资源简介

第4章 数列
4.1 数 列
新课导入
奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在第23届（1984年）美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌，从第23届起，奥运会的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016, ,显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列.
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示法.
2.掌握数列通项公式的概念及应用.
3.理解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
新知学习 探究
一 数列的有关概念及通项公式
观察以下几列数：
（1）全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数：2，4，6，8，10， ；
（2）当分别取1，2，3，4，5， 时，的值排成一列数：，1，，1，， ；
（3）某公司职员2024年月工资，按月顺序排列为，，， ，.
思考．试分析上述例子中的共同点.
提示 数字都有确定的顺序.
［知识梳理］
1．数列及其相关概念
（1）定义：按照①_ _ _ _ _ _ _ _ 排列的一列数称为数列.
（2）项：数列中的②_ _ _ _ _ _ 都叫作这个数列的项.
（3）形式：数列的一般形式可以写成,,, ，, ，简记为，其中称为数列的第1项或③_ _ ，称为第2项称为第项.
（4）数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数④_ _ 的数列
无穷数列 项数⑤_ _ 的数列
【答案】一定次序； 每个数； 首项； 有限； 无限
2．函数与数列的关系
数列可以看成以⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或它的有限子集,2, ,为定义域的函数⑦_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】正整数集；
3．数列的通项公式
一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.
【答案】一个公式
［例1］
（1） 数列,,,, ，则该数列的第项为（ ）
A. B. C. D.
（2） 数列2，0，2，0， 的通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
（3） 根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式，_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2） D
（3）
【解析】
（1） 设该数列为，
则,,,, ,
以此类推可得.
（2） 对于，当 时，，不符合题意；对于，当 时，，不符合题意；对于，当 时，，不符合题意；对于，当,时，，当,时，，符合题意.故选.
（3） 设题中各个图形对应的点数为,,观察可知，，， ,故.作图略.
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
（1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等形式；
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；
（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理；
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
［跟踪训练1］．
（1） 已知一组数据2，5，10，17，26， ，按此规律可以得到第100个数为（ ）
A. 9 802 B. 9 991 C. 10 001 D. 10 202
（2） 35是数列3，5，7，9， 的
A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 选.因为2，5，10，17，26， 的一个通项公式为，所以第100个数为.
（2） 选.数列3，5，7，9， 的通项为，由，得，所以35是数列3，5，7，9， 的第17项.故选.
二 数列的递推公式
看下面例子：
（1）1，2，4，8，16；
（2）1，4，7，10，13.
思考．请同学们分析一下（1）与（2），从第二项起，后一项与前一项有怎样的关系？
提示 （1）.
（2）.
［知识梳理］
一般地，如果已知一个数列的第1项（或前几项），且任一项①_ _ _ _ _ _ _ _ 与它的前一项②_ _ _ _ _ _ _ _ （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.
【答案】；
［例2］
（1） 若数列满足，且，则（ ）
A. B. 2 C. D.
（2） 已知数列满足，，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由题意，,,,，又,, ，所以数列 是周期为3的周期数列，所以.
（2） 因为，，，所以，所以 为常数列，且，所以.
由递推公式写出数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
（2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式;若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
注意 由递推公式写出数列的项时，易忽视对数列的周期的判断，导致陷入思维误区.
［跟踪训练2］．已知数列满足，且，则（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，且，所以，解得，，解得，，解得.故选.
三 数列通项公式的简单应用
［例3］ 已知数列的通项公式为，它的前30项中最大项是第几项？最小项是第几项？
【解】 ，当 时，数列 单调递减，且；当 时，数列 单调递减，且．所以该数列的前30项中最大项是第10项，最小项是第9项．
（1）利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第项与它的位置序号之间的关系,只要用序号代替公式中的,就可以求出数列的相应项.
（2）判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第项，然后列出关于的方程.若方程解为正整数，则是该数列中的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的一项.
（3）求数列最大（小）项的方法
可以利用数列的图象或者数列的性质求数列的最值.
［跟踪训练3］．
（1） 323是数列的第项.
（2） 已知数列满足,，则数列的最大项为第_ _ _ _ 项．
【答案】（1） 17
（2） 4
【解析】
（1） 由，解得（负值舍去）.
所以323是数列 中的第17项.
（2） 由题意，，,
故，
令，解得；令，解得.
故当 时，；当 时，，
故数列 的最大项为第4项.
拓视野 数列的函数特性
数列是一类特殊的函数——数列可以看作是定义在正整数集或其有限子集，2，3， ，上的函数当自变量按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.数列的通项公式（若存在）体现了数列的项与其项数之间的对应关系，实质就是一个函数解析式，定义域为正整数集（或其有限子集）.
［典例1］ 已知数列满足,证明：数列单调递减.
【证明】 方法一（作商比较法）：因为 恒成立且，所以数列 单调递减.
方法二（作差比较法）：因为 恒成立，所以数列 单调递减.
解决数列单调性问题的两种方法
（1）作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或常数列；
（2）作商比较法：根据或与1的大小关系进行判断.
［典例2］ 已知数列的通项公式为,若数列为递增数列，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一（作差法）：由数列 为递增数列，知 恒成立，即 恒成立.
又,所以,故 的取值范围是.
方法二（函数性质法）：,
由于,且数列 为递增数列，结合二次函数的图象可得,解得,
故 的取值范围是.
已知数列为单调递增（减）数列，等价于对任意的都有成立，从而转化为参数的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围.
［练习1］．已知数列满足,且,则数列是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是
【答案】B
【解析】选.因为,,所以，故数列 为递减数列.
［练习2］．（多选）数列满足,则（ ）
A. 数列的最大项为 B. 数列的最大项为
C. 数列的最小项为 D. 数列的最小项为
【答案】BD
【解析】选.因为,所以,
由,得到,又,则,所以.
令,即 时，,
令,即 时，,
所以 ，
所以数列 的最大项为,最小项为.
课堂巩固 自测
1．下列说法中正确的是（ ）
A. 如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B. 数列1，0，，与，，0，1是相同的数列
C. 数列的第项为
D. 数列0，2，4，6， 可记为
【答案】C
【解析】选.对于，数列可为常数列，故 错误；对于，一个为递减数列，一个为递增数列，不是相同数列，故 错误；对于，当 时，，故 正确；对于，该数列中的第一项不能用 表示，故 错误.故选.
2．已知数列满足，若，则（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】选．由题意可得，，
，，
，，
，，
，，
若，
则.故选.
3．现给出一组数：,,,,，根据规律可写出它的第6个数是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,,,,可写为,,,,,所以第 个数为，则第6个数为.
4．若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（答案符合条件即可）
【解析】因为，即数列 单调递减，所以满足上述条件数列 的一个通项公式可以为．
1.已学习：（1）数列的概念.（2）数列的表示.（3）数列的通项公式.
2.须贯通：（1）求通项公式的方法.
（2）求数列的最大（小）项的方法.
3.应注意：数列中不要忽略.
课后达标 检测
A 基础达标
1．数列,4,,20, 的一个通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.选项，，不符合题意；选项，，不符合题意；选项，，不符合题意；而选项 中的通项公式满足数列,4,,20.故选.
2．[（2025·南通期中）]已知数列满足,且,则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.因为,
令,可得;
令,可得;
令,可得;
令,可得.
3．[（2025·徐州期中）]已知数列的通项公式为,则146是该数列的（ ）
A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项
【答案】D
【解析】选.令,则（负值舍去），则146是该数列的第12项.
4．若数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】选.数列 满足，且，，，，， ,则数列 是以4为周期的周期数列，即，所以.故选.
5．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的有（ ）
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
【答案】AD
【解析】选.因为，，所以,,，所以数列 是以3为周期的周期数列，所以，故.故选.
6．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A. 数列，，，， 的一个通项公式是
B. 数列的图象是一群孤立的点
C. 数列1，，1，， 与数列，1，，1， 是同一个数列
D. 数列，， ，中每一项都比它的后一项大
【答案】BD
【解析】选.由通项公式知,故 不正确；易知 正确；因为两个数列中数的排列次序不同，所以不是同一个数列，故 不正确；由题易知 正确.
7．已知数列满足，且，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，则.
8．在数列中，，，，则_ _ _ _ ．
【答案】4
【解析】因为，，，所以，
则，，则，，则，，则， ，
由此可得数列 的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，， ，
整个数列各项为1,3,1,,1,3,1,,1,3,1,, ，
故数列 是以4为周期的周期数列，
则,，
所以．
9．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，，，，．
又，，又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的最大值为．
10．（13分）在数列中，，且，求数列的通项公式.
解：由题设，所以，且，显然 满足上式，所以.
B 能力提升
11．数列满足，，则的最大值为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】选.由，得，
因为，所以，，
，
，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
因为，
所以 的最大值为.
12．已知数列满足,，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得,,，， ，所以数列 是周期为4的周期数列，且每个周期的积为.故由 可知.
13．（13分）已知数列的通项公式为.
（1） 求数列的第10项；（4分）
（2） 是不是该数列中的项？为什么？（4分）
（3） 在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.（5分）
【答案】13．解：.
（1） 令，得.
（2） 令，得.
此方程无正整数解，所以 不是该数列中的项.
（3） 令，则
解得.又，所以.
所以在区间 内有数列中的项，且只有一项.
14．（13分）已知数列的通项公式为.
（1） 数列的第几项最大，最大项为多少？（6分）
（2） 若，求正整数的最小值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，且，所以当 或 时，最大.
又，
故数列 的第2，3项最大，最大项为38.
（2） 因为函数 的图象开口向下，且对称轴方程为，
所以可知数列 从第3项起单调递减.
又，，，，
所以若，则.
所以正整数 的最小值是9.
C 素养拓展
15．[（2025·南京期中）]某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列,中的第项为，若的所有项都是3，且,,则_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】由题意得，,,,
因为 的所有项都是3，
所以,,,
由 得,解得,
由 得,解得,
由 得,解得.
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
新课导入
我国有用十二生肖纪年的习惯，例如：2025年是蛇年，从2025年开始，蛇年的年份为2025，2037，2049，2061，2073，2085， .这些年份有什么特点？
学习目标
1.理解等差数列、等差中项的概念．
2.掌握等差数列的判定与证明方法．
新知学习 探究
一 等差数列的概念
观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
（1）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40， ；
（2）为增强学生体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
思考．以上数列有什么共同特征？
提示 对于（1），我们发现,， .该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于（2）， ，有同样的取值规律（从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数）.
［知识梳理］
1．定义：一般地，如果一个数列从①_ _ _ _ _ _ 起，每一项减去它的前一项所得的差都等于②_ _ _ _ _ _ 常数，那么这个数列就叫作等差数列.
【答案】第二项； 同一个
2．公差：这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用③_ _ _ _ 表示.
【答案】
［例1］
（1） 下列数列中为等差数列的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） （多选）下列数列不是等差数列的是（ ）
A. ，，， ， , B. 1，11，111，1111，
C. 1，3，5， ，， D. 0，1，3， ，，
【答案】（1） A
（2） BD
【解析】
（1） 对于，，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列;对于,,相邻两项的差不为常数，不是等差数列.故选.
（2） 选项 中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；选项 中，，不是等差数列；选项 中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；选项 中，，不是等差数列.
利用定义法判断等差数列
从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若等于同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
［跟踪训练1］．
（1） 下列数列不是等差数列的是（ ）
A. 0,0,0, ,0, B. ,,0, ,,
C. 1,,, ,,… D. 1,,1, ,,
（2） （多选）以下能构成等差数列的是
A. 2，2，2，2
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，
【答案】（1） D
（2） ACD
【解析】
（1） 选.对于，数列为常数列，是等差数列；对于，，所以数列是公差为1的等差数列；对于，，所以数列是公差为 的等差数列；对于，，所以数列不是等差数列.故选.
（2） 选 是公差为0的等差数列；不是等差数列；是公差为 的等差数列；是公差为2的等差数列.故选.
二 等差数列中的基本计算
［例2］ （对接教材例4）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则的值为（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】等差数列 的公差为，由 是 与 的等差中项，得，即，整理得，而，所以 的值为1.
等差数列中的基本计算
（1）回归定义：若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量．
（2）等差中项应用：如果，，这三个数成等差数列，那么.我们把叫作和的等差中项；若证为等差数列，可证.
［跟踪训练2］．
（1） 在数列中，，，则数列是（ ）
A. 公差为1的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公差为2的等差数列 D. 不是等差数列
（2） 已知1,,,10构成等差数列,则,的值分别为_ _ .
【答案】（1） B
（2） 4，7
【解析】
（1） 选.由 得，即，又，所以数列 是以2为首项，为公差的等差数列，错误，正确.故选.
（2） 由已知得,是1和 的等差中项,即,①
是 和10的等差中项,即,②
联立①②，解得,.
三 等差数列的判定与证明
［例3］ 已知数列满足，且.
证明：数列是等差数列.
【证明】 由，得
，
得，，
又，
故数列 是首项为1，公差为 的等差数列.
母题探究．已知，若，证明：为等差数列.
证明：由于，
所以，又，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列.
证明等差数列的常用方法
（1）定义法：（常数）是等差数列；（常数）是等差数列.
（2）等差中项法：是等差数列.
［跟踪训练3］．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A. 数列，，， ，, 为等差数列
B. 数列，，， ，， 为等差数列
C. 数列为等差数列
D. 数列为等差数列
【答案】C
【解析】选 选项，因为 为等差数列，所以设 为常数，，，又，所以数列 也为等差数列，故 正确；选项，，所以数列 为等差数列，故 正确；选项，，不是常数，故 不是等差数列，故 错误；选项，，所以数列 为等差数列，故 正确.故选.
课堂巩固 自测
1．已知数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列
C. 公差为7的等差数列 D. 公差为3的等差数列
【答案】A
【解析】选.因为，所以数列 是公差为2的等差数列.
2．（多选）下列数列中是等差数列的有（ ）
A. ,, B. 2,4,6,8, ,,
C. ,,, D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，由于，故是等差数列，故 正确；
对于，2，4，6，8， ，，中，，是等差数列，故 正确；
对于，因为，，又，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，不是等差数列,故 错误；
对于，由 得，满足等差数列定义，故 正确.故选.
3．已知和的等差中项是8，和的等差中项是10，则和的等差中项是_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】由题意得 所以，所以,所以.
4．设数列满足当时，，且.求证：数列为等差数列．
证明：根据题意 及递推关系知.因为.取倒数得，
即，且，又，所以数列 是首项为5，公差为4的等差数列．
1.已学习：（1）等差数列的概念.
（2）等差数列中的计算问题.
2.须贯通：判断一个数列是不是等差数列的常用方法：定义法和等差中项法.
3.应注意：数列中项的下标与的取值范围易出错.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A. 1,4,7,10 B. ，，，
C. ,,, D. 10,8,6,4,2
【答案】C
【解析】选，，项满足等差数列的定义，是等差数列；中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．
2．在等差数列中，，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】选.因为 是 和 的等差中项，所以，即，.故选.
3．已知数列是等差数列，若，，则（ ）
A. B. 9 C. 10 D. 20
【答案】B
【解析】选.因为数列 是等差数列，，所以.又，所以.故选.
4．[（2025·江苏期末）]“”是“数列是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】选.如果数列 是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有,必要性成立；反之 成立，不一定有数列 是等差数列，充分性不成立.
5．在数列中，,，若为等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由 为等差数列得，解得.故选.
6．（多选）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）
A. B.
C. ,为常数 D.
【答案】BCD
【解析】选.对于，数列,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故 不符合题意；对于，若 为等差数列，根据等差数列的定义可知数列 为常数列，故 为等差数列，故 符合题意；对于，若 为等差数列，设其公差为，则，故 为等差数列，故 符合题意；对于，若 为等差数列，设其公差为，则 为常数，故 为等差数列，故 符合题意，故选.
7．已知数列是等差数列，且，，则该等差数列的公差_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由等差数列的定义可知，所以，故公差.
8．在和6之间插入两个数,,使这四个数成等差数列，则公差为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由题意,在 和6之间插入两个数,，使这四个数成等差数列，可列方程组为 解得
则这四个数为，0，3，6,所以公差为3.
9．已知数列满足，且，，则_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】由题可知，故根据等差数列的定义知 是以8为公差的等差数列，所以，，，又,所以.
10．（13分）已知数列满足，，令.求证：数列是等差数列.
证明：由题可得，
,
即,又,
所以 是首项为1，公差为 的等差数列.
B 能力提升
11．《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（ ）
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 3斤
【答案】B
【解析】选.依题意，设金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，且首项为，，,所以.
12．已知数列满足，记，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.对于，由已知可得，故 错误；对于，由已知可得，，，故 错误；对于，由已知可得，，故 正确；对于，由已知可得，，，即，所以.故 错误.故选.
13．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中,,,那么_ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】3；
【解析】因为第三行的四个数成等差数列，,,所以,
,解得,因为第二列的四个数成等差数列，所以,解得.
14．（13分）已知数列中，，.
（1） 求,,的值；（6分）
（2） 证明数列是等差数列.（7分）
【答案】（1） 解：在数列 中，，，令，得；令，得；令，得.所以,,.
（2） 证明：由，，得，，即，所以数列 是以 为首项，为公差的等差数列.
C 素养拓展
15．（13分）已知数列满足,.
（1） 当时，求 及的值；（5分）
（2） 是否存在 ，使数列为等差数列？请说明理由.（8分）
【答案】（1） 解：因为,所以,又,,所以,所以.
（2） 不存在.理由如下：
因为,,所以,.若数列 为等差数列，则,即,所以.因为，所以方程无实数解，所以 不存在.即不存在 ,使数列 为等差数列.
4.2.2 等差数列的通项公式
新课导入
等差数列在工作与生活中有很多应用，如在财务领域中等差数列可以用来计算定期存款、定投、定额本息还款等，另外等差数列在物流、工程、地理、医学、教育等领域也有着广泛应用.但是，在日常应用中，我们又如何确定所研究的问题是与等差数列有关的呢？
学习目标
1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算.
2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题．
新知学习 探究
一 等差数列的通项公式
思考．试根据等差数列定义中的递推关系：,推导数列的通项公式.
提示 方法一（累加法） 因为 是等差数列，
所以当 时，,
,
,
…
,
上述式子等号两边分别相加得
,所以.当 时，上式也成立.所以.
方法二（迭代法） 因为 是等差数列，
所以.当 时，上式也成立.所以.
［知识梳理］
一般地，对于等差数列的第项，有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .这就是等差数列的通项公式，其中②_ _ _ _ _ _ 为首项，③_ _ _ _ 为公差.
【答案】； ；
［例1］ （对接教材）
（1） 在等差数列中，若，则的值为（ ）
A. 36 B. 24 C. 18 D. 9
（2） 已知圆的半径为5，且，过点的2 026条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 令 的公差为，则，即，则.
（2） 因为圆 的半径为5，且，过点 的2 026条弦的长度组成一个等差数列，其中最短弦长为，最长弦长为，所以等差数列 的公差为.
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，称为“知三求一”．
［跟踪训练1］．
（1） 设是公差为正数的等差数列，若，，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知在等差数列中，，，，则.
【答案】（1） B
（2） 53
【解析】
（1） 选.设公差为，，
则
解得，，
所以.
（2） 由题意知
解得.
则，解得.
二 等差数列项的性质
［知识梳理］
（1）通项公式的推广：.
（2）若，则；特别地，若,则.
［例2］ （对接教材例4）已知数列为等差数列，且公差为.
（1） 若，，求的值；
（2） 若，，求公差.
【答案】
（1） 【解】方法一:由题意得
解得
故.
方法二：因为 为等差数列，
所以，
所以.
方法三：因为 为等差数列，
所以，，也成等差数列，
则，
所以.
（2） 由，
得，
所以.
由
解得 或
所以 或.
等差数列项的性质的运用技巧
（1）对于，应注意式子的结构，灵活转化，如.
（2）有关等差数列的问题中，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
［跟踪训练2］．已知为等差数列，,则（ ）
A. 10 B. C. 15 D.
【答案】B
【解析】选.方法一：设等差数列 的公差为,则,即.故.
方法二：由等差数列的性质知,则.故.
三 等差数列的实际应用
［例3］ 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解】 设从第1年起，第 年的利润为，则,,
所以每年的利润 可构成一个等差数列，且公差,所以.
当 时，该公司经销这种产品将亏损.由,得,
故从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按一定次序“定量”增加或减少，那么这组数成等差数列.
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
［跟踪训练3］．在通常情况下，从海平面到高空，海拔每增加，气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是，海拔高空的气温是，那么海拔高空的气温是多少？
解：设海拔 高空的气温为，则 成等差数列，且，，设公差为，
则，所以，
所以，
所以海拔 高空的气温是.
拓视野 构造新等差数列的相关问题
等差数列中插入个数得到新等差数列，然后求新数列的公差、通项公式及求新数列中的项是原数列的第几项的问题，此处对其进行探讨及研究.
［典例］ 已知等差数列，1，4，7，10， ，现在在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列.
（1） 求新数列的通项公式；
（2） 是原数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，请说明理由.
【答案】
（1） 【解】设原等差数列为，公差为,,,则,则,
因为每相邻两项之间插入一个数，则数列 的公差，
所以.
（2） 由题知数列 的各项依次是数列 的第1，3，5，7， 项，这些下标构成一个首项为1，公差为2的等差数列，
则.
令，解得，
所以 不是原数列中的项.
设等差数列的公差为,在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,设其公差为,则,,,, ,
则数列的公差,
则数列的通项公式为.
等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且下标是以1为首项，为公差的等差数列,
所以的通项公式为,
设是数列的项，令,
若解得,则是数列的第项；
若解得，则不是数列中的项.
［练习1］．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则.
【答案】56
【解析】易知数列 与 分别是以2，3为公差，2为首项的等差数列，则新的数列 是以2为首项，6为公差的等差数列，所以,故.
［练习2］．已知等差数列的首项为，公差为，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列.
（1） 证明：是等差数列,并求其公差；
（2） 为数列的第几项
【答案】（1） 证明：由题意知，当 时，，即数列 是等差数列，公差为.
（2） 解：由题意，
则,
令，即，
即，
解得，,
即 为数列 的第 项.
课堂巩固 自测
1．（教材P145T2改编）2 024是等差数列4，6，8， 的（ ）
A. 第1 010项 B. 第1 009项 C. 第1 012项 D. 第1 011项
【答案】D
【解析】选.由，，得，令，即，得.
2．已知在数列中，，，那么这个数列的通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列，则，.
3．已知在等差数列中,,则_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】由,得,所以，根据等差数列的性质，可得.
4．假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位.若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有个座位.
【答案】37
【解析】由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为，
则，.
由通项公式可得 解得
所以.
故体育场该角看台的第12排有37个座位.
1.已学习：（1）等差数列的通项公式.
（2）等差数列中项的性质.
2.须贯通：（1）运用通项公式求基本量.
（2）运用等差数列的性质求解等差数列.
3.应注意：实际问题中等差数列的建模．
课后达标 检测
A 基础达标
1．设数列是公差为的等差数列，若，，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】选.由 解得.
2．已知等差数列的通项公式为，则数列的首项与公差分别是（ ）
A. 1，4 B. ， C. 4，1 D. ，
【答案】B
【解析】选.当 时，,当 时，,所以公差.
3．[（2025·镇江期中）]在等差数列中，若,,则（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】选.设等差数列 的公差为,由,,得,所以.
4．已知数列中，,,，且是等差数列，则（ ）
A. 36 B. 37 C. 38 D. 39
【答案】A
【解析】选.因为,，所以，故数列 的首项为3，公差为2，所以，所以．
5．在数列中，,,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，所以 为公差为1，首项为 的等差数列，故，所以，因为，所以，.故选.
6．（多选）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】选.因为，，
所以，
数列 中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项， ，
所以,,,故 错误，正确；
设数列 中的第 项是数列 中的第 项，
则，
所以当 时，，故，所以 正确.
故选.
7．已知在等差数列中，，，则．
【答案】20
【解析】设等差数列 的公差为，
由题意得
解得
则.
8．已知数列是等差数列，若，，且，则.
【答案】18
【解析】设数列 的公差为，因为，所以.因为，所以，所以.所以，即，解得.
9．诺沃尔在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．从发现那次算起，彗星第10次出现的年份是_ _ .
【答案】2487
【解析】由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差，首项 的等差数列，所以，当 时，，所以彗星第10次出现的年份是2487.
10．（13分）在等差数列中，，.
（1） 求数列的第8项；（3分）
（2） 112是数列中的第几项？（5分）
（3） 在80到110之间有多少项？（5分）
【答案】
10．解：设数列 的公差为，
则 解得
（1） .
（2） ，
由，
解得.
所以112是数列 中的第39项．
（3） 由，
解得，
所以 的取值为29,30， ，38，即在80到110之间有10项．
B 能力提升
11．（多选）在7和21之间插入个数，使这个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是（ ）
A. B. 7 C. 5 D. 3
【答案】AB
【解析】选.依题意，这个等差数列的公差,，
当 时，，符合题意；当 时，，符合题意；
显然不存在正整数，使得 取5和3，不符合题意.
故选.
12．已知等差数列的首项，而，则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】等差数列 的首项，，则.
13．已知数列与均为等差数列,且，则.
【答案】10
【解析】设等差数列 的公差为,则,
所以，根据等差数列的性质可知,即,所以,所以.
14．（13分）某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元．设为购买件这类上衣所花费的金额（元），求.
解：设当购买 件商品时，每件的单价为 元，
则数列组成以 为首项，为公差的等差数列．
又单价不能低于160元，
则，解得.
所以当 时，.
综上所述，得
.
从而.
C 素养拓展
15．（13分）若数列对于，都有为常数，则称数列是公差为的准等差数列.例如则数列是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.
（1） 求证：数列为准等差数列；（5分）
（2） 求数列的通项公式.（8分）
【答案】
（1） 证明：因为，①
所以，②
得，
所以数列 是公差为2的准等差数列.
（2） 解：因为，，
所以，即.
因为，，， 是以 为首项，2为公差的等差数列，
，，， 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以当 为偶数时，;
当 为奇数时，.
所以
4.2.3 等差数列的前项和
新课导入
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
试想，文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？本节课我们一起来探究.
学习目标
1.了解等差数列前项和公式的推导方法．
2.掌握等差数列前项和公式及其性质．
3.会用等差数列的前项和公式解决最值问题与相关实际问题．
第1课时 等差数列的前项和公式
新知学习 探究
一 等差数列的前项和
思考1．已知数列的前项和，怎样求数列的通项公式.
提示
思考2．等差数列的前项和公式和函数有什么关系？
提示 ①当 时，是项数 的二次函数，且不含常数项；
②当 时，．
［知识梳理］
1.一般地，对于数列，把称为数列的前项和，记作.
2．等差数列的前项和公式
【答案】；
［例1］ （对接教材例1,例2）在等差数列中：
（1） 已知，，求和；
（2） 已知，，求和.
【答案】
（1） 【解】由已知得
解得
所以，
.
（2） 由已知得，
解得，又因为，所以.所以，.
等差数列中的基本计算
（1）利用基本量求值
等差数列的通项公式与前项和公式中共含有,,,，五个量，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出关于基本量和的方程组，解出和便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
（2）结合等差数列的性质解题
等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用.
［跟踪训练1］．
（1） 记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A. 72 B. 64 C. 56 D. 48
（2） 已知等差数列的前项和为，若,,则_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 3
【解析】
（1） 选.设等差数列 的公差为，得，解得，故，所以.
（2） 设等差数列 的首项为，公差为，
则
解得
则.
二 等差数列前项和的性质
［例2］
（1） 已知等差数列,的前项和分别为,，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
（2） 已知等差数列的前项和，前项和，则数列的前项的和_ _ .
【答案】（1）
（2） 210
【解析】
（1） 由题得.
（2） 方法一：由题意，，成等差数列，
所以30，70，成等差数列.
所以，所以.
方法二:由题意，，成等差数列，
所以.即.
等差数列前 项和的性质
（1）在等差数列中，，,也构成等差数列.
（2）若与均为等差数列，且前项和分别为与,则.
（3）若等差数列的前项和为，则数列是等差数列，且首项为，公差为.
［跟踪训练2］．
（1） 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 36 B. 18 C. 72 D. 9
（2） 设等差数列，的前项和分别为，，若，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.由，， ，成等差数列知，.
（2） 因为，根据等差数列的性质，.
三 等差数列前项和的最值问题
［例3］ 在等差数列中，，，求前项和的最大值.
【解】 方法一：设等差数列 的公差为，
因为，，
所以，
解得.
所以
.
所以当 时，有最大值为169.
方法二：同方法一，求出公差.
所以.
因为，
由
得
又因为，
所以当 时，有最大值为.
方法三：因为，所以.
由等差数列的性质得.
因为，所以.
所以，.
所以当 时，有最大值.
由，
得，
解得，
所以，
所以 的最大值为169.
方法四：设.因为，，
所以二次函数图象的对称轴为，且开口方向向下，
所以当 时，取得最大值.
由题意得
解得
所以，
所以，
即 的最大值为169.
求等差数列前 项和 的最值的方法
（1）函数法
将配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决,体现了函数思想.
（2）通项法
若，，则存在最大值，即所有非负项之和；
若，，则存在最小值，即所有非正项之和.
［跟踪训练3］．
（1） （多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
（2） 已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABC
（2）
【解析】
（1） 选.等差数列 的前 项和为，，所以，，所以，
所以 且，
所以等差数列 是递减数列，且当 时，取得最大值.
故 正确，错误.故选.
（2） 由题意可得
即 解得，
即公差 的取值范围是.
课堂巩固 自测
1．在等差数列中，若，则该数列的前9项和（ ）
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45
【答案】C
【解析】选..
2．（多选）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列 B.
C. D. 有最大值
【答案】AB
【解析】选.当 时，，
当 时，，符合，故，所以，，
所以数列 是首项，公差 的等差数列，正确；
，正确；
因为公差，所以数列 是递减数列，所以，错误；
由，
易知当 或 时，有最大值，错误.
故选.
3．已知是等差数列的前项和，若,,则_ _ _ _ .
【答案】2 021
【解析】设等差数列 的公差为,
所以,
，
所以,
又，
所以数列 是首项为，公差为 的等差数列，
所以，
所以.
4．在公差不为零的等差数列中，为其前项和，若，则_ _ _ _ ．
【答案】4
【解析】设等差数列 的公差为，
因为，
所以，
所以，
因为，所以．
1.已学习：（1）等差数列的前项和公式.（2）等差数列的前项和的性质.
2.须贯通：（1）基本量法求解等差数列.（2）等差数列前项和的性质的应用.
3.应注意：由求通项公式时忽略对的讨论．
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】选.设等差数列 的公差为,则,，解得，.
2．[（2025·江苏期中）]已知等差数列的前项和为,若,则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】选.在等差数列 中，由,得,解得,所以.
3．在等差数列中，已知，，则使得的最小正整数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】选.由，,
得，则，得，
所以数列 的通项公式为
，
由，得，即使得 的最小正整数 为8.
4．已知正项数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】D
【解析】选.由，①
当 时，，②
可得，即，
即，
所以，
即 或.
当 时，，解得，
若，则，这与数列 各项均为正数相矛盾，
所以，即数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，
所以.
5．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 20 D. 21
【答案】C
【解析】选.由等差数列的性质可知，，
又因为，所以 和 异号，
因为数列 的前 项和 有最大值，
所以数列 是递减的等差数列，
即,
所以，，
所以，，
所以当 时，的最大值为20．故选．
6．（多选）已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 为等差数列 B.
C. 中，，最大 D. 为递增数列
【答案】BC
【解析】选.对于，，因为，所以,所以当 时，，当 时，不满足上式，所以 从而知 不是等差数列，故 选项错误，选项正确；
对于，因为，所以当 或 时，有最大值，即在 中，,最大，故 选项正确；
对于，由数列 的通项公式知此数列为递减数列，故 选项错误.故选.
7．已知等差数列的前项和为，若，，则．
【答案】20
【解析】设等差数列 的公差为，由，得，
即有，于是，解得，
所以.
8．数列的前项和记为，若，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，有，
但当 时，不适合上式，
故
9．设等差数列的前项和为，已知，则.
【答案】63
【解析】因为，
根据等差数列的性质，可得，
所以.
10．（13分）在等差数列中，设等差数列的公差为.
（1） 若，，求；（4分）
（2） 若，，求；（4分）
（3） 若，，求与.（5分）
【答案】（1） 解：依题意，.
（2） 依题意，，于是，从而.
（3） 由，，可得 解得
B 能力提升
11．已知等差数列的前项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.设等差数列 的公差为，
由，又任意 均有 成立，所以
由，
而，
则.故选.
12．（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 或时，取得最大值
C. 数列为等差数列
D. 使得成立的的最大值为33
【答案】ABC
【解析】选.因为，
当 时，，
当 时，，也符合上式，所以，数列 为等差数列,，正确;
由于，所以当 或 时，取得最大值，正确;
，即,，所以使 成立的 的最大值为32，错误.
13．若等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项的和为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设等差数列 的首项为，公差为，
则 解得
故，
所以，
所以数列 的前10项的和为.
14．（13分）已知等差数列，为其前项和，，，其中.
（1） 求及（用表示）；（5分）
（2） 在，， ，中，有且只有的值最大，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为，，,
所以，即，
所以，.
（2） 因为在，， ，中，有且只有 的值最大，
所以 即 解得，
即实数 的取值范围为.
C 素养拓展
15．（15分）已知数列的前项和为，且.
（1） 求的通项公式；（6分）
（2） 设，求数列的前100项和，其中表示不小于的最小整数，如,.（9分）
【答案】
（1） 解：因为，
所以，
所以；
当 时，，
当 时，也满足，
所以，．
（2） ，，，，，，，， ，，
所以，， ，，．
所以数列 的前100项和.
第2课时 等差数列前项和的应用
新知学习 探究
一 利用数列的前项和判断是否为等差数列
［例1］ 若数列的前项和,求数列的通项公式，并判断数列是否为等差数列，若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
【解】 当 时,;
当 时，,
经检验，当 时，满足上式，故.
数列 是等差数列，证明如下：
因为,所以数列 是首项为，公差为4的等差数列.
母题探究．若将本例条件“”改为“,”，试证明是等差数列，并求.
解：因为，，
所以，
所以，
又，所以，
所以 是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，
故.
等差数列的判定方法
（1）定义法：对于的任意自然数，验证等于同一常数.
（2）等差中项法：验证成立.
（3）通项公式法：验证.
（4）前项和公式法：验证.
注意 在解答题中常应用定义法和等差中项法来证明等差数列，而通项公式法和前项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
［跟踪训练1］．已知数列的前项和.
（1） 求的通项公式；
（2） 判断是否为等差数列.
【答案】
（1） 解：因为,所以当 时，,
所以
.
又,不满足,
所以数列 的通项公式为
（2） 由（1）知，当 时，
,
但,
所以 不满足等差数列的定义，即 不是等差数列.
二 等差数列各项绝对值的和
［例2］ 设等差数列的前项和为，且,,求：
（1） 数列的通项公式及前项的和；
（2） 的值.
【答案】
（1） 【解】设等差数列 的公差为，
由题意得
即 解得
所以,
.
（2） 因为,
所以当 时，，当 时，，,
.
母题探究．若本例条件不变，试求数列的前项和.
解：由本例知，当 时，，；当 时，，.
综上可知，
求数列的前项和实际上是求数列前项各项的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清所求数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和.
［跟踪训练2］．在等差数列中，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的前项和．
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为，
因为,,
所以,
解得.
所以.
（2） 由,解得,
所以
所以当 时，
的前 项和.
因为,
当 时，的前 项和,
所以数列 的前 项和
三 等差数列前项和的实际应用
［例3］ 某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼（每层的建筑面积相同）.已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍.经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）
【解】 设楼高为 层，总费用为 万元，
则征地面积为 平方米，
征地费用为 万元，
各楼层建筑费用和为 万元，
总费用为（万元），
当且仅当，
即 时，上式取等号，
所以当这幢宿舍楼的楼层数为15时，总费用最少，为2 505万元.
应用等差数列解决实际问题的一般思路：
［跟踪训练3］．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意每段圆弧的中心角都是，设第 段圆弧的半径为，弧长记为，
则，所以 ．故选．
课堂巩固 自测
1．已知数列各项非零，前项和为，，且，则（ ）
A. 198 B. 199 C. 200 D. 99
【答案】B
【解析】选.由题意，，两式相减得，因为，所以，所以，所以数列 是以 为首项，4为公差的等差数列，令，在 中，令，结合，得，解得，
所以，,
所以.
2．（多选）已知数列的前项和为，则（ ）
A. B. 时，的最大值为17
C. D.
【答案】AC
【解析】选.，，经验证对于 也成立，所以，故 正确；
当 时，，当 时，，当 时，，所以当 时，的最大值为16，故 错误；
因为当 时，，所以，故 正确；
，故 错误.故选．
3．已知数列的前项和为，且，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，当 时,，
当 时,，
所以，经检验当 时,也成立，
所以，则，
所以.
4．某班20位同学在一条笔直公路的一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，若使每位同学从各自的树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则这个最小值为_ _ _ _ .
【答案】2 000
【解析】方法一:假设20位同学是从1号到20号依次排列的，要使每位同学往返所走的路程总和最小，则树苗需放在10号或11号同学的树坑旁.此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，则所有同学往返的路程总和
方法二：设树苗集中放在第 个树坑旁，则所有同学往返的路程总和,所以当 或 时，取得最小值2 000.
1.已学习：等差数列的前项和公式，解决相关实际问题.
2.须贯通：（1）等差数列的判断;
（2）等差数列各项绝对值的和的求法；
（3）等差数列前项和的实际应用.
3.应注意：等差数列的建模.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知等差数列的前项和为,若,,,且,则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】选.设等差数列 的公差为，由题意得,,联立以上两式，解得,.
2．已知在等差数列中，,,若数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.在等差数列 中，公差，
则,所以,
所以,
则,,,
所以,.故选.
3．已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ）
A. 15 B. 30 C. 60 D. 120
【答案】B
【解析】选.由题意知，当 为奇数时，，当 为偶数时，，
所以数列 的奇数项构成首项为2，公差为 的等差数列，偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列，
则.
4．记为等差数列的前项和，，则（ ）
A. 24 B. 42 C. 64 D. 84
【答案】B
【解析】选.因为 为等差数列 的前 项和，
所以,，若，则，
所以.
5．记等差数列的前项和为,且,,则的最大值为（ ）
A. 60 B. 45 C. 30 D. 15
【答案】B
【解析】选.由题意得，，
则，则，
令，解得，
因为 是等差数列，
所以当,时，，，当,时，，
所以 的最大值为.
6．（多选）如图，北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，， ，，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（ ）
A. B. 的公差为9
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.设等差数列 的公差为，由题意，解得 故,正确；所以，，，所以，故 错误，，故 正确.故选．
7．已知在等差数列中，,，若此数列的前10项和,前18项和,则数列的前18项和.
【答案】60
【解析】由题意知，且,,
所以.
8．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，.
9．已知数列满足，且数列的前16项和为486，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由题意，数列 满足，
当 为奇数时，；当 为偶数时，．
设数列 的前 项和为，
则
，解得.
10．[（2025·南京期末）]（13分）设,是数列的前项和.已知,,当时,满足.
（1） 若,求数列的通项公式;（6分）
（2） 是否存在 ,使得数列为等差数列 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.（7分）
【答案】
（1） 解：由,可得,故,
,
由,得,
当 时，由,
有,即,
所以
（2） 当 时，有,即 ,
当 时，,即 ,
若数列 为等差数列，则有,
即 ,解得,
故有,易得,
又因为,,所以,即数列 为等差数列，
故存在,使得数列 为等差数列.
B 能力提升
11．已知等差数列的前项和为，公差，，则使得的最大整数为（ ）
A. 9 B. 10 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】选.因为，所以,异号，
因为，所以,，又有，所以，即，
因为，，
所以使得 的最大整数 为17.故选.
12．（多选）已知等差数列的前项和为，的公差为，则（ ）
A.
B.
C. 若为等差数列，则
D. 若为等差数列，则
【答案】BD
【解析】选 选项，，而,不一定相等，不正确；
选项，因为，，
所以，故 正确；
选项，因为，
若 为等差数列，则 为常数，则，故 不正确；
选项，由题可知，
若 为等差数列，则 为关于 的一次函数，
所以，即，故 正确．
故选.
13．已知正项数列的前项和为，且和满足：.则的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，①
当 时，，解得，
所以，②
得，
所以，化简.
因为，所以.
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以.
14．（13分）在等差数列中，,.
（1） 求数列的通项公式；（5分）
（2） 设，求.（8分）
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为，
则
解得，
所以.
（2） 因为当 时,;当 时,.
所以
.
C 素养拓展
15．（15分）用分期付款的方式购买家用电器需11 500元，购买当天先付1 500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为，若从交付1 500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：
（1） 分期付款的第10个月应交付多少钱？（7分）
（2） 全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？（8分）
【答案】
（1） 解：设每月付款依次构成数列，，
则，，
， ，
显然，，
故第10个月应交付527.5元.
（2） 由（1）可得，
则 为等差数列，且，数列 的前20项和为，
所以，
所以买家用电器实际花了12 025元.
阶段提升（六） 数列的概念与等差数列
（范围：）
题型一 等差数列基本量的计算
1．在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为（ ）
A. B. 30 C. D. 2
【答案】D
【解析】选.设16个数对应公差为 的等差数列 的前16项，由题意可知，,,故.
2．已知为等差数列，为其前项和.若,公差,,则的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】选.由,得,
又,又,
所以,解得 或（舍去）.
3．[（2024· 新课标Ⅱ卷）]记为等差数列的前项和.若,,则.
【答案】95
【解析】设等差数列 的公差为,由,,解得,,则.
等差数列的基本运算的解题策略
（1）等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量,,,,,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程（组）解决问题的思想.
（2）数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.
题型二 等差数列的性质
1．[（2024·全国甲卷）]记为等差数列的前项和.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.方法一：设等差数列 的公差为,由,得,则.
方法二：因为 为等差数列，所以,得,则.
2．在等差数列中，是其前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为在等差数列 中，，，，成等差数列，
设,因为，故,所以,,,成等差数列，
所以,,即,,则.
3．已知是数列的前项和，若是等差数列，且,.
（1） 求的值；
（2） 当为何值时，的值最小？
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为,
则,,
又,故,解得,所以,故.
（2） 由（1）可得,故,
所以,
因为,所以当 或 时，
取得最小值，最小值为.
等差数列的性质的应用
（1）项的性质：如下标和相等性质，利用此性质可以在有关基本量的计算时达到简化运算的目的.
（2）前项和的性质、奇偶项和性质、函数特性等，利用这些性质能够快速解决数列中的选择题、填空题.
题型三 等差数列的判定与证明
［例1］ 已知数列满足,且.
（1） 求,;
（2） 证明数列是等差数列，并求的通项公式.
【答案】
（1） 【解】由已知，得,则,
又因为,所以.
由,得,
所以.
（2） 由已知,
得,即,
又，所以数列 是首项为1,公差为2的等差数列，则.所以.
等差数列的判定与证明的方法
［跟踪训练1］．已知数列满足,,且,则数列的第100项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,所以,所以 为等差数列，首项为,第2项为,所以公差,所以,则.
题型四 数列的递推关系
1．已知在数列中，，,,则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】选.由题意得,,,,,, ，则 是以6为周期的周期数列，所以.
2．已知在数列中，,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题得,因为,且 满足上式，所以.
3．若,,则通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,得,所以.又 满足上式，故.
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
注意 根据累加法、累乘法求出之后，注意检验是否满足.
题型五 等差数列的综合问题
［例2］ 已知公差不为0的等差数列满足,.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 记数列的前项和为，求使成立的最大正整数.
【答案】
（1） 【解】设等差数列 的公差为,
由
得
解得 所以.
（2） 由（1）得,
若,即,
即,解得,所以使 成立的最大正整数 为10.
解答等差数列综合问题的策略
（1）灵活应用等差数列的定义构造新的等差数列；
（2）以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算；
（3）树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标；
（4）重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用.
［跟踪训练2］．在等差数列中，已知首项,前项和为，公差,,.
（1） 试求和;
（2） 求数列的前项和.
【答案】
（1） 解：由
解得 或
因为,
所以,.
（2） 因为,,所以,则,且 为等差数列，所以.
阶段小测（六）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．数列1，，5，，9， 的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.将,2, 代入各选项，可得 选项为正确选项.
2．已知数列是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.因为 是等差数列，与 的等差中项为1，与 的等差中项为2，所以,,两式相减可得,解得.
3．在等差数列中，已知,,,则（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
【答案】C
【解析】选.因为,所以,解得 或（舍去）.
4．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）
A. 199 B. 201 C. 203 D. 205
【答案】B
【解析】选.由题图可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第 个图形所需要的火柴棒数为，则,则第100个图形所用火柴棒数为.
5．设数列为等差数列，其前项和为,已知,,若对任意,都有成立，则的值为（ ）
A. 22 B. 21 C. 20 D. 19
【答案】C
【解析】选.对任意,都有 成立，
即 为 的最大值.
因为,,
所以,,
故公差,,
当 取得最大值时，满足 得.
即满足对任意,都有 成立的 值为20.
6．已知数列满足当时，,且对,有,则数列的前50项和为（ ）
A. 97 B. 98 C. 99 D. 100
【答案】C
【解析】选.由数列 满足当 时，,
可得,,.
又对，有,
即,
可得,,,,,,, ，
则数列 是周期为4的数列，且以1，2，3，2反复出现，
所以数列 的前50项和为.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．已知数列是等差数列，其前项和满足,则下列四个选项中正确的是（ ）
A. B. C. 最小 D.
【答案】ABD
【解析】选.根据题意，设等差数列 的公差为.
对于，,即,变形可得,即,故 正确；对于，,故 正确；对于，,可能大于0，也可能小于0，故 不正确；对于，,故 正确.
8．设等差数列的前项和为，,公差为，,,则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时，取得最大值
C.
D. 使得成立的最大自然数是17
【答案】ABC
【解析】选.对于，因为在等差数列 中，,,所以,,正确；
对于，由 知当 时，取得最大值，正确；
对于，,正确；
对于，,,
故使得 成立的最大自然数,错误.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．已知数列的通项公式为且满足,,则实数_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由题意得 是等差数列，所以 是关于 的一次函数，且,
所以.
10．在等差数列中，前5项和为10，最后5项和为90，前项和为180，则项数.
【答案】18
【解析】因为,,
所以,
所以,即,
因为,所以.
11．若等差数列，的前项和分别为，，且，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，且，由等差数列的性质得.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知是等差数列，其中,.
（1） 求的通项公式；（6分）
（2） 求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：设等差数列 的公差为,
因为,,,
所以,
所以.
（2） 因为,,
所以,,, ，是以25为首项，为公差的等差数列，
所以.
13．（本小题满分15分）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数,,依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1） 求和1的调和中项；（7分）
（2） 已知调和数列,,,求的通项公式.（8分）
【答案】（1） 解：设 和1的调和中项为,依题意得3，,1依次成等差数列，所以,即.
（2） 依题意，是等差数列，设其公差为,,所以,
所以,故.
14．（本小题满分15分）已知数列满足,,设.
（1） 判断数列是否为等差数列，并说明理由；（5分）
（2） 若是数列的前项和，求的前项和.（10分）
【答案】（1） 解：由题意得,即,故数列 为等差数列.
（2） 由（1）知，数列 是首项，公差为2的等差数列，
故,即,则.
又 是数列 的前 项和，
故,
当 时，,满足上式.
故.则,即 为等差数列，
所以 的前 项和.
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
新课导入
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问:各几何？”构成数列：9,，，，，，，.这个数列有何特点？
学习目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念.
2.熟练掌握等比数列的判断方法.
新知学习 探究
一 等比数列的定义
观察下面几个问题中的数列，回答问题.
（1）细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8， ；
（2）《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：1,，，，，， ；
（3）的次幂按1次幂、2次幂、3次幂 ，依次排成一列数：-，，，， .
思考．类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？
提示 对于（1），，，， ，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2；对于（2）,,， ；对于（3）,，， ；也有相同的取值规律（从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数）.
［知识梳理］
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于①_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的②_ _ ，公比通常用字母表示.
【答案】同一个常数； 公比
［例1］ （对接教材例1）判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．
（1） 1，，，，， ；
（2） 10,10,10,10,10， ；
（3） ，，，， ；
（4） 1，,16，,256， .
【答案】（1） 【解】不是等比数列；
（2） 是等比数列，公比为1；
（3） 是等比数列，公比为；
（4） 是等比数列，公比为.
要判断一个数列是否为等比数列，其依据是（是非零常数）对一切且恒成立，或（是非零常数）对一切恒成立.
［跟踪训练1］．以下数列中是等比数列的是（ ）
A. 数列1,2,6,18，
B. 数列中，已知，
C. 常数列，， ，，
D. 数列中，，其中
【答案】D
【解析】选.对于，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
对于，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
对于，当 时，不是等比数列；
对于，该数列符合等比数列的定义，是等比数列．
二 等比数列中的基本计算
［例2］
（1） 在等比数列中，已知,，则的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
（2） 已知在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则公差为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 因为数列 为等比数列,所以,,成等比数列,所以，所以，同理,所以.故选.
（2） 设等差数列 的公差为，由，，，成等比数列，得，即，整理得，解得 或（舍去），即数列 的公差.
（1）回归定义：若几个数成等比数列，严格按照等比数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量．
（2）等比中项应用：若，，成等比数列，则称为和的等比中项；对于数，的等比中项，一定成立，但的符号不一定，正负都可取．
［跟踪训练2］．
（1） 等比数列，，， 的第4项为（ ）
A. B. 0 C. 12 D. 24
（2） 若数列是等比数列，且是与的等差中项，则_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 2
【解析】
（1） 选.由，，成等比数列得，，
解得 或（不合题意，舍去），第2项为，第3项为，公比为，故数列的第4项为.
（2） 设数列 的公比为，因为 是 与 的等差中项，数列 是等比数列，所以，又，所以，，即，解得，所以.
三 等比数列的判定与证明
［例3］ 已知数列满足,,设.
（1） 求，，；
（2） 判断数列是否为等比数列，并说明理由.
【答案】
（1） 【解】因为数列 满足，
，可得,，
又因为，可得，，.
（2） 数列 为等比数列.理由如下：由数列 满足，且，
可得，又因为，可得，
因为，所以数列 是以1为首项，为公比的等比数列.
证明等比数列的常用方法
（1）定义法：若数列满足（是非零常数）或（,，是非零常数），则数列是等比数列.
（2）等比中项法：.
［跟踪训练3］．
（1） 下列数列是等比数列的是（ ）
A. 10,,, B. 1，,4，
C. 1,5,25， D. ,,,
（2） 若数列的通项公式为，则 （ ）
A. 数列是首项为，公比为的等比数列
B. 数列是首项为，公比为的等比数列
C. 数列是首项为，公比为的等比数列
D. 数列是首项为，公比为的等比数列
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 选.由等比数列的定义可知，只有 满足题意，其余均不满足．
（2） 选.因为，,,
所以 是首项为，公比为 的等比数列．故选.
课堂巩固 自测
1．（教材P157T1改编）下列数列是等比数列的是（ ）
A. 10，100，， B. 4，6，9，12
C. ，0，1，2 D. ,,,
【答案】A
2．（多选）已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则（ ）
A. 6 B. C. D. 12
【答案】AB
【解析】选.由题意知，
，解得，
所以 或.
3．（多选）下列说法正确的有（ ）
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. ,,,， 是等比数列
【答案】AC
【解析】选 显然正确；等比数列的公比不能为0，故 错误；显然正确；由于，故 不是等比数列，故 错误．
4．在由正数组成的等比数列中,，，则_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】由等比数列的性质可知，是 和 的等比中项,所以,则，故.
1.已学习：等比数列的概念.
2.须贯通：（1）基本量法求等比数列.
（2）等比数列的证明
①利用定义：（为与无关的非零常数）.
②利用等比中项：.
3.应注意：两个同号的实数，才有等比中项，而且等比中项有两个，为.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A. 9 B. C. 9或 D. 0
【答案】C
【解析】选.由于3,,27成等比数列，
所以，
解得 或.
故选.
2．已知数列是等比数列，公比为，则数列（ ）
A. 是等差数列，公差为
B. 是等差数列，公差为
C. 是等比数列，公比为
D. 既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】A
【解析】选.因为数列 是等比数列，
所以,且，
所以（常数），
所以数列 是等差数列，公差为.
3．已知数列和满足，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】选.若数列 为等比数列，公比为，
则，
所以 为等比数列，充分性成立，
若 为等比数列，设公比，
令数列 为2,4,8，，， ，满足，但 不是等比数列，必要性不成立，
所以“数列 为等比数列”是“数列 为等比数列”的充分不必要条件．
4．在3和一个未知数中间插入一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是（ ）
A. 3或27 B. 36 C. 9 D. 15
【答案】A
【解析】选.设这三个数为3，,，其中 为未知数，
则 解得 或
所以这个未知数为3或27.
5．（多选）已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.由题意可设三角形的三边分别为，，.
因为三角形的任意两边之和大于第三边，所以①当 时，，即，解得；②当 时，，即，解得；③当 时，，此时三角形为等边三角形，符合题意.
综上，的取值范围是，
则 可能的值是 与.
6．（多选）设等比数列的公比为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是公比为的等比数列
B. 数列是公比为的等比数列
C. 数列是公比为的等比数列
D. 数列是公比为的等比数列
【答案】AD
【解析】选.对于，由 知数列 是公比为 的等比数列，故 正确；对于，若，数列 各项均为0，不是等比数列，故 错误；对于，若，数列 各项均为0，不是等比数列，故 错误；对于，，所以数列 是公比为 的等比数列，故 正确.故选.
7．若为等比数列，且,,则公比_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1或
【解析】由 得,,又，，所以，解得 或.
8．若,,既成等差数列，又成等比数列，则公比_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由已知得
所以,
即,
所以,
所以,
所以.
9．已知在中，若,,成公比为的等比数列，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,,成公比为 的等比数列，所以由正弦定理可知,,成公比为 的等比数列，设,,,则.
10．（13分）已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列．
（1） ；（3分）
（2） ；（3分）
（3） ；（3分）
（4） .（4分）
【答案】10．解：由等比数列的定义可知，若，，是一个与 无关的常数且不为0，则数列 是等比数列．
（1） ，不是常数，故不是等比数列.
（2） ，是等比数列.
（3） ，不是常数，故不是等比数列.
（4） ，是等比数列．
B 能力提升
11．已知三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A. 49 B. 36 C. 4 D. 1
【答案】D
【解析】选.设原来的三个数为9，，，
由题意可知，，，，且，
所以，即，解得 或.
则 的所有取值中的最小值是.
故选.
12．（多选）等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.由题意，数列 为等比数列，设其公比为，则.
对于，，则，
所以，所以数列 是公比为 的等比数列，故 正确；
对于，当 为奇数时，不为整数，无意义，故 错误；
对于，，则，
所以数列 是公比为 的等比数列，故 正确；
对于，，则，因为 不为常数，故 错误.
故选.
13．现有一根节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为，最下面的三节长度之和为，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则．
【答案】16
【解析】设此根 节的竹竿自上而下每节的长度依次构成等差数列为，公差为．
由题意可知,，，．
联立可得
解得
14．（13分）在中，，，的对边分别是，，，若，，成等比数列，且.求：
（1） 的大小;（6分）
（2） 的值．（7分）
【答案】
（1） 解：因为，，成等比数列，所以，
又，所以，即，
在 中，由余弦定理得，所以 .
（2） 在 中，由正弦定理得
，
因为， ，
所以.
C 素养拓展
15．（15分）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且.
证明：数列是等比数列.
证明：由题可得，
，
则，，
所以，
，由于，，所以，故，则，
所以数列 是以 为首项，为公比的等比数列.
4.3.2 等比数列的通项公式
新课导入
拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？
第1次是1根，
第2次捏合成（根）；
第3次捏合成（根）；
……
第8次捏合成（根）；
前8次捏合成的面条根数构成一个数列1，2，4，8，16，32，64，128.这个数列具有什么特点？本节课我们一起来探究.
学习目标
1.掌握等比数列通项公式的推导过程，掌握等比数列的通项公式．
2.理解等比数列与指数函数的关系．
3.能够运用等比数列的性质解决相关问题．
新知学习 探究
一 等比数列的通项公式
思考．类比等差数列通项公式的推导过程，试根据等比数列的定义推导它的通项公式.
提示 设一个等比数列的首项是,公比是,则由定义可知 且.
方法一: ,当 时，上式也成立.
方法二： ,
,
,
…
由此可得,当 时，上式也成立.
［知识梳理］
一般地，对于等比数列的第项，有.这就是等比数列的通项公式，其中①_ _ _ _ _ _ 为首项，②_ _ _ _ 为公比.
【答案】；
［例1］ （对接教材例4）在等比数列中，公比为．
（1） 若，，求；
（2） 若，，求和；
（3） 若，，，求项数；
（4） 已知，，求．
【答案】
（1） 【解】因为，，
所以.
（2） 由题知，，解得,所以.
（3） 由题可知，，即,
所以，所以.
（4） 在等比数列 中，
因为，，
所以
两式相除并化简得，，
解得 或，
当 时，，则;
当 时，，则.
综上，或．
关于等比数列基本量的运算
（1）基本量：,,,；
（2）联系：基本量之间的联系就是通项公式，将条件列出后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.
［跟踪训练1］．在等比数列中，
（1） 若它的前三项分别为5,,45,求;
（2） 若,求公比.
【答案】［跟踪训练1］ 解：设数列 的首项为,公比为.
（1） 因为,而,,
所以.
（2） 显然.由已知得,即,解得 或.
二 等比数列的性质
［知识梳理］
1．如果,则有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
2．如果,则有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
3.如果，均为等比数列，且公比分别为,,那么数列，，，仍是等比数列，且公比分别为,,,.
4.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 .
［例2］
（1） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知公比为的等比数列的各项都是正数且，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
（3） 若等比数列的各项均为正数且,则.
【答案】（1） D
（2） B
（3） 50
【解析】
（1） 因为数列 是等差数列，且，所以，可得，则 .
因为数列 是等比数列，所以，又，
所以，所以，
所以，
所以.
（2） 因为,所以.
又因为,所以，
所以,
所以.
（3） 根据等比数列的性质可得,所以.令,则.
利用等比数列的性质解题的基本思路
（1）充分发挥项的下标的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.
（2）在等比数列的有关运算中，往往是建立关于,的方程组求解，常常涉及次数较高的指数运算，解起来很麻烦.此时，若利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了.
（3）利用条件构造等比数列，但要弄清楚所求的是第几项.
注意 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
［跟踪训练2］．
（1） 在等比数列中，，则的最小值是（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
（2） 已知数列，满足.其中是等差数列，若，则_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 1 012
【解析】
（1） 选.设 的公比是，则，.
因为，所以，.
由等比数列的性质可得，
则，当且仅当 时，等号成立.
（2） 因为 为等差数列，设公差为，则,，，则，故 为等比数列，
所以，
所以
.
三 等比数列通项公式的应用
［例3］ 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
【解】 方法一:设前三个数分别为，，，则第四个数为.
由题意得
解得 或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
方法二：设后三个数分别为，，，则第一个数为，因此这四个数为，，，.
由题意得
解得 或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
方法三:设第一个数为，则第四个数为，
设第二个数为，则第三个数为，
则这四个数为，，，.
由题意得
解得 或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
灵活设项求解等比数列的技巧
（1）三个数成等比数列，一般可设为，,.
（2）四个数成等比数列，一般可设为,，,或,,,，但前一种设法的公比为,只适合数列的各项同正或同负.
（3）五个数成等比数列，一般可设为,,,,.
［跟踪训练3．］ 若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后所得的数成等差数列，求这四个数.
解：设所求的四个数分别为,,，,则,,,成等差数列.
所以
所以 解得
因此这四个数为3，6，12，24.
拓视野 由等比数列衍生新数列
［典例］ （多选）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】不妨设等比数列 的公比为.
对于，不妨取数列 展开为2，4,8,16， ,则 展开为3,5,9,17， ，显然不是等比数列，故 不符合题意；对于，由，则数列 为等比数列，故 符合题意；对于，由，则数列 为等比数列，故 符合题意；对于，当 时，数列 为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故 不符合题意.
（1）若数列，（项数相同）是等比数列，则,,,,仍然是等比数列；
（2）在等比数列中，公比为,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,,,, 为等比数列，公比为.
注意 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对的情况.
［练习］．设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形的面积，则数列为等比数列的充要条件是（ ）
A. 是等比数列
B. ，， ，， 或，， ，， 是等比数列
C. ，， ，， 和，， ，， 均是等比数列
D. ，， ，， 和，， ，， 均是等比数列，且公比相同
【答案】D
【解析】选.因为 是边长为，的矩形的面积，所以，则数列 的通项公式为.根据等比数列的定义，数列 为等比数列的充要条件是（常数且大于0）．
课堂巩固 自测
1．在等比数列中，若，，则（ ）
A. 27 B. 9 C. 81 D. 3
【答案】C
【解析】选.设等比数列 的公比为，
由已知得，所以.
2．已知数列满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由，，易知，故，故 是首项为，公比为4的等比数列，，，故.
3．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
①；
②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，是等比数列，设其公比为，由于，所以，
由于，所以，
所以 符合题意.
4．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.
（1） 求的公比；
（2） 若，，求.
【答案】
（1） 解：设 的公比为，因为 为,的等差中项，
所以,,所以,
因为,所以.
（2） 因为，，由等比数列的性质可得：
，所以.
所以.
1.已学习：（1）等比数列的通项公式.
（2）等比数列中的基本计算.
2.须贯通：解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
（1）基本量法：利用等比数列的基本量，，先求公比，后求其他量.
（2）等比数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.
3.应注意：求解等比数列问题要注意项的符号,做到不重不漏.
课后达标 检测
A 基础达标
1．在等比数列中，，，则（ ）
A. 256 B. C. 512 D.
【答案】A
【解析】选.设等比数列 的公比为，
因为，，所以，
所以.
2．已知等比数列的公比为正数且,则（ ）
A. B. 2 C. 或2 D. 3
【答案】B
【解析】选.由已知得，整理得，解得 或.又因为,所以.
3．在等比数列中，,，则（ ）
A. 64 B. C. D. 8
【答案】D
【解析】选.因为 是等比数列，,，
所以，
又，，可得．
4．已知各项都是正数的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】选.根据题意有，即.
因为数列 的各项都是正数，所以，而.
5．已知在数列中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，,
所以，得，
由，，
得，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
同理得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
所以．
6．（多选）已知,都是等比数列，则（ ）
A. ,都一定是等比数列
B. 一定是等比数列，但不一定是等比数列
C. 不一定是等比数列，但一定是等比数列
D. ，一定是等比数列
【答案】CD
【解析】选.若，，则，此时 不是等比数列；若，，则，此时 是等比数列.
设，，则，，
所以当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，两个等比数列的积和商一定是等比数列．故选.
7．由正数组成的等比数列中，若，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由已知，数列 为正项等比数列，所以，所以.
由等比中项性质可知
,
所以
.
8．已知在数列中，，，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】对，
令，得.
所以 是以 为首项，为公比的等比数列，
则，故.
9．若为等差数列，是其前项的和，且,为等比数列，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 为等差数列，故，所以，
又因为 为等比数列，，所以，当 时，
；
当 时，
.
所以.
10．（13分）已知在正项等比数列中，，，求数列的通项公式.
解：因为,,
所以由题意，得
,
同理得,
因为，所以
解得 或
分别解得 或
所以 或.
B 能力提升
11．如图，给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.第一列数构成首项为，公差为 的等差数列，所以.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行数构成首项为，公比为 的等比数列，所以.
12．设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】选.方法一:设等比数列 的公比为,
所以，由，解得,所以.故选.
方法二：令，则.设数列 的公比为,则,所以数列 为等比数列，由题意知,,所以等比数列 的公比，所以，所以.故选.
13．（13分）已知数列的前项和为，且.
（1） 求数列的通项公式；（6分）
（2） 若数列满足，设，求.（7分）
【答案】
（1） 解：由，得，
两式相减，得，
所以，即.
又因为 时，，
所以，因为，
所以数列 是首项为，公比为 的等比数列.
所以.
（2） 由（1）得，
所以.
14．（15分）已知数列,满足，，，，且，.
（1） 求证：是等比数列；（6分）
（2） 若是递增数列，求实数的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 证明：由，，
可得，又，所以，
所以，所以 是首项为1，公比为 的等比数列.
（2） 解：方法一:
因为 是递增数列，
所以 对任意 恒成立，
因为，
所以,
则 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
由（1）知，
所以 对任意 恒成立，
因为当 时，取得最大值，且最大值为1，
所以，即实数 的取值范围为.
方法二：
由 得，
即，
又，
故数列 是首项为1，公差为 的等差数列，所以，
又由（1）知，
所以，
因为 是递增数列，所以 对任意 恒成立.
所以，
所以，
所以，
因为当 时，取得最大值，且最大值为1，
所以，即实数 的取值范围为.
C 素养拓展
15．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意得，十三个单音的频率构成以第一个单音的频率 为首项，为公比的等比数列，所以第八个单音的频率为.故选.
4.3.3 等比数列的前项和
新课导入
甲到乙家借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出如下附加条件：在30天中，每天供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱，第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠.甲听后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所以很为难.请同学们帮他拿拿主意.
学习目标
1.了解等比数列前项和公式的推导过程.
2.熟练掌握等比数列的五个量，，，，的关系，能够由其中三个求另外两个．
3.熟练应用等比数列前项和公式的性质解题.
4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
第1课时 等比数列的前项和公式
新知学习 探究
一 等比数列的前项和公式
同学们，对于等差数列，我们用倒序相加法求得了其前项和,那么对于等比数列,我们如何求其前项和呢？
思考．若,如何求
提示 ,,,, ，.
［知识梳理］
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 公式一： 公式二：
【答案】；
［即时练］
1．已知等比数列的首项，公比,则（ ）
A. 93 B. C. 45 D.
【答案】A
【解析】选..
2．在等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）
A. 5 B. 51 C. 455 D.
【答案】B
【解析】选.根据题意，设等比数列 的公比为，由，，则，解得，
则
或.故选.
3．已知数列是各

展开更多......

收起↑