与函数f(x)＝的值域相同
C.D(x)≠D(－x)
D.对任意实数x,都有D(x＋1)＝D(x)
√
√
√
对于A,根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1,D(D())＝D(0)＝1,所以A正确；
对于B,易知D(x)的值域为{0,1},函数f(x)＝的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),
当x∈(－∞,0)时,f(x)＝＝0；当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝＝1,即函数f(x)＝的值域为{0,1},所以B正确；
对于C,若x∈Q,则－x∈Q,则D(x)＝D(－x)＝1,若x∈ RQ,则－x∈ RQ,则D(x)＝D(－x)＝0,综上可得D(x)＝D(－x),所以C错误；
对于D,当x∈Q时,x＋1∈Q,此时D(x＋1)＝D(x)＝1；
当x∈ RQ时,x＋1∈ RQ,此时D(x＋1)＝D(x)＝0,所以D正确.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B A B D D A
题号 9 10 11 12 13 答案 ABD CD BC (0，1)∪(1，2] 1 题号 14 15 16 17 答案 4　(-1，1)∪(1，+∞) BCD BCD 17
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对一对
答案
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题号 18
答案
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一、单项选择题
1.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A,函数g(x)＝log2x, x∈ 的值域为B,则A∩B等于
A.(0,2) B.(0,2]
C.(－∞,4] D.(－1,4]
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知识过关
答案
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答案
f(x)＝
则≥0,∴x(x－4)≤0且x≠0,
可得A＝{x|0∴A∩B＝{x|017
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答案
2.已知f(x)＝则f等于
A.1 B.2 C.2 D.4
√
由题意,得fsin＋3＝sin ＋3＝×＋3＝4,
故f＝f(4)＝log24＝2.
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3.已知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,则m等于
A.2 B.3 C.4 D.5
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由题意知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,
用x－1代换x,则f(x)＝2(x－1),
即f(m)＝2(m－1)＝4,∴m＝3.
答案
17
18
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
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答案
水壶的结构：底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始水的高度增加的由快变慢,中间增加的最慢,最后增加的由慢变快,由图可知选项A符合.
17
18
5.记无理数e＝2.718 2…590 452 353 6…小数点后第x位上的数字是y,则y是x的函数,记作y＝f(x),定义域为M,值域为N,则下列说法正确的是
A.f(4)＝8
B.x不是y的函数
C.N M
D.y＝f(x)是周期函数
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由题意可得M＝N*,N＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则N不是M的子集,C不正确；
无理数e小数点后第4位上的数字为2,故f(4)＝2,A不正确；
当y＝2时,对应的x的值不是唯一确定的,根据函数的定义可知x不是y的函数,B正确；
由于e为无理数,所以y＝f(x)不是周期函数,D不正确.
答案
17
18
6.已知f(x)＝实数a满足f(a)A.(－∞,－2)∪(0,2)
B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)
C.(－2,0)∪(0,2)
D.(－2,0)∪(2,＋∞)
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由题意可知,a≠0.
当a<0时,f(a)＝a2＋2a,f(－a)＝－a2－2a,
所以由f(a)即a2＋2a<0,解得－2当a>0时,f(a)＝－a2＋2a,f(－a)＝a2－2a,
所以由f(a)即a2－2a>0,解得a>2,
所以a的取值范围是(－2,0)∪(2,＋∞).
答案
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7.设函数f(x)＝若f(a)＝f(a＋1),则f等于
A. B. C.2 D.6
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易得f(x)在(0,1)和[1,＋∞)上单调递增,
∴0由f(a)＝f(a＋1)得＝2a,
解得a＝或a＝0(舍去),
则f＝f(4)＝6.
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8.设函数f(x)＝若f(f(a))≥3,则实数a的取值范围是
A.[－1,＋∞) B.(－∞,－－1]
C.[－3,1] D.[1,＋∞)
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因为f(x)＝
令f(a)＝t,则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3,
当t≥0时,t2＋2t≥3,解得t≥1(负值舍去),即f(a)≥1；
当t<0时,－t2＋2t≥3,即t2－2t＋3≤0,
而t2－2t＋3＝(t－1)2＋2>0,故上述不等式无解,综上,f(a)≥1,
若a≥0,则a2＋2a≥1,解得a≥－1(负值舍去)；
若a<0,则－a2＋2a≥1,解得a＝1(舍去),综上,a≥－1.
答案
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二、多项选择题
9.下列说法正确的是
A.f(x)＝|x|,φ(t)＝表示同一个函数
B.y＝·与y＝表示同一个函数
C.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,2]
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素
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答案
φ(t)＝＝|t|,故f(x)与φ(t)有相同的定义域及对应关系,故表示同一个函数,故A正确；
y＝·的定义域需满足解得－1≤x≤1,y＝的定义域需满足1－x2≥0,解得－1≤x≤1,故两函数有相同的定义域及对应关系,故表示同一个函数,故B正确；
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答案
函数f(x)的定义域为[0,2],由0≤2x≤2,得0≤x≤1,则函数f(2x)的定义域为[0,1],故C错误；
由函数的定义知,若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只有唯一一个元素与之对应,故D正确.
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10.已知函数f(＋1)＝x＋2则
A.f(x)＝x2－1(x∈R)
B.f(x)的最小值为－1
C.f(2x－3)的定义域为[2,＋∞)
D.f 的值域为[0,＋∞)
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依题意,f(＋1)＝＋2－1,则f(x)＝x2－1,x≥1,A错误；
当x≥1时,f(x)≥0,当且仅当x＝1时取等号,B错误；
在f(2x－3)中,2x－3≥1,解得x≥2,因此f(2x－3)的定义域为[2,＋∞),C正确；
显然f－1,0答案
17
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11.(2024·南阳模拟)黎曼函数(Riemann function)是一个特殊的函数,由德国数学
家黎曼发现并提出,其基本定义是：R(x)＝
(注：分子与分母是互质数的分数,称为既约分数),则下列结论正确的是
A.R
B.黎曼函数的定义域为[0,1]
C.黎曼函数的最大值为
D.若f(x)是奇函数,且是周期为2的周期函数,当x∈[0,1]时,f(x)＝R(x),则f＋
f(＋6)＝
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R＝RA错误；
因为p,q∈N*是既约真分数,x＝0,1或(0,1)上的无理数,所以黎曼函数的定义域为[0,1],B正确；
又p,q∈N*为既约真分数,所以的最大值为C正确；
答案
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因为f(x)是奇函数,并且是以2为周期的周期函数,f＝f＝f＝－f＝－f(＋6)＝f(4)＝f(4－6)＝－f(6－4)＝0,所以f＋f(＋6)＝－D错误.
答案
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三、填空题
12.函数f(x)＝的定义域为　　　　 .
(0,1)∪(1,2]
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要使函数f(x)有意义,
则解得0故函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2].
答案
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13.(2025·昆明模拟)已知函数f()＝x＋2,若f(a)＝4,则a＝　　.
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答案
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令＝t,t≥0,
则x＝t2＋1(t≥0),f(t)＝t2＋3,
故f(a)＝a2＋3＝4(a≥0),解得a＝1.
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14.已知函数f(x)＝则f＝　　　；若f(a)>a,则a的取值范围是　　　　 .
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答案
因为f＝2×＋1＝2,所以f＝f(2)＝22＝4.
当a≥1时,f(a)>a a2>a,解得a>1；
当a<1时,f(a)>a 2a＋1>a,解得－1所以不等式的解集为(－1,1)∪(1,＋∞).
(－1,1)∪(1,＋∞)
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15.(多选)对 x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]＝3,[0.618]＝0,
[－2.718 28]＝－3,我们把y＝[x],x∈R叫做取整函数,也称之为高斯(Gaussian)函数.以下关于“高斯函数”的命题,其中是真命题的有
A. x∈R,[|x|]＝|[x]|
B. x,y∈R,[x－y]<[x]－[y]
C. x,y∈R,若[x]＝[y],则x－y<1
D.不等式2[x]2－[x]－3≥0的解集为(－∞,0)∪[2,＋∞)
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能力拓展
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对于A,[|－2.5|]＝[2.5]＝2,|[－2.5]|＝|－3|＝3,A为假命题；
对于B,[2－1.1]＝[0.9]＝0,[2]－[1.1]＝2－1＝1,0<1,B为真命题；
对于C,因为[x]＝[y],所以x,y∈[n,n＋1),n∈Z,所以x－y<1,C为真命题；
对于D,不等式2[x]2－[x]－3≥0,解得[x]≤－1或[x]≥所以不等式的解集为(－∞,0)∪[2,＋∞),D为真命题.
答案
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答案
16.(多选)若存在实数M，使得|f(x)-g(x)|≤M在f(x)和g(x)的定义域的交集上恒成立，则称f(x)与g(x)具有“M近似关系”，下列说法正确的是
A.f(x)=2x+1，g(x)=2x具有“2近似关系”
B.f(x)=ln 2x，g(x)=ln x+2具有“2近似关系”
C.f(x)=(x>1)与g(x)=(x>1)具有“1近似关系”
D.f(x)与g(x)=x-(1≤x≤5)的定义域相同，且具有“1近似关系”，则
f(x)的值域包含于[-1，4]
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答案
对于A项，易知f(x)，g(x)的定义域均为R，
因为f(x)-g(x)=2x+1-2x=2x>0，
所以不存在实数M，使得|f(x)-g(x)|≤M在R上恒成立，故A错误；
对于B项，易知f(x)，g(x)的定义域均为(0，+∞)，
因为|f(x)-g(x)|=|ln 2x-ln x-2|=|ln 2-2|=2-ln 2<2在(0，+∞)上恒成立，
所以根据定义可知，f(x)=ln 2x，g(x)=ln x+2具有“2近似关系”，故B正确；
对于C项，因为f(x)==-+1，
当x>1时，x+1>2，0<<1，
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答案
所以0因为g(x)=在(1，+∞)上单调递减，
所以0所以|f(x)-g(x)|<1在(1，+∞)上恒成立.
根据定义可知，f(x)=(x>1)与g(x)=(x>1)具有“1近似关系”，故C正确；
对于D项，令t=(1≤x≤5)，则0≤t≤2，则x=t2+1，
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答案
设h(t)=t2+1-t=+，0≤t≤2，
根据二次函数的性质可知，≤h(t)≤3，
所以≤g(x)≤3.
因为f(x)与g(x)=x-(1≤x≤5)的定义域相同，且具有“1近似关系”，
根据定义可知，|f(x)-g(x)|≤1在[1，5]上恒成立，所以g(x)-1≤f(x)≤g(x)+1.
因为≤g(x)≤3，
所以-1=-≤f(x)≤3+1=4，所以f(x)的值域包含于[-1，4]，故D正确.
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答案
17.已知函数f(x)＝.若其定义域为R,则实数m的
取值范围是　　　　　　；若函数f(x)的值域是[0,＋∞),则实数m的取值范围是　　　　 .
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答案
若函数f(x)的定义域为R,
则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0,解得m≥
所以m的取值范围是.
当m＝0时,f(x)＝值域是[0,＋∞),满足条件；
令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1,g(x)≥0,
当m<0时,g(x)的图象开口向下,故f(x)的值域不会是[0,＋∞),不满足条件；
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答案
当m>0时,g(x)的图象开口向上,
只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0,
即(m－2)2－4m(m－1)≥0,
解得－≤m≤
又m>0,所以0所以实数m的取值范围是.
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答案
18.(2024·合肥模拟)同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1.若m|(a-b)则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号).同余方程x2-x≡0(mod 3)中的所有正根构成函数f(n)的
值域，其中f(1)n∈N*
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答案
由题意x(x-1)≡0(mod 3)，
所以x=3k或x-1=3k(k∈Z)，
即x=3k或x=3k+1(k∈Z).
所以函数的值域为{1，3，4，6，7，9，10，…}，
所以f(n)=n∈N*.
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18(共80张PPT)
第二章
§2.3　函数的奇偶性
数学
大
一
轮
复
习
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有－x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)＝0.(　　)
(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(　　)
(3)对于函数y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),则函数y＝f(x)是奇函数.(　　)
(4)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)·g(x)是奇函数.(　　)
×
×
×
√
2.下列函数中是偶函数的是
A.y＝2x B.y＝cos x
C.y＝ln x D.y＝sin x
√
对于A,y＝2x为定义域内的增函数,故为非奇非偶函数；
对于B,y＝cos x的定义域为全体实数,且f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x),故为偶函数；
对于C,y＝ln x的定义域为(0,＋∞),不关于原点对称,故为非奇非偶函数；
对于D,y＝sin x的定义域为全体实数,但是f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x),故为奇函数.
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是
A.f(x)＋f(－x)＝0 B.f(0)＝0
C.f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1
√
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)＋f(－x)＝0,且f(0)＝0,A,B正确；
因为f(－x)＝－f(x),所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0,当x＝0时,等号成立,C正确；
当x＝0时,f(－x)＝0,此时无意义,D错误.
√
√
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋b,则f(－1)＝　　　.
f(x)是奇函数,则f(0)＝b＝0,即当x≥0时,f(x)＝2x,所以f(1)＝2,从而f(－1)＝－f(1)＝－2.
－2
1.理解函数奇偶性的常用结论
(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
2.灵活应用奇函数的两个特殊性质
(1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0.
微点提醒
(2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c.
3.谨防两个易误点
(1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
微点提醒
返回
探究核心题型
第二部分
例1　(多选)下列函数是奇函数的是
A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x
C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x|
√
函数奇偶性的判断
题型一
命题点1　常见函数奇偶性的判断
√
对于A,函数的定义域为关于原点对称,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意；
对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意；
对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意；
对于D,函数的定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意.
命题点2　抽象函数奇偶性的判断
例2　(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有
A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数
B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数
C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数
D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数
√
√
对于A,若 t∈R,
当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2),
所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)；
当t＝0时,令t＝x2＝0,
因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0；
当t<0时,令t＝－x2,
因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(－t)＝－f(t),
综上, t∈R,f(－t)＝－f(t),
所以f(x)是奇函数,故A正确；
对于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y＝0,得2[f(0)]2＝2f(0),
因为f(0)≠0,所以f(0)＝1,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误；
对于C,令x＝y＝0,则f(0)＋f(0)＝f(0),所以f(0)＝0,
令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0,所以f(－x)＝－f(x),
即f(x)为奇函数,故C错误；
对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),
令x＝y＝0得f(0)＝0；
令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0；
令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0；
令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确.
命题点3　构造函数的奇偶性
例3　已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026,2 026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝　　　　.
－10
设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x),
则g(x)的定义域为[－2 026,2 026],
则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0,
∴g(－x)＝－g(x),即g(x)是奇函数,
因此g(x)min＋g(x)max＝0.
又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5,g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5,
∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0,
即M＋m＝－10.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)(2025·郑州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1,f(x＋y)＝则下列结论正确的是
A.f(0)＝0
B.f(－x)＝－f(x)
C.f(x)的定义域为R
D.f(x＋2)＝－l
√
√
√
令x＝1,y＝0,则f(1)＝即1＝∴f(0)＝0,A正确；
令x＝y＝1,则f(2)＝无意义,
即f(x)的定义域不为R,C错误；
由f(x＋y)＝可知f(x)f(y)≠1,
令y＝－x,则f(0)＝＝0,即f(x)＋f(－x)＝0,
故f(－x)＝－f(x),B正确；
f(x＋1)＝f(x＋2)＝＝－D正确.
(2)已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2,则函数f(x)＋2为
　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
奇
由题意得函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,
令x＝y＝0,则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2,故f(0)＝－2.
令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2,
故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].
故f(x)＋2为奇函数.
例4　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于
A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1
C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1
函数的奇偶性的应用
题型二
命题点1　利用奇偶性求值(解析式)
√
当x∈(0,＋∞)时,－x∈(－∞,0),
则f(－x)＝(－x)2－e－x＋1＝x2－e－x＋1,
又f(x)为偶函数,故f(－x)＝f(x),
故f(x)＝x2－e－x＋1.
(2)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　.
1
设f(x)＝(2x－m·2－x)x5,
则该函数为R上的偶函数,
则对任意的x∈R,f(－x)＝f(x),
即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5,
整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0,
所以1－m＝0,解得m＝1.
例5　设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为
　　　　　　　　　　 .
命题点2　利用奇偶性解不等式
∪
f(x)＝ln(x2＋1)－则f(x)的定义域为{x|x≠0},
又f(x)＝f(－x),故f(x)为偶函数,
当x>0时,f(x)＝ln(x2＋1)－
又y1＝ln(x2＋1),y2＝－在(0,＋∞)上都单调递增,
故f(x)在(0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减.
因为f(x)>f(2x＋1),所以
故x的取值范围为∪.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a
等于
A.－1 B.0 C. D.1
√
方法一　因为f(x)为偶函数,则 f(1)＝f(－1),
即(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3,解得a＝0.
当a＝0时,f(x)＝xln.
由(2x－1)(2x＋1)>0,解得x>或x<－
则其定义域为关于原点对称.
f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln＝f(x),
此时f(x)为偶函数,符合题意.
故a＝0.
方法二　设g(x)＝ln
易知g(x)的定义域为∪
且g(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－g(x),所以g(x)为奇函数.
若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,
则y＝x＋a也应为奇函数,所以a＝0.
(2)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x－则f(x)<0的解集为
A.(－3,0)∪(0,3)
B.(－3,3)
C.(－∞,－3)∪(0,3)
D.(－∞,－3)∪(3,＋∞)
√
函数f(x)为R上的奇函数,
当x<0时,f(x)＝2x－
则当x>0时,－x<0,有f(x)＝－f(－x)＝－－2－x,显然f(0)＝0,
不等式f(x)<0转化为或
解得x<－3或0所以不等式f(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C D A AD AD
题号 9 10 13 　14 15 16 答案 3 D ABD ABD -1 15
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(1)因为函数f(x)为R上的奇函数，
当x<0时，-x>0，
则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x，
又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x，
故f(x)=
11.
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(2)当x≥0时，xf(x)=x(x2-2x)≥0，
可得x2-2x≥0，解得x≤0或x≥2，
此时x=0或x≥2；
当x<0时，xf(x)=x(-x2-2x)=-x(x2+2x)≥0，
可得x2+2x≥0，
解得x≤-2或x≥0，此时x≤-2.
综上所述，原不等式的解集为(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞).
11.
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(1)由性质③f(x)+g(x)=ex，则f(-x)+g(-x)=e-x，
由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
故-f(x)+g(x)=e-x.
则
解得f(x)=，
g(x)=.
12.
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(2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2
=-
=-=1，
故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1.
12.
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一、单项选择题
1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的是
A.y＝|x| B.y＝x3
C.y＝x2 D.y＝－3x
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知识过关
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答案
对于A选项,函数y＝|x|为偶函数,且当x>0时,y＝x,即函数y＝|x|在(0,＋∞)上单调递增,A不满足要求；
对于B选项,函数y＝x3为奇函数,且该函数在(0,＋∞)上单调递增,B不满足要求；
对于C选项,函数y＝x2为偶函数,且该函数在(0,＋∞)上单调递增,C不满足要求；
对于D选项,函数y＝－3x为奇函数,且该函数在(0,＋∞)上单调递减,D满足要求.
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答案
2.若偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,＋∞)时,f(x)单调递增,则f(－), f(π),f(－3)的大小关系是
A.f(π)>f(－3)>f(－)
B.f(π)>f(－)>f(－3)
C.f(π)D.f(π)√
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答案
因为f(x)是偶函数,
故f(－)＝f(),f(－3)＝f(3),
又因为当x∈[0,＋∞)时,f(x)单调递增,
由<3<π可得f(π)>f(3)>f(),
即f(π)>f(－3)>f(－).
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3.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数,则实数a
等于
A.－1 B.0 C. D.1
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∵f(x)为奇函数,∴f(－x)＝－f(x),
∴＝－
即
即x－ax＝ax,解得a＝.
答案
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4.已知函数f(x)＝x＋asin x＋2,且f(m)＝5,则f(－m)等于
A.－5 B.－3 C.－1 D.3
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令g(x)＝x＋asin x,则g(x)为奇函数,
故g(m)＋g(－m)＝0,
又g(m)＝f(m)－2＝3,
所以g(－m)＝f(－m)－2＝－3,
所以f(－m)＝－1.
答案
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5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y＝f(x)＋ex是偶函数,y＝f(x)－3ex是奇函数,则f(ln 3)的值为
A. B.3 C. D.
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因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数,
则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex,
即f(x)－f(－x)＝e－x－ex, ①
又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数,
则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex,
即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x, ②
联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x,所以f(ln 3)＝eln 3＋2e－ln 3＝.
答案
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6.(2024·阜阳模拟)若函数f(x)＝m(ex－e－x)＋nln(x＋)＋1(m,n为常数)在[1,3]上有最大值7,则函数f(x)在[－3,－1]上
A.有最小值－5 B.有最大值5
C.有最大值6 D.有最小值－7
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设g(x)＝f(x)－1＝m(ex－e－x)＋nln(x＋),
因为>＝|x|,
所以x＋>0恒成立,所以g(x)的定义域为R,关于原点对称,
又g(－x)＝m(e－x－ex)＋nln(－x＋)
＝－m(ex－e－x)＋nln
＝－[m(ex－e－x)＋nln(x＋)]
＝－g(x),所以g(x)是奇函数,
答案
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因为f(x)在[1,3]上有最大值7,
所以g(x)在[1,3]上有最大值6,
所以g(x)在[－3,－1]上有最小值－6,
所以f(x)在[－3,－1]上有最小值－5.
答案
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二、多项选择题
7.(2025·六安模拟)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递增
的是
A.y＝ln|x| B.y＝|ln x|
C.y＝x－2 D.y＝ex＋e－x
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A选项,设f(x)＝ln|x|,其定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),且f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝f(x),故f(x)＝ln|x|为偶函数,且当x∈(0,＋∞)时,y＝ln x单调递增,故A正确；
B选项,y＝|ln x|的定义域为(0,＋∞),定义域不关于原点对称,不是偶函数,故B错误；
C选项,当x∈(0,＋∞)时,y＝x－2单调递减,故C错误；
D选项,设g(x)＝ex＋e－x,其定义域为R,且g(－x)＝e－x＋ex＝g(x),故g(x)＝ex＋e－x是偶函数,且当x∈(0,＋∞)时,g'(x)＝ex－e－x>0,函数单调递增,故D正确.
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8.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)
满足
A.f(0)＝0
B.y＝f(x)为偶函数
C.f(x)在R上单调递增
D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2√
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由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),
对于A,令x＝y＝0,则f(0)＝f(0)＋f(0),
即f(0)＝0,故A正确；
对于B,令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,即f(－x)＝－f(x),
所以y＝f(x)为奇函数,故B错误；
对于C,任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2),
答案
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因为x10,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,故C错误；
对于D,由f(x－1)＋f(x2－1)>0,可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2),
又函数f(x)在R上单调递减,所以x－1<1－x2,
解得－20的解集为{x|－2答案
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三、填空题
9.已知函数f(x)＝x3＋若f(a)＋f(a－6)＝0,则实数a＝　　　.
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答案
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因为f(x)＝x3＋定义域为R,
所以f(－x)＝－x3－＝－f(x),即f(x)为奇函数,
因为f(x)＝x3＋在R上单调递增,
若f(a)＋f(a－6)＝0,
则f(a)＝－f(a－6)＝f(6－a),
所以a＝6－a,即a＝3.
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10.已知下列五个函数y1＝x,y2＝y3＝x2,y4＝ln x,y5＝ex,从中选出两个函数分别记为f(x)和g(x),若F(x)＝f(x)＋g(x)的
图象如图所示,则F(x)＝　　　　.
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答案
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答案
由图可知,F(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),可知F(x)一定包含y2＝这一函数,且一定不包含y4＝ln x这一函数,
又函数F(x)不是奇函数,所以F(x)＝＋x不成立,所以只有两种可能：F(x)＝＋x2或F(x)＝＋ex.
若F(x)＝＋ex,当x→－∞时→0,ex→0,
所以F(x)＝＋ex→0,与图象不符,
故F(x)＝＋ex不成立；
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若F(x)＝＋x2,
当x∈(－∞,0)时单调递减,x2单调递减,所以F(x)在(－∞,0)上单调递减；
当x∈(0,＋∞)时,F'(x)＝－＋2x＝
令F'(x)＝0,得x＝令F'(x)>0,得x>
令F'(x)<0,得0所以F(x)＝＋x2在上单调递减,在上单调递增,符合图象,
故F(x)＝＋x2.
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四、解答题
11.已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－2x.
(1)求f(x)的解析式；
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答案
因为函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,－x>0,
则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x,
又因为f(0)＝0满足f(x)＝x2－2x,
故f(x)＝
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(2)求不等式xf(x)≥0的解集.
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答案
当x≥0时,xf(x)＝x(x2－2x)≥0,
可得x2－2x≥0,解得x≤0或x≥2,
此时x＝0或x≥2；
当x<0时,xf(x)＝x(－x2－2x)＝－x(x2＋2x)≥0,
可得x2＋2x≥0,解得x≤－2或x≥0,
此时x≤－2.
综上所述,原不等式的解集为(－∞,－2]∪{0}∪[2,＋∞).
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12.函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数,g(x)为偶函数；③f(x)＋g(x)＝ex(常数e是自然对数的底数).
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
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答案
由性质③f(x)＋g(x)＝ex,则f(－x)＋g(－x)＝e－x,
由性质②知f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),故－f(x)＋g(x)＝e－x.
则解得f(x)＝g(x)＝.
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(2)对任意实数x,[g(x)]2－[f(x)]2是否为定值,若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
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答案
由(1)可得[g(x)]2－[f(x)]2
＝
＝＝1,
故对任意实数x,[g(x)]2－[f(x)]2为定值,定值为1.
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13.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1,g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时,曲线y＝f(x)和y＝g(x)恰有一个交点,则a等于
A.－1 B. C.1 D.2
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答案
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能力拓展
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方法一　令f(x)＝g(x),
即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax,
可得ax2＋a－1＝cos x,
令F(x)＝ax2＋a－1,G(x)＝cos x,
原题意等价于当x∈(－1,1)时,
曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点,
注意到F(x),G(x)均为偶函数,
可知该交点只能在y轴上,可得F(0)＝G(0),
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答案
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即a－1＝1,解得a＝2,
若a＝2,令F(x)＝G(x),
可得2x2＋1－cos x＝0,
因为x∈(－1,1),则2x2≥0,1－cos x≥0,
当且仅当x＝0时,等号成立,可得2x2＋1－cos x≥0,
当且仅当x＝0时,等号成立,
则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0,
即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点,所以a＝2符合题意.
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答案
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方法二　令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x,x∈(－1,1),
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点,
因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)
＝ax2＋a－1－cos x＝h(x),
则h(x)为偶函数,
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,
即h(0)＝a－2＝0,解得a＝2,
若a＝2,则h(x)＝2x2＋1－cos x,x∈(－1,1),
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答案
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又因为2x2≥0,1－cos x≥0,
当且仅当x＝0时,等号成立,
可得h(x)≥0,当且仅当x＝0时,等号成立,
即h(x)有且仅有一个零点0,
所以a＝2符合题意.
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14.(多选)(2024·镇海中学模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)g(y)
-f(y)g(x)=f(x-y)，g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)，g(0)≠0，则下列结论正确的是
A.f(x)为奇函数
B.g(x)为偶函数
C.若f(1)+g(1)=1，则f(100)-g(100)=1
D.若f(1)-g(1)=1，则f(100)+g(100)=1
√
√
√
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由f(x)g(y)-f(y)g(x)=f(x-y)得f(y)g(x)-f(x)g(y)=f(y-x)，
所以f(y-x)=-f(x-y)，故f(x)是奇函数，所以A正确；
由g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)得
g(y)g(x)-f(y)f(x)=g(y-x)，
所以g(y-x)=g(x-y)，故g(x)是偶函数，所以B正确；
由题意得f(x-y)-g(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)-g(x)g(y)+f(x)f(y)
=[f(y)+g(y)]·[f(x)-g(x)]，
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令y=1，得f(x-1)-g(x-1)=[f(1)+g(1)]·[f(x)-g(x)]，
由f(x)是奇函数得f(0)=0，
且[g(0)]2-[f(0)]2=g(0)，
又g(0)≠0，解得g(0)=1，
当f(1)+g(1)=1时，
f(x-1)-g(x-1)=f(x)-g(x)，
则f(100)-g(100)=f(0)-g(0)=-1，所以C错误；
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由题意得f(x-y)+g(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)+g(x)g(y)-f(x)f(y)
=[g(y)-f(y)]·[f(x)+g(x)]，
当f(1)-g(1)=1时，
令y=1，得f(x-1)+g(x-1)=[g(1)-f(1)]·[f(x)+g(x)]=-[f(x)+g(x)]，
则f(100)+g(100)=(-1)100[f(0)+g(0)]=1，所以D正确.
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15.(多选)(2025·苏州模拟)已知函数f(x)满足(x+y)f(x)f(y)=xyf(x+y)，且f(1)=2，则下列结论正确的是
A.f(0)=0
B.f(2)=8
C.函数f(x)为奇函数
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=(n-1)·2n+1+2
√
√
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对于A，令x=0，y=1，则f(0)f(1)=0，
又f(1)=2，所以f(0)=0，故A正确；
对于B，令x=y=1，则2f(1)f(1)=f(2)，又f(1)=2，所以f(2)=8，故B正确；
对于C，当x=-1，y=2时，则f(-1)f(2)=-2f(1)，又f(1)=2，f(2)=8，所以
f(-1)=-≠-f(1)，所以函数f(x)不为奇函数，故C错误；
对于D，当x=1，y=n时，
则(1+n)f(1)f(n)=nf(n+1)，
又f(1)=2，所以2(1+n)f(n)=nf(n+1)，即=2·，
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所以当n≥2时，××…×
=2n-2×，
即=n·2n-3，
即f(n)=8n·2n-3=n·2n，n≥2，
当n=1时，代入上式，1×21=2=f(1)，
所以f(n)=n·2n，
设Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)，
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则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n，①
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1，②
①-②得，
-Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，
所以Sn=(n-1)·2n+1+2，
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=(n-1)·2n+1+2，故D正确.
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答案
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16.若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x,则a＝　　　.
－1
函数f(x)满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x,则y＝f(x)＋x是偶函数,所以f(x)－f(－x)＋2x＝0,即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0,所以a＝－1.(共82张PPT)
第二章
§2.12　函数的零点
与方程的解
数学
大
一
轮
复
习
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理,并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有___________,那么,函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈ (a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)＝0的解.
f(x)＝0
零点
x轴
f(a)f(b)<0
(a,b)
f(c)＝0
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)上没有零点.(　　)
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　)
×
×
×
×
2.下列函数图象与x轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是
√
根据函数零点存在定理可知,函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线,若在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上存在零点；根据二分法概念可知,C选项中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)<0,所以C选项不能用二分法求图中函数零点.
3.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是
A. B.(1,2)
C.(2,e) D.(2,3)
√
f(x)＝ln x－的定义域为(0,＋∞),
又y＝ln x与y＝－在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)＝ln x－在(0,＋∞)上单调递增,
又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln 2－>0,
所以f(1)f(2)<0,
根据函数零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间为(1,2).
4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为　　 .
2
由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示,
根据图象可知y＝f(x)－2 024共有2个零点,且2个零点关于直线x＝1对称,
所以零点之和为2.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解.
(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
√
函数零点所在区间的判定
题型一
由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3 >0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3).
(2)在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　.
7
设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7次.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
思维升华
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
√
函数f(x)＝－2－x－1的定义域为[0,＋∞),
函数y＝在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋∞)上单调递减,
所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
由f(1)＝1－－1＝－<0,f(2)＝－1＝－1.25>0,
所以函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(1,2).
(2)用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈
－0.04,关于下一步的说法正确的是
A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5)
√
由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→ (1.125,1.25),因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f＝f(1.187 5)的值.
例2　(1)函数f(x)＝的零点个数为
A.5 B.4 C.3 D.2
函数零点个数的判定
题型二
√
当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1；
当x>0时,f(x)＝x－2＋ln x在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝
－1<0,
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0,
即f(1)f(2)<0,
所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点,
综上,函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数,即函数g(x)＝sin x>0与h(x)＝|log3x|的交点个数,
在同一个坐标平面内画出两个函数的图象,如图所示,则两个图象交点的个数为2,即f(x)的零点个数为2.
√
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
√
函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点,
即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝的解,
即y＝|log2x|与y＝图象的交点,如图所示,
从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝有2个交点,
即函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　.
令36－x2≥0,解得－6≤x≤6,
所以f(x)的定义域为[－6,6].
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0,
由36－x2＝0得x＝±6,
由cos x＝0得x＝＋kπ,k∈Z,
又x∈[－6,6],所以x的取值为－－.
故f(x)共有6个零点.
6
例3　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零
点,则实数a的取值范围是
A.[－1,0) B.[1,＋∞)
C.(－∞,1] D.[2,＋∞)
√
命题点1　根据函数零点个数求参数
函数零点的应用
题型三
由函数f(x)＝
因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a,
由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点,
在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示,
结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2,
所以实数a的取值范围为[2,＋∞).
例4　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围是
A. B.
C.(－∞,0) D.
命题点2　根据函数零点的范围求参数
√
由f(x)＝3x－＝0,可得a＝3x－
令g(x)＝3x－其中x∈(－∞,－1),
由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－1)上的值域.
由于函数y＝3x,y＝－在区间(－∞,－1)上均单调递增,
所以函数g(x)在(－∞,－1)上单调递增.
当x∈(－∞,－1)时,
g(x)＝3x－又当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－>0,
所以函数g(x)在(－∞,－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝
在R上没有零点,则实数a的取值范围为
A.(0,＋∞) B.(1,＋∞)
C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0}
√
当x≤0时,0若关于x的方程ex＝a无解,则a≤0或a>1；
当x>0时,ln(x＋1)>0,
若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解,则a≥0.
综上,a的取值范围为(1,＋∞)∪{0}.
(2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是
A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)
B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3]
C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1
D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点
√
√
函数f(x)＝
h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k交点的横坐标,由图象可知,当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3],B选项正确；
结合二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(0,＋∞),A选项错误；
解方程可知,当k＝－2时,h(x)有两个零点,－1－和1,所有零点之和为－C选项错误；
当k∈(－∞,－4)时,函数y＝f(x)的图象和直线y＝k有1个交点,即h(x)有1个零点,D选项正确.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B D A D BC ABD
题号 9 10 13 　14 15 16
答案 -1和4 (0，2) D ABD AC e
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(1)由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，
可得=2，解得b=4.
又因为f(x)有一个零点为c，
则f(c)=c2-4c+c=0，
解得c=3或c=0(舍去)，
所以f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，
因为f(-x+2)=x2-1=f(x+2)，所以f(x+2)是偶函数.
11.
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(2)由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1=x2-(4+m)x+4，
因为g(x)在(1，3)上有两个零点，
则满足
解得0所以实数m的取值范围为.
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(1)f(x)为奇函数，理由如下：
由题意得解得-2故定义域关于原点对称.
又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)，
故f(x)为奇函数.
12.
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(2)由f(x)=log2(a+x)，得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)，
所以=a+x，
所以a=-x=-x=+(2-x)-3，
故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，
即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点.
12.
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设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4).
作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1，2).
12.
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一、单项选择题
1.函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是
A.2 B.(2,0)
C.－2 D.2或－1
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知识过关
答案
令y＝(x－2)(2x＋1)＝0,因为2x＋1>1>0,所以x－2＝0,即x＝2.
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答案
2.若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则“f(a)·f(b) <0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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答案
函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,
由函数零点存在定理可知,当f(a)·f(b)<0时,函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立；
而函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立,
如函数y＝x2,在开区间(－1,1)内有零点x＝0,但f(－1)·f(1)>0,必要性不成立.
则“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.
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3.用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为
A.[1,2]或[2,3]都可以
B.[2,3]
C.[1,2]
D.不能确定
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设f(x)＝2x＋x－8,
则f(1)＝2＋1－8＝－5<0,
f(5)＝25＋5－8＝29>0,
第一次取x1＝＝3,有f(3)＝23＋3－8＝3>0,
故第二次取x2＝＝2,有f(2)＝22＋2－8＝－2<0,
故此时可确定近似解所在区间为[2,3].
答案
15
16
4.(2025·承德模拟)对于函数f(x),g(x),设x1∈{x|f(x)＝0},x2∈{x|g(x)＝0},若存在x1,x2,使得|x1－x2|≤1,则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)＝log2x－a与g(x)＝x2－3x互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是
A.[0,2] B.(－∞,2]
C.[1,2] D.(－∞,0]∪[1,2]
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f(x)的零点为2a,g(x)的零点为0,3.
因为f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”,
所以|2a－0|≤1或|2a－3|≤1,
则0<2a≤1或2≤2a≤4,
解得a≤0或1≤a≤2.
答案
15
16
5.(2025·汉中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋e)＝f(x－e),当x∈(0,e)时,f(x)＝ln x,则f(x)在区间(－e,2e)内的所有零点之和为
A.3e－1 B.2e
C.2e－1 D.0
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因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,
因为f(x＋e)＝f(x－e),所以f(x)的周期T＝2e且f(e)＝f(－e)＝－f(e) f(e)＝0,
因为当x∈(0,e)时,f(x)＝ln x,所以f(1)＝0,所以f(－1)＝－f(1)＝0,
所以f(－1＋2e)＝f(－1)＝0,
故f(x)在区间(－e,2e)内的零点为－1,0,1,e,－1＋2e,其零点之和为3e－1.
答案
15
16
6.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝x＋log2x－4的零点为x1,g(x)＝x＋loga(x－1)－5(a>1)的零点为x2,若x2－x1>1,则实数a的取值范围是
A.(1) B.(2)
C.(1,2) D.(2,＋∞)
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因为f(2)＝2＋1－4＝－1<0,f(3)＝3＋log23－4＝log23－1>0,
由函数零点存在定理,所以x1∈(2,3),
由题意可知,x1＋log2x1－4＝x2＋loga(x2－1)－5＝0,
即x1＋log2x1－4＝x2－1＋loga(x2－1)－4,
即x1＋log2x1＝x2－1＋loga(x2－1),
因为x2－x1>1,所以x1则log2x1>loga(x2－1),又a>1,
22.
答案
15
16
二、多项选择题
7.下列说法正确的是
A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4,0),(2,0)
B.方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)上有解
C.函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称
D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,
f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1,1.25)上
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对于A,令f(x)＝x2＋2x－8＝0,解得x1＝－4,x2＝2,即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2,故A错误；
对于B,令f(x)＝ex－x－3,则f(－3)＝e－3>0,f(0)＝－2<0,f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0,所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3,0),(0,10)内有零点,即方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)内有解,故B正确；
对于C,函数y＝3x,y＝log3x互为反函数,所以函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称,故C正确；
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对于D,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1) <0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1.25,1.5)上,故D错误.
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8.(2025·大连模拟)已知x1,x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零
点,则
A.－x2＝0
B.log2x1＋log2x2＝0
C.x2>2
D.·log2x2＝1
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答案
由题设知,f(x)的零点为函数y＝2x与函数y＝图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y＝log2x与函数y＝图象交点的横坐标,由y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称,y＝的图象关于直线y＝x对称,
所以x1,x2关于直线y＝x对称,
y＝2x,y＝log2x,y＝的图象如图所示,
所以点(x1)与点(x2,log2x2)关于直线y＝x对称,
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答案
即
故－x2＝0·log2x2＝1,
log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0,A,B,D对；
若x2>2,即x2＝>2 x1>1,此时x1x2>2,与x1x2＝1矛盾,C错.
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三、填空题
9.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点是　　　　.
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答案
－1和4
依题意或
解得x＝－1或x＝4.
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10.已知函数f(x)＝函数g(x)＝m－f(3－x),其中m∈R,若函数y＝g(x)恰有3个零点,则m的取值范围是　　　　.
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答案
(0,2)
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令g(x)＝m－f(3－x)＝0,得f(3－x)＝m,
若3－x≤3,即x≥0,f(3－x)＝2－|3－x|；
若3－x>3,即x<0,f(3－x)＝(3－x－3)2＝x2.
所以y＝f(3－x)＝
答案
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答案
画出其图象如图所示,当x＝3时,y＝2.
由图可知,要使函数y＝g(x)恰有3个零点,
即y＝m与y＝f(3－x)的图象有3个交点,
则m的取值范围是(0,2).
15
16
四、解答题
11.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),且有一个零点为c.
(1)证明：f(x＋2)是偶函数；
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答案
由二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),
可得＝2,解得b＝4.
又因为f(x)有一个零点为c,则f(c)＝c2－4c＋c＝0,
解得c＝3或c＝0(舍去),
所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,
因为f(－x＋2)＝x2－1＝f(x＋2),所以f(x＋2)是偶函数.
15
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(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围.
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答案
由(1)可知g(x)＝x2－4x＋3－mx＋1＝x2－(4＋m)x＋4,
因为g(x)在(1,3)上有两个零点,
则满足
解得0所以实数m的取值范围为.
15
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12.(2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x).
(1)判断f(x)的奇偶性；
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答案
f(x)为奇函数,理由如下：
由题意得解得－2故定义域关于原点对称.
又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x),
故f(x)为奇函数.
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(2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
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答案
由f(x)＝log2(a＋x),
得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x),
所以＝a＋x,
所以a＝－x＝－x＝＋(2－x)－3,
故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根,即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3
在区间(－2,2)上的图象有两个交点.
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答案
设t＝2－x,x∈(－2,2),则y＝＋t－3,t∈(0,4).
作出函数y＝＋t－3,t∈(0,4)的图象,如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1,2).
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13.(2024·揭阳模拟)函数f(x)＝ln ＋x－1的所有零点之和为
A.－2 B.－1 C.1 D.2
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答案
由f(x)＝0得,ln ＝1－x,
令g(x)＝ln
因为g(x)＋g(2－x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0,所以函数g(x)＝ln 的图象
关于点(1,0)对称,
又因为y＝1－x的图象关于点(1,0)对称,
如图所示,两个函数图象有两个公共点,横坐标依次为x1,
x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1＋x2＝2.
15
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14.(多选)已知函数f(x)＝|2x－a|－kx－3,给出下列四个结论,其中正确的有
A.若a＝1,则函数f(x)至少有一个零点
B.存在实数a,k,使得函数f(x)无零点
C.若a>0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点
D.对任意实数a,总存在实数k,使得函数f(x)有两个零点
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答案
A中,当a＝1时,函数f(x)＝|2x－1|－kx－3,
令f(x)＝0,可得|2x－1|＝kx＋3,
在同一坐标系中作出y＝|2x－1|,y＝kx＋3的图象,如图所示,由图象及直线y＝kx＋3过定点(0,3),可得函数f(x)至少有一个零点,所以A正确；
B中,当a＝－4,k＝0时,作出函数y＝|2x＋4|,y＝3的图象,由图象知,函数f(x)没有零点,所以B正确；
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答案
C中,当a＝6,k＝－时,在同一坐标系中,作出函数y＝|2x－6|,
y＝－x＋3的图象,如图所示,由图象可得,此时函数f(x)有3个零点,所以C错误；
D中,分别作出当a＝0,a<0,a>0时,函数y＝|2x－a|,y＝kx＋3的图象,
由图象知,对于任意实数a,总存在实数k使得函数f(x)有两个零点,所以D正确.
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15.(多选)(2025·中山模拟)已知定义在R上的连续函数φ(x)，若存在常数m(m∈R)使得mφ(x)+φ(x+m)=0对任意实数x都成立，我们称φ(x)是R上的“m相伴函数”，下列关于“m相伴函数”的结论正确的是
A.常数函数均是“-1相伴函数”
B.存在常数m，使φ(x)=x2是“m相伴函数”
C.“2 024相伴函数”至少有一个零点
D.“-2 024相伴函数”至少有一个零点
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对于A，设φ(x)=a，a∈R，则φ(x+m)=a，
当m=-1时，满足ma+a=0，则φ(x)=a，a∈R是“-1相伴函数”，故A正确；
对于B，当φ(x)=x2时，mx2+(x+m)2=0对任意x∈R都成立，化为(m+1)x2+2mx+m2=0，
则有无解，则φ(x)=x2不是“m相伴函数”，故B错误；
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对于C，若2 024φ(x)+φ(x+2 024)=0，
令x=0，则φ(2 024)=-2 024φ(0)，
当φ(0)=0时，φ(x)=0有实根0，
当φ(0)≠0时，φ(0)·φ(2 024)=-2 024[φ(0)]2<0，
根据函数零点存在定理知，φ(x)=0在区间(0，2 024)上必有实根，所以“2 024相伴函数”至少有一个零点，故C正确；
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对于D，-2 024φ(x)+φ(x-2 024)=0，
当x=b∈R时，φ(b-2 024)=2 024φ(b)，
若φ(b)≠0，则φ(b)·φ(b-2 024)=2 024[φ(b)]2>0，不能判定方程在[b-2 024，b)内有根，
根据实数b的任意性，不能确定φ(x)在R上有无零点，故D错误.
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16.设x1满足ex+x-3=0，x2满足e1-x-x-2=0，则=　　.
e
令函数f(x)=ex+x-3，
则f(x)是增函数，由x2满足e1-x-x-2=0，得-x2-2=0，
即+(1-x2)-3=0，于是f(1-x2)=0，
由x1满足ex+x-3=0，得f(x1)=0，
因此f(x1)=f(1-x2)=0，而函数f(x)在R上单调递增，
于是x1=1-x2，即x1+x2=1，
所以=e.
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第二章
§2.7　指数运算与对数运算
数学
大
一
轮
复
习
1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(3)()n＝ .
当n为奇数时＝ ,
当n为偶数时＝|a|＝
a
a
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂： (a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂：_______(a>0,m,n∈N*,n>1).
0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义.
0
3.指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0,b>0,r,s∈R).
4.对数的概念
一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝_______,其中 叫做对数的底数, 叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作 .
以e为底的对数叫做自然对数,记作 .
ar＋s
ars
arbr
logaN
a
N
lg N
ln N
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝ ,logaa＝ ＝ (a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)＝ ；
②loga＝ ；
③logaMn＝ (n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1).
0
1
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.(　　)
(2)若M＝N,则logaM＝logaN.(　　)
(3)2a·2b＝2ab.(　　)
(4)lg 2＋lg 5＝1.(　　)
×
×
×
√
2.(多选)下列运算正确的有
A.lg 2＋lg 3＝lg 5 B.log3100＝10log310
C.＝5 D.log34·log43＝1
√
lg 2＋lg 3＝lg 6,故A错误；
log3100＝2log310,故B错误；
＝5,故C正确；
log34·log43＝1,故D正确.
√
3.若(a>0且a≠1),则loga等于
A. B.2 C. D.5
√
由得loga
∴loga∴2loga
∴loga.
4.－lg 5－lg 2＝　　　.
－lg 5－lg 2＝＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11.
11
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)(ab>0)；
(2)a＝()m＝()n(式子有意义)；
(3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形,如()()＝a－b(a,b>0),
(±)2＝a±2＋b(a,b>0),
()( )＝a±b(a,b>0).
微点提醒
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)
A.
B.＝a
C.＝36
D.＝－
√
指数运算
题型一
√
√
对于A故A正确；
对于B＝|a|＝a,故B正确；
对于C＝62＝36,故C正确；
对于D故D错误.
(2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)
A.0.2－2－1＝0
B.×＋(π－1)0＝
C.(2·)(－6·)÷(－3·)＝1
D.若则
√
√
对于A－2－1＝0.5＋1－＝1,A错误；
对于B×＋(π－1)0＝×＋1
＝＋25×＋1＝＋2＝B正确；
对于C,原式＝(2)(－6)÷(－3)＝[2×(－6)÷(－3)]·＝4ab0＝4a,C错误；
对于D,当时＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,
由＝x2＋2＋x－2＝16,得x2＋x－2＝14,所以D正确.
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
思维升华
跟踪训练1　计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)·；
·＝·＝2·.
(2).
＝－1＋2＋×
＝2＋1＋8×9＝75.
例2　(1)(多选)下列运算中正确的是
A.＝log75
B.
C.x＝ln ex
D.＋ln(ln e)＝6
对数运算
题型二
√
√
√
对于A＝log57,故A错误；
对于B故B正确；
对于C,x＝ln ex,故C正确；
对于D＋ln(ln e)＝＋ln 1＝6＋0＝6,故D正确.
(2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是
A.＝1
B.＝2
C.lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0
D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2
√
√
＝1,A成立；
＝1,B不成立；
lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0,C成立；
(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1,D不成立.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中不成立的是
A.logab·logca＝logcb
B.logab·logcb＝logca
C.loga(b＋c)＝logab＝logac
D.loga(bc)＝logab·logac
√
√
√
对于A,logab·logca＝·＝logcb,故A正确；
对于B,logab·logcb＝·而logca＝故B错误；
对于C,若loga(b＋c)＝logab＝logac,则b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,显然不符合要求,故C错误；
对于D,loga(bc)＝logab＋logac,故D错误.
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　.
f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4
=a3ln 2==8,
∴aln 2=2,∴a=e.
e
例3　(1)(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝其中x是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35 ≈0.3)
A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68
√
指对运算的应用
题型三
由题意得ln 1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,
所以P(10)＝≈≈0.57.
(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
√
由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15,
所以＝4,
两边取以10为底的对数,得λlg ＝2lg 2,
所以λ＝≈≈1.15.
利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定系数法确定参数的值,然后解决问题.
思维升华
跟踪训练3　(1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231是
A.9位数 B.10位数
C.11位数 D.12位数
√
记231＝M,
则31×lg 2＝lg M,
则lg M＝31×(1－lg 5)≈9.331,
则M≈109.331∈(109,1010),
故231是10位数.
(2)(2024·恩施模拟)区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)
A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒
√
由题意知所需时间t＝(秒),
∴lg t＝256lg 2－(lg 2.5＋11)
＝256lg 2－＝258lg 2－12≈65.658,
∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒).
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D B B ACD AC
题号 9 10 13 　14 答案 B 　AD 答案
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(1)+-10×+
=×+-+1=+-10×(+2)+1
=+10-10-20+1=-.
(2)(log32+log92)(log43+log83)-=
-=log32×log23-=××log32×log23-=-=0.
11.
答案
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(1)P=80.25×+-(-2 024)0=+-1=2+-1=，
Q=2log32-log3+log38
=log3=log39=2.
12.
答案
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(2)因为2a=5b=m>0，
所以a=log2m，b=log5m，
由换底公式得=logm2，=logm5，则m≠1，
则+=logm2+logm5=logm10，
由于+=Q，故logm10=2，
所以m=.
12.
一、单项选择题
1.下列各式正确的是
A.＝－3 B.log2x2＝2log2x
C.＝2 D.a0＝1
√
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知识过关
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答案
＝3,故A错误；
log2x2＝2log2|x|,故B错误；
＝2,故C正确；
a0＝1,当a≠0时成立,故D错误.
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答案
2.等于
A.4 B.6 C.8 D.10
√
因为lo＝log23,
所以＝2×＝2×3＝6.
3.若2x＝lg 2≈0.301,则x的值约为
A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669
√
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因为2x＝lg 2≈0.301,
所以x＝log2≈≈1.322.
答案
4.(2024·武汉模拟)已知ab≠1,logam＝2,logbm＝3,则logabm等于
A. B. C. D.
√
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由换底公式得,logma＝logmb＝
所以logabm＝.
答案
5.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时,1＋＋…＋≈ln x＋γ(x∈N*,常数γ＝0.557…).利用以上公式,可以估算＋…＋的值为
A.ln 30 B.ln 3
C.－ln 3 D.－ln 30
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答案
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依题意可得1＋＋…＋≈ln 300＋γ,
1＋＋…＋≈ln 100＋γ,
两式相减可得＋…＋≈ln 300－ln 100＝ln 3.
答案
6.(2024·大连模拟)本福特定律指出,一个没有人为编造的自然生成的数据(为正实数)中,首位非零的数字是1~9这九个事件并不是等可能的,而是大约遵循这样一个公式：随机变量ξ是一个没有人为编造的首位非零数字,则P(ξ＝k)＝lg(k＝1,2,…,9),则根据本福特定律,在一个没有人为编造的数据中,首位非零数字是8的概率约是(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067
√
由题意可得P(ξ＝8)＝lg ＝lg 9－lg 8＝2lg 3－3lg 2≈2×0.477－3×0.301＝0.051.
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答案
二、多项选择题
7.下列判断正确的有
A.＝π－3
B.ln m·ln n＝ln(m＋n)(其中m>0,n>0)
C.(其中a>0)
D.
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答案
√
√
对于A＝|3－π|＝π－3,A正确；
对于B,由对数性质可知ln(mn)＝ln m＋ln n,B错误；
对于CC正确；
对于D＝3－1＝＝3－1＝所以D正确.
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答案
8.以下运算中正确的有
A.若lg 3＝m,lg 2＝n,则log518＝
B.＝3－2
C.－2ln(ln ee)＝7
D.log23·log94＝2
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对于A,log518＝故A正确；
对于B－1－＋1＝＋1－＝1,故B错误；
对于C－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7,故C正确；
对于D,log23·log94＝log23·＝log23·＝1,故D错误.
答案
三、填空题
9.＋log4·log32＋＝　　.
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答案
＋log4·log32＋＋log23·log32＋
.
10.(2024·荆州模拟)已知lob1＝lob2＝…＝lob10＝则
lo(b1b2…b10)＝　　　.
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答案
因为lob1＝lob2＝…＝lob10＝则bi＝(i＝1,2,3,…,10),
所以lo(b1b2…b10)＝
.
四、解答题
11.计算下列各式的值：
(1)－10×；
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答案
－10×
＝×＋1
＝－10×(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－.
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答案
(log32＋log92)(log43＋log83)－
＝
＝log32×log23－××log32×log23－＝0.
12.已知P＝80.25×－(－2 024)0,Q＝2log32－log3＋log38.
(1)分别求P和Q；
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答案
P＝80.25×－(－2 024)0＝－1
＝2＋－1＝
Q＝2log32－log3＋log38＝log3＝log39＝2.
(2)若2a＝5b＝m,且＝Q,求m.
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答案
因为2a＝5b＝m>0,所以a＝log2m,b＝log5m,
由换底公式得＝logm2＝logm5,则m≠1,
则＝logm2＋logm5＝logm10,
由于＝Q,故logm10＝2,
所以m＝.
13.(2025·连云港模拟)19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后,物理学家本·福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出本·福特定律,即在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb如斐波那契数、阶乘数、素数等都
比较符合该定律.若P10(n)＝(k∈N*,k≤14),则k的值为
A.3 B.5 C.7 D.9
√
能力拓展
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答案
P10(n)＝P10(k)＋P10(k＋1)＋…＋P10(14)＝lg ＋lg ＋…＋lg
＝lg
又＝lg 3,故k＝5.
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答案
14.(多选)已知3a＝8b＝24,则a,b满足的关系是
A.＝1 B.＝2
C.(a－1)2＋(b－1)2<2 D.(a－1)2＋(b－1)2>2
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14
答案
由3a＝8b＝24,则＝24b＝24a,即3ab＝24b,8ab＝24a,两式相乘得
(24)ab＝24a＋b,所以ab＝a＋b,又因为a≠0,b≠0,有＝1,A选项正确,B
选项错误；
由a≠b,有a2＋b2>2ab,则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2>2ab－2(a＋b)＋2＝2,C选项错误,D选项正确.
√
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第二章
§2.6　二次函数与幂函数
数学
大
一
轮
复
习
1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
y＝xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；
②当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,＋∞)上单调递增；
③当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时,y＝xα为 ；当α为偶数时,y＝xα为 .
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ .
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为 .
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的 .
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m,n)
零点
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 ___ 值域 ______________
_____________
对称轴 x＝______ R
－
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
顶点坐标 ______________ 奇偶性 当b＝0时是 函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性
偶
减
增
增
减
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝是幂函数.(　　)
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　)
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1,＋∞).(　　)
(4)若幂函数y＝xα是偶函数,则α为偶数.(　　)
√
×
×
×
2.已知幂函数f(x)的图象过点则f(4)等于
A.0 B. C.－ D.－2
√
设幂函数f(x)＝xn,因为其图象过点则＝2,即2－2n＝2,
解得n＝－所以f(x)＝则f(4)＝.
3.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是
A.[0,1] B.
C.[1,2] D.
√
f(x)＝2x2－x－1＝2
因为－1≤x≤1,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,且f＝－
又f(1)＝2－1－1＝0,f(－1)＝2＋1－1＝2,
故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为.
4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,－3]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　 　.
由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,－3]上单调递减,
可得－≥－3,即a≤4,
故实数a的取值范围是(－∞,4].
(－∞,4]
1.幂函数的性质
(1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
微点提醒
2.谨防三个易误点
(1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数；
(2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理；
(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)下列命题中正确的是
A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内
D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数
√
幂函数的图象与性质
题型一
对于A,当m＝0时,函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点(0,1),所以A项不正确；
对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确；
对于C,幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确；
对于D,当m＝－1时,幂函数y＝xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确.
(2)如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为
A.－2,－2 B.2－2
C.－－2,2 D.2－2,－
√
根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象：
当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快,所以曲线C1的n＝2,C2的n＝；
当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n＝－C4的n＝－2.
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
思维升华
跟踪训练1　(1)幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0,＋∞)上单调递减,则实数m的值为
A.2或－1 B.－1
C.2 D.－2或－1
√
由题意可知,m2－m－1＝1,解得m＝－1或m＝2,
当m＝－1时,f(x)＝x－3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,成立；
当m＝2时,f(x)＝x3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不成立,
所以m＝－1.
(2)(多选)已知函数f(x)＝xα(α为常数),则下列说法正确的是
A.函数f(x)的图象恒过定点(1,1)
B.当α＝－1时,函数f(x)是减函数
C.当α＝3时,函数f(x)是奇函数
D.当α＝时,函数f(x)的值域为(0,＋∞)
√
√
f(1)＝1α＝1,A正确；
当α＝－1时,f(x)＝分别在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减,在定义域上不单调,B错误；
当α＝3时,f(x)＝x3的定义域为R,且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x),所以函数f(x)是奇函数,C正确；
当α＝时,f(x)＝的值域为[0,＋∞),D错误.
例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.
二次函数的解析式
题型二
方法一　(利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得
解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1),
所以抛物线的对称轴为x＝
所以m＝.
又根据题意,函数有最大值8,
所以n＝8,
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1,所以a＋8＝－1,
解得a＝－4,
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三　(利用“零点式”解题)
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1,
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0),
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8,即＝8.
解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
思维升华
跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x＝2,且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为　　　　 　 　.
f(x)＝x2－4x＋3
依题意,设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0),
由二次函数f(x)的图象过点(0,3),
得f(0)＝3,
所以4a＋h＝3,即h＝3－4a,
所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a,
令f(x)＝0,即a(x－2)2＋3－4a＝0,
所以ax2－4ax＋3＝0,
设方程的两根为x1,x2,
则x1＋x2＝4,x1x2＝
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－
所以16－＝10,解得a＝1,
所以f(x)＝x2－4x＋3.
例3　(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为
命题点1　二次函数的图象
二次函数的图象与性质
题型三
√
√
因为f(x)＝ax2－2x＋1,g(x)＝xa,
对于A,当a＝－1时,f(x)＝－x2－2x＋1,其图象开口向下,对称轴方程为x＝－1,g(x)＝x－1＝其图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,故A满足要求；
对于B,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)＝xa在(0,＋∞)上单调递增,故B不满足要求；
对于C,当a＝时,f(x)＝x2－2x＋1,其图象开口向上,对称轴方程为x＝2,g(x)＝其图象在[0,＋∞)上单调递增,且越来越缓,故C满足要求；
对于D,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为x＝－>0,故D不满足要求.
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布
微拓展
典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；
依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间
(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，
得即
解得－故实数m的取值范围为.
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围.
依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图，
得即
解得－故实数m的取值范围为.
例4　(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围；
命题点2　二次函数的单调性与最值
由题意知a≠0.
当a>0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上,
对称轴方程为x＝
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2,
又a>0,所以0当a<0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下,对称轴方程为x＝<0,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.
综上,a的取值范围是(－∞,0)∪.
(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
①当0<≤1,即a≥时,
f(x)在区间[1,2]上单调递增,
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1<<2,即f(x)在区间上单调递减,在区间
上单调递增,此时g(a)＝f＝2a－－1.
③当≥2,即0f(x)在区间[1,2]上单调递减,
此时g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上所述,g(a)＝
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是
A.(0,4] B.
C. D.
√
设f(x)＝x2－3x－4＝x∈R,
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,
其对称轴方程为x＝如图所示,
所以f＝－易知f(－1)＝f(4)＝0,
由图可知,要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为
则m的取值范围是.
(2)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a,b]上的值域为[－2,2],则b－a的取值范围是　　　 .
[2,4]
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2,得x＝0或x＝4,解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2,得x＝2,
由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[－2,2].
若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]＝[0,2]或[a,b]＝[2,4],此时b－a取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,
且当b－a取最大值时,[a,b]＝[0,4],
所以b－a的最大值为4,
所以b－a的取值范围是[2,4].
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C D B AD ABC
题号 9 10 13 14 15 　16 答案 -2 a116
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(1)由函数f(x)=(2k-1)·为幂函数，则2k-1=1，解得k=1.
由f(x)=(m∈N*)在(0，+∞)上单调递减，
得m2-2m-3<0，解得-1而m∈N*，故m=1或2，
当m=1时，f(x)=x-4，定义域为{x|x≠0}，且f(x)为偶函数，符合题意；
当m=2时，f(x)=x-3，定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，不符合题意，
故m=1，k=1.
11.
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(2)由(1)得m=1，
则(2a+1)-1<(3-2a)-1，
即<，故2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3-2a或2a+1<0<3-2a，
解得故实数a的取值范围为∪.
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(1)由题意，函数f(x)是二次函数，
且f(0)=f(2)，可得函数f(x)的对称轴为直线x=1，
又由最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)，
又f(0)=3，即a(0-1)2+1=3，解得a=2，
所以函数的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
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(2)因为当x∈[-1，1]时，f(x)>2x+2m+1恒成立，
即当x∈[-1，1]时，2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立，
即当x∈[-1，1]时，m设函数g(x)=x2-3x+1，x∈[-1，1]，
则g(x)在区间[-1，1]上单调递减，
所以g(x)在区间[-1，1]上的最小值为g(1)=-1，所以m<-1，
故实数m的取值范围为(-∞，-1).
12.
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一、单项选择题
1.若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限,则α的值可以是
A.－2 B.2 C. D.
√
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知识过关
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当α＝－2时,f(x)＝x－2为偶函数,图象在第一和第二象限,不经过第三象限,A不符合题意；
当α＝2时,f(x)＝x2为偶函数,图象过原点,分布在第一和第二象限,不经过第三象限,B不符合题意；
当α＝时,f(x)＝x∈[0,＋∞),图象过原点,分布在第一象限,不经过第三象限,C不符合题意；
当α＝时,f(x)＝x∈R,为奇函数,图象经过原点和第一、三象限,D符合题意.
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2.已知a＝b＝c＝2则
A.bC.b√
由题意得b＝<＝a,
a＝<4<5＝2＝c,
所以b15
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3.函数f(x)＝的单调递减区间是
A.(－∞,3) B.(3,4]
C.(5,＋∞) D.(4,＋∞)
√
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由f(x)＝可得x2－8x＋15>0,解得x<3或x>5,
由y＝x2－8x＋15图象的对称轴为x＝4,
则y＝x2－8x＋15在[4,＋∞)上单调递增,
故f(x)＝的单调递减区间为(5,＋∞).
答案
15
16
4.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函数,且函数g(x)＝f(x)－
(2a－6)x在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是
A.(－∞,4) B.(－∞,4]
C.[6,＋∞) D.(－∞,4]∪[6,＋∞)
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因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函数,
则m2－5m＋5＝1,解得m＝1或m＝4,
当m＝1时,f(x)＝x－1,该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数,不符合题意；
当m＝4时,f(x)＝x2,该函数是定义域为R的偶函数,符合题意.
所以f(x)＝x2,则g(x)＝x2－(2a－6)x,其对称轴方程为x＝a－3,
因为g(x)在区间[1,3]上单调递减,则a－3≥3,解得a≥6.
答案
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5.已知m>1,点(1－m,y1),(m,y2),(m＋1,y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象
上,则
A.y1C.y1＝y3√
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二次函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,
其图象的对称轴方程为x＝1,
而(1－m)＋(1＋m)＝2,
所以f(1－m)＝f(1＋m),即y1＝y3,
当x>1时,f(x)单调递增,
因为m>1,所以m＋1>m>1,
所以f(m＋1)>f(m),即y2综上,y2答案
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6.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度,得到抛物线y＝g(x)的图象,则抛物线y＝g(x)的图象与y轴的交点坐标为
A.(0,－8) B.(0,－6)
C.(0,－2) D.(0,0)
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因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,2),故f(x)的对称轴为直线x＝2,
又f(x)的图象截x轴所得线段的长度是4,
所以f(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),设f(x)＝a(x－2)2＋2(a≠0),
将点(0,0)代入得a(－2)2＋2＝0,解得a＝－
所以f(x)＝－(x－2)2＋2,
因为g(x)的图象为f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,所以g(x)＝f(x－2)＝－(x－2－2)2＋2＝－(x－4)2＋2,
令x＝0,则g(0)＝－×(0－4)2＋2＝－6,
所以g(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,－6).
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二、多项选择题
7.幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3,m∈N*,则下列结论正确的有
A.m＝1
B.函数f(x)在定义域内单调递减
C.f(－2)D.函数f(x)的值域为(0,＋∞)
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由f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝1,解得m＝1或m＝
－又m∈N*,所以m＝1.所以f(x)＝x－2＝故A正确；
因为函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称,由f(－x)＝＝f(x),知函数f(x)为偶函数,由于－2<0,故f(x)＝x－2在区间(0,＋∞)上单
调递减,根据偶函数性质知f(x)＝x－2在区间(－∞,0)上单调递增,故B错误；
f(－2)＝>＝f(3),故C错误；
因为f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),则x2>0,所以f(x)＝的值域为
(0,＋∞),故D正确.
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8.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,其对称轴是直线x＝－1,且过点(－3,0),下列说法正确的是
A.abc<0
B.2a－b＝0
C.3a＋c＝0
D.若(－5,y1),(3,y2)是抛物线上两点,则y1>y2
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答案
由图知该抛物线开口向上,故a>0,∵对称轴是直线x＝－1,
∴－＝－1,故b＝2a>0,即2a－b＝0,故B正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,故A正确；
由抛物线对称性得该函数图象必过点(1,0),
可得a＋b＋c＝0,结合b＝2a,可得3a＋c＝0,故C正确；
易知点(－5,y1),(3,y2)到对称轴距离相等,故y1＝y2,故D错误.
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三、填空题
9.(2024·南京模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx,若 x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),则m＝　　　.
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－2
因为 x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),
函数f(x)的对称轴为直线x＝1,
而由f(x)＝x2＋mx＝可知其对称轴为直线x＝－故－＝
1,解得m＝－2.
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10.如图为三个幂函数y＝y＝y＝在其定义域上的局部图象,则实数a1,a2,a3从小到大的排列顺序为　　 　　.(请用“<”连接)
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答案
对于y＝
由其图象可知a1<0；
对于y＝由其图象可知0对于y＝由其图象可知a3>1,
所以a115
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四、解答题
11.已知幂函数f(x)＝(2k－1)(m∈N*)为偶函数,且在(0,＋∞)上单调递减.
(1)求m和k的值；
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答案
由函数f(x)＝(2k－1)为幂函数,则2k－1＝1,解得k＝1.
由f(x)＝(m∈N*)在(0,＋∞)上单调递减,得m2－2m－3<0,
解得－1而m∈N*,故m＝1或2,
当m＝1时,f(x)＝x－4,定义域为{x|x≠0},
且f(x)为偶函数,符合题意；
当m＝2时,f(x)＝x－3,定义域为{x|x≠0},函数为奇函数,不符合题意,
故m＝1,k＝1.
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(2)求满足(2a＋1)－m<(3－2a)－m的实数a的取值范围.
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答案
由(1)得m＝1,则(2a＋1)－1<(3－2a)－1,
即<故2a＋1>3－2a>0或0>2a＋1>3－2a或2a＋1<0<3－2a,
解得故实数a的取值范围为∪.
15
16
12.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
1
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答案
由题意,函数f(x)是二次函数,
且f(0)＝f(2),可得函数f(x)的对称轴为直线x＝1,
又由最小值为1,可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0),
又f(0)＝3,即a(0－1)2＋1＝3,解得a＝2,
所以函数的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
15
16
(2)当x∈[－1,1]时,f(x)>2x＋2m＋1恒成立,试确定实数m的取值范围.
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答案
因为当x∈[－1,1]时,f(x)>2x＋2m＋1恒成立,
即当x∈[－1,1]时,2x2－4x＋3>2x＋2m＋1恒成立,
即当x∈[－1,1]时,m设函数g(x)＝x2－3x＋1,x∈[－1,1],
则g(x)在区间[－1,1]上单调递减,
所以g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1,
所以m<－1,故实数m的取值范围为(－∞,－1).
15
16
13.已知函数f(x)＝的部分图象如图所示,则a＋b＋c等于
A.－3
B.－6
C.13
D.1
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答案
√
能力拓展
15
16
令g(x)＝ax2＋bx＋c,则f(x)＝
由图可得方程g(x)＝0的两根为2和4,
则g(x)＝a(x－2)(x－4),
又由图象知f(3)＝1,即＝1,则g(3)＝1,
所以a×(3－2)×(3－4)＝1,解得a＝－1,
所以g(x)＝－(x－2)(x－4)＝－x2＋6x－8,
所以b＝6,c＝－8,
则a＋b＋c＝－1＋6－8＝－3.
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答案
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答案
14.若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值
A.与a无关，与b有关
B.与a有关，与b无关
C.与a有关，且与b有关
D.与a无关，且与b无关
√
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答案
15
16
函数f(x)=x2-2bx+3a的图象开口向上，且对称轴为直线x=b，
①当b>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，则M=f(0)=3a，m=f(1)=1-2b+3a，此时M-m=2b-1，故M-m的值与a无关，与b有关；
②当b<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，则M=f(1)=1-2b+3a，m=f(0)=3a，此时M-m=1-2b，故M-m的值与a无关，与b有关；
③当0≤b≤1时，m=f(b)=3a-b2，
若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M=f(1)=1-2b+3a，∴M-m=b2-2b+1，故M-m的值与a无关，与b有关，若b>，
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答案
15
16
则f(1)∴M-m=b2，故M-m的值与a无关，与b有关，
综上，M-m的值与a无关，与b有关.
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答案
15
16
15.(多选)一般地，若函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称[ka，kb]为f(x)的“k倍跟随区间”，若函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”，下列结论正确的是
A.若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的“跟随区间”，则b=2
B.函数f(x)=1+存在“跟随区间”
C.若函数f(x)=m-存在“跟随区间”，则m的取值范围是
D.二次函数f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”
√
√
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答案
15
16
对于A，若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的“跟随区间”，因为f(x)=x2-2x+2的对称轴为直线x=1，所以b2-2b+2=b，解得b=2或b=1(舍去)，经检验符合题意，故A正确；
对于B，假设f(x)=1+存在“跟随区间”[a，b]，易知[a，b] (-∞，0)或[a，b] (0，+∞)，
因为f(x)=1+在[a，b]上单调递减，
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答案
15
16
则有解得或
与a对于C，f(x)=m-在定义域上单调递减，若存在“跟随区间”[a，b]
(-1≤a则有即
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答案
15
16
两式相减得a-b=-，
即(a-b)(+)=a+1-(b+1)=a-b，
又因为-1≤a所以0≤<≤1，>，
所以m=b+=b+1-，
设=t，t∈，
则m=t2-t，
1
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答案
15
16
即m=t2-t在区间上有解，
所以-解得-对于D，若f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”，
设其在区间[a，b]上的值域为[3a，3b]，
当a1
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答案
15
16
则a，b是方程-x2+x=3x的两个不相等的实数根，解得x=0或x=-4，
故存在区间[-4，0]，使得f(x)在区间[-4，0]上的值域为[-12，0]，故D正确.
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答案
15
16
16.定义：设不等式F(x)<0的解集为M,若M中只有唯一整数,则称M是最优解.若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0(m>0)有最优解,则实数m的取值
范围是　　　 .
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答案
返回
15
16
|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|,g(x)＝mx－2的图象,如图所示.当m>0时,要存在唯一的整数x0,满足f(x0)则即解得所以实数m的取值范围是.(共50张PPT)
第二章
§2.13　函数与方程
的综合应用
数学
大
一
轮
复
习
函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质,结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等,题目难度较大,一般出现在压轴题位置.
重点解读
例1　(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1A.当x1>0且x2>0时,0B.当x1<1且x2>1时,m<1
C.当－2D.当x1<2且x2>4时,m<－
√
由零点分布求值(范围)
题型一
命题点1　二次函数的零点分布
√
√
对于A,由题意得解得0对于B,f(1)＝2m－2<0,解得m<1,B正确；
对于C解得－对于D解得m<－D正确.
例2　已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝
－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是
A.[3.5,4) B.(3.5,4]
C.(5,5.5] D.[5,5.5)
√
命题点2　其他函数的零点分布
由f(2－x)＋f(x)＝0 f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2),得f(x)是一个周期为2的奇函数,
当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,
因此f＝－log2＝1,f(1)＝0,
所以f(0)＝0,f＝－1,f(－1)＝0,
且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2,
且g(－1)＝0,g＝－1,g(0)＝0,g＝1,g(1)＝0,
求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数,
即求f(x)与g(x)图象的交点个数,
如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象,
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数,
因此交点也呈周期出现,
若在区间[－1,m]上有10个零点,即两函数图象在[－1,m]上有10个交点,
则第10个交点坐标为(3.5,－1),第11个交点坐标为(4,0),因此3.5≤m<4.
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式,决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值.
思维升华
跟踪训练1　(1)设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1A. B.∪(0,1)
C.(－∞,－1)∪ D.
√
设f(x)＝x2－2ax－a,则其图象的对称轴方程为x＝a,
由x1解得a<－1或0(2)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是
A. B.
C.(－∞,0] D.(－∞,0)
√
不妨设x1由图可知,当0且有－由f(x2)＝f(x3),即|ln x2|＝|ln x3|,
得ln x3＝－ln x2,
所以ln x2＋ln x3＝ln(x2x3)＝0,
即x2x3＝1,故x1x2x3＝x1∈.
例3　(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1
的零点个数的说法中,正确的是
A.当k>1时,有1个零点
B.当k>1时,有3个零点
C.当k<0时,有9个零点
D.当k＝－4时,有7个零点
复合函数的零点
题型二
命题点1　复合函数的零点个数判定
√
√
由f(f(x))＋1＝0,得f(f(x))＝－1,
则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数,
设t＝f(x),则f(t)＝－1,二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上,过点(0,1),对称轴为直线x＝
当k>1时,y＝x2－kx＋1在(－∞,0]上单调递减,且y≥1,如图,
由f(t)＝－1,得log2t＝－1,解得t＝
由f(x)＝t,得log2x＝解得x＝
因此当k>1时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1,A正确,B错误；
当k＝－4时,f(x)＝
作出函数f(x)的图象,如图,
由图象知函数f(x)的值域为R,
令t＝f(x),则f(t)＝－1有3个根,
当t>0时,log2t＝－1,解得t＝；
当t≤0时,t2＋4t＋1＝－1,解得t＝－2±
当t＝即f(x)＝时,
若x>0,则log2x＝解得x＝
若x≤0,则x2＋4x＋1＝解得x＝－2±此时共有3个解；
当t＝－2＋即f(x)＝－2＋时,若x>0,则log2x＝－2＋有1个解,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2＋即(x＋2)2＝1＋有2个解,此时共有3个解；
当t＝－2－即f(x)＝－2－时,若x>0,则log2x＝－2－有1个解,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2－即(x＋2)2＝1－<0无解,此时共有1个解.
因此当k＝－4时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是7,D正确,C错误.
例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数
g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点,则实数m的值可能是
A.－5 B.－6 C.－7 D.－8
命题点2　根据复合函数零点求参数
√
√
令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0,
即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0,
解得f(x)＝1或f(x)＝
如图,画出函数f(x)的图象,
当f(x)＝1时,直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点,
所以直线y＝与y＝f(x)的图象只能有1个交点,
则<－2,得m<－6,
结合选项可知,m的值可能是－7或－8.
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题,求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3,…,n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3,…,n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
思维升华
跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
当x>0时,由1＋ln x＝0,得x＝
当x≤0时,由x2＋4x＋3＝0,得x＝－1或x＝－3,
所以f(x)的零点为－3,－1
令t＝f(x),则t∈R,f(t)＝0的根分别为t1＝－3,t2＝－1,t3＝
结合f(x)的图象可知,方程f(x)＝t1,f(x)＝t2,f(x)＝t3的根的个数分别为1,2,3,故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6.
(2)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　 .
[－1,＋∞)
设t＝f(x),则t∈R,
令g(x)＝f(f(x))－a＝0,则a＝f(t).
在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a,y＝f(t)的图象,如图所示.
①当a≥－1时,直线y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点,
设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),
则t1<－1,t2≥－1.
当t1<－1时,t1＝f(x)有一个解；
当t2≥－1时,t2＝f(x)有两个解,
此时g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,满足题意；
②当a<－1时,直线y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点.
设交点的横坐标为t3,则t3<－1,
此时t3＝f(x)有一个解,不满足题意,
综上所述,当a≥－1时,函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A A A ABD BD
题号 9 　　 10 答案 　[2，16) 一、单项选择题
1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则a的取值范围是
A.(0,3) B.[0,3]
C.(－3,0) D.(－∞,1)∪(3,＋∞)
√
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3
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5
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8
9
10
答案
1
2
3
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5
6
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8
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10
答案
令f(x)＝－x2＋ax＋4,
则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于－1,
由二次函数的图象可知,
即
解得01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,且x1≠x2≠x3≠x4,则实数t的取值范围是
A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,3) D.(1,3)
√
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3
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7
8
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10
答案
由题意,作出y＝f(x)的大致图象,如图所示,
要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,
即函数y＝f(x)与y＝t的图象有4个不同的交点,
则0所以实数t的取值范围是(0,1).
3.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围是
A. B. C. D.[0,e]
√
1
2
3
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10
答案
1
2
3
4
5
6
7
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10
答案
作出函数f(x)的图象如图所示,
不妨设x1则0≤m<
当x≤0时,－x2－x－m＝0,得x2＋x＋m＝0,
则x1·x2＝m；
当x>0时,ln x3＝m,x3＝em,
则x1·x2·x3＝mem,
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2
3
4
5
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7
8
9
10
答案
设h(m)＝mem
则h'(m)＝(m＋1)em>0,
所以h(m)在上单调递增,
所以h(m)∈
即x1·x2·x3的取值范围是.
4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)＝
若关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a,b∈R)有且只有7个
不同的实数根,则实数a的取值范围是
A. B.(－2,－1)
C. D.
√
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答案
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答案
由题可画出函数f(x)的大致图象,
∵关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a,b∈R)有且只有7个不同的实数根,
设t＝f(x),则t≥结合函数图象,可知方程t2＋at＋b＝0必有两个根t1,t2,
且t1＝1,t2∈
∴t1＋t2＝－a∈
则－25.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),对于任意x∈R＝3x恒成立,若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点,则实数m的取值范
围为
A.(－∞,－2) B.(0,2)
C.(22) D.(2＋∞)
√
1
2
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答案
1
2
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4
5
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8
9
10
11
12
由＝3x可得f(x)－g(x)＝2×3－x, ①
所以f(－x)－g(－x)＝2×3x,
因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(x)＋g(x)＝2×3x, ②
由①②,可得f(x)＝3x＋3－x,g(x)＝3x－3－x,
所以y＝3f(x)＋2g(x)＋m＝3(3x＋3－x)＋2(3x－3－x)＋m＝5×3x＋3－x＋m,
令y＝0,上式可化为5×32x＋m×3x＋1＝0,
令t＝3x(t>0),方程可化为5t2＋mt＋1＝0,
答案
1
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3
4
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11
12
因为函数t＝3x是增函数,若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点,
只需要方程5t2＋mt＋1＝0有两个不相等的正实数根,记为t1,t2.
有解得m<－2
故所求实数m的取值范围为(－∞,－2).
答案
6.已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点
个数是
A.4 B.5 C.6 D.7
√
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答案
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3
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8
9
10
答案
令t＝f(x),则t≥0,
若F(x)＝0,则f(t)－2t－＝0,
作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋由图象可得有两个交点,
设横坐标分别为t1,t2,t1∴t1＝0,t2∈(1,2).
当f(x)＝t1时,有x＝2,即有一解；当f(x)＝t2时,有三个解,
综上,F(x)＝0共有4个解,
即函数F(x)有4个零点.
二、多项选择题
7.已知x1,x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根,则下列说法正确的有
A.若＝2,则a＝2
B.若x1<1
C.若0<α<β<且x1＝tan α,x2＝tan β,则α＋β为锐角
D.若x1,x2均小于2,则a∈(－∞,－)∪
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
∵x1,x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根,
∴Δ＝4a2－8>0,∴a>或a<－.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2a,x1x2＝2,
∵＝2,
则2x1x2＝x1＋x2,∴4＝2a,
∴a＝2,故A正确；
令f(x)＝x2－2ax＋2,若x1<1则f(1)<0,得a>故B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
若0<α<β<且x1＝tan α,x2＝tan β,则x1＋x2>0,
由得a>
∵tan(α＋β)＝＝－2a<－2
又∵α＋β∈(0,π),∴α＋β为钝角,故C不正确；
若x1,x2均小于2,则即
∴a∈(－∞,－)∪故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
8.已知函数f(x)＝则下列结论正确的是
A.函数y＝f(x)－x有2个零点
B.若函数y＝f(x)－t有4个零点,则t的取值范围为(1,2)
C.若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝1
D.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根,则α的取值范围
为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
函数y＝e|x－2|的图象关于直线x＝2对称,函数y＝－x2－2x＋1的图象开口向下,关于直线x＝－1对称,
当x≥2时,f(x)＝ex－2单调递增,当0当x<－1时,f(x)＝－x2－2x＋1单调递增,当－1≤x≤0时,f(x)＝－x2－2x＋1单调递减,
函数y＝f(x)－x的零点,即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x,如图1,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
观察图象知,函数y＝f(x)的图象与直线y＝x有3个交点,因此函数y＝f(x)－x有3个零点,A错误；
函数y＝f(x)－t的零点,即方程f(x)＝t的根,亦即函数y＝f(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t,
如图2,
观察图象知,当1因此函数y＝f(x)－t有4个零点,则t的取值范围为(1,2),B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1,x2,x3,x4,不妨设x1显然有x1＋x2＝－2,x3＋x4＝4,因此x1＋x2＋x3＋x4＝2,C错误；
令f(x)＝m,由选项B知,当且仅当m∈(1,2)时,方程f(x)＝m有4个不相等的实根,
要关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根,
则当且仅当方程m2－3m＋α＝0在(1,2)上有2个不相等的实根,
则解得2<α<
所以α的取值范围是D正确.
三、填空题
9.若方程x2－mx－m＋3＝0满足一个根在(0,1)之间,一个根在(1,2)之间,则
实数m的取值范围为　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
设f(x)＝x2－mx－m＋3,
由题意可得
解得2因此,实数m的取值范围是.
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根,则非零实数m的取值范围为　　　 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
[2,16)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
函数f(x)＝的图象如图,且f(2)＝8,
由2[f(x)]2－mf(x)＝0,可得f(x)＝0或f(x)＝
由图象可知方程f(x)＝0有3个不相等的实根,
又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根,
则f(x)＝有3个不相等的实根,
所以∈[1,8),解得m∈[2,16).(共85张PPT)
第二章
§2.2　函数的单调性与最值
数学
大
一
轮
复
习
1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I 当x1特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
f(x1)f(x1)>f(x2)
增函数 减函数
图象 描述 自左向右看图象是 的
自左向右看图象是 的
上升
下降
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
2.函数的最值
前提 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1) x∈D,都有 ； (2) x0∈D,使得_________ (1) x∈D,都有 ；
(2) x0∈D,使得_________
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)＝M
f(x0)＝M
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3).
(　　)
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(　　)
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).(　　)
×
×
√
×
2.下列函数中,在区间(0,＋∞)上单调递增的是
A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2
C.y＝|ln x| D.y＝x
√
y＝－x＋1在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意；
y＝(x－1)2在(0,＋∞)上不单调,不符合题意；
因为y＝|ln x|＝则y＝|ln x|在(0,＋∞)上不单调,不符合题意；
y＝x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意.
3.函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为
A.－ B.－
C.－1 D.不存在
√
y＝－在(－1,＋∞)上单调递增,则y＝－在区间[1,2]上单调递增,
所以ymax＝－＝－.
4.函数f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,则满足f(2x－1)>f的x的取值范
围是　　　 .
∵f(x)的定义域是[0,＋∞),
∴2x－1≥0,即x≥
又∵f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,
∴2x－1<即x<
则x的取值范围为.
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若 x1,x2∈I(x1≠x2),则
①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在区间I上单调递增.
②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在区间I上单调递减.
(2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和
(0,1).
(3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
微点提醒
2.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N M.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(多选)下列说法中,正确的是
A.函数y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减
B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]
D.函数f(x)＝的单调递增区间为[1,＋∞)
√
确定函数的单调性
题型一
命题点1　函数单调性的判断
√
√
在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－都单调递减,所以y＝e－x－在(－∞,0)上单调递减,故A正确；
两增函数的和为增函数,故B正确；
作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,
由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故C正确；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故D错误.
例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
命题点2　利用定义证明函数的单调性
方法一　定义法
设－1因为f(x)＝a·＝a
所以f(x1)－f(x2)＝a－a
由于－10,x1－1<0,x2－1<0,故当a>0时,f(x1)－f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时,f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)方法二　导数法
f'(x)＝＝－.
故当a>0时, f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时, f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
思维升华
跟踪训练1　(1)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1f(x2)”的是
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝
C.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex
√
对任意x1,x2∈(0,＋∞),
当x1f(x2),
则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,
f(x)＝|x|在(0,＋∞)上单调递增,故A错误；
f(x)＝在(0,＋∞)上单调递减,故B正确；
f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不单调,故C错误；
f(x)＝ex在(0,＋∞)上单调递增,故D错误.
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝lo(2x2－3x－2)的单调递增区间为
　　　　 .
令2x2－3x－2>0,
解得x>2或x<－
则f(x)的定义域为∪(2,＋∞),
由y＝lox在(0,＋∞)上单调递减,y＝2x2－3x－2在上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,
根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为.
例3　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0,则
A.f(－2)B.f(－2)>f(3)>f(4)
C.f(3)D.f(4)函数单调性的应用
题型二
命题点1　比较函数值的大小
√
因为对任意的x1,x2∈(－∞,0](x1≠x2),有<0,
所以f(x)在(－∞,0]上单调递减,
又f(x)为偶函数,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
则f(2)又f(－2)＝f(2),
所以f(－2)例4　函数y＝－1＋x(x≥3)的最小值为　 　.
命题点2　求函数的最值
设t＝x－1,t≥2,
则y＝－1＋x＝t＋(t≥2),
又函数y＝t＋在[2,＋∞)上单调递增,
所以当t＝2,即x＝3时,
函数有最小值2＋.
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
求函数的值域(最值)的常用方法
微拓展
典例　(多选)下列函数中，值域正确的是
A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6)
B.函数y＝的值域为R
C.函数y＝2x－的值域为
D.函数y＝的值域为[，＋∞)
√
√
√
对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
对于B，(分离常数法)y＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝在[1，＋∞)上为增函数，
∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞).
例5　(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)A.(－1,0) B.(－1,＋∞)
C.(－1,1) D.(1,＋∞)
命题点3　解函数不等式
√
函数y＝ex为增函数,函数y＝e－x为减函数,
所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数,
所以f(|x|)即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,
解得－1所以实数x的取值范围为(－1,1).
命题点4　求参数的值(范围)
例6　(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是
A.(－∞,0] B.[－1,0]
C.[－1,1] D.[0,＋∞)
√
因为f(x)在R上单调递增,
且x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增,
则需满足
解得－1≤a≤0,
即a的取值范围是[－1,0].
(1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
思维升华
跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝在(a,＋∞)上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.
[1,2)
f(x)＝＝1＋
∵f(x)在(a,＋∞)上单调递增,
∴ 1≤a<2.
(2)(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),下列结论正确的是
A.函数f(x)是减函数
B.f(－5)C.f(0)＝0
D.不等式f(2x－1)√
√
由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1),
得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,
因此f(x)是增函数,A错误；
由－5<0<1,得f(－5)不一定有f(0)＝0,如f(x)＝2x在R上为增函数,f(0)＝1,C错误；
由f(2x－1)返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B C C A CD BCD
题号 9 10 13 14 答案 f(x)=-x(答案不唯一) BD ACD 15
16
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 15 16
答案 C (－∞,0] (2,4]
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)任取x1，x2∈(1，+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=(x1-x2)，
因为x1，x2∈(1，+∞)且x11，0<<1，
则1->0，
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)由(1)知函数f(x)在[3，6]上单调递增，
所以f(x)max=f(6)=，
f(x)min=f(3)=，
所以函数f(x)在区间[3，6]上的最大值为，最小值为.
11.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)f(m)=f =f +f(n)，即f =f(m)-f(n).
(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x11.
由(1)得f(x2)-f(x1)=f >0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，
12.
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
f(x+2)-f(2x)>2 f(x+2)>f(2x)+f(4) f(x+2)>f(8x)，
又f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴解得0故不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集为.
12.
15
16
一、单项选择题
1.下列函数中,在(0,＋∞)上单调递减的是
A.y＝ B.y＝－
C.y＝ D.y＝log2x
√
1
2
3
4
5
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14
知识过关
答案
15
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2
3
4
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6
7
8
9
10
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13
14
答案
y＝因为>0,所以y＝在(0,＋∞)上单调递增,故A错误；
因为y＝在(0,＋∞)上单调递减,所以y＝－在(0,＋∞)上单调递增,故B错误；
因为0<<1,所以y＝在(0,＋∞)上单调递减,故C正确；
因为2>1,所以y＝log2x在(0,＋∞)上单调递增,故D错误.
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.已知f(x)＝2x＋x,则“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
因为函数y＝2x,y＝x在R上为增函数,
则函数f(x)＝2x＋x在R上为增函数,
则“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,
故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要条件.
15
16
3.函数f(x)＝|x|(x－1)的单调递减区间是
A.(－∞,0) B.
C. D.(1,＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
f(x)＝
作出图象,如图所示,
可以得到函数f(x)的单调递减区间是.
15
16
4.已知函数f(x)＝则f(x)在区间[2,6]上的最大值为
A. B.3 C.4 D.5
√
1
2
3
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5
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12
13
14
∵f(x)＝＝2＋在[2,6]上单调递减,
∴f(x)max＝f(2)＝4.
答案
15
16
5.已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2,都有>0成立,则实数a的取值范围为
A.(1,2) B.(2,3)
C.(2,3] D.(2,＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
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14
答案
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函数f(x)＝的定义域为R,
由对任意x1≠x2,都有>0,
得函数f(x)在R上为增函数,
于是解得2所以实数a的取值范围为(2,3].
答案
15
16
6.已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>－1,则下列说法正确的是
A.y＝f(x)＋x是增函数
B.y＝f(x)＋x是减函数
C.y＝f(x)是增函数
D.y＝f(x)是减函数
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不妨令x1∵>－1 f(x1)－f(x2)<－(x1－x2) f(x1)＋x1令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x1)又x1答案
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二、多项选择题
7.已知函数f(x)＝则下列选项中正确的是
A.f(－x)＝f(x)
B.函数f(x)的值域为[－1,1]
C. x1,x2∈R,且x1≠x2,有>0
D. x∈R,“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件
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f(－x)＝＝－f(x),故A错误；
由f(x)＝＝1－因为≠0,所以f(x)≠1,故B错误；
由f(x)＝＝1－对于 x1,x2∈R,且x1则f(x2)－f(x1)＝1－－1＋
因为x1即>0,
又因为(＋1)(＋1)>0,
所以f(x2)－f(x1)>0,所以函数f(x)在其定义域R上为增函数,
所以 x1,x2∈R且x1≠x2,有>0,故C正确；
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充分性：当a≥1时,因为－1≤sin x≤1,
由f(x)为增函数,
所以f(a2)≥f(sin x),故充分性成立；
必要性：由f(x)为增函数,
当f(a2)≥f(sin x)恒成立时,
因为－1≤sin x≤1,
所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,
综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件,故D正确.
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8.已知函数f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且当x>0时,0A. x∈R,都有f(x)＝－
B.当x<0时,f(x)>1
C.f(x)是减函数
D.若f(3)＝则不等式f(2t2－5t)>的解集为
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令a＝0,b＝1,则f(0)f(1)＝f(1),易知0当x<0时,－x>0,所以0又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1,
所以f(x)＝即f(x)>1,A错误,B正确；
设x1又x11,
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又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,0所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)是减函数,C正确；
因为f(3)＝
所以f(12)＝f(6)f(6)＝[f(3)]4＝
所以f(2t2－5t)>
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即f(2t2－5t)>f(12),
又f(x)是减函数,
所以2t2－5t<12,
解得－所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集为D正确.
答案
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三、填空题
9.函数f(x)＝的单调递增区间为　　　　　 　.
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答案
f(x)＝＝2－
由2x＋3≠0,得x≠－
当x∈时,y＝单调递减,
f(x)单调递增；
当x∈时,y＝单调递减,
f(x)单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为.
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10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　 　 　.
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答案
f(x)＝－x(答案不唯一)
设f(x)＝－x,在R上单调递减.
f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.
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四、解答题
11.已知函数f(x)＝x＋.
(1)用定义证明函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增；
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答案
任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)
因为x1,x2∈(1,＋∞)且x11,0<<1,
则1－>0,
所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增.
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(2)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值.
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答案
由(1)知函数f(x)在[3,6]上单调递增,
所以f(x)max＝f(6)＝f(x)min＝f(3)＝
所以函数f(x)在区间[3,6]上的最大值为最小值为.
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12.已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x),满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证：f＝f(m)－f(n)；
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答案
f(m)＝f＝f ＋f(n),
即f＝f(m)－f(n).
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(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.
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答案
任取x1,x2∈(0,＋∞),且x11.
由(1)得f(x2)－f(x1)＝f>0,
即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∵f(2)＝1,∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4),
f(x＋2)－f(2x)>2 f(x＋2)>f(2x)＋f(4) f(x＋2)>f(8x),
又f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
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∴解得0故不等式f(x＋2)－f(2x)>2的解集为.
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能力拓展
13.(多选)若函数f(x)在定义域内的某区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称函数f(x)在M上是“弱增函数”，则下列选项中正确的是
A.若f(x)=x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
B.若f(x)=x+，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
C.若f(x)=x+x3，则f(x)为R上的“弱增函数”
D.若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，则a=4
√
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答案
f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，y==x在(0，+∞)上单调递增，
因此不存在区间M使f(x)=x2为“弱增函数”，A错误；
由对勾函数的性质知，f(x)=x+在［1，+∞)上单调递增，y==1+x-2在［1，+∞)上单调递减，
因此存在区间［1，+∞)使f(x)=x+为“弱增函数”，B正确；
函数f(x)=x+x3在R上单调递增，y==1+x2，显然函数在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，
因此函数f(x)=x+x3不是R上的“弱增函数”，C错误；
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答案
若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，
则f(x)=x2+(4-a)x+a在(0，2］上单调递增，有-≤0，解得a≤4，
又y==x+(4-a)+在(0，2］上单调递减，
而当a≤0时，y==x+(4-a)+在(0，2］上单调递增，不符合题意，
于是a>0，又由对勾函数的单调性知，函数y=x+在(0，］上单调递减，
因此≥2，即a≥4，
所以a=4，D正确.
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14.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
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答案
对于A,令f(x)=sinh x=,
则f'(x)=>0恒成立,
故双曲正弦函数是增函数,故A正确;
对于B,令g(x)=cosh x=,则g'(x)=,
由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)==0,
故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误;
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对于C,tanh x=====1-,
由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,
故tanh x=1-是增函数,故C正确;
对于D,由C知tanh x=,
则tanh(x+y)=,==
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=
==,
故tanh(x+y)=,故D正确.
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15.已知正实数a，b满足：a·ea-2=1，eb+ln b=1，则的值是
A. B.2 C.e D.3
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由a·ea-2=1两边取对数可得，
ln a+a-2=0，即ln a+a=2，
由eb+ln b=1可得，eb+ln b+1=2，
即eb+ln eb=2，
方法一　构造函数f(x)=ln x+x(x>0)，
由ln a+a=2和eb+ln eb=2等价于f(a)=ln a+a=2和f(eb)=ln eb+eb=2，
即f(a)=f(eb)，
由于y=ln x在(0，+∞)上单调递增，y=x在(0，+∞)上单调递增，
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则f(x)=ln x+x在(0，+∞)上单调递增，
所以f(a)=f(eb)等价于a=eb，
故=e.
方法二　所以ln a+a=ln eb+eb，
即a=eb，所以=e.
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16.已知函数f(x)＝若对任意x1,x2∈R,且x1≠x2都有
<0,则实数a的取值范围为　　　　　；若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则实数t的取值范围为　　　.
(－∞,0]
(2,4]
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若对任意x1,x2∈R,且x1≠x2都有<0,则f(x)在R上是减函数,则≤0,即a≤0,所以实数a的取值范围为(－∞,0]；
当a>0时,若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则f＝4,
解得a＝4或a＝－4(舍去),
又f(－1)＝2,f(0)＝f(4)＝0,所以2当a≤0时,f(x)在[－1,t)上单调递减,则f(x)在[－1,t)上的最大值为f(－1)＝2,不符合题意,
所以实数t的取值范围为(2,4].
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第二章
§2.14　函数模型的应用
数学
大
一
轮
复
习
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随α值的变化而各有不同
y轴
x轴
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)
(2)A公司员工甲购买了某公司的股票,第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不赔.(　　)
(3)已知a>1,在(0,＋∞)上,随着x的增大,y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度.(　　)
(4)在选择函数模型解决实际问题时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　)
×
×
√
×
2.下列函数中,随着x的增长,y的增长速度最快的是
A.y＝50 B.y＝1 000x
C.y＝2ln x D.y＝ex
√
依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长,
y＝ex的增长速度最快.
3.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
在下列四个函数模型(a,b∈R)中,最能反映x,y函数关系的是
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx
C.y＝a＋logbx D.y＝a＋
√
作出散点图如图所示,由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y＝a＋logbx反映x,y函数关系.
4.我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为
A.26米 B.28米 C.31米 D.33米
√
h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5h(t)max＝h≈31.
(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是
A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
√
用函数图象刻画变化过程
题型一
命题点1　函数的增长差异
画出函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中,
当x∈(4,＋∞)时,函数g(x)＝2x增长速度最快,
h(x)＝log2x增长速度最慢.
所以选项B正确.
例2　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物
的说法中,正确的是
A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥
治疗作用
B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发
挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒
命题点2　用函数图象刻画变化过程
√
√
√
从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,
约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确；
根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1
小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确；
服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确；
首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
思维升华
跟踪训练1　为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是
由题意,运输效率逐步提高,即函数增长速率逐渐加快,选项B满足.
√
例3　(1)2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的
A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%
已知函数模型的实际问题
题型二
√
依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0,
可得e－2k＝0.8,
当t＝6时,N0e－6k＝N0＝0.512N0＝(1－48.8%)N0,
因此,前6个小时消除了污染物的48.8%.
(2)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　.
e3－1
根据题意,可得4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2＝12,
所以ln＋ln 4＝12,
即ln＝ln e12,
可得＝e12,
而1＋>0,则1＋＝e3,
所以＝e3－1,
即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1.
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
思维升华
跟踪训练2　(2024·本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共有8种叠加态,…,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10, k∈N),则称N为k＋1位数,已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数,则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)
A.308 B.309 C.1 023 D.1 024
√
根据题意,得n个超导量子比特共有2n种叠加态,
所以当有1 024个超导量子比特时共有N＝21 024(种)叠加态.
两边取以10为底的对数得lg N＝lg 21 024＝1 024lg 2≈1 024×0.301＝308.224,
所以N≈10308.224＝100.224×10308.
由于1<100.224<10,
故N是一个309位的数,即m＝309.
例4　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且0≤v≤33.3时,通过
大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度
等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9).
构造函数模型的实际问题
题型三
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3
距离 d0＝30 m d1 d2
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3
距离 d0＝30 m d1 d2
根据题意,
d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3).
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3
距离 d0＝30 m d1 d2
根据题意,对任意的k∈[0.5,0.9],d<90恒成立,
即对任意的k∈[0.5,0.9],30＋v＋<90恒成立.
易知当v＝0时,满足题意；
当0由k∈[0.5,0.9],得∈
所以>即v2＋10v－600<0,解得－30综上,0≤v<20.
所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下.
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
思维升华
跟踪训练3　“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为20 m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%,若石片接触水面时的速度低于6 m/s,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 17≈1.23)
A.6 B.7 C.8 D.9
√
设石片第n次接触水面时的速度为vn,
则vn＝20×0.85n－1,
由题意得20×0.85n－1≥6,即0.85n－1≥0.3,
得n－1≤log0.850.3,
又log0.850.3＝≈7.4,
所以n≤8.4,故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C C B BD ACD y=x·ln x
题号 8 11 　12 答案 8 400 D BCD 答案
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12
(1)当x∈[0，16]时，
设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0)，
因为f(16)=b(16-12)2+84=80，
所以b=-
所以f(x)=-(x-12)2+84；
当x∈[16，40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，
9.
答案
1
2
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6
7
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9
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11
12
由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=-15，
所以f(x)=log0.8(x-15)+80，
综上，f(x)=
9.
答案
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11
12
(2)当x∈[0，16]时，
令f(x)=-(x-12)2+84≤68，即(x-12)2≥64，
解得x≤4或x≥20(舍去)，所以x∈[0，4]；
当x∈[16，40]时，令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68，
得x≥15+0.8-12≈29.6，所以x∈[30，40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟).
9.
答案
1
2
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9
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11
12
(1)由图象可知，图象经过(4，8)，(8，12)两点，将两点坐标代入c1(t)=N0(1-2-kt)，
则
解得
所以c1(t)=16×(1-).
10.
答案
1
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7
8
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10
11
12
(2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度为15时为最迟停止注射时间，
由c1(t)=16×(1-)=15，解得t=16，
浓度从15降到4为最长间隔时间，
故c2(t)=15×=4，即=
等号两边同时取以2为底的对数，
10.
答案
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11
12
则log2=log2
即-=log24-log215=2-=2-=2-≈2-≈-1.93，
所以t≈1.93×4≈7.7，
所以开始第一次注射后，最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔7.7小时开始进行第二次注射.
10.
一、单项选择题
1.已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是
A.a B.b C.c D.d
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知识过关
答案
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12
答案
在运动时间足够长时,指数函数f4(x)＝2x的增长速度大于二次函数f1(x)＝x2的增长速度,大于幂函数f2(x)＝的增长速度,大于对数函数f3(x)＝log2x的增长速度,所以运动在最前面的物体一定是d.
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12
答案
2.一组实验数据及对应散点图如图所示,则体现这些数据关系的最佳函数模型是
x 10 20 29 41 50 58 70
y 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8
A.y＝Alogax＋p B.y＝A·ax＋p
C.y＝ax2＋bx＋c D.y＝kx＋b
√
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12
答案
由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内单调递增,对于Δxi＝xi＋1－xi,Δyi＝yi＋1－yi,i∈{1,2,3,4,5,6},由题意可得
可知近似于线性,所以适合二次函数模型.
x 10 20 29 41 50 58
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57
3.输血是外伤人员救治的重要手段,血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位：μmol/gHb)随温度λ(单位：℃)、时间t(单位：天)、及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S＝S0t1.08λe－1.30λ(e为自然对数的底数,e≈2.718 28).由此可知,当血液在20℃恒温条件下,保存5天后的ATP浓度大约相当于血液在4℃恒温条件下保存　　　　天后的ATP浓度(参考数据：ln 5≈1.6)
A.16 B.20 C.25 D.30
√
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答案
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12
设所求为t天,由题意得S0×51.08×20e－1.30×20＝S0×t1.08×4e－1.30×4,
解得t4.32＝
取对数为ln t＝≈3.2≈2ln 5＝ln 25,所以t≈25.
答案
4.(2025·宜宾模拟)根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模
型y＝其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量,p
为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数,参考数据：ln 0.887≈－0.12,ln 0.30≈－1.2)
A.65万辆 B.64万辆
C.63万辆 D.62万辆
√
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答案
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12
根据题中所给模型,代入有关数据,
则2033年年底该市新能源汽车的保有量为y＝
因为ln 0.30≈－1.2,所以e－1.2≈0.30,
所以y＝≈≈64,
所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.
答案
二、多项选择题
5.已知函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是
A.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y1的增长速度越来越快于y2
B.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2
√
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答案
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答案
在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x的
图象,如图所示.
对于A,B,在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越
来越快于y1,故A错误,B正确；
对于C,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度不是一直快于y3的,故C错误；
对于D,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2,故D正确.
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y＝aeRt(a,R为常数,e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于
0.5 ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是
A.a＝128 B.R＝ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后,人可以安全进入车库
√
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答案
√
√
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12
设f(t)＝aeRt,由题意得解得A正确,B错误；
此时f(t)＝128＝27·所以f(12)＝24＝16(ppm),C正确；
当f(t)≤0.5时≤0.5＝2－1,得7－≤－1,所以t≥32,所以排气32分钟后,人可以安全进入车库,D正确.
答案
三、填空题
7.函数y＝x与函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较快的一个是　　 　　.
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答案
y＝x·ln x
当x∈(4,＋∞)时,x·ln x－x＝x(ln x－1)>x(ln 4－1)>0,所以函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较函数y＝x快.
8.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k＝A中的参量Ea提出的,是通过实验数据求得,又叫实验活化能,公式中的k为反应速率常数,R为摩尔气体常量,T为热力学温度(单位为开尔文,简称开),A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当温度从300开上升到400开时,估计的值为　　　 .(结果精确到百位,参考数据：ln 2≈0.7)
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答案
8 400
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根据题意,温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当温度从300开上升到400开时,反应速率常数k变为300开时的210倍,
由k＝A当T＝300开时,k1＝A
当T＝400开时,k2＝A
所以＝210,即＝210,＝210＝10ln 2,
＝12 000ln 2≈12 000×0.7＝8 400.
答案
四、解答题
9.研究表明：在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时,曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
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答案
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答案
当x∈[0,16]时,设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0),
因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80,
所以b＝－所以f(x)＝－(x－12)2＋84；
当x∈[16,40]时,f(x)＝log0.8(x＋a)＋80,
由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80,解得a＝－15,
所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80,
综上,f(x)＝
(2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6,精确到1分钟)
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答案
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答案
当x∈[0,16]时,
令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68,
即(x－12)2≥64,解得x≤4或x≥20(舍去),
所以x∈[0,4]；
当x∈[16,40]时,令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68,
得x≥15＋0.8－12≈29.6,所以x∈[30,40],
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟).
10.用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时,第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)＝N0(1－2－kt),其函数图象如图所示,其中N0为与环境相关的常数,此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间,当
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答案
达到上限浓度时,必须马上停止注射,之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)＝c·2－kt,其中c为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数c1(t)的解析式；
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答案
由图象可知,图象经过(4,8),(8,12)两点,将两点坐标代入c1(t)＝N0(1－2－kt),
则
解得
所以c1(t)＝16×(1－).
(2)一病患开始第一次注射后,最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果,最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数,保留小数点后一位,参考数据：lg 3≈0.48,lg 2≈0.30)
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答案
由题意,可知有治疗效果的浓度在4到15之间,
所以浓度为15时为最迟停止注射时间,
由c1(t)＝16×(1－)＝15,解得t＝16,
浓度从15降到4为最长间隔时间,
故c2(t)＝15×＝4,即
等号两边同时取以2为底的对数,
则log2＝log2
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答案
即－＝log24－log215＝2－
＝2－＝2－
≈2－≈－1.93,
所以t≈1.93×4≈7.7,
所以开始第一次注射后,最迟隔16小时停止注射,为保证治疗效果,
最多再隔7.7小时开始进行第二次注射.
11.已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型y＝k0·e1.4e－0.125t(k0>0,当t＝0时表示2023年初的种群数量).自2023年初起,经过n年后(n∈N*),当该物种的种群数量不足2023年初的10%时,n的最小值为(参考数据：ln 10≈ 2.3)
A.16 B.17 C.18 D.19
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答案
能力拓展
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12
答案
由题意可知2023年初的种群数量为t＝0时的函数值k0·e1.4e,
故令y＝k0·e1.4e－0.125t<10%·k0·e1.4e,
即e－0.125t<
则0.125t>ln 10,
∴t>＝8ln 10≈8×2.3＝18.4,
由于n∈N*,故n的最小值为19.
12.(多选)(2024·长春模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝a＋blg I给出,其中I为声强(单位：W/m2),相应不同声的声强级如表所示,则
I(W/m2) LI(dB)
正常人能忍受的最高声强 1 120
正常人能听到的最低声强 10－12 0
正常人交谈时的声强 10－6 L正常
某人谈话声强 IT 80
A.LI＝10lg B.I＝
C.L正常＝60 D.IT＝10－4
√
√
√
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答案
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答案
由表格得a＋blg 1＝120,所以a＝120,
又因为120＋blg 10－12＝120－12b＝0,得b＝10,
所以LI＝120＋10lg I＝10(12＋lg I)＝10lg(1012I),A错误；
lg I＝
则I＝1B正确；
当I＝10－6时,L正常＝120＋10lg 10－6＝60,C正确；
当LI＝80时,IT＝1＝10－4,D正确.
返回(共79张PPT)
第二章
§2.8　指数函数
数学
大
一
轮
复
习
1.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.
2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
指数函数及其性质
(1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是 .
(2)指数函数的图象与性质
R
a>1 0图象
定义域 ___ R
a>1 0值域 ________ 性质 过定点 ,即x＝0时,y＝1 当x>0时, ； 当x<0时,_______ 当x<0时, ；
当x>0时,_______
函数 函数
(0,＋∞)
(0,1)
y>1
0y>1
0增
减
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝－ax是指数函数.(　　)
(2)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.(　　)
(3)若am0,且a≠1),则m(4)函数y＝ax＋2(a>0,且a≠1)过定点(0,2).(　　)
√
×
×
×
2.给出下列函数,其中为指数函数的是
A.y＝x4 B.y＝xx
C.y＝πx D.y＝－4x
√
因为指数函数的形式为y＝ax(a>0且a≠1),所以y＝πx是指数函数,即C正确；
而A,B,D中的函数都不满足要求,故A,B,D错误.
3.若函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)满足f(2)＝81,则f的值为
A.± B.±3 C. D.3
√
因为f(2)＝a2＝81,又a>0,所以a＝9,从而f(x)＝9x,f.
4.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)＝1＝2＝2＝2＝2,…
＝2(n∈N*).写出满足上述条件的一个函数：　　　　　　 .
例如f(x)＝2x,则f(0)＝1,且＝2,所以f(x)＝2x符合题意.
f(x)＝2x(答案不唯一)
1.掌握指数函数图象的三个特点
(1)指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a)依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
微点提醒
(2)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示,其中02.谨防一个失误点
讨论指数函数的单调性及值域问题时,当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列选项正确的是
A.函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数,则a＝
B.指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,＋∞)
C.函数y＝ax＋1(a>0,且a≠1)的图象可以由f(x)＝ax的图象向右平移一个单位
长度得到
D.函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点
√
指数函数的概念与图象
题型一
√
√
对于A,2a2－3a＋2＝1且a>0,a≠1,则a＝A正确；
对于B,不论01,值域都为(0,＋∞),B正确；
对于C,f(x)＝ax的图象向左平移一个单位长度得到y＝ax＋1的图象,C错误；
对于D,令2x＋3＝0,则x＝－y＝0,所以函数y＝a2x＋3－1(a>0,且a≠1)恒过定点D正确.
(2)(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象
限,则
A.01
C.－1√
√
函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0＋b<0,即a>1,b<－1.
对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为
A.a＝b B.0C.a√
√
√
由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示,
由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故选项A正确；
作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k,则0故选项B正确；
作出直线y＝m,当0当01,则3a<3b<2b·3b＝6b,故选项D错误.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.
(0,2)
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示.
∴当0∴实数b的取值范围是(0,2).
例2　(1)已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
指数函数的性质及应用
题型二
命题点1　比较指数式的大小
√
依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b.
(2)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
√
由题意得,0c＝lo>lo＝1,
∵<<∴ab>a.
例3　(1)已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
命题点2　解简单的指数方程或不等式
√
∵ax<1,当a>1时,y＝ax是增函数,
∴p：{x|x<0}.
对于不等式2x＋1作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象,如图所示.
由图象可知,不等式2x＋1∴q：{x|－1又∵{x|－1∴p是q的必要不充分条件.
(2)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为　　　　　　.
由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R,且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x),
所以f(x)＝2|x|为偶函数,
当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x,
可得f(x)＝2|x|在[0,＋∞)上单调递增,
根据偶函数的性质,不等式f(2－x)>f(2x＋3),
即为f(|2－x|)>f(|2x＋3|),
可得|2－x|>|2x＋3|,
整理得3x2＋16x＋5<0,
解得－5f(2x＋3)的解集为.
例4　已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数.
(1)求a的值,并证明函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增；
命题点3　指数函数性质的综合应用
因为函数f(x)在R上为偶函数,
所以f(x)＝f(－x),
得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x,(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立,即a＝1.
所以f(x)＝2x＋2－x,
对任意的0≤x1＝(
因为0≤x11－1>0,
所以f(x1)(2)求函数h(x)＝f(x)＋f(2x),x∈[0,1]的值域.
函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋22x＋2－2x＝＋(2x＋2－x)－2.
令t＝2x＋2－x＝2x＋
因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],所以t∈
令φ(t)＝t2＋t－2,故函数φ(t)在上单调递增,
当t＝2时,h(x)min＝φ(2)＝4；
当t＝时,h(x)max＝φ.
则函数h(x)的值域为.
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
思维升华
跟踪训练2　(1)a＝b＝20.5,c＝log3的大小关系为
A.aC.a√
0<＝2－3<20.5,即0(2)(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是
A.(－∞,－2] B.[－2,0)
C.(0,2] D.[2,＋∞)
函数y＝2x在R上是增函数,而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,
则函数y＝x(x－a)＝在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,
所以a的取值范围是[2,＋∞).
√
(3)(多选)(2024·临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a(a∈R),则下列结论正确
的是
A.f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)
B.f(x)的值域为R
C.当a＝1时,f(x)为奇函数
D.当a＝2时,f(－x)＋f(x)＝2
√
√
√
对于函数f(x)＝＋a(a∈R),
令2x－1≠0,解得x≠0,
所以f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),故A正确；
因为2x>0,则2x－1>－1,当2x－1>0时>0,
所以＋a>a；
当－1<2x－1<0时<－2,
所以＋a<－2＋a,
综上可得f(x)的值域为(－∞,－2＋a)∪(a,＋∞),故B错误；
当a＝1时,f(x)＝＋1＝
则f(－x)＝＝－＝－f(x),
所以f(x)＝＋1为奇函数,故C正确；
当a＝2时,f(x)＝＋2＝＋1,
则f(x)＋f(－x)＝＋1＋＋1＝2,
故D正确.
抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性.
(1)判断抽象函数单调性的方法
①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…,判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；
②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…,判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f －f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f .
抽象函数
微拓展
(2)常见的抽象函数模型
①正比例函数f(x)＝kx(k≠0),对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；
②幂函数f(x)＝xa,对应f(xy)＝f(x)f(y)或f；
③指数函数f(x)＝ax(a>0,且a≠1),对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝；
④对数函数f(x)＝logax(a>0,且a≠1),对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或f＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；
⑤正弦函数f(x)＝sin x,对应f(x＋y)f(x－y)＝[f(x)]2－[f(y)]2,来源于sin 2α－
sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
⑥余弦函数f(x)＝cos x,对应f(x)＋f(y)＝2ff来源于cos α＋cos β＝2cos ·cos ；
⑦正切函数f(x)＝tan x,对应f(x±y)＝来源于tan(α±β)＝.
典例　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时, f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是
A.f(x)为奇函数
B.f(－2)＝－1
C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞)
D.f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024
√
√
对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；
对于B，因为f(x)为奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；
对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，
可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，
所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，
又因为x1>x2，所以x1－x2>0，
所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，
所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，
由f(2x)－f(x－3)>－2，
可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，
所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，
所以2x>x－7，得到x>－7，
所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，
故C错误；
对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，
所以f(－2 025)＋f(2 025)＝f(－2 024)＋f(2 024)
＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，
又f(0)＝0，故f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝0，故D错误.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B D C AC BD
题号 9 10 13 14
答案 A AB
题号 15 16 答案 15
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(1)由图象过点(0，2)，
得f(0)=a+b=2，
∵函数f(x)=a+b的图象无限接近于直线y=1但又不与该直线相交，
∴b=1，从而a=1，
∴f(x)=+1.
11.
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(2)由f(ln x)<得+1<，
即<，则|ln x|>1，
∴ln x<-1或ln x>1，
解得0e.
∴不等式f(ln x)<的解集为∪(e，+∞).
11.
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(1)因为f(1)=，
所以a+=，解得a=2或a=，
所以f(x)=2x+2-x.
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(2)g(x)=+(2x+2-x)-m.
令u=2x+2-x，x≥0，
则2x+2-x≥2=2，
当且仅当2x=2-x，即x=0时，等号成立，所以u=2x+2-x≥2，
因为函数h(u)=u2+u-m在[2，+∞)上单调递增，所以h(u)min=h(2)=6-m.
因为g(x)在[0，+∞)上的最小值为0，所以6-m=0，解得m=6.
综上，m的值为6.
12.
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一、单项选择题
1.函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2],则其值域为
A.[2,8] B.[1,8]
C.[0,8] D.[－1,8]
√
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知识过关
答案
由题意x∈[－1,2],所以|x|∈[0,2],y＝3|x|－1∈[0,8].
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答案
2.已知指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点则等于
A. B. C.2 D.4
√
由指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点
得解得a＝b＝2,
所以.
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3.若函数f(x)＝的定义域为R,则实数a的取值范围为
A.[－1,0] B.[－]
C.(0] D.R
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答案
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由题意可得－2≥0对任意x∈R恒成立,
即≥2,且y＝2x在R上为增函数,
可得x2－2ax＋3≥1,即x2－2ax＋2≥0对任意x∈R恒成立,
则Δ＝4a2－8≤0,解得－≤a≤
所以实数a的取值范围为[－].
答案
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4.(2024·绍兴模拟)已知实数a,b,c满足a＝be＝则
A.bC.c√
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由y＝在(0,＋∞)上单调递减,y＝log2x在(0,＋∞)上单调递增,
可知＝1>b＝>＝a,c＝lo＝log23>log22＝1,
所以c>1>b>a.
答案
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5.(2025·福州模拟)设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是
A.(－∞,2] B.(－∞,4]
C.[2,＋∞) D.[4,＋∞)
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答案
函数y＝3x在R上单调递增,而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减,所以函数y＝|a－2x|在区间(1,2)上单调递减,所以≥2,解得a≥4.
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6.(2025·辽源模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1,若f(a2)＋f(a－2)>2,则实数a的取值范围是
A.(－∞,1)
B.(－2,1)
C.(－∞,－2)∪(1,＋∞)
D.(－1,2)
√
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令g(x)＝2x－2－x,定义域为R,且g(－x)＝－g(x),
所以函数g(x)是奇函数,且是增函数,
因为f(x)＝g(x)＋1,f(a2)＋f(a－2)>2,
则g(a2)＋g(a－2)>0,即g(a2)>－g(a－2),
又因为g(x)是奇函数,所以g(a2)>g(2－a),
又因为g(x)是增函数,所以a2>2－a,
解得a<－2或a>1,
故实数a的取值范围是(－∞,－2)∪(1,＋∞).
答案
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二、多项选择题
7.下列是真命题的是
A.函数f(x)＝ax－1＋1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
B.函数f(x)＝的值域是
C.函数f(x)＝为奇函数
D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝1
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对于A,令x－1＝0,则x＝1,当x＝1时,f(1)＝a0＋1＝2,所以函数恒过定点(1,2),故A正确；
对于B,因为f(x)的定义域为则cos x∈[－1,0)∪(0,1],则∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),令t＝则t∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),则y＝2t∈∪[2,＋∞),即函数f(x)＝的值域是∪[2,＋∞),故B错误；
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对于C,因为函数f(x)＝的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝则f(－x)＋f(x)＝0,所以函数f(x)＝为奇函
数,故C正确；
对于D,函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝故D错误.
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8.已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是
A.函数f(x)恒过定点(0,1)
B.函数f(x)的值域为[0,＋∞)
C.函数f(x)在区间(－∞,0]上单调递增
D.若直线y＝2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是
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已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0,且a≠1),则x∈R,对于A,f(0)＝|a0－1|＝0,函数f(x)恒过定点(0,0),故A错误；
对于B,x∈R,则ax－1>－1,所以|ax－1|≥0,函数f(x)的值域为[0,＋∞),故B正确；
对于C,当01时,则y＝ax单调递增,又x≤0,所以0答案
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答案
对于D,y＝|ax－1|的图象由y＝ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分a>1和0当a>1时,2a>2,显然不符合题意；当015
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三、填空题
9.不等式≤33x－4的解集为　　　　　 　.
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答案
∪[1,＋∞)
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答案
依题意≤33x－4,
即≤33x－4,
由于y＝3x在R上单调递增,
所以1－2x2≤3x－4,
即2x2＋3x－5＝(x－1)(2x＋5)≥0,
解得x≤－或x≥1,
所以不等式的解集为∪[1,＋∞).
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10.对于任意a>0且a≠1,函数f(x)＝amx＋n＋b的图象恒过定点(1,2).若f(x)的图
象也过点(－1,10),则f(x)＝　　　　　　.
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答案
＋1
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因为函数f(x)＝amx＋n＋b的图象恒过定点(1,2),
所以所以n＝－m,b＝1,
所以f(x)＝am(x－1)＋1,
又f(x)的图象也过点(－1,10),
所以f(－1)＝a－2m＋1＝10,
又am>0,解得am＝
所以f(x)＝＋1.
答案
15
16
四、解答题
11.已知函数f(x)＝a＋b的图象过点(0,2),且无限接近于直线y＝1但又不与该直线相交.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
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答案
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答案
由图象过点(0,2),得f(0)＝a＋b＝2,
∵函数f(x)＝a＋b的图象无限接近于直线y＝1但又不与该直线相交,
∴b＝1,从而a＝1,
∴f(x)＝＋1.
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(2)解关于x的不等式f(ln x)<.
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答案
由f(ln x)<得＋1<
即<则|ln x|>1,
∴ln x<－1或ln x>1,
解得0e.
∴不等式f(ln x)<的解集为∪(e,＋∞).
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12.已知函数f(x)＝ax＋a－x(a>0,且a≠1),且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式；
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答案
因为f(1)＝
所以a＋解得a＝2或a＝
所以f(x)＝2x＋2－x.
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(2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m在[0,＋∞)上的最小值为0,求m的值.
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答案
g(x)＝＋(2x＋2－x)－m.
令u＝2x＋2－x,x≥0,则2x＋2－x≥2＝2,
当且仅当2x＝2－x,即x＝0时,等号成立,所以u＝2x＋2－x≥2,
因为函数h(u)＝u2＋u－m在[2,＋∞)上单调递增,
所以h(u)min＝h(2)＝6－m.
因为g(x)在[0,＋∞)上的最小值为0,所以6－m＝0,解得m＝6.
综上,m的值为6.
15
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13.已知α∈a＝(cos α)sin α,b＝(sin α)cos α,c＝(cos α)cos α,则
A.b>c>a B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c
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答案
√
能力拓展
已知α∈则0因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减,故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a；
因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增,故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b,故b>c>a.
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答案
14.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是
A.- B.- C.0 D.
√
√
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答案
因为y=f(x)=，
则f(-x)==|2x+a|，
由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1，2 025]上单调性相同.
若单调递增，则在区间[1，2 025]上恒成立，即所以-2≤a≤-；
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答案
若单调递减，则在区间[1，2 025]上恒成立，即无解，
综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意.
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答案
15.(2025·徐州模拟)正实数m，n满足e1-2m+2-2m=en-1+n，则+的最小值为　　　.
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答案
由e1-2m+2-2m=en-1+n，得e1-2m+(1-2m)=en-1+(n-1)，
令f(x)=ex+x，则原等式为f(1-2m)=f(n-1)，显然函数f(x)为增函数，
于是1-2m=n-1，即2m+n=2，而m>0，n>0，
因此+=+=++≥2+=，
当且仅当=，即m=n=时取等号，
所以当m=n=时，+取得最小值.
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答案
16.已知函数f(x)=，若S=f(0)+f +f +…+f +f(2)，则
S=_________.
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答案
返回
因为f(x)=，
所以f(2-x)==，
所以f(x)+f(2-x)=1，
由S=f(0)+f +f +…+f +f(2)，
则S=f(2)+f +f +…+f +f(0)，
所以2S=4 049×1，则S=.
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16(共50张PPT)
第二章
§2.5　函数性质的综合应用
数学
大
一
轮
复
习
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质特点,结合图象研究函数的性质,往往多种性质结合在一起进行考查.
重点解读
例1　(2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数, x1,x2∈[0,＋∞),且x1≠x2>4(x1＋x2)恒成立,f(2)＝16,则满足f(ln m)≤4(ln m)2的m的取值范围为
A. B.
C.[1,e2] D.
√
函数的奇偶性与单调性
题型一
设x1>x2,
由>4(x1＋x2),
得f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)＝4(),
所以f(x1)－4>f(x2)－4
令g(x)＝f(x)－4x2,x∈[0,＋∞),
则g(x1)>g(x2),
所以函数g(x)在[0,＋∞)上单调递增,
因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
所以对任意的x∈R,g(－x)＝f(－x)－4(－x)2＝f(x)－4x2＝g(x),
所以函数g(x)为R上的偶函数,
且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0,
由f(ln m)≤4(ln m)2,
可得f(ln m)－4(ln m)2≤0,
即g(ln m)≤g(2),
即|ln m|≤2,所以－2≤ln m≤2,
解得≤m≤e2,
所以m的取值范围是.
(1)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1　(多选)已知函数y＝f(x＋1)是R上的偶函数,且f(x)在[1,＋∞)上单调递增,a＝f(log28),b＝f(－ln 2),c＝f(eln 2),则下列说法正确的是
A.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B.cC.函数y＝f(x)在区间(－∞,1]上单调递减
D.函数f(x)在x＝1处取到最大值
√
√
√
由函数y＝f(x＋1)是R上的偶函数,并且y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以A正确；
因为a＝f(log28)＝f(3),b＝f(－ln 2)＝f(2＋ln 2),c＝f(eln 2)＝f(2),因为3>ln 2＋2>2>1且函数f(x)在[1,＋∞)上单调递增,所以f(2)因为f(x)在[1,＋∞)上单调递增,所以函数f(x)在(－∞,1]上单调递减,所以函数f(x)在x＝1处取到最小值,所以C正确,D不正确.
例2　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－ff(0)＝－2,且f 为奇函数,则
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是一个周期为3的周期函数
D.f(2 025)＝－2
函数的奇偶性与周期性
题型二
√
√
√
函数f(x)的定义域为R,且f(0)＝－2,则f(x)不可能是奇函数,故A错误；
定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f变形可得f(x)＝－f
而f为奇函数,
则f＝－f
则f(－x)＝－f则有f(－x)＝f(x),
即函数f(x)为偶函数,故B正确；
已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f
即f(x)＝－f
则有f(x＋3)＝－f＝f(x),
即函数f(x)是一个周期为3的周期函数,故C正确；
f(x)是偶函数且周期为3,
则f(2 025)＝f(0)＝－2,故D正确.
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解.
思维升华
跟踪训练2　已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2,②f(x－2)为奇函数,③ x1,x2∈[0,1),x1≠x2>0恒成立.则ff(4),f的大小关系为
A.f>f(4)>f
B.f(4)>f>f
C.f >f(4)>f
D.f>f>f(4)
√
因为f(x－2)为奇函数,f(x)的周期为2,所以f(x)为奇函数,
因为 x1,x2∈[0,1),x1≠x2>0,
所以f(x)在[0,1)上单调递增,
因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(－1,0]上单调递增,
所以f(x)在(－1,1)上单调递增,
因为f＝f＝f
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0),f＝f ＝f
所以f>f(0)>f即f>f(4)>f.
例3　(多选)(2025·宁波模拟)已知f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)＋g(1－x)＝a(a≠0),g(1＋x)＝g(1－x),若f(x＋2)为奇函数,则
A.g(x)关于直线x＝1对称
B.g(x)为奇函数
C.f(2)＝0
D.f(x)为偶函数
√
函数的奇偶性与对称性
题型三
√
√
因为g(x)的定义域为R,且g(1＋x)＝g(1－x),所以g(x)关于直线x＝1对称,故A正确；
但不能确定g(x)为奇函数,故B错误；
根据题意,y＝f(x＋2)是定义域为R的奇函数,所以f(x＋2)＝－f(－x＋2),令x＝0,得f(2)＝0,故C正确；
因为f(x)＋g(1－x)＝a,则f(－x)＋g(1＋x)＝a,结合g(1＋x)＝g(1－x),则f(－x)＋g(1－x)＝a,所以f(x)＝f(－x),即f(x)为偶函数,故D正确.
解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时,要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.
思维升华
跟踪训练3　已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(2x＋2)的图象关于直线x＝
－对称,f(－2)＝1,则f(2 026)等于
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
因为f(2x＋2)的图象关于直线x＝－对称,
所以f(2x＋2)＝f[2(－1－x)＋2]＝f(－2x),于是f(x＋2)＝f(－x),
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x),
则f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x),
即f(x＋4)＝f(x),
所以f(x)的周期为4,
所以f(2 026)＝f(2)＝－f(－2)＝－1.
例4　(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),g(x－3)是偶函数,且f(x)＋g(x－3)＝2,若g(－3)＝1,则
A.f(1)＝
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)＝f(x＋6)
D.f(x)为奇函数
√
函数性质的综合应用
题型四
√
√
由题意知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x)＋g(x－3)＝2,
则f(－x)＋g(－x－3)＝2,因为g(x－3)是偶函数,
所以f(－x)＋g(－x－3)＝f(－x)＋g(x－3)＝2＝f(x)＋g(x－3),
所以f(x)＝f(－x),即f(x)为偶函数,
令x＝0,则f(0)＋g(－3)＝2,
又g(－3)＝1,所以f(0)＝1,
所以f(x)不可能是奇函数,故D不正确；
又f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),
令x＝0,所以f(1)＋f(－1)＝2f(1)＝f(0)＝1,所以f(1)＝故A正确；
由f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x),得f(x)＋f(x－2)＝f(x－1),
两式相加得－f(x＋1)＝f(x－2),
所以f(x)＝－f(x＋3),
又f(x)＝f(－x),所以f(－x)＝－f(x＋3),即f(－x)＋f(x＋3)＝0,
所以f(x)的图象关于点对称,故B正确；
由f(x)＝－f(x＋3)得f(x＋3)＝－f(x),
故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),故C正确.
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
思维升华
跟踪训练4　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0,f(x)＋
f(x＋4)＝0且对任意的x1,x2∈[－2,0],当x1≠x2时,都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,则以下判断正确的是
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期是4
C.函数f(x)在[2,6]上单调递增
D.直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴
√
√
由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x),函数f(x)为奇函数,A错误；
对任意的x1,x2∈[－2,0],当x1≠x2时,都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0,所以f(x)在[－2,0]上单调递减,结合奇函数知,函数f(x)在[0,2]上单调递减,即函数f(x)在[－2,2]上单调递减,由A及f(x)＋f(x＋4)＝0可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4),即f(－x)＝f(x＋4),故f(x)关于直线x＝2对称,所以f(x)在[2,6]上单调递增,且直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴,C,D正确；
又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8),结合f(x)在[－2,6]上的单调性可知函数f(x)的最小正周期为8,B错误.
课时精练
对一对
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D D D D BD ACD
题号 9 　10 答案 -1 012 一、单项选择题
1.已知函数f(x)的定义域为R,f(－x)＝f(x),f(1－x)＝－f(x),若f则f等于
A.－ B. C. D.－
√
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答案
1
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答案
由f(1－x)＝－f(x),
用1＋x代替x,得f(－x)＝－f(1＋x),
又f(－x)＝f(x),所以f(1＋x)＝－f(x),
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x),
故f(x)的周期为2,
所以f＝f＝f＝f＝－f＝－.
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答案
2.已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3),且f(x)在(0,2)上单调递增,则f(1),f f的大小关系是
A.f(1)C.f√
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答案
由函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋3),得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称,显然f＝ff＝f而<13.(2025·襄阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x－1)－1为奇函数,f(x＋1)为偶函数,则f(2 023)等于
A.－2 B.－1 C.0 D.1
√
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10
答案
函数f(x)的定义域为R,
由f(x－1)－1为奇函数,得f(－x－1)－1＝－[f(x－1)－1],
即f(－x－1)＝－f(x－1)＋2,
由f(x＋1)为偶函数,得f(－x＋1)＝f(x＋1),即f(－x－1)＝f(x＋3),
因此f(x＋3)＝－f(x－1)＋2,
即f(x＋4)＝－f(x)＋2,
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＋2＝f(x),即函数f(x)的周期是8,
由f(－x－1)＝－f(x－1)＋2,得f(－1)＝1,
所以f(2 023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝1.
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答案
4.(2024·扬州模拟)定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称,且函数y＝f(x－2)＋1是奇函数,则函数y＝g(x)图象的对称中心为
A.(2,1) B.(－2,－1)
C.(－2,1) D.(2,－1)
√
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由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数,则y＝f(x)关于点(－2,－1)对称,另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称,故y＝g(x)的图象关于点(2,－1)对称.
答案
5.(2024·北师大附中模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)＝f'(x),若f(1－x)和g(x＋2)都是偶函数,则
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数
C.g(x)是奇函数 D.g(x)是偶函数
√
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2
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5
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答案
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12
由f(1－x)是偶函数,得f(1－x)＝f(1＋x),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；
由g(x＋2)是偶函数,得g(x＋2)＝g(－x＋2),
所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称,
又g(x)＝f'(x),
则f(x)关于点(2,f(2))对称,
所以(0,f(0))是函数f(x)图象的对称中心,
由于不确定f(0)的值,所以无法判断函数f(x)的奇偶性,故排除选项A,B；
答案
1
2
3
4
5
6
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12
又g(x)＝f'(x),由f(1－x)＝f(1＋x),得－f'(1－x)＝f'(1＋x),
即－g(1－x)＝g(1＋x),得g(1＋x)＋g(1－x)＝0,
所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称；
由－g(1－x)＝g(1＋x),得－g(－x)＝g(2＋x),即－g(－x)＝g(2－x),
所以－g(x)＝g(2＋x),即g(4＋x)＝－g(2＋x)＝g(x),
所以函数g(x)的周期为4,所以g(x)＝g(4＋x)＝g(－x),
所以函数g(x)为偶函数,故排除C,选择D.
答案
6.(2025·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若 a,b∈[0,＋∞),且a≠b,都有<0成立,则不等式f－(2t2－t)f(2t－1)>0的解集为
A.(－1,0)∪
B.∪(1,＋∞)
C.(－∞,－1)∪
D.∪(1,＋∞)
√
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答案
1
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6
7
8
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10
令g(x)＝xf(x),
由题意知g(x)在[0,＋∞)上单调递减,
又f(x)为R上的偶函数,所以g(x)为R上的奇函数,所以g(x)在R上单调递减,
①当t>0时,原不等式等价于
f>(2t－1)f(2t－1),
即g>g(2t－1),所以<2t－1,
所以1<2t2－t,解得t>1；
答案
1
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10
②当t<0时,原不等式等价于
f<(2t－1)f(2t－1),
即g2t－1,
所以1<2t2－t,解得t<－.
所以t<－或t>1.
答案
二、多项选择题
7.若定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数,且对任意x1,x2∈[1,＋∞),且x1≠x2,都有>0,则下列结论正确的是
A.f(x)的图象关于点(－1,0)对称
B.f(x)是R上的增函数
C.f(x)＋f(2－x)＝2
D.关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞,1)
1
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√
答案
√
由定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)为奇函数,得f(－x＋1)＝－f(x＋1),因此函数f(x)关于点(1,0)对称,由对任意x1,x2∈[1,＋∞),且x1≠x2,都有>0,得f(x)在[1,＋∞)上单调递增,由函数的对称性知,f(x)在(－∞,1]上单调递增,又f(1)＝0,因此f(x)是R上的增函数,B正确；
显然f(－1)由f(x)关于点(1,0)对称,得f(x)＋f(2－x)＝0,C错误；
显然f(1)＝0,又f(x)在R上单调递增,则由f(x)<0,得x<1,D正确.
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答案
8.(2024·菏泽模拟)已知定义在R上的函数y＝f(2x＋2)为奇函数,且对 x∈R,都有f＝f定义在R上的函数f '(x)为f(x)的导函数,则以下结论一定正确的是
A.f(x＋2)为奇函数
B.f＝f
C.f '＝－f '
D.f '(x)为偶函数
√
1
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10
答案
√
√
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10
因为f(2x＋2)为奇函数,则f(－2x＋2)＝－f(2x＋2),可得f(－x＋2)＝－f(x＋2),所以f(x＋2)为奇函数,故A正确；
又因为f＝f可得f(x＋1)＝f(1－x),则f(x)＝f(2－x)＝－f(x＋2),可
得f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4),所以f(x)是以4为周期的周期函数,可
得f＝f但没有足够条件推出f＝f故B错误；
因为f(x＋1)＝f(1－x),则f'(x＋1)＝－f'(1－x),令x＝－则f'＝－f'故C正确；
因为f(－x＋2)＝－f(x＋2),则f'(－x＋2)＝f'(x＋2),可得f'(－x)＝f'(x＋4),又因为f'(x)＝f'(x＋4),则f'(－x)＝f'(x),所以f'(x)为偶函数,故D正确.
答案
三、填空题
9.(2024·杭州模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数,且是最小正周期为T的周期函数,则sin的值为　　　.
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答案
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5
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7
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10
答案
因为f(x)的最小正周期为T,
故f＝f＝f
又f(x)为奇函数,故f＝－f
故f＝－f
即2f＝0,
解得f＝0,
故sin＝sin .
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋3x)＝f(1－3x),且f(2x＋4)关于点
(－2,0)对称,当0≤x≤1时,f(x)＝2x－a,则(k＋1)f(k)＝　　　　　.
1
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答案
－1 012
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10
因为f(1＋3x)＝f(1－3x),
令t＝3x,则f(1＋t)＝f(1－t),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,
则f(2＋x)＝f(－x),
因为函数f(2x＋4)的图象关于点(－2,0)对称,
设g(x)＝f(2x＋4),则g(x)＋g(－4－x)＝0,
即f(2x＋4)＋f[2(－x－4)＋4]＝0,
即f(2x＋4)＋f(－2x－4)＝0,
答案
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10
令s＝2x＋4,则f(s)＋f(－s)＝0,
故函数f(x)为奇函数,
所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x),则f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x),
故函数f(x)是周期为4的周期函数,
则f(0)＝0,当0≤x≤1时,f(x)＝2x－a,
则f(0)＝20－a＝0,可得a＝1,
即当0≤x≤1时,f(x)＝2x－1,
所以f(1)＝2－1＝1,f(2)＝f(0)＝0,
答案
1
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10
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1,f(4)＝f(0)＝0,
所以(k＋1)f(k)＝2f(1)＋3f(2)＋4f(3)＋5f(4)＋…＋2 025f(2 024)
＝2－4＋6－8＋…＋2 022－2 024
＝(2－4)＋(6－8)＋(10－12)＋…＋(2 022－2 024)
＝－2×506＝－1 012.
答案(共78张PPT)
第二章
§2.9　对数函数
数学
大
一
轮
复
习
1.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.
2.了解指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 ________ 值域 ___ (0,＋∞)
R
a>1 0性质 过定点 ,即x＝1时,y＝0 当x>1时, ； 当01时, ；
当0函数 函数
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
y＝x
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝loga2x(a>0,且a≠1)是对数函数.(　　)
(2)对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)是增函数.(　　)
(3)对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,0).(　　)
(4)函数y＝log2x与y＝lox的图象关于x轴对称.(　　)
×
×
√
√
2.函数f(x)＝的定义域为
A.(－∞,4) B.(3,4)
C.(－∞,3)∪(3,4) D.(－∞,3)∪(3,＋∞)
√
因为f(x)＝
所以要使函数有意义,
则解得x<4且x≠3,
所以f(x)的定义域为(－∞,3)∪(3,4).
3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为
√
f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0},
因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x),
所以f(x)是偶函数,
当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增.
结合选项可知选A.
4.若对数函数f(x)经过点(2,1),则它的反函数g(x)的解析式为　　　　 .
设f(x)＝logax(a>0且a≠1),函数过点(2,1),即f(2)＝loga2＝1,即a＝2,f(x)＝log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x.
g(x)＝2x
1.掌握三个对数函数图象的特点
(1)不论a>1还是00,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交.
返回
微点提醒
(2)不论a>1还是00,且a≠1)的图象都经过点(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的大致图象.
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2, C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中02.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分01两种情况讨论.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列选项正确的是
A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数,则a＝3或a＝2
B.函数f(x)＝＋ln(3＋x)的定义域为(－3,0)∪(0,＋∞)
C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0)
D.f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1,＋∞)
√
对数函数的概念与图象
题型一
√
对于A
解得a＝3,A错误；
对于B解得x>－3且x≠0,B正确；
对于C,令4x－3＝1,解得x＝1,则f(1)＝loga1＝0,C正确；
对于D,x2－2x>0 x∈(－∞,0)∪(2,＋∞),可知当x>2时,y＝x2－2x单调递增,结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,＋∞),D错误.
(2)(多选)已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝lg x,若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立
的为
A.m＝n B.nC.m<1√
√
√
根据题意,在同一直角坐标系中画出f(x)＝ln x与g(x)＝lg x的图象,如图所示,
当x＝1时,此时f(x)＝g(x),即f(m)＝g(n),故m＝n＝1,故A正确；
当0当x>1时,若f(m)＝g(n),则1对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)函数f(x)＝logax(a>0且a≠1),下列说法正确的是
A.当0B.f(x)的反函数为g(x)＝ax
C.当01时,f(x)>0
D.若点(2,1)在f(x)的图象上,则f＝－2
√
√
√
对于A,当0易知B正确；
对于C,当01时,f(x)＝logax对于D,因为点(2,1)在f(x)的图象上,所以loga2＝1,则a＝2,所以f(x)＝log2x,则f＝log2＝log22－2＝－2,故D正确.
(2)若函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点则函数y＝loga|x|的大致图
象是
√
由于函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点
故∴a＝
则y＝loga|x|＝lo|x|＝
该函数为偶函数,图象关于y轴对称,且在(0,＋∞)上单调递减,在(－∞,0)上单调递增,
只有B中图象符合该函数图象特点.
例2　(1)(2024·延庆模拟)设a＝log32,b＝log96,c＝则
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
对数函数的性质及应用
题型二
命题点1　比较对数式的大小
√
因为b＝log96＝lo＝log3且c＝＝log3
又<2<函数y＝log3x在(0,＋∞)上单调递增,
则log3(2)(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知2a＝3b＝6,则a,b满足
A.a＝log26 B.aC.<1 D.a＋b>4
√
√
A选项,由2a＝6,得a＝log26,故A正确；
B选项,由3b＝6,得b＝log36,∵a＝log26>2,b＝log36<2,∴a>b,故B错误；
C选项,∵＝log62＋log63＝1,故C错误；
D选项,∵a≠b且a>0,b>0,∴由基本不等式得a＋b＝(a＋b)＝2＋>4,故D正确.
例3　(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞)
命题点2　解简单的对数方程或不等式
√
f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0,＋∞),
f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0,
由f(x)<0可得log2x画出y＝log2x,y＝x－1的图象,
如图,
由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞).
(2)(2025·中山模拟)设实数a>0,则“2a>2”是“loga>0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由2a>2,可得a>1.
由loga>0,
可得loga>loga1,
∴或
解得a>1或0因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件.
例4　(1)(多选)(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列说法中正确的是
A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(－4,0)
B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(－∞,－4]∪[0,＋∞)
C.若a＝2,则f(x)的单调递减区间为(－∞,－1)
D.若f(x)在(－2,－1)上单调递减,则a的取值范围是
命题点3　对数函数性质的综合应用
√
√
√
选项A,x2＋ax－a>0对任意x∈R恒成立,即Δ＝a2＋4a<0,解得－4选项B,x2＋ax－a≤0有解,因此Δ＝a2＋4a≥0,解得a≤－4或a≥0,B正确；
选项C,当a＝2时,f(x)＝lg(x2＋2x－2),由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3>0得x<－1－或x>－1＋根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(－∞,－1－),C错误；
选项D,f(x)在(－2,－1)上单调递减,则解得a≤D正确.
(2)(多选)(2025·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确
的是
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(0,2)上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x＝2对称
D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
√
√
函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时,4x－x2取到最大值4,
故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误；
f(x)＝log2(4x－x2)(0因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确；
因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误.
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知a＝0.50.9,b＝ln 3,c＝log3则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
√
因为a＝0.50.9∈(0,1),b＝ln 3>ln e＝1,c＝log3a>c.
(2)(多选)(2025·辽宁教研联盟模拟)关于函数f(x)＝lg下列说法正确的有
A.f(x)的定义域为(－1,1)
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于原点对称
D.f(x)在(0,1)上单调递增
√
√
√
因为f(x)＝lg＝lg则>0,解得－1所以f(x)的定义域为(－1,1),故A正确；
因为f(－x)＝lg＝－f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确；
因为y＝－1在(0,1)上单调递增,y＝lg x在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)＝lg在(0,1)上单调递增,故D正确.
设a>b>1，m>0，则有logab上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>logb+m(a+m).
对数型糖水不等式
微拓展
典例　已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
√
因为9m=10，所以m=log910.由对数型糖水不等式的倒数形式，可得m=
log910>log1011=lg 11，且m=log910所以a=10m-11>10lg 11-11=0，b=8m-9<-9=0，即a>0>b.
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D A C B AC BC
题号 9 10 　13 　14 15 16
答案 (1，0) 　D 　B AC AC
15
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答案
1
2
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14
(1)∵函数f(x)=logax的图象过点(4，2)，
∴loga4=2，∴a2=4，
∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x.
(2)由(1)知f(x)=log2x，
f(m2+m)<1 f(m2+m)∵f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴0∴实数m的取值范围为{m|-211.
15
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答案
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2
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13
14
(1)由函数f(x)=log2(ax2+2x-1)过定点(1，2)，
可得log2(a+1)=2，可得a+1=4，解得a=3，
所以f(x)=log2(3x2+2x-1)，
令3x2+2x-1>0，解得x<-1或x>，即函数的定义域为(-∞，-1)∪，
设g(x)=3x2+2x-1，则函数g(x)在(-∞，-1)上单调递减，
又由函数y=log2x在定义域上为增函数，
结合复合函数的单调性可得函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1).
12.
15
16
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
(2)由函数f(x)=log2(ax2+2x-1)的值域为R，
即(0，+∞)为函数h(x)=ax2+2x-1值域的子集，
当a=0时，可得h(x)=2x-1，此时函数h(x)的值域为R，符合题意；
当a>0时，则满足Δ=22+4a≥0，解得a≥-1，所以a>0；
当a<0时，此时函数h(x)=ax2+2x-1的图象开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数a的取值范围为[0，+∞).
12.
15
16
一、单项选择题
1.函数y＝的定义域为
A.(0,1] B.(0,1)
C.(1,＋∞) D.(0,1)∪(1,＋∞)
√
1
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13
14
知识过关
答案
由 015
16
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2
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14
答案
2.设a＝log0.20.3,b＝log23,c＝log34,则a,b,c的大小关系为
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.b>c>a
√
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答案
因为32>23,所以log232>log223,即2log23>3,
所以b＝log23>
因为42<33,所以log342所以c＝log34<同时c＝log34>1,
所以1所以b>>c>1>a.
15
16
3.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0,且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是
A.a>0,b<－1
B.a>0,－1C.0D.0√
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答案
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答案
因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数,
所以0又因为函数图象与x轴的交点在正半轴,
所以令x－b＝1,则x＝1＋b>0,即b>－1,
又因为函数图象与y轴有交点,
所以b<0,所以－115
16
4.若函数f(x)＝log3ax(a>0,且a≠1)在[－1,2]上的值域为[m,2],则m的值为
A.－4或－1 B.0或－2
C.－2或－1 D.－4或－2
√
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答案
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因为函数y＝log3x在(0,＋∞)上单调递增,
所以函数y＝ax在[－1,2]上的值域为[3m,9],
当0则a－1＝9,解得a＝则3m＝a2＝得m＝－4；
当a>1时,y＝ax在[－1,2]上单调递增,
则a2＝9,解得a＝3或a＝－3(舍去),
则3m＝a－1＝得m＝－1,
综上,m＝－4或m＝－1.
答案
15
16
5.(2024·新乡模拟)已知函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0A. B. C. D.
√
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答案
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由得－1所以函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0因为y＝loga(3－x)＋loga(x＋1)＝loga[(3－x)(x＋1)]由外层函数y＝logat(0当－1当1所以f(x)min＝f(1)＝loga4＝－2, 又因为0答案
15
16
6.若不等式(x－1)20且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立,则实数a的取值范围为
A.(1,2] B.(1,2)
C.(1] D.(2)
√
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答案
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答案
若0而(x－1)2>0,
故(x－1)2若a>1,此时x∈(1,2],logax>0,而(x－1)2>0,
令f(x)＝logax,g(x)＝(x－1)2,
画出函数f(x)与g(x)的图象,如图,
若不等式(x－1)2则loga2>1,解得a∈(1,2).
15
16
二、多项选择题
7.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称,则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是
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答案
√
√
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16
在函数y＝logax的图象上任取点(x,y),则点(－x,－y)在y＝logb(－x)的图象上,
即于是logbx＝－logax＝lox对任意x>0成立,则b＝
当01,则y＝logbx是(0,＋∞)上的增函数,C符合,D不符合；
当a>1时,函数y＝ax是R上的增函数,01
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答案
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8.已知函数f(x)＝lg(x2－5x＋4),则下列结论正确的是
A.函数f(x)的定义域是R
B.函数f(x)的值域是R
C.函数f(x)的单调递增区间是(4,＋∞)
D.不等式f(x)<1的解集是(－1,6)
√
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答案
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选项A,令x2－5x＋4>0,解得x>4或x<1,所以函数f(x)的定义域为(－∞,1)∪
(4,＋∞),故A错误；
选项B,因为真数x2－5x＋4能取遍所有的正实数,所以函数f(x)的值域是R,故B正确；
选项C,由A项可知,函数u＝x2－5x＋4在(4,＋∞)上单调递增,在(－∞,1)上单调递减,y＝lg u在定义域内为增函数,所以函数f(x)的单调递增区间是
(4,＋∞),单调递减区间是(－∞,1),故C正确；
答案
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选项D,由f(x)＝lg(x2－5x＋4)<1＝lg 10,且y＝lg u在定义域内为增函数,所以0答案
15
16
三、填空题
9.(2025·榆林模拟)函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒过的定点是　　　.
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答案
(1,0)
令2x－1＝1,解得x＝1,此时f(1)＝loga1＝0,
所以函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒过的定点是(1,0).
15
16
10.已知函数y＝f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(－x)＝－f(x),则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是　　　　.
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答案
(2]
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因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,
所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立,所以m－2>0,即m>2,
由局部奇函数的定义,存在x∈[－2,2],
使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m),
即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0,所以存在x∈[－2,2],
使得m2－x2＝1,即m2＝x2＋1,
又因为x∈[－2,2],所以x2＋1∈[1,5],
所以m2∈[1,5],即m∈[－－1]∪[1],
综上,m的取值范围是(2].
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答案
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四、解答题
11.已知函数f(x)＝logax(a>0,且a≠1),且函数的图象过点(4,2).
(1)求函数f(x)的解析式；
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答案
∵函数f(x)＝logax的图象过点(4,2),
∴loga4＝2,∴a2＝4,
∵a>0且a≠1,
∴a＝2,∴f(x)＝log2x.
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(2)若f(m2＋m)<1成立,求实数m的取值范围.
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答案
由(1)知f(x)＝log2x,
f(m2＋m)<1 f(m2＋m)∵f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∴0∴实数m的取值范围为{m|－215
16
12.已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1),a∈R.
(1)若f(x)过定点(1,2),求f(x)的单调递减区间；
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答案
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答案
由函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1)过定点(1,2),
可得log2(a＋1)＝2,可得a＋1＝4,解得a＝3,所以f(x)＝log2(3x2＋2x－1),
令3x2＋2x－1>0,解得x<－1或x>即函数的定义域为(－∞,－1)∪
设g(x)＝3x2＋2x－1,则函数g(x)在(－∞,－1)上单调递减,
又由函数y＝log2x在定义域上为增函数,
结合复合函数的单调性可得函数f(x)在(－∞,－1)上单调递减,
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞,－1).
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(2)若f(x)值域为R,求a的取值范围.
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答案
由函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1)的值域为R,
即(0,＋∞)为函数h(x)＝ax2＋2x－1值域的子集,
当a＝0时,可得h(x)＝2x－1,此时函数h(x)的值域为R,符合题意；
当a>0时,则满足Δ＝22＋4a≥0,解得a≥－1,所以a>0；
当a<0时,此时函数h(x)＝ax2＋2x－1的图象开口向下,显然不满足题意,
综上可得,实数a的取值范围为[0,＋∞).
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13.函数f(x)＝x1－ln x,x∈(1,e)的最大值为
A.e2 B.e C. D.
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答案
√
能力拓展
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设y＝f(x)＝x1－ln x,x∈(1,e),
故ln y＝(1－ln x)ln x,x∈(1,e),
令t＝ln x,x∈(1,e),∴t∈(0,1),
则ln y＝－t2＋t＝－t∈(0,1),
当t＝时,ln y＝－取到最大值
故y的最大值为
即函数f(x)＝x1－ln x,x∈(1,e)的最大值为.
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答案
14.若函数f(x)=ax与其反函数的图象有交点，则实数a的值可以是
A.1 B. C.2 D.e
√
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答案
当a=1时，f(x)=1无反函数，故不符合题意；
由选项可知只需考虑a>1即可.此时f(x)=ax为指数函数，我们知道函数f(x)=ax的反函数为y=logax(x>0)，
当f(x)=ax与y=logax(x>0)相切时，设切点为(t，t)，在切点处两曲线的函数值与切线的斜率均相等，
则
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答案
由③可得t==logae，代入②可得eln a=1，
解得a=，
综上，若图象有交点，则1由于e≈2.7，故<<<2.
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答案
15.(多选)已知函数f(x)＝ln(x2－2x＋e2＋1),则下列结论正确的是
A.f(x)的最小值为2
B. x∈R,f(e)＋f(x)＝4
C.f(lg 2)>f
D.f(－1)√
√
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答案
y＝x2－2x＋e2＋1＝(x－1)2＋e2≥e2>0,
其在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,故f(x)＝ln(x2－2x＋e2＋1)在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,
f(x)min＝f(1)＝2,函数图象关于直线x＝1对称,
对选项A,f(x)的最小值为f(1)＝2,正确；
对选项B,f(e)＋f(x)>2f(1)＝4,错误；
对选项C,因为25<102,所以5lg 2<2,故lg 2<<1,f(lg 2)>f＝f正确；
对选项D－1＝－1>－1>1,故f(－1)>f(－1),错误.
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答案
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16.(多选)(2025·亳州模拟)将正数x用科学记数法表示为x=a×10m，a∈[1，10)，m∈Z，则lg x=m+lg a，我们把m，lg a分别叫做lg x的首数和尾数，若将lg x的首数记为S(x)，尾数记为W(x)，则下列说法正确的是
A.W(x)∈[0，1)
B.W(x)(x>0)是周期函数
C.若x，y>0，则S(xy)≥S(x)+S(y)
D.若x>y>0，则W=W(x)-W(y)
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√
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答案
15
16
对于A，因为a∈[1，10)，所以W(x)=lg a∈[0，1)，故A正确；
对于B，若W(y)=W(x)，必有y=x·10k(k∈Z)，不可能存在非零常数T，使得x+T=x·10k恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误；
对于C，设x=a×10m，y=b×10n(a，b∈[1，10)，m，n∈Z)，则S(x)=m，S(y)=n，xy=ab×10m+n，若1≤ab<10，则S(xy)=m+n，若10≤ab<100，则xy=×10m+n+1，S(xy)=m+n+1，所以S(xy)≥S(x)+S(y)，故C正确；
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答案
返回
15
16
对于D，设x，y同选项C，W(x)=lg a，W(y)=lg b，=×10m-n，若1≤<10，则W=lg =lg a-lg b，若<<1，则=×10m-n-1，W=lg =lg a-lg b+1，所以W≥W(x)-W(y)，故D错误.

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