资源简介

第5章 导数及其应用
5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
新课导入
某市某年4月20日最高气温为,而4月19日和4月18日最高气温分别为和,短短两天的时间，气温陡增，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市某年3月18日最高气温，与4月18日最高气温进行比较，发现温度相差，甚至超过了，而人们不会发出上述感叹.本节课我们一起来探究其中的原因.
学习目标
1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.
2.了解平均变化率概念的形成过程，能在具体情境中说明平均变化率的实际意义.
新知学习 探究
一 函数的平均变化率及其几何意义
思考1．函数的平均变化率定义中，是否必须是正数？
提示 可以是正值，也可以是负值，但不可以为0.
思考2．函数在某区间上的平均变化率为0是否说明函数值在此区间上都相等？
提示 函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
［知识梳理］
1．函数的平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
2．平均变化率的意义
平均变化率是曲线陡峭程度的“②_ _ _ _ _ _ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
【答案】数量化
［例1］
（1） 在曲线的图象上取一点及附近一点，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数，分别计算在自变量从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【答案】（1） C
（2） 【解】由题意得，自变量 从1变到2时，函数 的平均变化率为;自变量 从3变到5时，函数 的平均变化率为
.
因为，所以函数 在自变量 从3变到5时函数值变化的较快．
【解析】
（1） 选．由已知得．故选．
（1）求函数平均变化率的步骤
①求自变量的增量；
②求函数值的增量；
③求函数值的增量与自变量的增量的比值.
（2）求平均变化率的一个关注点
求点附近的平均变化率，可用的形式求解.
［跟踪训练1］．
（1） 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）
A. B.
C. D. 都不对
（2） 函数从到的平均变化率为_ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2） 3
【解析】
（1） 选．由题意知.故选.
（2） 因为，
所以函数 从 到 的平均变化率为.
二 实际问题中的平均变化率
［例2］
（1） 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A. B. C. D.
（2） （对接教材例2）如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，后容器甲中水的体积（单位：），则第一个内的平均变化率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．，结果保留三位小数
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 如图，分别令，，，，所对应的点为，，，，，由图可知，
所以在 时间段内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选.
（2） 在区间 上，体积 的平均变化率为，
即第一个 内容器甲中水的体积的平均变化率为（负号表示容器甲中的水在减少）．
（1）用平均变化率求解或解读生产生活中发生的某些变化情况已成为考查数学应用的热点，特别是在物理中的应用更为突出.
（2）变化率的正、负反映该变化过程是增加还是减少，变化率绝对值的大小反映该变化过程的快慢.
［跟踪训练2］．已知一质点作直线运动，其位移与时间的关系为，该质点在2到之间的平均速度不大于5，求的取值范围.
解：易知质点在2到 之间的平均速度为
,
又,则，所以,又,
所以.所以 的取值范围是.
三 平均变化率的应用
［例3］ 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，在当地用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.如图是一段登山过程中海拔（单位：）随水平距离（单位：）变化的关系图，同样是登山，但是从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
【解】 从 处到 处高度的平均变化率为，
从 处到 处高度的平均变化率为，
由，知山路从 处到 处比从 处到 处陡峭.
故从 处到 处会感觉比较轻松，而从 处到 处会感觉比较吃力.
平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度、物体受热膨胀率、高度（重量）的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.
［跟踪训练3］．通过某导体横截面的电量（单位：C）关于时间（单位：）的函数关系式为.求当从变到时，电量关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义.
解：当 从 变到 时，电量 从 变到，此时电量 关于时间 的平均变化率为，它表示从 变到 这段时间内，平均每秒通过该导体横截面的电量为．
课堂巩固 自测
1．函数在上的平均变化率为（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】选．函数 在 上的增量，
所以函数 在 上的平均变化率为.故选．
2．已知函数的图象上一点及邻近一点,则（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为,所以.故选.
3．已知质点运动规律,则在时间段上的平均速度为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以.
4．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润（单位：元）与产量（单位：台）之间的关系式为，则产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为_ _ _ _ 元/台．
【答案】2 000
【解析】当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为（元/台）．
1.已学均变化率.
2.须贯通：明确平均变化率的意义;平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢.
3.应注意：平均变化率的正负只表示变化的方向.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数，当由1变到2时，函数值的改变量为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】选.函数值的改变量为.
2．[（2025·苏州期末）]函数在上的平均变化率为（ ）
A. 0.21 B. 2.1 C. D.
【答案】D
【解析】选.函数 在 上的平均变化率为.
3．某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选．,，
所以平均速度为.故选．
4．一根金属棒的质量（单位：）关于长度（单位：）的函数为,则从到这一段金属棒的平均线密度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.根据题意，从 到 这一段金属棒的平均线密度为.
5．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各时段内平均增长速度分别为，，，该生物在这三个时段内的平均增长速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设三个连续时段为，，，各时段的增长量相等，设为，则，
整个时段内的平均增长速度为.故选.
6．（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 平均变化率只能是正数
B. 在平均变化率的定义中，自变量在处的变化量可取任意实数
C. 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”
D. 平均变化率的绝对值越大，曲线在相应区间上越“陡峭”，反之亦然
【答案】CD
【解析】选．平均变化率可正、可负、可为0，不可为0，故，错误；平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当 很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”，故 正确，显然正确．
7．设是成本，是产量，且，若，则产量增加量为10时，成本增加量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，
.
8．已知某物体运动的速度与时间的函数关系是,则该物体在时间段上的平均加速度为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】平均加速度为
.
9．汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图所示.在时间段,，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,
,
,
由题图可知,
所以.
10．（13分）为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从到花了,乙车从 到花了，试比较两辆车的刹车性能.
解：甲车速度的平均变化率为.
乙车速度的平均变化率为，
平均变化率为负值说明速度在减小，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好.
B 能力提升
11．某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意知，汽车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，设路程与时间 的函数关系为，
则，即为经过点,的直线的斜率，
同理 为经过点,的直线的斜率，
为经过点,的直线的斜率，
为经过点,的直线的斜率，如图，
由图可知，最小，即 最小.故选.
12．如图所示，向一个圆台形状的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设,,分别表示在区间,上的平均变化率，则（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】选.由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以 在区间,上的平均变化率由大变小，即．故选.
13．已知曲线上两点，，，当时，直线的斜率为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，，
所以.
所以直线 的斜率为
.
14．（13分）已知函数.
（1） 求函数在上的平均变化率；（5分）
（2） 求函数在上的平均变化率.（8分）
【答案】
（1） 解：由，
得，又，
所以.
（2） 因为，
所以.
C 素养拓展
15．（15分）已知气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的函数关系是.
（1） 求半径关于体积的函数;（5分）
（2） 比较体积从增加到和从增加到的过程中半径的平均变化率，判断在哪个过程中半径变化较快（精确到）.此结论可说明什么？参考数据： ，（10分）
【答案】
（1） 解：因为,所以,
即.
（2） 函数 在区间 上的平均变化率约为,
函数 在区间 上的平均变化率约为
.
因为，
所以体积 从 增加到 时，半径变化较快.这说明气球刚开始半径增加的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢.
5.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度
新课导入
你有过这样的生活体验吗？当你和家人乘车行驶在公路上时，导航提示：前方500米有测速！在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，它的工作原理是利用车辆经过两个测速监控点的时间差，计算出这段距离之内的平均速度.有意思的是，区间测速并不能准确反映汽车在某一时刻有没有超速，大家有没有更好的主意呢？
学习目标
1.会求函数在某点处的切线方程．
2.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念.
3.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度．
新知学习 探究
一 曲线的割线
思考．曲线割线的斜率和平均变化率有什么关系？
提示 曲线 上过两点，的割线的斜率就是函数 在区间 上的平均变化率.
［知识梳理］
设曲线上一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为.
［例1］ 已知曲线上两点，，当时，割线的斜率是_ _ _ _ ；当时，割线的斜率是_ _ ．
【答案】5； 4.1
【解析】当 时，割线 的斜率；
当 时，割线 的斜率.
一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线.平均变化率的几何意义就是曲线的割线的斜率.
［跟踪训练1］．曲线过点，的割线的斜率为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以.
二 曲线的切线
［知识梳理］
如图，设为曲线上不同于的一点，这时，直线称为曲线的①_ _ ．随着点沿曲线向点运动，割线在点附近越来越②_ _ 曲线.当点③_ _ _ _ _ _ _ _ 点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线称为曲线在点处的④_ _ ．
【答案】割线； 逼近； 无限逼近； 切线
点拨 （1）当 时，割线 的斜率称为曲线在点 处的切线的斜率，这样就提供了求曲线上在某点处的切线斜率的一种方法.
（2）曲线在某点处的切线：①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线.③曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点.
［例2］ （对接教材例5）用割线逼近切线的方法，求曲线在处的切线斜率．
【解】 设，，则割线 的斜率为.当 无限趋近于0时，无限趋近于常数，从而曲线 在 处的切线斜率为.
用割线逼近法求曲线在某点处的切线斜率的步骤
（1）取点附近一点;
（2）求割线的斜率；
（3）当时，求趋近于某一个常数,即为曲线在点处的切线斜率.
［跟踪训练2］．用割线逼近切线的方法，求曲线在处切线的斜率.
解：设，，,,则割线 的斜率为.
当 无限趋近于0时，无限趋近于常数,
从而曲线 在 处切线的斜率为.
三 平均速度与瞬时速度
［知识梳理］
1．平均速度
在物理学中，运动物体的位移与①_ _ _ _ _ _ _ _ 的比称为平均速度．
【答案】所用时间
点拨 （1）平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段位移或一段时间相对应．
（2）平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相同，与运动方向不一定相同．
2．瞬时速度
一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率无限趋近于②_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么③_ _ _ _ _ _ _ _ 称为物体在④_ _ _ _ _ _ _ _ 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】一个常数； 这个常数； ； 瞬时变化率
点拨 瞬时速率是标量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是矢量，即是位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方向是该点在运动轨迹上的切线的方向．
［例3］ 物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，求物体在时的瞬时速度．
【解】 在 到 的时间内，物体的平均速度
，所以当 无限趋近于0时，无限趋近于3，
所以 在 处的瞬时变化率为3.
即物体在 时的瞬时速度为.
求运动物体瞬时速度的步骤
（1）求时间改变量和位移改变量;
（2）求平均速度;
（3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于常数，即为运动物体在时刻的瞬时速度.
［跟踪训练3］．
（1） 某质点的运动方程是，其在区间上的平均速度为3，则实数的值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
（2） 一质点按运动方程做直线运动位移单位：，时间单位:，若质点在时的瞬时速度为，求常数的值.
【答案】（1） D
（2） 解：质点 在 时的瞬时速度即为函数在 处的瞬时变化率.
因为质点 在 附近的平均变化率为,
所以当 无限趋近于0时，无限趋近于，所以，
解得.
【解析】
（1） 选.根据题意，该质点在区间 上的平均速度为，则有，解得.
四 瞬时加速度
［知识梳理］
一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】瞬时变化率
点拨 瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
［例4］ 一质点的运动速度单位： 是时间单位：的函数，且，则当无限趋近于0时，表示（ ）
A. 时的速度 B. 时的加速度
C. 时的位移 D. 时的平均速度
【答案】B
【解析】当 无限趋近于0时，表示 时的加速度．
瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变化快慢的物理量．
［跟踪训练4］．一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且前5秒内的速度单位：与时间单位：的关系可近似地表示为，则汽车在时的瞬时加速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得，
，
当 无限趋近于0时，无限趋近于,
则汽车在 时的瞬时加速度为.
课堂巩固 自测
1．已知曲线上一点，，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为点 在曲线 上，
所以，当 无限趋近于0时，无限趋近于1，即曲线在点 处的切线的斜率为1，故倾斜角为 .
2．某物体的运动速度与时间的关系为，则该物体在时的加速度为（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】选.由题意知，，当 无限趋近于0时，无限趋近于，则该物体在 时的加速度为8.
3．已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】选
，
因为当 无限趋近于0时，无限趋近于，
所以曲线在点 处的切线斜率，
所以，即.
4．某物体的运动路程单位:与时间单位：的关系可用函数表示，则物体在_ _ _ _ _ _ _ _ 时的瞬时速度为.
【答案】
【解析】设物体在 时的瞬时速度为，
又，
，
则,所以，
则物体在 时的瞬时速度为.
1.已学习：（1）曲线的割线和切线.（2）平均速度.（3）瞬时速度与瞬时加速度.
2.须贯通：用无限逼近的思想求在一点处的切线、及瞬时速度和瞬时加速度.
3.应注意：瞬时速度、瞬时加速度的物理意义.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知曲线上两点，，，，则割线的斜率为（ ）
A. 2 B. 2.3 C. 2.09 D. 2.1
【答案】B
【解析】选.，.
所以.
2．已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则（ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 2
【答案】C
【解析】选.对于曲线，
.
对于曲线，
.
由，得，
所以 或.故选.
3．某质点沿某曲线运动的方程为表示时间，表示位移），则该质点从到的平均速度为（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】选.由题意得该质点从 到 的平均速度为.
4．一木块沿一斜面下滑，下滑时木块的速度为，则时木块的加速度为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】选.因为，所以当 无限趋近于0时，无限趋近于.所以 时木块的加速度为4.
5．一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.，
因为，所以当 无限趋近于0时，无限趋近于6，所以,则.
6．（多选）若曲线在处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】AB
【解析】选.根据题意得
，
当 无限趋近于0时，
无限趋近于，所以，
当 时，，切点是，此时切线方程为，
当 时，，切点是，此时切线方程为，都符合题意.故选.
7．一物体的运动方程为，则其在_ _ _ _ _ _ 时瞬时速度为1.
【答案】
【解析】.
当 无限趋近于0时，无限趋近于，
因为瞬时速度为1，故，即.
8．一个物体做直线运动，位移单位：与时间单位：之间的函数关系为,且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由已知，得 ,解得.
9．曲线在点处的切线方程是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以，
当 无限趋近于0时，无限趋近于，所以函数在点 处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
10．（13分）分别求曲线在，，处的切线斜率．
解：设，，
割线 的斜率，
当 无限趋近于0时，无限趋近于，
故曲线 在，，处的切线斜率分别为0，,6.
B 能力提升
11．已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.，
，
，
所以.
12．若小球自由落体的运动方程为为重力加速度，该小球在到内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则和的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】选.平均速度.
,
因为当 无限趋近于0时，
无限趋近于，
所以，所以.
13．在曲线的切线中，斜率最小的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】设切点为，曲线在点 处的切线斜率为，
，
当 无限趋近于0时，
无限趋近于.所以.
当 时，有最小值3，此时点 的坐标为，
其切线方程为.
14．（13分）一作直线运动的物体，其位移单位：与时间单位：的关系是．
（1） 求到时的平均速度；（5分）
（2） 求此物体在时的瞬时速度．（8分）
【答案】（1） 解：.
（2）
.
当 无限趋近于0时，无限趋近于，所以 时的瞬时速度为.
C 素养拓展
15．（15分）某一运动物体，在单位：时离开出发点的距离单位：是.求：
（1） 该物体在第末的瞬时速度；（5分）
（2） 经过多少时间该物体的运动速度达到 （10分）
【答案】
（1） 解：
当无限趋近于0时，无限趋近于6，
所以物体在第末的瞬时速度为.
（2） 设经过，该物体的运动速度达到，即第末的瞬时速度为,
,
则当 无限趋近于0时，无限趋近于,
令，解得 或（舍去），
即经过 该物体的运动速度达到.
第2课时 导 数
新课导入
庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”；刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”.这些都是很典型的极限概念.那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数.
学习目标
1.理解导数及导函数的概念.
2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数．
新知学习 探究
一 导数的概念
思考．瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示 瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数.
［知识梳理］
设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 无限趋近于一个②_ _ ，则称在处③_ _ ，并称该④_ _ 为函数在处的⑤_ _ ，记作．
【答案】； 常数； 可导； 常数； 导数
［例1］
（1） 已知函数在处的导数为12，则（ ）
A. B. 4 C. D. 36
（2） 已知函数，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 根据题意可知，，
则
.
（2）
.
由导数的定义求函数 在 处的导数的步骤
（1）求函数的增量;
（2）求平均变化率;
（3）由，得导数.
［跟踪训练1］．
（1） 已知且,则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
（2） 函数在处的导数为_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 4
【解析】
（1） 选.因为,所以,
所以,即,解得.故选.
（2） 因为
.
所以函数 在 处的导数为4.
二 导函数
思考．导函数和函数在一点处的导数有何区别和联系？
提示 （1）是具体的值，是数值；是函数 在某区间 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
（2）是导函数 在 时的函数值.
［知识梳理］
若对于区间内任一点都可导，则在各点处的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为的导函数，记作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
［例2］ 求函数的导函数.
【解】 令,，
则
.
即函数 的导函数为.
求导函数的一般步骤
（1）;
（2）;
（3）求.
［跟踪训练2］．已知函数,求.
解：因为
,
所以.
所以.
三 导数的几何意义
［知识梳理］
导数的几何意义就是曲线在点①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 处切线的②_ _ .
【答案】； 斜率
［例3］
（1） 已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
（2） 曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 由导数的几何意义知，，分别是曲线 在点，处切线的斜率，由图象可知.
（2）
.
则曲线在点 处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即.
（1）求过曲线上已知点的切线方程的思路：
求出函数在该点处的导数（切线斜率），根据点斜式写出切线方程并化简；
（2）若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.
［跟踪训练3］．曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】曲线在点 处切线的斜率
,
由直线的点斜式方程可得切线方程为
，即.
课堂巩固 自测
1．若，则的导函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选．由导数的定义可知，.
2．（多选）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 叫作函数值的增量
B. 叫作函数在上的平均变化率
C. 在处的导数记为
D. 在处的导数记为
【答案】ABD
【解析】选 中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，正确；中，称为函数 在 到 之间的平均变化率，正确；由导数的定义知函数 在 处的导数记为，故 错误，正确.故选.
3．曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，所以，即.
所以所求切线方程为．
4．已知函数，其中，，为常数，求该函数在和处的导数.
解：由题知
，
则，
当 时，瞬时变化率为，即函数的导数为，
当 时，瞬时变化率为，即函数的导数为，
所以，
.
1.已学习：（1）导数的概念及几何意义．
（2）求函数在某点处的导数．
（3）导函数的概念.
2.须贯通：（1）导数的求法.
（2）求切线方程的方法.
（3）切线的斜率与导数的关系.
3.应注意：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若可导函数的图象过原点，且满足，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】选．因为 的图象过原点，所以，
所以
.
2．已知某质点的运动方程为，则（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】选．
.
3．设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】选.因为，所以.
4．已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】选.设切点为，，得.
5．（多选）下列各点中，在曲线上，且在该点处切线的倾斜角为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.设切点为，
由导数的几何意义得
，
解得.当 时，；
当 时，.
故切点为 或.
6．（多选）若函数在处存在导数，则的值（ ）
A. 与有关 B. 与有关 C. 与无关 D. 与无关
【答案】AD
【解析】选．由导数的定义可知，函数 在 处的导数与 有关，与 无关．
7．已知曲线在点处的切线与直线平行，则_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因为直线 的斜率为3，所以由导数的几何意义可知.
8．设函数，若，则_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因为
，
所以.
9．已知直线是曲线在点处的切线，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
【答案】5； 3
【解析】由题意知，.
因为
，所以曲线 在点 处的切线斜率为.由，得，所以，，.
10．（13分）若点是抛物线上任意一点，求点到直线的最小距离.
解：由题意得，当点 到直线 的距离最小时，点 为抛物线 的一条切线的切点，且该切线平行于直线,设，由导数的几何意义知，
解得,所以点,,故点 到直线 的最小距离为.
B 能力提升
11．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选．设切点为，
因为.
由题意可知，切线 的斜率，
即，所以.
所以切点坐标为，切线方程为，即.
12．若曲线上任意一点处的切线斜率为,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设点，则.
即.
13．已知函数在上有导函数，的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选．如图，分别作曲线在，，三处的切线，，，设切线的斜率分别为，，，易知，又，，，所以．
14．（15分）某铜管厂生产铜管的利润函数为，其中为工厂每月生产该铜管的根数，利润的单位是元．
（1） 求边际利润函数时的值；（10分）
（2） 解释（1）中的实际意义．（5分）
【答案】
（1） 解：因为，
所以.
则.
所以.
由，
即，
解得 或（舍去）．
即当边际利润函数 时，的值为450.
（2） 当 时，的值为450表示的实际意义是当工厂每月生产450根铜管时，利润增加量为零．
C 素养拓展
15．（15分）点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标．
解：设，则，
，
所以点 处的切线方程为
，即，
而此直线与曲线 相切，
所以直线 与曲线 只有一个公共点，
联立两方程
得，则，
解得，则，
所以点 的坐标为 或
.
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
新课导入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷，设一高铁走过的路程单位：关于时间单位：的函数为,求它的瞬时速度，就是求的导数.根据导数的定义，就是求当时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如,很难运用定义求导数.今天让我们来一探究竟.
学习目标
1.能应用导数的定义求几个常用函数的导数．
2.掌握基本初等函数的求导公式．
新知学习 探究
一 基本初等函数的求导公式
思考1．导（函）数的定义式是什么？
提示 .
思考2．试利用导数的定义分别求解,,的导数.
提示 利用 分别代入：
;
;
.
［知识梳理］
1．几个常用函数的导数
函数 导数
,为常数 ①_ _ _ _
为常数 ②_ _ _ _
③_ _ _ _ _ _
④_ _ _ _ _ _
⑤_ _ _ _ _ _ _ _
⑥_ _ _ _ _ _ _ _
⑦_ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ； ； ；
2.基本初等函数的求导公式
原函数 导函数
为常数
,且
,且
［例1］
（1） 下列求导数运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） 对，，故 错误；对，，故 错误；对，，故 错误；对，，故 正确.
（2） 因为，所以，
所以.
用公式求函数导数的方法
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
（2）对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如可以写成，可以写成等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
［跟踪训练1］．
（1） 若 ，则（ ）
A. B. C. 1 D. 0
（2） 设，，， ，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.因为函数 是常函数，所以.
（2） 由已知得，，，，，， ，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则.
二 利用导数研究曲线的切线方程
［例2］ （对接教材）已知函数.
（1） 求该函数在处的切线方程；
（2） 求该函数过原点的切线方程.
【答案】
（1） 【解】当 时，，所以此时切点为，由 可得，
所以切线的斜率，
则利用点斜式方程可得到，即.
（2） 显然当切线斜率不存在时，不合题意；
故设切线方程为，切点，斜率，
所以，将切点代入得，又因为切点在 上，
所以当 时，，即切点为，
斜率，所以切线方程为，
即.
（1）利用导数的几何意义解决切线问题的情况
①若已知点是切点,则曲线在该点处的切线的斜率就是曲线在该点处的导数；
②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
（2）求过点与曲线相切的直线方程的步骤
［跟踪训练2］．
（1） 求函数在处的切线方程.
（2） 已知曲线，求曲线过点的切线方程.
【答案】
（1） 解：因为，
则，
则，，
因此，函数 在 处的切线方程为，即.
（2） 解：因为点 不在曲线 上.
所以设切点为，
因为，则切线的斜率.
又切线的斜率，
所以，即，所以，，所以切线方程为，即.
三 导数公式的实际应用
［例3］ 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有1单位氡气，那么天后，氡气的剩余量为单位.（参考数据：,）
（1） 氡气的散发速度是多少？
（2） 的值是什么（精确到）？它表示什么意义？
【答案】
（1） 【解】氡气的散发速度就是剩余量函数的导数，
因为，所以.
（2） 因为，
所以.
它表示在第7天附近，氡气大约以0.051单位/天的速度自然散发.
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量在某一时刻的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
［跟踪训练3］．从时刻开始的秒内，通过某导体的电量单位：可以由公式表示.求第5秒和第7秒时的电流强度单位：.
解：由 得，
所以，，
即第5秒和第7秒时的电流强度分别是，.
课堂巩固 自测
1．（多选）下列选项正确的是（ ）
A. ，则 B. ，则
C. ，则 D. ，则
【答案】BCD
【解析】选.对于，，故 错误；对于，因为，所以，故 正确；显然，正确.
2．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.，则，即切线斜率为，
因为直线的倾斜角的取值范围是，所以该切线的倾斜角为.
3．已知,.若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,，
由,
得,解得.
4．不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体.已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长变化时，其体积关于的变化率是立方体表面积的_ _ _ _ _ _ 倍.
【答案】
【解析】立方体的体积，表面积
.因为，
所以其体积关于 的变化率为，是立方体表面积的 倍.
1.已学习：基本初等函数的求导公式.
2.须贯通：（1）利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.
（2）导数公式求解切线问题和实际问题.
3.应注意：易混淆指数函数，且与幂函数 为常数的求导公式.
课后达标 检测
A 基础达标
1．函数的导函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由 可得.
2．已知，若,则的值是（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】B
【解析】选.,,得.
3．已知，则,则（ ）
A. 8 B. C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】选.，得，所以,解得.
4．曲线的斜率等于1的切线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】B
【解析】选.，设切点为，则，得，即在点 和点 处均有斜率为1的切线，所以有2条斜率等于1的切线.
5．（多选）下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】选．因为，所以 不正确；因为，所以 不正确；因为，所以 正确；因为，所以 不正确．
6．（多选）曲线在点处的切线的倾斜角为,则点的坐标为（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】AB
【解析】选.切线的斜率.
设切点 的坐标为,则.
又因为,所以,解得 或，
所以切点 的坐标为 或.故选.
7．已知函数，则_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】，所以.
8．若曲线在处切线的倾斜角为，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】，所以
所以.
9．若曲线 在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数的值是_ _ _ _ ，切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】4；
【解析】因为,
所以切线方程为，.
令，得；
令,得.
由题意知,
所以.
所以切线方程为,
即.
10．（13分）求下列函数的导数.
（1） ；（3分）
（2） ；（3分）
（3） ；（3分）
（4） .（4分）
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） 因为 是常函数，所以.
（4） 因为，
所以.
B 能力提升
11．已知函数若,则实数的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】选.
若,
则 或 解得 或.
12．（多选）已知曲线,则过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.设过点 的直线与曲线 相切，切点为,,由，得,所以切线方程为,即,则,解得 或，所以切线方程为 或.故选.
13．已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ 时，最小，此时最小值为_ _ _ _ .
【答案】；
【解析】如图，当直线 与曲线 相切且与直线 平行时，切点 到直线 的距离即为 的最小值.易知，令，得，故此时点 的坐标为，所以 的最小值为.
14．（13分）设曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为.
（1） 求切线的方程；（6分）
（2） 求的解析式.（7分）
【答案】（1） 解：因为，所以，则，可得在点 处的切线斜率，则切线方程为，即.
（2） 令，则，令，则，
所以,.
C 素养拓展
15．（15分）已知点，，函数.
（1） 过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；（5分）
（2） 在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.（10分）
【答案】
（1） 解：设切点为.
因为，所以.
由题意可得，解得，
所以切线方程为，
即.
（2） 过点，的直线的斜率为.
假设存在点，使得过点 的切线与直线 平行.设，，
则有，得.
又，所以，所以在曲线 上存在点，使得过点 的切线与直线 平行，且点 的横坐标为.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
新课导入
由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否由基本初等函数的导数，研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则，能运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2.会用导数的四则运算法则解决相关问题．
新知学习 探究
一 导数的四则运算法则
思考1．设，，试计算,,以及,试猜想它们的关系.
提示 , ,
,同理.猜想,.
思考2．设,,试验证与,以及与是否相等？
提示 , ,
.
，
所以,
，,
所以.
［知识梳理］
设两个函数,均可导，则
和的导数 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
差的导数 ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
积的导数 为常数③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
商的导数 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ；
［例1］ （对接教材例3）求下列函数的导数.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】
（1） 【解】方法一:可以先展开后再求导：
，
所以.
方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导：
.
（2） 把函数的解析式整理变形可得
，
所以
.
（3） 根据求导法则进行求导：.
（4） 利用除法的求导法则进行求导：
.
求函数的导数应注意的3个问题
（1）解答此类问题时常因不能熟练运用导数的四则运算法则而出错.
（2）对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，运用基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.
（3）利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差形式，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.
［跟踪训练1］．求下列函数的导数.
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】
（1） 解：
.
（2）
.
（3）
.
二 导数运算法则的简单应用
［例2］
（1） 在物理中，经常用导数来求物体在变速运动中的瞬时速度.若某物体在一次运动中的位移时间函数（位移单位：，时间单位：），则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
（2） 将原油精炼为汽油、柴油、塑料等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第时，原油的温度（单位：）为，则原油温度在第的瞬时变化率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由题意得，所以，即该物体在 时的瞬时速度为.
（2） 由函数，得，
则，
即原油温度在第 的瞬时变化率为.
利用导数值求解参数问题是高考的热点问题.它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用.而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键.
［跟踪训练2］．
（1） 若，则（ ）
A. B. 0 C. D. 6
（2） 设,且,,求,的值.
【答案】（1） D
（2） 解：
,
由,,
得 解得
所以,的值分别为1，0.
【解析】
（1） 选．因为，
所以，
所以，
所以，所以.
三 与切线有关的综合问题
［例3］
（1） 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（2） 曲线在点处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 因为，所以，
所以曲线在点 处的切线方程为，
即.
所以 即 故选.
（2） 由已知，
所以，又，
所以曲线 在点 处的切线方程为，即.
母题探究．本例（2）中，曲线的一条切线与直线垂直，则与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由 得
，.
设 与曲线 相切于点，
则，所以，.
故切点为，所以切线 方程为，
即.
与两坐标轴的交点分别为，.
因此 与两坐标轴围成的三角形面积
.故选.
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以转化为这三个要素间的关系.
（2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
注意 分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设切点.
［跟踪训练3］．已知函数,曲线在点处的切线方程为，则,的值分别为_ _ .
【答案】1，1
【解析】 ，
因为，所以，
则.②
由①②可得，.
课堂巩固 自测
1．曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，
所以所求切线斜率，
所以所求切线方程为，即.故选.
2．（多选）（教材P206T4改编）下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】选.对于 选项，，故错误；对于 选项，，故正确；对于 选项，，故错误；对于 选项，，故正确.故选.
3．若函数的导函数为，且满足，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
得，
令，则，
解得，
所以，.
4．在平面直角坐标系中，若曲线,为常数过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知,
直线 的斜率为.
所以 解得 所以.
1.已学习：导数的四则运算法则.
2.须贯通：在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导.
3.应注意：注意公式的准确使用，不要想当然，如.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.，故 不正确；，故 不正确；，故 正确；，故 不正确.故选.
2．若函数满足，则（ ）
A. B. C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】选.因为，易知 为奇函数，所以.
3．已知,若,则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】选.由题得
.
所以，
解得.
4．[（2025·南通期末）]函数是自然对数的底数的图象在点处切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.,
所以.
所以所求切线的倾斜角是.
5．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.由已知可得，，
根据导数的几何意义可知，
曲线 在点 处的切线斜率为.
所以，切线方程为.
作出图象如图所示，
联立 可得.
联立 可得.
所以.
6．（多选）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选.由题意可知，必为偶函数.
对于，为奇函数；
对于，为偶函数；
对于，为偶函数；
对于，为非奇非偶函数.故选.
7．设函数.若，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由于，
故，
解得.
8．已知函数，则在处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，令，
，解得，
则，则，则 在 处的切线方程为，即.
9．设函数，则_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】方法一：因为，
所以，
则.
方法二：设，则
所以，
即，故.
10．（13分）求下列各函数的导数.
（1） ；（4分）
（2） ；（4分）
（3） .（5分）
【答案】
（1） 解：，
所以.
（2） ，
所以.
（3） ，所以.
B 能力提升
11．已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意可知，
设切点为，则切线方程为，
因为切线过原点，所以，
解得，则.
12．下列图中有一个图象是函数,且的导函数的图象，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】选.,在题图1与题图2中，导函数的图象的对称轴都是 轴，此时,与题设不符合，故题图3中的图象是函数 的导函数的图象.由题图3知,则,又由根与系数的关系得,所以解得.
故,
所以.
13．已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，,则_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】设切点为，由，
得，
则切线的斜率，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
整理得，而,是此方程的两个实根，
所以.
14．（13分）已知函数，其导函数.
（1） 求,的值；（5分）
（2） 设函数,求曲线在处的切线方程.（8分）
【答案】（1） 解：由题意得,所以,.
（2） 由（1）可知,
所以,
所以,
又,所以曲线 在 处的切线方程为,
即.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数.
（1） 求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（6分）
（2） 过点作曲线的切线，若切线有且仅有1条，求实数的值.（9分）
【答案】
（1） 解：，
则，，
故曲线 在点 处的切线方程为，分别令,，
得，，则切线与两坐标轴交点为，，则所围成的三角形面积为.
（2） 设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为.
直线过点，则，化简得，
切线有且仅有1条，即，
即，解得 或.
5.2.3 简单复合函数的导数
新课导入
海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积（单位：）与油膜的半径（单位：）的函数解析式为.油膜的半径随着时间（单位：）的增加而扩大，假设关于的函数解析式为.油膜的面积关于时间的瞬时变化率是多少呢？要解决这个问题就要学习本节复合函数的导数.
学习目标
1.了解复合函数的复合过程．
2.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．
3.会用复合函数的导数求解相关问题．
新知学习 探究
一 复合函数的概念
思考．我们常说为“正弦函数”，而为“正弦型函数”，那么是由哪些初等函数构成的？
提示 记,则 可以看作正弦函数 和 两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成.
［知识梳理］
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量,可以表示成关于的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
［例1］
（1） （多选）下列函数是复合函数的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 下列函数不是复合函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） BCD
（2） A
【解析】
（1） 不是复合函数；，，是复合函数.
（2） 选项 不是复合函数;
选项 由，复合而成；
选项 由，复合而成；
选项 由，复合而成．
若与均为基本初等函数，则函数或函数均为复合函数，而,不是复合函数.
［跟踪训练1］．（多选）下列函数是复合函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.由复合函数的概念可知 选项中的函数为复合函数，选项中的函数不是复合函数.
二 复合函数的求导法则
思考．如何求函数的导数？
提示 ，由两个函数相乘的求导法则可知，；从整体上来看，外层函数是，它的导数，内层函数是，它的导数，发现.
［知识梳理］
一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数,的导数间的关系为.
特别地，若,,则①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即②_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
［例2］ 求下列函数的导数.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
（1） 【解】，
，.
（2） ，
.
（3） ，
.
（4） ，
．
（1）求复合函数的导数的步骤
（2）求复合函数的导数的注意点
①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
（2） 函数的导数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
［跟踪训练2］ ，
设，，
所以
.
（1） 选.因为，
所以，
又，所以，因为，所以，所以.
三 复合函数导数的应用
角度1 综合应用
［例3］ 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】设曲线 在点 处的切线与直线 平行.
因为，所以，解得，
所以，即切点坐标为.
所以切点 到直线 的距离为，
即曲线 上的点到直线 的最短距离是.故选.
母题探究．本例变为“曲线上的点到直线的最短距离为，求实数的值”.
解：由题意可知，设切点，
则，
所以，即切点，
所以，解得 或.
当 时，直线 与曲线 有交点，
则曲线上的点到直线 的最短距离为0，故 舍去.经检验实数 的值为8.
角度2 实际应用
［例4］ 已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系
（1） 求，并解释其实际意义；
（2） 已知摄氏度与华氏度（单位：）满足函数关系，求关于的导数，并解释其实际意义.
【答案】
（1） 【解】由，求导得 ，
所以，在第 时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第 附近，汽水温度大约以 的速率下降.
（2） 依题意，，求导得，
所以 关于 的导数为，在第 时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第 附近，汽水温度大约以
的速率下降.
正确地求出复合函数的导数是解答此类题目的关键，审题时注意所给点是否为切点，挖掘题目中的隐含条件，求出参数.解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
［跟踪训练3］．
（1） 已知函数,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知某港口一天内潮水的深度（单位：）与时间（单位：）近似满足函数关系,.分别求上午6时与下午6时潮水涨（落）的速度.
【答案】（1）
（2） 解：由题意可得，
上午6时，即，，
即上午6时潮水涨（落）的速度为，
即落潮速度为.
下午6时，即，
，
即下午6时潮水涨（落）的速度为，即涨潮速度为.
【解析】
（1） ，
则，得，
所以，
故.
课堂巩固 自测
1．函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选..故选.
2．函数的导数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选..
3．已知函数的导函数为，且满足，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
得.
4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意知.
1.已学习：复合函数的求导法则.
2.须贯通：求复合函数的导数时，先理解函数的复合特征，再逐层求导.
3.应注意：求复合函数的导数时要正确分解函数；求导时分清是对哪个变量求导.
课后达标 检测
A 基础达标
1．函数的导数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选．．
2．设函数，则（ ）
A. 6 072 B. C. 2 024 D.
【答案】B
【解析】选.，
则.
3．函数的导数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，
所以.
4．函数,且,则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】选.，
，
即，
解得.
5．曲线在 处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.令,
，
，
所以曲线 在 处的切线斜率为.
6．（多选）下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】选.对于，，则，故 错误；
对于，，则，故 正确；
对于，，则，故 正确；
对于，，则，故 错误.
7．设,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,
则.即.
8．已知直线与曲线相切，则实数_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】设切点坐标为,
依题意有
解得
9．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，（单位：）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由，
得，
所以小球在 时的瞬时速度为
.
10．（13分）求下列函数的导数：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 解：
.
（2） 因为
，
所以.
B 能力提升
11．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系,其中为初始时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为,则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
【答案】D
【解析】选.由，
得，
因为 时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
即，
解得.
则，
由，得，
即,所以.
得.
12．设，且，为常数，曲线与直线在点处相切，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由曲线 过 点，
可得，故.
由，
得，
则，
此即为曲线 在点 处的切线的斜率.
由题意得，，故.
所以，.故.
13．（13分）已知函数.
（1） 求的解析式；（5分）
（2） 求曲线在点,处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.（8分）
【答案】（1） 解：.
（2） 由（1）知，，
得切线方程为，
当 时，，当 时，
,
所以所围成的三角形的面积
.
14．（15分）已知函数，设曲线在点处的切线为，若直线与圆相交，求的取值范围.
解：因为，所以，
所以，
所以，
所以切线 的方程为，即，
因为直线 与圆 相交，
所以圆心 到直线 的距离小于半径，
即，解得，
所以 的取值范围是,.
C 素养拓展
15．记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.若函数与存在“点”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.函数，，其中，
则，，
设 为 与 的“点”，
由
可得
解得 因此.故选.
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
新课导入
研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势（走高或走低），以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性，能否用导数研究函数的单调性呢？
学习目标
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数及含参函数的单调性.
3.会求函数的单调区间.
4.会利用函数的单调性求不等式.
第1课时 函数的单调性
新知学习 探究
一 函数图象与导函数图象的关系
［知识梳理］
根据以直代曲思想,函数在某一点附近的图象可近似看作直线,我们可以用直线的斜率来刻画函数图象经过该点时上升或下降的变化趋势.
［例1］
（1） 已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） 由题意可知，当 和 时，导函数，函数 单调递减；当 时，导函数，函数 单调递增，故函数 的图象如图D．
（2） 由函数 的图象，知当 时，是单调递减的，
所以；
当 时，先单调递减，后单调递增，最后单调递减，所以 先负后正，最后为负．
故选．
函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是导函数图象.
［跟踪训练1］．已知是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题图可知，当 时，，即函数 单调递增；当 时，，即函数 单调递减；当 时，，即函数 单调递增．结合选项易知 正确．
二 利用导数判断或证明函数的单调性的思路
思考．“在某区间内”是否是“函数在此区间上单调递增（减）”的充要条件？
提示 “在某区间内”是“函数 在此区间上单调递增（减）”的充分条件，而不是必要条件.如果出现个别点使，不会影响函数 在包含该点的某个区间上的单调性.
［知识梳理］
对于函数，如果在某区间上：
的正负 的单调性
函数在该区间上单调递增
函数在该区间上单调递减
［例2］
（1） 判断函数在区间上的单调性.
（2） 求证：函数在上单调递减．
【答案】
（1） 【解】由于，
所以.
由于，所以，.
故.
所以函数 在区间 上单调递增.
（2） 证明：由于，
并且当 时，，，
因此，
所以，
故函数 在 上单调递减．
利用导数判断或证明函数的单调性的思路
［跟踪训练2］．
（1） 证明函数在上是增函数.
（2） 判断函数在上的单调性．
【答案】（1） 证明：由题意知，,所以 在 上是增函数.
（2） 解：，
因为当 时，，
所以，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递增．
三 求函数的单调区间
［例3］ （对接教材例1）确定下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 【解】设，，因为 时，恒成立，
则当，即 时，，此时函数 单调递增，
当，即 时，，此时函数 单调递减，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2） 设，，
令，解得 或，
则当 或 时，，此时 在,上单调递增；
当 时，，此时 在 上单调递减；
则 的单调递增区间为,，单调递减区间为.
（3） 函数的定义域为,,
令，得，所以函数 在 上单调递增；
令，得，所以函数 在 上单调递减，则函数 的单调递减区间是，单调递增区间是．
求可导函数 的单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导函数;
（3）解不等式（或），并写出解集；
（4）根据（3）的结果确定函数的单调区间.
［跟踪训练3］．
（1） 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
（2） 函数的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选．由题意，函数 的定义域为，且，
因为，可得，
令，
即，解得，
所以函数 的单调递减区间为.
（2） 易知函数的定义域为.
，
令，则，
所以 的单调递增区间为．
课堂巩固 自测
1．若函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题中 的图象可知，在区间 上，，单调递增，在区间 上，，单调递减，可排除，；
在 处，，即在 处，的切线的斜率为0，可排除．
2．（多选）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.由题意得，当 时，，所以函数 在 上单调递增，因为，所以，选项正确;
当 时，，所以函数 在 上单调递减，
因为，所以，选项正确.故选.
3．函数在上的单调递减区间是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，
即，
又,得，
即函数 在 上的单调递减区间是.
4．判断下列函数的单调性.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：的定义域为，，
令,得,在，上单调递减；
令,得,在，上单调递增.
（2） 的定义域为，
，
令，得 且，所以 在区间 和 上单调递减；
令，得，所以 在区间 上单调递增.
1.已学习：导数与函数的单调性的关系.
2.须贯通：（1）证明单调性的方法.
（2）利用导数求函数的单调区间的一般步骤.
3.应注意：讨论函数单调性时不要忽略定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.从题中导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，当 时最大，所以函数 的图象的变化率也先增大后减小，在 时变化率最大，故 符合，中在 时变化率最小，故 不符合；中变化率是越来越大的，故 不符合；中变化率是越来越小的，故 不符合．故选．
2．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选．函数 的定义域为，
因为，
令，则，解得，
所以函数 的单调递增区间是.
3．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选．，，
令,解得，
所以函数 的单调递增区间是.
4．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,则,
因为函数 在区间 上单调递增，
则对任意的,恒成立，则.
因此，实数 的取值范围是.
5．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. 在上，单调递增 B. 在上，单调递增
C. 在上，单调递增 D. 在上，单调递增
【答案】BC
【解析】选.由题图知，当 时,的符号有正有负，则 在 上不单调，故 错误，当，时，，所以在，上，单调递增，故，正确，当 时，，所以在 上，单调递减，故 错误.
6．（多选）若函数的单调递增区间为，则可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，错误；选项，定义域为，，令，解得，所以 的单调递增区间为，正确；选项，定义域为，，令，解得 或，所以 的单调递增区间为，，错误；选项，定义域为，，令，解得，故 的单调递增区间为，正确.故选．
7．函数，的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由已知，，令，即，解得，所以函数 的单调递减区间为．
8．函数的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 的定义域为，，令，解得，故 的单调递增区间是.
9．函数的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】 的定义域是，
，
由 得 或，
故函数 的单调递增区间是,.
10．（13分）已知函数，判断的单调性，并说明理由.
解：函数 在其定义域上单调递增.由 且，得，即 的定义域为，
所以，
令，
则,
所以 在区间 上单调递增，
所以，而 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上恒成立，
所以 在 上单调递增.
B 能力提升
11．函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.当 时，，排除选项，；又，当 时，，函数 单调递增，当 时，，函数 单调递减，所以 正确，错误．
12．设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的单调递增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以，
又因为函数 的图象在点 处的切线方程为，
所以 即
所以
所以，
由，可得，所以函数 的单调递增区间为.
13．（13分）函数，若曲线在点处的切线方程为.
（1） 求,的值；（4分）
（2） 求函数的单调区间.（9分）
【答案】
（1） 解：因为，
所以，
由题意可知
解得
（2） 由（1）可得,，
所以，
令，解得 或，令
，解得，
故函数 的单调递增区间为，，单调递减区间为.
14．（15分）已知函数，其图象在处的切线过点.
（1） 求的值；（5分）
（2） 讨论的单调性.（10分）
【答案】
（1） 解：因为函数，
所以，，
则，
所以函数图象在 处的切线方程为
，
又因为切线过点，
所以，
即，解得.
（2） 由（1）知，，则 的定义域为，
，
令，则，
当 时，；当 时，，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，画出 的图象（图略），易知，
即当 时，；当 时，
，
所以 在 和 上单调递增.
C 素养拓展
15．（多选）若函数（ 是自然对数的底数）在的定义域上是增函数，则称函数具有性质，则下列函数中具有性质的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.设,对于，在定义域 上是增函数，故 正确；对于，,,所以 在定义域 上是增函数，故 正确；对于，在定义域 上是减函数，故 不正确；对于，,则,在定义域 上不恒成立，故 不正确.
第2课时 函数的单调性及简单应用
新知学习 探究
一 含参数函数的单调性
［例1］ （对接教材例2）已知函数，讨论的单调性．
【解】 的定义域为，．若，则 恒成立，
故 是减函数；
若，
则当 时，，
当 时，，
故 在 上单调递增，
在 上单调递减，
综上，当 时，
是减函数；
当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减．
（1）含参函数的单调性，主要以两种形式呈现，即判断单调性与求函数的单调区间（含有参数），实质上这两种形式是一致的，只不过是换了一种说法.
（2）利用导数处理含参函数的单调性常用的技巧，一般是根据导函数的特点，通过因式分解的形式，对参数进行分类讨论，分层处理.
［跟踪训练1］．求函数的单调递减区间.
解：易得函数 的定义域是，.
①当 时，在 上恒成立，故 在 上单调递减.
②当 时，若，
则；若，则，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上可知，当 时，的单调递减区间为，当 时，的单调递减区间为.
二 根据函数的单调性求参数值（范围）
［例2］
（1） 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） A
【解析】
（1） 易得.
因为函数 在区间 上单调递增，等价于 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立.
因为，所以，当且仅当 时等号成立，所以.
（2） 易得
.
根据题意，得 在 上有解.
令，
则只需 或，
解得.故选．
已知在区间上的单调性，求参数范围的方法：
（1）利用集合的包含关系处理在上单调递增（减）的问题，则区间是相应单调区间的子集；
（2）利用不等式恒成立处理在上单调递增（减）的问题，则在内恒成立，注意验证等号不能恒成立.
［跟踪训练2］．
（1） 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 不存在这样的实数
（2） 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（答案不唯一）
【答案】（1） B
（2） 1（答案不唯一）
【解析】
（1） 选．由题意得，在区间 上至少有一个实数根.又 的根为，且 在 或 两侧导数异号，而区间 的区间长度为2，故只有2或 在区间 内，所以 或，解得 或.故选.
（2） 由题意知，，因为 恰好有三个单调区间，所以 有两个零点，即，解得，故可填 中的任意一个值.
三 函数单调性的应用
［例3］
（1） 已知，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 由，
所以当 时，，
当 时，，
所以 在,上单调递减，在 上单调递增，
因为，所以；
因为，，
所以，所以.故选.
（2） 构造函数，，
则，所以函数 在 上单调递减.
又因为，
所以，
所以 解得.
所以不等式 的解集是.故选．
母题探究．把例中的条件“”换为“”，解不等式.
解：设，
则.
因为，所以，
故 在 上是增函数.
由 得，
即，
所以 解得，
故所求不等式的解集为.
用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有：
（1）对于，构造.
（2）对于，构造.
（3）对于，构造.
（4）对于，构造.
（5）对于，构造.
（6）对于，构造.
［跟踪训练3］．
（1） 若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知为定义域上函数的导函数，且，，且，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选．令，则，
由于 的正负不确定，所以 的正负不确定，不能判断 的单调性，故，错误；令，由，则，所以 为 上的减函数，因为，所以，即，故 错误,正确.故选.
（2） 由，整理可得，则函数 关于 成中心对称，
所以 关于直线 成轴对称，
当 时，，由，则，
由函数 的导函数为，
则函数 在 上单调递增，易知在 上单调递减，
当 时，；当 时，，
所以不等式 的解集为.
课堂巩固 自测
1．若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.，由于函数 有三个单调区间，所以 有两个不相等的实数根，所以.故选.
2．（多选）已知函数在上单调递增，为其导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为函数，所以.因为函数 在 上单调递增，所以 对于任意的 恒成立，所以 恒成立，故 正确；但 大小不确定，故 错误；对于方程，有，即，故 正确，错误.故选.
3．已知定义在上的可导函数满足：，，则的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记，
则，
因为，所以，
所以 在 上单调递增，
又，
所以，
所以，
所以，不等式 的解集为.
4．已知函数，，讨论函数的单调性．
解：的定义域为，.
（1）当 时，，是增函数．
（2）当 时，令，得.
①在区间 上，，单调递增；
②在区间 上，，单调递减．
综上所述，当 时，是增函数；
当 时，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
1.已学习：含参函数的单调性，函数单调性的简单应用.
2.须贯通：（1）分类讨论的思想解决含参函数的单调性问题.
（2）利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.
3.应注意：由函数单调性求参数范围时，函数单调递增，函数单调递减，不要忽略“等号”.
课后达标 检测
A 基础达标
1．设函数，则（ ）
A. B.
C. D. 以上都不正确
【答案】B
【解析】选．，故 是 上的增函数，故.
2．若的单调递减区间是，则正数的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】选．，令，由于，故解得，故，即.
3．若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选．因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，因为 在 上单调递增，所以，解得，所以实数 的取值范围为.故选．
4．已知函数，当时，下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选．由题意得，当 时，，所以 在 上单调递增.又，所以.由 在 上单调递增，可知当 时，，所以.综上.
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选．依题意可得，，
，设，则，当 时，，单调递减，
又，所以，即，即.故选．
6．（多选）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.令，
则，
故 在 上单调递减，而，，
故，，
即，，
所以，.
7．函数的单调递减区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，令，得，故 的单调递减区间是.
8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
又函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令，对称轴为直线，
所以函数 在 上单调递减，
所以，
所以，
即实数 的取值范围为.
9．若对任意的,，且当时，都有，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题设，即，
令，则函数 在 且 上单调递增，而，
所以，即 在 上恒成立，故.
10．（13分）已知函数.
（1） 若，求曲线在点处的切线方程；（5分）
（2） 若，求函数的单调区间.（8分）
【答案】
（1） 解：因为，所以，
所以，所以.
又，
所以切点坐标为，
所以所求切线方程为，
即.
（2） 的定义域为，，
由 得 或.
又，故由，得，
由，得 或，
故 的单调递减区间为，单调递增区间为 和.
B 能力提升
11．[（2025·南京期中）]已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设,则,因为 在 上单调，所以 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立,
若,则,所以;
若,则,所以.
设,则 在 上单调递减.
由 在 上恒成立,所以,,所以,且.
综上可知，.
12．已知函数.若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选．由题意知，函数 的定义域为.由 成立，
可得.
设，则存在，使得 成立，即.又,当且仅当,
即 时取等号，所以.故选.
13．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】函数 定义域为，导函数.
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即 恒成立，
所以.
令.
因为，
所以 在 上单调递增，
所以，
所以.
14．（15分）已知函数.
（1） 若，求在处的切线方程；（5分）
（2） 讨论函数的单调区间.（10分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
所以，
则，
所以 在 处的切线方程为，即.
（2） 因为，
所以，
令,，对称轴为直线.
①当，即 时，，
即，
所以函数 的单调递增区间为，无单调递减区间.
②当，即 或 时，
若，则，即，
所以函数 的单调递增区间为，无单调递减区间.
若，令，得,，
由，即，得 或；
由，即，得；
所以函数 的单调递增区间为,，单调递减区间为.
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递增区间为,，
单调递减区间为,.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数，.
（1） 若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（6分）
（2） 若函数在上单调递减，求实数的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：因为，
，所以.
由于 在 上存在单调递减区间，
所以当 时，有解，
即 有解.
设，所以只要 即可.
而,所以.
所以实数 的取值范围是.
（2） 由（1）及 在 上单调递减得当 时，恒成立，即 恒成立.
所以，而,
因为，所以，
所以 此时，
所以，即实数 的取值范围是.
5.3.2 极大值与极小值
新课导入
古诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.
学习目标
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
3.了解导数与极值的关系.
新知学习 探究
一 函数的极值
思考1．如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
提示 ，，处是山峰，，处是山谷.
思考2．你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示 以山峰 处为例来研究，在 处，它附近的函数值都比它小，且在 处的左侧函数是单调递增的，即有，在 处的右侧函数是单调递减的，即有，函数图象是连续不断的，的变化也是连续不断的，并且有.
［知识梳理］
1．函数极值的概念
一般地，若存在,当时，都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,则称②_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的一个极大值,称为函数的极大值点.
若存在,当时，都有,则称为函数的一个极小值，称为函数的极小值点.函数的极大值、极小值统称为函数的③_ _ ，极大值点、极小值点统称为极值点.
【答案】； ； 极值
点拨 （1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不可能是极值点.
2.函数的极值与导数的关系
（1）极大值与导数之间的关系
左侧 右侧
极大值
（2）极小值与导数之间的关系
左侧 右侧
极小值
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 导数为0的点一定是极值点.（ ）
（2） 函数的极大值一定大于极小值.（ ）
（3） 函数一定有极大值和极小值.（ ）
（4） 单调函数不存在极值. （ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则的单调区间的个数至少为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】选.若 有3个单调区间，总有；若有，可取，其定义域为，由图象（图略）可知，有4个单调区间.故选.
3．（多选）如图是函数的导函数的图象，则（ ）
A. 函数在区间上单调递减
B.
C. 函数在处取极大值
D. 函数在区间内有两个极小值点
【答案】BD
【解析】选.由导函数 的图象可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故，故 错误，正确；
由导函数的图象可知 在 上单调递增，故1不是函数的极大值点，错误；
由导函数图象可得在区间 内有，且在 与 上导函数小于0，在 和 上导函数大于0，
故 和4为函数的两个极小值点，2为函数的一个极大值点，故在区间 内有两个极小值点，正确.故选.
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
二 利用导数求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
［例1］ （对接教材例4）已知函数，求的极值.
【解】 函数 的定义域为，
，
由 可得，，解得，
当 变化时， ，的变化情况如下表所示：
0 -
所以当 时，有极大值，极大值为，无极小值.
函数极值和极值点的求解步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求方程的根；
（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况.
角度2 含参数函数的极值
［例2］ 已知函数，求此函数的极值.
【解】 易得函数的定义域为，
，当 时，显然，
函数 在区间,上均单调递增，此时函数无极值；
当 时，令，解得，
当 变化时，，的变化情况如下表：
0 - - 0
由上表可知，当 时，函数取得极大值，当 时，函数取得极小值.
综上，当 时，函数 无极值；
当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值.
解析式中含参数的函数极值的求法
由于求函数的极值时首先需要确定函数的单调区间，因此解析式中含参数的函数极值的求法是：先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准（导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小），然后根据函数的单调区间确定函数的极值.
［跟踪训练1］．
（1） 已知函数，那么的极大值是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若函数在处取得极小值，则函数的极大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选．由题意知，
，
令 可得.
当 时，；
当 时，；
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
所以.故选．
（2） ，由题意得，解得，
故，，
当 时，，单调递减，
当 或 时，，单调递增，
故 在 处取得极大值，
故极大值为.
三 利用函数的极值求参数
［例3］
（1） 已知函数在处取得极值0，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
（2） 函数在处有极值10，则的值为_ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） 7
【解析】
（1） ，根据题意有 得,，所以.
（2） 函数，
所以，
又 在 处有极值10，
所以 即
解得 或
当 时，不符合题意，当 时，符合题意.故.
已知函数的极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
（1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导函数；
②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数.
注意 求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
［跟踪训练2］．若函数与函数有相等的极小值，则实数（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】选．由对勾函数可知 在 时取到极小值，
对于，
当 时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意；
当 时，，
令，解得；
令，解得；
则 在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以 的极小值为，解得.故选．
课堂巩固 自测
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）
A. B. C. D. 和
【答案】C
【解析】选.由导函数 的图象可知，当 或 时，，当 时，，所以 为函数的极大值点，为函数的极小值点.故选．
2．函数在上的极大值点为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.,,令，得，当,时，,当,时，，
所以 是函数 的极大值点.
3．已知是函数的极小值点，则（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】选.因为，
所以，
令，解得，.
当，时，，则 单调递增；
当 时，，
则 单调递减，
所以 的极小值点.
4．已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】，
由题意知
即
解得 经验证知符合题意．
1.已学习：（1）极值的概念.
（2）极值与导数的关系.
2.须贯通：（1）求极值的方法.
（2）函数极值的判定及求法．
（3）已知函数极值求参数．
3.应注意：注意把握函数取到极值的充要条件.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列函数中，存在极值的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，因为函数 是实数集上的增函数，所以函数 没有极值；
对于，因为函数 是正实数集上的增函数，所以函数 没有极值；
对于，因为函数 在区间，上单调递减，所以函数 没有极值；
对于，因为,所以该函数在 上单调递增，在 上单调递减，因此 是函数的极小值点，符合题意.
2．在上的极小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，，所以，
令，得 或，
所以当 时，，单调递增；
当 时，，单调递减；
当 时，，单调递增，
所以当 时，取得极小值，
且极小值为.
3．已知函数在处有极值，则该函数的一个增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，且函数 在 处有极值，
所以,
解得,
所以
,
由 得 或.
故 的增区间为 和.
4．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】选．函数，
所以，
因为函数 有极大值和极小值，
所以其导函数 有两个不同的解，
所以,
所以 或.故选．
5．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 当时，单调递增 B. 当时，单调递减
C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得最小值
【答案】AC
【解析】选.由题中导函数的图象可得原函数的大致图象及单调性.
当 时,,单调递增；
当 时，,单调递增；
当 时，，单调递减；
当 时，,单调递减；
当 时，,单调递增.
所以当 时，取得极小值.故，正确，，错误.故选.
6．（多选）若函数既有极大值又有极小值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.的定义域为，，
因为函数 既有极大值又有极小值，
所以方程 有两个不相等的正实数根,，
所以 解得
所以 和 正确，和 错误.故选.
7．函数的极小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
令,解得 或;
令,解得.
所以 在,上单调递减，在 上单调递增，所以.
8．设与是函数的两个极值点，则常数_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,
由题意得
解得.
9．已知函数没有极值点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为函数 无极值点，
所以 无解，即 无解，
所以.
10．（13分）设函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.求：
（1） 的值；（5分）
（2） 函数的极值.（8分）
【答案】（1） 解：.由题意知，曲线在 处的切线斜率为0，即,从而,解得.
（2） 由（1）知,
.
令,解得,（舍去）.
当 时，,
故 在 上单调递减；
当 时，,
故 在 上单调递增.
故 在 处取得极小值，极小值为，无极大值.
B 能力提升
11．若函数在处取得极值，则称是函数的一个极值点.已知函数的最小正周期为 ，且在上有且仅有两个零点和两个极值点，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选. ,所以,
.对于，当 时，在 有三个零点，不满足题意；
对于，当 时，在 有且仅有两个零点,，有且仅有两个极值点,，满足题意；
对于，当 时，在 有且仅有两个零点，有一个极值点，不满足题意；
对于，当 时，，同 可得 也不满足题意.故选.
12．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选．由题意知函数 的定义域为，，由题意，方程，即 有两个不相等的正实数根，设为,，则 解得，即实数 的取值范围为.故选．
13．已知函数在，上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数,
则，
因为 在，上有且仅有一个极值点，
即 在，上有且仅有一个变号零点.
又因为 在，上单调递增，所以由函数零点存在定理，
得 即
得.
14．（13分）已知函数.讨论函数在定义域内的极值点的个数.
解：由题意知 的定义域为，
,
当 时，在 上恒成立，故函数 在 上单调递减，
所以 在 上没有极值点；
当 时，由，解得,
由,解得,
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 在 处有极小值，无极大值.
综上，当 时，在 上没有极值点；
当 时，在 上有一个极值点.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数.
（1） 当时，求函数的单调区间；（6分）
（2） 是否存在实数,使的极大值为3 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（9分）
【答案】
（1） 解：当 时，,
,
当 时，解得 或,
当 时，解得,
所以函数 的单调递增区间为,;单调递减区间为.
（2） ,解得 或,
因为,所以.
当 时，恒成立，在 上单调递增，无极值；
当 时，
当 变化时，,的变化情况如表所示：
0 - 0
极大值 极小值
由表可知，，
解得,所以存在实数,使 的极大值为3，此时.
5.3.3 最大值与最小值
新课导入
上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的山谷，我们既要有俯视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值．
学习目标
1.会求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与最值的关系.
3.会利用导数解决实际问题.
第1课时 函数的最大（小）值
新知学习 探究
一 函数的

展开更多......

收起↑