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第3章 圆锥曲线与方程
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆的标准方程
新课导入
生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？
学习目标
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程.
3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题.
4.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程.
新知学习 探究
一 椭圆的定义及应用
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹.
思考1．在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示 笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
思考2．在这一过程中，绳子的长度与两定点，间的距离有何关系？
提示 绳子的长度大于两定点，间的距离.
［知识梳理］
1．定义：平面内到两个定点,的距离之和等于①_ _ （大于）的点的轨迹叫作椭圆.
【答案】常数
2．焦点：两个定点②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
3.焦距：两个焦点间的距离.
4．几何表示：③_ _ _ _ _ _ （常数），且④_ _ .
【答案】；
［例1］
（1） 已知,，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点
（2） 已知,为椭圆的焦点且，，是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过点，则的周长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 因为,，所以，知点 的轨迹是线段.
（2） 由于 为直径的圆经过 点，所以，
不妨设,则，
由椭圆定义可得,,,
由勾股定理可得 和，
即 和，解得,，
故 的周长为.
椭圆定义的双向运用
一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义中的条件（即到两焦点的距离之和为常数），题目中遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题.
［跟踪训练1］．
（1） [（2025·南京期中）]若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，则椭圆的焦距的长为
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 选.因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得，即.
（2） 选.由椭圆 的左、右焦点分别为，，可得,，则，则.
二 椭圆的标准方程
思考1．在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？
提示 坐标系不同，得到的圆的方程不相同.
思考2．类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？
提示 结合图形的对称性，以 所在的直线以及线段 的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单.
［知识梳理］
焦点位置 在轴上 在轴上
标准方程
图形
焦点坐标 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
,,的关系 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ；
［例2］ （对接教材例1、例2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） 两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点，；
（2） ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离的和为26.
【答案】
（1） 【解】由题意知，椭圆的焦点在 轴上，且.
方法一:由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于，
所以,
所以，所以，故椭圆的标准方程为.
方法二：可设椭圆方程为，
将，代入此方程为，解得（负值已舍去），故椭圆的标准方程为.
（2） 由题意知，，
即，又，所以，所以，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 或.
求椭圆的标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定,的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
（2）待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在轴上还是在轴上，还是两个坐标轴上都有可能.
②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程.
③寻关系：依据已知条件，建立关于,,的方程组.
④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求.
注意 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出,的值即可.
［跟踪训练2］．
（1） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，.若四边形是正方形且面积为4，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
（2） （多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点的椭圆的标准方程是
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） AB
【解析】
（1） 选.由四边形 是正方形可得，
再由四边形 的面积为4可得，即，
所以.
又，所以，
所以椭圆 的方程为.
（2） 选.若椭圆的焦点在 轴上，则,，得，此时椭圆方程是；
若焦点在 轴上，则,，则，此时椭圆方程是．故选.
三 与椭圆有关的轨迹方程
［例3］ 已知圆，圆内有一定点，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程.
【解】 如图，设圆 的半径为，又圆 过点，所以.
又因为圆 与圆 内切，圆 的半径为10，圆 的圆心为，
所以两圆的圆心距，
即（大于）.
所以圆心 的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，.
所以，，
所以.
所以圆心 的轨迹方程为.
求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法直接求解.
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程.
（3）相关点法（代入法）根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程.
［跟踪训练3］．
（1） 若动点满足方程，则动点的轨迹方程为 （ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.已知动点 满足方程，
设,，且，
则有，
故点 的轨迹是以,为焦点，长轴长为 的椭圆，
且中心在原点，焦点在 轴，即点 的轨迹方程为椭圆的标准方程，
则,，，
故所求轨迹方程为.
（2） 因为，所以，，三点共线，且，由题意设，则,，因为点 在 上，所以，整理得，则点 的轨迹方程为.
课堂巩固 自测
1．（多选）平面上，动点满足以下条件，其中的轨迹为椭圆的是（ ）
A. 到两定点，的距离之和为4
B. 到两定点，的距离之和为6
C. 到两定点，的距离之和为6
D. 到两定点，的距离之和为8
【答案】BD
【解析】选.因为两定点，的距离为4，且，所以选项 不符合椭圆定义，选项 符合椭圆定义；因为两定点，的距离为6，且，所以选项 不符合椭圆定义，选项 符合椭圆定义.
2．已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ）
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】选.由题意可知，解得（负值已舍去）.
3．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由椭圆，得，，,
设,,，
设，因为 的面积为1，则，解得，不妨设 在第一象限，当 时，，解得，.
4．如图，长为是正常数的线段的两个端点，分别在互相垂直的两条直线上滑动，点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
解：设两直线的交点为,以 为 轴，为 轴建立平面直角坐标系，设，由于点 是线段 上靠近 的三等分点，设，，则，即，故,，由，故，即，整理得到，所以点 的轨迹方程为，该方程表示焦点在 轴上的椭圆.
1.已学习：（1）椭圆的定义.（2）椭圆的标准方程.
2.须贯通：（1）掌握求标准方程的2种方法：待定系数法，定义法.（2）轨迹问题的解法：定义法，相关点法.
3.应注意：若椭圆焦点位置不确定，一定要分类讨论.
课后达标 检测
A 基础达标
1．[（2025·莆田期中）]椭圆的焦距是（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】选.由 可得，
故椭圆 的焦距是.
2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 （ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意知，，解得.
3．设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且 ，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设,，
根据椭圆的定义以及余弦定理得
整理得，即，
所以 的面积为.
4．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得
解得 所以椭圆 的标准方程是.故选.
5．已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由，得点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与 轴的交点），其中，，可得，.
故其方程为.
6．（多选）过已知圆内一个定点作圆与已知圆相切，则圆心的轨迹可以是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线
【答案】AB
【解析】选.如图，设已知圆的圆心为，半径为，圆内的定点为，动圆的半径为.若点 与点 不重合，由于两圆相内切，则.由于，所以，即.所以动点 到两个定点，的距离和为常数.
因为 为圆内的定点，所以.
所以动点 的轨迹为椭圆.
若，重合为一点，则此时动点 的轨迹为以 为圆心，为直径的圆.
综上，圆心 的轨迹为椭圆或圆.
7．若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为椭圆的焦点 在 轴上，所以，，所以，解得.
8．已知椭圆，点是椭圆上一点，，是椭圆的焦点，且 ，则的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，可知，，所以，从而.
在 中，由余弦定理得，即.①
由椭圆定义得.②
由①②联立可得.
所以.
9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点.若，则点的横坐标为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，
设,,，
则,
,则,
即，则
解得.
10．（13分）求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 焦点在轴上，且，；（5分）
（2） 椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点，.（8分）
【答案】（1） 解：因为，，所以，且焦点在 轴上，故椭圆的标准方程为.
（2） 由题意得，椭圆的焦点在 轴上，故设椭圆的标准方程为.
由椭圆的定义，知
，所以.
又因为，所以.
所以椭圆的标准方程为.
B 能力提升
11．（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（ ）
A. B. 的最大值为9
C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得
【答案】BCD
【解析】选.由题意可知，，，所以，
对于，，错误；
对于，，正确；
对于，设 的顶点，则，,正确；
对于，由 知，以线段 为直径的圆与椭圆 有4个交点，当点 为此交点之一时，，正确.
12．已知直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长的最大值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可得，记椭圆右焦点为，如图所示，则 的周长为.
当且仅当直线 经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.
13．（13分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点.
（1） 若，点的坐标为，求椭圆的标准方程；（5分）
（2） 当时，的面积为4，求的值.（8分）
【答案】
（1） 解：已知，所以.点 在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，解得，所以.
所以椭圆 的标准方程为.
（2） 方法一:因为，
所以 的面积，则.
根据椭圆定义知.
由勾股定理可得
.
又，
即.
又，两式联立解得.
方法二：令 ，由题意得,解得（负值已舍去）.
14．（15分）已知点，，动点满足，将动点的轨迹记为.
（1） 求轨迹的方程；（6分）
（2） 若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：因为，所以轨迹 是以,为焦点的椭圆.
设 的方程为，则，得，又，所以，所以轨迹 的方程为.
（2） 的周长，的面积，所以 内切圆的半径,，故 内切圆的半径的取值范围为，.
C 素养拓展
15．已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题知，,，记点 关于折痕 的对称点为，折痕 与 相交于点，则点 在圆周上，折痕 为线段 的垂直平分线，如图所示，则有，可知，所以点 的轨迹是以,为左、右焦点的椭圆，其中，，所以,,，所以点 的轨迹方程，即折痕围成的轮廓的圆锥曲线的方程为.
3.1.2 椭圆的几何性质
新课导入
很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如神舟十九号在进入太空后,先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道.那么在椭圆轨道中，近地点高度、远地点高度是如何计算的呢 首先,我们要认识椭圆的一些几何性质.
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中，，的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
3.掌握并会判断直线与椭圆的位置关系.
4.会解决弦长与中点弦问题.
5.能解决与直线和椭圆位置关系有关的综合问题.
第1课时 椭圆的简单几何性质
新知学习 探究
一 椭圆的几何性质
思考1．根据方程画出椭圆，你能确定椭圆的边界吗
提示 由方程 得,得，同理可得，故椭圆位于 和 围成的矩形内.
思考2．根据上面所画的图形，椭圆具有怎样的对称性 如何用方程加以说明
提示 既关于坐标轴轴对称,又关于原点中心对称.若 满足方程,则易知,,也满足方程.
思考3．根据上面所画的图形，椭圆中有哪些特殊点 坐标是什么
提示 令,则;令，则.故,为特殊点.
［知识梳理］
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ② _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
顶点 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
轴长 短轴长为⑤ _ _ _ _ _ _ ,长轴长为⑥_ _ _ _ _ _
焦点 ⑦ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
焦距 ⑨ _ _ _ _ _ _
对称性 对称轴：⑩ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,对称中心： _ _
离心率 _ _ _ _ _ _
【答案】 且； 且； ,,,； ,,,； ； ； ,； ,； ； 轴和 轴； 原点；
［例1］ （对接教材例1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它的草图.
【解】 将 化为标准方程为，所以，，则，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦距为，顶点坐标为,,,，焦点坐标为 和，离心率为，椭圆的草图如图.
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置；
（3）求出,,；
（4）写出椭圆的几何性质.
注意 长轴长、短轴长、焦距不是,,,应是,,.
［跟踪训练1］．
（1） [（2025·佛山月考）]（多选）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为5 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的焦距为4 D. 的取值范围为
（2） 若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则实数的值为_ _ _ _ ，焦点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） BD
（2） 9；
【解析】
（1） 选.由椭圆方程知,,，所以椭圆的长轴长为，焦距，离心率，，错误，正确；
椭圆中，点 在 上且不在 轴上，所以，正确.
（2） 若，则，得（舍去）；若，则，解得 或（舍去），所以，所以焦点坐标为.
二 利用几何性质求椭圆的标准方程
［例2］ 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；
（2） 经过点，离心率为，焦点在轴上；
（3） 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【答案】
（1） 【解】根据题意可设椭圆的标准方程为，
所以由题设得 解得
故椭圆的标准方程为.
（2） 根据题意可设椭圆的标准方程为，
所以由题得 解得
故椭圆的标准方程为.
（3） 设椭圆标准方程为，
如图所示，为等腰直角三角形，为斜边 上的中线，且，，
又因为焦距为6，所以，
则由椭圆的几何性质得，
所以椭圆的标准方程为.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有,等.
［跟踪训练2］．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 经过点，；
（2） 焦点在轴上，短轴长为12，离心率为.
【答案】
（1） 解：由题意可得椭圆焦点在 轴上，且,，
故椭圆的标准方程为.
（2） 设椭圆的标准方程为，由题意得,，得，而，
解得,，
故椭圆的标准方程为.
三 椭圆的离心率及范围
［例3］ 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，， ，则的离心率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一:由题意可设，结合条件可知，，故离心率.
方法二：由 可知 点的横坐标为，将 代入椭圆方程，解得，所以.又由 可得，故，变形可得，等式两边同除以，得，解得 或（舍去）.
母题探究．若将本例中“， ”改为“为钝角”，求的离心率的取值范围.
解：由题意知以 为直径的圆与椭圆有四个交点，故，所以.又，所以，即.所以，又，所以，所以 的离心率的取值范围为，.
求椭圆离心率的值或范围的方法
（1）直接法：若已知，可直接利用求解；若已知，或，可借助于求出或，再代入公式求解.
（2）方程、不等式（组）法：若，的值不可求，则可根据条件建立，，的关系式，借助于，转化为关于，的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幂，得到关于的方程或不等式，即可求得的值或范围.
［跟踪训练3］．
（1） 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
（2） 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点，使 ，则椭圆的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ,
【解析】
（1） 选.设椭圆的焦距为，则,，
因为直线 的斜率，
由题意可得，
则，解得，所以椭圆的离心率为.
（2） 设，，则， ，
即，
，即，当且仅当 时，等号成立，
故，
即，又，所以.
课堂巩固 自测
1．焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意知，,,则,得,
所以椭圆的标准方程为.
2．[（2025·太原期中）]（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点
C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为
【答案】BCD
【解析】选.由椭圆，可知椭圆的焦点在 轴上，且,,，椭圆的四个顶点分别为,,,，焦点分别为,，椭圆的短轴长为，离心率为，故 错误，,,均正确.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.不妨设椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点.
依题意可知，是正三角形.
因为在 中，，
， ，
所以，
即椭圆的离心率.
4．（教材P92练习T3改编）比较椭圆与的形状，则_ _ _ _ 更扁.（填序号）
【答案】①
【解析】把 化为标准形式，离心率，又 的离心率，则，故①更扁.
1.已学习：椭圆的简单几何性质．
2.须贯通：（1）根据几何性质求椭圆方程的方法.
（2）求离心率的常用方法：直接法，方程（不等式）法.
3.应注意：焦点的位置对椭圆性质的影响；椭圆离心率的范围为.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是4，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意，椭圆焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为，则
可得 所以该椭圆的标准方程为.
2．若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】选.由题知 则，故，所以短轴长为.
3．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两端点连线的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.椭圆长轴的两端点为,，
设，则由题设可得,即，又,
故，故,
即，故.
4．[（2025·南通期末）]已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选.当 时，可得，此时椭圆的离心率为，由，可得，解得；
当 时，可得，此时椭圆的离心率为，
由，可得，
解得，
即 可推出椭圆 的离心率为，反之则推不出，所以“”是“椭圆 的离心率为”的充分不必要条件.
5．[（2025·常州期中）]（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且，，三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.由题设，，,所以，，,故，正确，错误；而，故 正确.
6．（多选）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长为2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为
C. D.
【答案】ABC
【解析】选.对于椭圆，由已知可得 则,，,
对于，因为椭圆的焦点在 轴上，故椭圆 的方程为，故 正确；
对于，椭圆的离心率为，故 正确；
对于，设点 为椭圆的左焦点，易知点，将 代入椭圆方程可得，故，故 正确；
对于，，故，故 错误.
7．已知是椭圆上一点，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,
所以
,
由于，故当 时，取最小值.
8．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意可得，则，
因为椭圆方程为，即，且焦点在 轴上，则,，可得，解得.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为,，若上存在一点，使线段的中垂线过点，则的离心率的最小值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设椭圆 的半焦距为，
由题意可知，
根据存在性，结合椭圆性质可知，解得，
可得 的离心率,，所以 的离心率的最小值是.
10．（13分）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1） 离心率为，短轴长为；（6分）
（2） 与有相同的焦点，且长轴长为4.（7分）
【答案】
（1） 解：由题得
解得 所以椭圆的标准方程为 或.
（2） 由椭圆 得，故该椭圆的焦点坐标为，
又,所以,故.
所以椭圆的标准方程为.
B 能力提升
11．[（2025·无锡期中）]如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当，各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知 与 的长度不变，
已知，设,，则，
当 滑动到 位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
又由已知可得，当 在右顶点时，恰好在 点，则长半轴长.
所以,
故椭圆 的离心率为.
12．（多选）已知椭圆的焦点为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则（ ）
A. 椭圆的焦距为2 B. 的周长为8
C. 椭圆的离心率为 D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】选.由题意可知，，，
故 为等边三角形，则，，又，
所以，，，
所以焦距，正确；
离心率，错误；
由椭圆定义可知，的周长为，正确；
设，则，又，由余弦定理可得，解得，
所以，正确.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得的内切圆的半径为，则椭圆的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】令点 的纵坐标为，则，的周长为，依题意，，
解得，因此，
即，
而，则，
解得，即，所以椭圆 的离心率的取值范围是，.
14．（15分）设椭圆的左、右焦点是,，离心率为，上顶点坐标为.
（1） 求椭圆的方程；（5分）
（2） 设为椭圆上一点，且 ，求的周长和面积.（10分）
【答案】
（1） 解：由题意知
解得，所以椭圆的方程为.
（2） 由（1）知，
所以，
又因为 为椭圆 上一点，所以，所以 的周长.
在 中，由余弦定理得 ，
即,①
由，得，②
，整理得，
所以 的面积 或.
C 素养拓展
15．[（2025·天津期中）]（15分）已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，点为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为椭圆短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率.
（1） 求椭圆的标准方程；（3分）
（2） 试判断椭圆是否是“圆椭圆” 并证明你的结论；（5分）
（3） 点为点关于原点的对称点，点也异于点，直线，分别与轴交于，两点，试问以线段为直径的圆是否过定点 证明你的结论.（7分）
【答案】
（1） 解：由，椭圆 的离心率，得，解得，
所以椭圆 的标准方程为.
（2） 椭圆 是“圆椭圆”，证明如下：
由（1）知，，设，，则，
于是
，
而，因此当且仅当 时，，此时点，
即 点到 点距离的最大值仅在 点为椭圆短轴的另一端点时取到，所以椭圆 是“圆椭圆”.
（3） 以线段 为直径的圆过定点，证明如下：
由（2）知，，，，则，，
直线，
,
则,，,,
若以线段 为直径的圆过定点，由对称性知点 在 轴上，设，则,，,,
于是，
即，
解得，所以以线段 为直径的圆过定点.
第2课时 直线与椭圆的位置关系
新知学习 探究
一 直线与椭圆的位置关系
［知识梳理］
直线与椭圆的位置关系的判断方法：联立消去得到一个关于的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、直线与椭圆公共点的个数、对应一元二次方程解的个数及 的取值的关系如表所示：
直线与椭圆位置关系 直线与椭圆公共点的个数 解的个数 的取值
相交 两个不同的公共点 ①_ _ 个 ②_ _ 0
相切 一个公共点 ③_ _ 个 ④_ _ 0
相离 没有公共点 ⑤_ _ 个 ⑥_ _ 0
【答案】2； ； 1； =； 0；
［例1］ 已知直线,椭圆.试问当取何值时,直线与椭圆
（1） 有两个不同的公共点
（2） 有且只有一个公共点
【答案】
［例1］ 【解】 将直线 的方程与椭圆 的方程联立,得 消去 整理得.①
方程①的根的判别式.
（1） 当,即 时,
方程①有两个不相等的实数根,
即直线 与椭圆 有两个不同的公共点.
（2） 当,即 时,
方程①有两个相等的实数根,
即直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
判断直线与椭圆的位置关系的方法
（1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
（2）对于过定点的直线，可以通过定点在椭圆内、在椭圆上或在椭圆外判定直线和椭圆的位置关系.
［跟踪训练1］．
（1） 直线与椭圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切
（2） [（2025·杭州期中）]若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） ,
【解析】
（1） 选.方法一:联立 消除 得，
则，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交.故选.
方法二：直线 过点，因为，点 在椭圆内部，故直线 与椭圆 相交.
（2） 动直线 即，易知动直线过定点，若动直线 始终与椭圆 有公共点，
则 解得 且，所以 的取值范围是,.
二 椭圆的弦长及中点弦问题
［例2］ 已知椭圆的短半轴长为3，离心率为.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过的直线交椭圆于,两点，且为的中点，求弦的长度.
【答案】
（1） 【解】由题意可得 且，即，
因为，可得，
解得，所以，
所以椭圆 的方程为.
（2） 设,，因为 为 的中点，可得,，则
两式相减得，
即，
即，
所以直线 的方程为，即，
联立方程组 整理得，可得,，
则
.
（1）直线与椭圆相交弦长的求法
①直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
②利用弦长的公式：设直线的斜率为,方程为,设端点,，
则
.
（2）解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知,是椭圆上的两个不同的点,是线段的中点,则
由,得,变形得 ,即.
［跟踪训练2］．
（1） 已知直线与椭圆相交于,两点，若中点的横坐标为1，则（ ）
A. B. C. D. 1
（2） 已知斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.设,,
把 代入 得，
，因为 中点的横坐标为1，
所以，解得.故选.
（2） 设直线，直线 与椭圆的交点为,，联立 消去 得，则，解得，可得，，由题意可得，解得，
所以直线 的方程为.
三 与椭圆有关的最值或范围问题
［例3］ 已知直线交椭圆于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.
【解】 由 解得 或
因此.
设直线 的方程为，设，.
由 得.
，故.
又，的交点在，之间，
故.
因为直线 的斜率为1，
，，
所以.
又四边形 的面积
，
当 时，取得最大值，最大值为，
所以四边形 面积的最大值为.
与椭圆有关的最值问题的求解方法
求解与椭圆有关的最值问题时，一般先根据条件列出所求目标函数的解析式,然后根据函数关系式的特征可化为（1）二次函数的最值问题求解；（2）基本不等式的最值问题求解；（3）三角函数的最值问题求解.
［跟踪训练3］．
（1） 已知直线，当变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
（2） 若点和点分别为椭圆的两个焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】（1） B
（2） A
【解析】
（1） 选.直线 恒过定点，且点 在椭圆上，
设直线与椭圆另外一个交点为，所以，则，弦长为
，
当 时，弦长最大，最大值为.
（2） 选.由已知设,,，且，
则，代入 得，
因为，
所以，
即 的最小值为4.
课堂巩固 自测
1．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切
【答案】A
【解析】选.由 消去 并整理得，显然，
因此方程组 有两个不同的解，所以 与 相交.
2．（多选）已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆截得的弦长与被椭圆截得的弦长一定相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】选.直线 过定点,
对于，,即,过定点,两直线不关于 轴、轴、原点对称，故被椭圆 所截得的弦长不可能相等，故 错误；
对于，,即,两直线关于 轴对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故 正确；
对于，，即,两直线关于 轴对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故 正确；
对于，,即,两直线关于原点对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故 正确.
3．已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上异于，的一点，直线，与直线分别交于，两点，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】设，
则，
由椭圆方程可知，
故顶点，，
则直线 和直线 的斜率之积，
设直线 的方程为，
则与 的交点，
设直线 的方程为，
则与 的交点,，
所以，当且仅当,即 时，等号成立，所以 的最小值为6.
4．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 的中点坐标为，
则，
设，，则，，
相减得到，，
即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
1.已学习：直线与椭圆的位置关系.
2.须贯通：三种方法：（1）设而不求法.（2）公式法求弦长.（3）点差法.
3.应注意：直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程，避免所求值无意义.
课后达标 检测
A 基础达标
1．直线与椭圆的位置关系为（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 与，取值有关
【答案】C
【解析】选.因为直线 过点,，而,为椭圆 的右顶点和上顶点，故直线 与椭圆 相交.
2．已知过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于，两点，且，则这样的直线的条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】选.由题易知，左焦点坐标为，若直线垂直于 轴，则直线为，代入椭圆方程得，可得，此时，所以由椭圆性质知，过左焦点使 的直线有且仅有一条.
3．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】选 表示椭圆，故可得 且，又直线 过定点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故.综上所述，且.
4．[（2025·铜川期中）]已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可得 为等腰直角三角形，且 为 中点，
所以，由题意可得，所以，
解得，所以，所以，
所以，
解得 舍去.
5．已知直线与椭圆相交于,两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设，,
由题可知，，，
则
所以，
即，解得，
所以，则，
所以.
6．（多选）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点,的左、右焦点分别为，,则（ ）
A. 的离心率为 B. 的周长为
C. 以为直径的圆过点 D.
【答案】BC
【解析】选.由题意可知 为椭圆 的上顶点，如图，
对于，直线 经过 的右焦点 和上顶点，
所以,，则，所以 的离心率为，错误；
对于，由椭圆的定义可知，的周长为，正确；
对于，由 中分析可得，，所以，所以 ，则以 为直径的圆过点，正确；
对于，由 中分析可知 的方程为，
由 解得 或
则,，,
所以，错误.
7．如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长为，则这个椭圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设椭圆的标准方程为，
由题知 解得
则所求椭圆的标准方程为.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】设点 关于直线 的对称点为，则，
因为,所以，所以，即，又，所以椭圆 的离心率 的取值范围是，.
9．已知椭圆,且，直线与椭圆相交于,两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设，，因为,在椭圆 上，
所以
两式相减得，
即.
因为点 是线段 的中点，所以，.
所以，
又直线 的斜率为，则,
解得.
当 时，椭圆方程为，可得，所以.
10．[（2025·北京期中）]（13分）已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，.
（1） 若中点的纵坐标为，求直线的方程；（6分）
（2） 若，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：根据题意可得直线 的斜率存在且不为0，故可设直线 的方程为，
设,，的中点为，如图，
联立 整理可得，
，
解得 或，
则，
由 中点的纵坐标为，
可得，
解得 或（舍去），
因此直线 的方程为.
（2） 由（1）可得
，
又，可得，
整理可得，
解得（负值已舍去），即，满足题意，
因此直线 的方程为，
即，
可得.
B 能力提升
11．（多选）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别为，，，且，，均不为0，为坐标原点，则（ ）
A.
B. 直线与直线的斜率之积为
C. 直线与直线的斜率之积为
D. 若直线，，的斜率之和为1，则的值为
【答案】CD
【解析】选.
椭圆 的离心率为，
因为，所以，即，则 错误；
设，,,,则，,
两式相减可得，所以，则 错误；
同理可知,,则 正确；
又，则 正确.
12．已知实数，满足，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】因为，所以，，
根据数形结合，，，可看作是椭圆 的一半，如图，
又 等价于过点 和点 的直线斜率，由图可知，当直线与椭圆相切时，斜率取最值.
设切线为，
联立 消去 得，
令，
解得，
所以，即 的取值范围是,.
13．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]（13分）已知和为椭圆上两点.
（1） 求的离心率;（5分）
（2） 若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程．（8分）
【答案】
（1） 解：由题知 解得
所以,所以 的离心率.
（2） ,
设点 到直线 的距离为，则 的面积为，解得.
易知直线，设，
则
解得 或
所以 或，
故 的方程为 或.
14．[（2025·常州期中）]（15分）已知椭圆与直线交于点，,点为中点，为坐标原点.
（1） 若过椭圆的一个顶点和一个焦点.
① 求椭圆的方程；（3分）
② 求的坐标.（5分）
（2） 若椭圆的离心率为，以为直径的圆过原点，求椭圆的方程.（7分）
【答案】
① 解：因为直线 与坐标轴交于，，又椭圆的焦点在 轴上，
所以，,所以,
所以椭圆 的方程为.
② 联立 消去 得，解得 或，不妨令，的坐标分别为，,，
所以 的坐标为,.
（2） 由题意得，，解得，所以，
所以椭圆的方程可变为，
联立 消去 得，
设，，
因为直线 与椭圆有两个交点，，
所以，得，且，，
因为以 为直径的圆过原点，
所以，
所以，
所以
，即，
解得，符合，
所以椭圆 的方程为.
C 素养拓展
15．[（2025·河南期中）]已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆, 的离心率为，点，，，分别为蒙日圆与坐标轴的交点，，，，分别与 相切于点，，，，则四边形与四边形的面积的比值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得蒙日圆 为，
则，，
直线 的方程为，
联立
得，
，
解得，，
所以
.
阶段提升（三） 椭 圆
（范围：3.1）
题型一 椭圆的标准方程
1．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.椭圆 可化为标准方程，可知椭圆 的焦点在 轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的标准方程为，则.
又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.
2．[（2025·北京期末）]已知椭圆的焦点为,.过点的直线与椭圆交于，两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为椭圆 的焦点为，，所以，椭圆的焦点在 轴上，又过点 的直线与 交于，两点，的周长为8，则根据椭圆定义可得，解得，因此，所以椭圆 的标准方程为.
3．已知过椭圆右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在 中令 得，所以椭圆右焦点为，即，设,，，，,因为，在椭圆上，所以
两式相减得，因为,
所以，即，从而，所以，
又，因此，
所以椭圆 的标准方程为.
求椭圆标准方程的策略
（1）定形：先确定椭圆的焦点在轴上，还是在轴上；
（2）定式：根据“形”设方程的形式，若椭圆的焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可设方程为；
（3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
题型二 椭圆的几何性质
1．[（2025·东营期中）]已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. 6 C. D. 12
【答案】C
【解析】选.由题意可知，解得，即，
所以椭圆 的长轴长为.
2．椭圆与且的（ ）
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等
【答案】C
【解析】选.对于椭圆，，
,所以，
所以该椭圆的长轴长为6，短轴长为4，焦距为，离心率为.
对于 且，则,，该方程表示的是焦点在 轴上的椭圆，则,，所以，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
所以两个椭圆的焦距相等，都为.
3．已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆 有两个不同的公共点，则椭圆 的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】将直线 整理可得，易知该直线恒过定点,，若直线 恒与椭圆 有两个不同的公共点，可知点,在椭圆内部，
易知椭圆上的点当其横坐标为 时，纵坐标为，即可得，整理可得，即，解得，又，故.
与椭圆几何性质有关的两种题型
（1）已知椭圆的方程研究其性质：范围、对称性、顶点及离心率，尤其离心率问题是椭圆考查的重点.
（2）已知椭圆的性质求其标准方程，基本方法是待定系数法或分类讨论法.
题型三 与椭圆有关的最值
［典例］
（1） 已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为_ _ _ _ .
（2） 已知是椭圆上一动点，则点到直线的距离的最小值为 _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 2
（2）
【解析】
（1） 设点，,则有，即.
所以，当 时，取最大值2.
（2） 方法一:要使 点到直线 的距离最小，只要找到与椭圆相切且与 平行的最近的一条直线，设与 平行且与椭圆相切的直线为，联立 消去 整理得，由，解得 或，对于直线，与直线 的距离为，
对于直线，与直线 的距离为，所以 点到直线 的距离的最小值为.
方法二：因为点 在椭圆 上，
故可设 点坐标是，所以点 到直线 的距离，
所以，当且仅当，即 时，取得最小值.
解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理.
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征,进而求解.
（3）利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时应注意椭圆中,的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.
［跟踪训练］．已知点是椭圆上任意一点，定点，为右焦点，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，设 为椭圆 的左焦点，
因为椭圆，则,，，,,所以.
阶段小测（三）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．点与椭圆的位置关系为（ ）
A. 点在椭圆上 B. 点在椭圆内 C. 点在椭圆外 D. 与有关
【答案】C
【解析】选.由于，所以点 在椭圆 外.
2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.设椭圆方程为，
则
解得
故椭圆的标准方程为.
3．已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（ ）
A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】选.由椭圆的短轴长为，得，则，又 的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以,，则其焦距为.
4．已知，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上一点，直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.依题意可设，，,所以，，，因为椭圆的离心率为，所以，所以，
所以.
5．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，,是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为椭圆的中心在原点，焦点，在 轴上，故可设椭圆方程为，因为 轴，则点 的坐标为,，
又，，，
于是，，
因为，所以，
得，即，
所以，,故，.
6．已知椭圆上有两点，，点是椭圆上异于，的点，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.
由点 在椭圆上，代入解得，则椭圆，如图，
要使 的面积最大，因为 长度不变，则需使点 到直线 的距离最大，
易得直线 的方程为，
设直线，使得 与椭圆 相切，
联立可得
消去 得，
令，解得.
此时直线 到直线 的距离为，
，故 面积的最大值为.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12
C. 的最小值为3 D. 的最大值为16
【答案】BD
【解析】选.椭圆，
则,,，
对于，，故 错误；
对于，的周长为，故 正确；
对于，的最小值为，故 错误；
对于，，当且仅当 时等号成立，故 正确.
8．伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积，即椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的 倍.这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为 ，离心率为，,是椭圆的两个焦点,为椭圆上的动点,则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的标准方程可以为
B. 若，则
C. 存在四个点，使得
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】选.由题意可知，
解得
故椭圆的标准方程为 或，故 正确；
根据椭圆定义可知，根据余弦定理可得，
故，所以，故 错误；
当 位于短轴端点时，此时，
故 为钝角，因此椭圆上存在四个点，使得，即，故 正确；
由于，
故
，
当且仅当，即，时，等号成立，故 正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．已知短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为.
【答案】20
【解析】由 可得,，由椭圆的定义，可得，则 的周长为.
10．如图，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角 的平面所截，截面是一个椭圆，则椭圆的离心率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知椭圆的短半轴长为，长半轴长为，
则，则该椭圆的离心率为.
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，为椭圆 上任意一点，则，
又因为 为圆 上任意一点，
，
当且仅当，，，共线且，在，之间时等号成立.
由题意知，，，则，所以 的最小值为.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为,为此圆上一点.
（1） 求椭圆的离心率；（4分）
（2） 记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：由题意得,，且，即，
解得,，
所以椭圆 的离心率.
（2） 由题意，得.设，则.
所以
，
因为，所以当 时，；
当 时，.
所以 的取值范围为,.
13．（本小题满分15分）已知椭圆，椭圆以的短轴为长轴且与有相同的离心率.
（1） 求椭圆的方程；（5分）
（2） 设为坐标原点，点,分别在，上，且，求直线的方程.（10分）
【答案】
（1） 解：由椭圆方程，可知短轴在 轴，且短轴长为4，离心率为，
所以根据题意，可设椭圆 的方程为，
因为椭圆的离心率为，
故，解得，
故椭圆 的方程为.
（2） 设，.由 可知,,三点共线且点,不在 轴上，
因此可以设直线 的方程为，
将 代入 得，所以，
将 代入 得，所以，
又由，可得，即，
则，代入得，化简得，解得，
则，故直线 的方程为 或.
14．（本小题满分15分）已知椭圆，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形，过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
（1） 求椭圆的方程及离心率；（6分）
（2） 若直线的斜率为0，求的值．（9分）
【答案】
（1） 解：由题意可知,,,
故椭圆 的方程为,离心率.
（2） 设，，直线 的方程为,
联立 得.
所以,即,
由根与系数的关系得
①
由椭圆的对称性可得，
因为，，三点共线，所以，
所以,即.
由,,得,
整理得，②
所以,
解得.
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
新课导入
取一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边各选择一点，分别固定在点，上，如图，把笔尖放在处，随着拉链的拉开或闭拢，画出曲线.
学习目标
1.理解并掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决相关问题.
2.掌握双曲线的标准方程，了解其推导过程，掌握求双曲线标准方程的基本方法.
新知学习 探究
一 双曲线的定义
思考．同学们还记得椭圆的定义吗？把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值等于常数（小于）”，那么点的轨迹会怎么样
提示 将拉链拉开一段，其中一边的端点固定在 处，在另一边上截去一段（小于），作为动点 到两定点 和 距离之差，而后把它固定在 处，这时将铅笔（粉笔）置于 处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支.（如图）显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差 或 是同一个常数”这个条件.
［知识梳理］
1．定义：平面内到两个定点,的距离之差的①_ _ _ _ _ _ 等于常数（②_ _ 的正数）的点的轨迹叫作双曲线.
【答案】绝对值； 小于
2.几何表示：（常数）.
3．焦点：两个定点③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
4．焦距：④_ _ _ _ _ _ _ _ 的距离.
【答案】两个焦点间
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.（ ）
（2） 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.（ ）
（3） 平面内两个定点，，满足条件的动点的轨迹是双曲线.（ ）
（4） 平面内两个定点，，满足条件的动点的轨迹是双曲线.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．相距的,两地，听到炮弹爆炸的时间相差.若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（ ）
A. 圆 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线
【答案】B
【解析】选.由已知条件可得.根据双曲线的定义可知，点 在以,为焦点的双曲线上.
3．已知,，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】且
【解析】由双曲线的焦点坐标,，可得，要使得满足条件 的动点 的轨迹是双曲线的一支，
则
解得 且.
记动点到定点,的距离分别为,,,,.
,的轨迹为双曲线；
,的轨迹为两条射线；
,无轨迹图形；
，的轨迹为线段的垂直平分线.
二 双曲线的标准方程
思考．类比椭圆的方程，结合双曲线的形成过程，怎样建立坐标系才使双曲线的方程更简单些？
提示 以，所在的直线以及线段 的垂直平分线作为坐标轴，所得方程应该更简单.
［知识梳理］
类别 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程
焦点坐标 ， ，
，，的关系 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】
［例1］ （对接教材）根据下列条件求双曲线的标准方程：
（1） 以椭圆的长轴端点为焦点，且经过点；
（2） 双曲线经过点，,.
【答案】
（1） 【解】依题意，双曲线的焦点在 轴上，且.
设双曲线的标准方程为.
代入点 得.
又,解得,.
所以所求双曲线的标准方程为.
（2） 设双曲线方程为.
因为点，,在该双曲线上，所以 解得
所以所求双曲线的标准方程为.
求双曲线标准方程的方法
（1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的,,，再写出双曲线的标准方程.
（2）待定系数法：先设出双曲线的标准方程或,均为正数，然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程即可.
注意 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为的形式，注意标明条件.
［跟踪训练1］．
（1） 已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 以，为焦点，经过点的双曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.依题意，,，
所以，
由于双曲线的焦点在 轴上，
所以双曲线的标准方程是.
（2） 由已知得，且焦点在 轴上．
因为点 在双曲线上，所以
，
则，，
所以所求双曲线的标准方程是.
三 双曲线中的焦点三角形问题
［例2］ 若，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且 ，求的面积.
【解】 由双曲线的定义和余弦定理得，， ，所以，所以，
所以 或.
母题探究．若将本例中的“ ”改为“”，求的面积.
解：将，两边平方得，所以.
在 中，由余弦定理的推论得，
，所以 ，所以.
（1）双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
（2）若双曲线中焦点三角形的顶角 ，则焦点三角形的面积.
［跟踪训练2］．
（1） 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为,，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） ,
【解析】
（1） 选.根据双曲线的定义得，又因为，所以，.又因为，所以在 中结合余弦定理的推论得,，因为 ，所以 .
（2） 由双曲线的标准方程，可得,，则，
设，则，解得，因为点 在双曲线上，代入可得，解得，故,.
四 双曲线标准方程的实际应用
［例3］ 如图所示，某接报中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点，，的报告：，两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚，假定当时声音传播的速度为，各观测点到该中心的距离都是，设发出巨响的位置为点，且,,,,均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置.
【解】 如图，以接报中心 为原点，正东、正北方向为 轴、轴正方向，建立平面直角坐标系.
则，，，设 为巨响发生点，由，同时听到巨响声，得，
故 在 的垂直平分线 上，的方程为，因为 观测点比 观测点晚 听到巨响，
故，由双曲线定义知 点在以,为焦点的双曲线 的左支上，依题意得，，所以，故双曲线方程为，将 代入上式，得，
因为，所以，，即，
故.
故巨响发生的点 在接报中心的北偏西 距接报中心 处.
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
［跟踪训练3］．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的一部分，当拱顶到水面的距离为时，水面宽为，则当水面宽度为时，拱顶到水面的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据题意，，，故，解得，即，当水面宽度为，即 时，，所以拱顶 到水面的距离为.
课堂巩固 自测
1．已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，所以 的轨迹为双曲线，且焦点在 轴上，设该双曲线的方程为，则，，.所以 的轨迹方程为.故选.
2．与椭圆共焦点，且过点的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.方法一:由题意得椭圆的焦点为，，
所以双曲线的焦点在 轴上且焦距为6，设双曲线的方程为，
所以 解得
所以双曲线的方程为.
方法二：设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，
可得，
解得（舍去）或.
所以双曲线的方程为.
3．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由方程 表示焦点在 轴上的双曲线，
则
解得.
4．已知双曲线的上、下焦点分别是，,为双曲线上支上的动点，.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 若，求.
【答案】（1） 解：，得，，所以双曲线 的方程为.
（2） 设，则，在 中，由余弦定理得，
整理得，解得 或（舍去），
故，故.
1.已学习：（1）双曲线的定义.（2）双曲线的标准方程.（3）直线与双曲线的交点.
2.须贯通：掌握求标准方程的2种方法：（1）待定系数法.（2）定义法.
3.应注意：忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意，，，则，，
由两焦点在 轴上，所以双曲线的标准方程为.故选.
2．已知方程表示焦点在轴的双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.方程 可化为，
由方程表示焦点在 轴的双曲线，得
解得.
3．若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为双曲线方程为，所以，,,又，
当点 在双曲线 左支上时，，则,符合题意；
当点 在双曲线 右支上时，，
则，不合题意，舍去.
4．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可得 ，
由双曲线的定义得 ，
而，解得 ，，
由余弦定理得
，
所以 .故选.
5．（多选）过点，且的双曲线的标准方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.因为，所以，
当焦点在 轴上时，设双曲线方程为，
代入，得，
此时双曲线方程为.
同理，求得焦点在 轴上的双曲线方程为.故选.
6．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】AC
【解析】选.由双曲线 可得.根据双曲线的对称性只需考虑 或 两种情况.
当 时，将 代入 可得，所以 的面积为;
当 时，
方法一:由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得，所以，此时 的面积为.
方法二：令 ,则.综上所述，的面积为4或.
7．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】 的焦点坐标为，故，故，当且仅当，即,时，等号成立，故 的最小值为9.
8．已知,分别是双曲线的左、右焦点，若，则_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】根据双曲线方程 可得,，
再由双曲线定义可得，解得 或，
又因为，所以可得.
9．直线与双曲线相交，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】将 代入，得，若，则 无解；若，则由 可得.
10．（13分）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 过点，且与椭圆有相同焦点的双曲线方程；（6分）
（2） 过点，，，且焦点在坐标轴上.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意可知椭圆 的焦点坐标为,,
所以可设双曲线的标准方程为，其中,①
代入点 可得，②
联立①②解得,,
所以双曲线的标准方程为.
（2） 设双曲线的方程为，.
因为点，在双曲线上，
所以 解得
所以双曲线的标准方程为.
B 能力提升
11．（多选）已知点在双曲线上，,分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A. B.
C. 点到轴的距离为4 D.
【答案】BC
【解析】选.由已知得，，
则右焦点的横坐标为，
由双曲线的定义可知，，故 错误；
设点，则，
所以，故 正确；
由双曲线的对称性，不妨取点 的坐标为,，
得，
由双曲线的定义，得，所以，故 正确；
由余弦定理,得，
所以，故 错误.故选.
12．已知双曲线的两个焦点为，，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由双曲线的定义得，平方得，又因为，所以由勾股定理得，代入，解得，因为,所以，所以点 到 轴的距离为.
13．（15分）已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点.
（1） 求双曲线的标准方程；（5分）
（2） 若点在双曲线上，，为左、右焦点，且,试判断的形状.（10分）
【答案】
（1） 解：椭圆方程可化为，焦点在 轴上且,故可设双曲线方程为.
依题意得 解得
所以双曲线的标准方程为.
（2） 不妨设点 在双曲线的右支上，则.
因为,
所以,.
又,
所以在 中，边 最长，
因为,
所以 为钝角，故 为钝角三角形.
14．（15分）如图，某苗圃有两个入口，，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系.
（1） 工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送最近？并说明理由；（5分）
（2） 工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口，运输的最近距离相等，求出点所有可能的位置.（10分）
【答案】
（1） 解：由题意可得，，，，,
经过 入口时最短距离为，
经过 入口时最短距离为.
因为,所以经过 入口运送最近.
（2） 设点，已知，可得，
所以点 所有可能的位置是以，为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，则，
所以点 所有可能的位置是 在苗圃内所对应的点.
C 素养拓展
15．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆与双曲线有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】光线从椭圆的左焦点出发经过椭圆反射后要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，
如图，,
,
所以光线经过 次反射后回到左焦点所经过的路径长为.
3.2.2 双曲线的几何性质
新课导入
发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关性质.
学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.理解判断直线与双曲线位置关系的方法.
4.会求解有关弦长、中点弦问题.
5.会解决直线与双曲线的综合问题.
第1课时 双曲线的简单几何性质
新知学习 探究
一 双曲线的几何性质
类比椭圆的几何性质，研究双曲线的方程及其对应曲线：
思考．从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制
提示 有限制，因为，即，所以 或.
［知识梳理］
1．双曲线的几何性质
标准方程
图形
性质 范围 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
对称性 对称轴：③_ _ _ _ _ _ ；对称中心：④_ _
顶点坐标 ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
渐近线 ⑦_ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _
离心率 ⑨_ _ _ _ _ _ ，
轴长 实轴长为⑩_ _ _ _ _ _ ,虚轴长为 _ _ _ _ _ _
【答案】 或； 或； 坐标轴； 原点； ,； ,； ； ； ； ；
2．双曲线的中心和等轴双曲线
（1） 双曲线的中心
双曲线的 _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作双曲线的中心．
（2） 等轴双曲线
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率.
【答案】（1） 对称中心
（2） 实轴和虚轴等长
［例1］ （对接教材例1）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
【解】 把方程 化为标准方程为，
由此可知，实半轴长，
虚半轴长，，
焦点坐标为，，
离心率，
顶点坐标为，，
渐近线方程为，
即.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准形式；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定,的值；
（3）由求出的值，写出双曲线的几何性质.
注意 求性质时一定要注意焦点的位置.
［跟踪训练1］．
（1） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D. 5
（2） 双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） D
【解析】
（1） 选.设，则，，，所以.
（2） 选.由 可得,又因,故有,而双曲线 的渐近线方程为,即.故选.
二 由双曲线的几何性质求标准方程
［例2］
（1） 求焦点在轴上，离心率为，且过点的双曲线的标准方程；
（2） 求经过点,，且渐近线方程为的双曲线的标准方程.
【答案】
（1） 【解】因为，
所以，.
又因为焦点在 轴上，
所以设双曲线的标准方程为.把点 代入方程，解得.
所以双曲线的标准方程为.
（2） 方法一:当焦点在 轴上时，设双曲线标准方程为，由双曲线经过点,得，①
由双曲线的渐近线方程为 得，②
由①②解得，，，
此时，所求双曲线方程为.
当焦点在 轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点,得，③
由双曲线的渐近线方程为 得，④
不存在同时满足③④的，.
综上所述，所求双曲线的标准方程为.
方法二：由渐近线方程为，即 可设所求双曲线的方程为，
又双曲线经过点,，则有，
所以所求双曲线的标准方程为.
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
（2）巧设双曲线方程的技巧
渐近线为的双曲线方程可设为.
［跟踪训练2］．
（1） 已知双曲线中心在原点，一个顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.方法一:由双曲线顶点在 轴上，所以可设其方程为，因为顶点坐标为，渐近线方程为，即，可得 解得 所以双曲线的标准方程为.
方法二：依题意可设双曲线方程为，化为标准方程，又一个顶点坐标为，所以，，故所求双曲线的标准方程为.
（2） 由题意得 解得
所以，
所以双曲线的方程为.
三 双曲线的渐近线与离心率
角度1 求双曲线的渐近线
［例3］
（1） 已知中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知,,为双曲线的两个焦点，点为虚轴的一个端点， ，则的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由题意可得，则，又双曲线的焦点在 轴上，所以双曲线的渐近线方程为.
（2） 由题意知，，而 ，结合双曲线的对称性可知 为等腰三角形，则 ，故，结合 可得，
故 的渐近线方程为.
求双曲线渐近线方程的步骤
（1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论；
（2）求参数：利用已知条件建立，的关系式，求出，的值或其比值；
（3）写方程：若双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为.
角度2 求双曲线的离心率
［例4］
（1） 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A. 3 B. C. D.
（2） 已知点，分别是双曲线的左焦点和右顶点，过点作垂直于轴的直线，交双曲线于，两点，若，则双曲线的离心率为_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 2
【解析】
（1） 依题意，双曲线的渐近线方程为，又因为直线 的斜率为，所以，则双曲线 的离心率.
（2） 设，将 代入，得，所以,，,,因为，且，由双曲线的对称性可知,,所以，即,即，所以，即，因为,所以，所以双曲线的离心率为2.
求双曲线离心率的方法
（1）若可求得,，则直接利用求解.
（2）若已知,，可直接利用求解.
（3）若得到的是关于,的齐次方程,,为常数，且,则转化为关于的方程求解（注意）.
［跟踪训练3］．（多选）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的实轴长为 B. 的虚轴长为
C. 的渐近线方程为 D. 的离心率为2
【答案】AC
【解析】选.设，渐近线方程为，即，与渐近线的交点为，则 到渐近线的距离，
又，所以，又直线 与圆 相切，所以，设另外一个焦点为，则，，
又，所以，所以，又，所以，双曲线 的实轴长为，虚轴长为，正确，错误；
渐近线方程为，离心率为，正确，错误.
课堂巩固 自测
1．双曲线的虚轴长为（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】选.双曲线 的标准方程为，可得，则虚轴长.
2．（多选）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A. 双曲线的一条渐近线方程为
B. 椭圆和双曲线共焦点
C. 双曲线的离心率
D. 椭圆和双曲线有4个公共点
【答案】AD
【解析】选.对于，双曲线 的渐近线方程为，正确；
对于，椭圆 的焦点在 轴上，双曲线 的焦点在 轴上，错误；
对于，双曲线 中，，，离心率，错误；
对于，由 解得 此方程组有4个解，因此椭圆和双曲线有4个公共点，正确.
3．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知焦点 到渐近线 的距离为，
所以，所以.
4．根据下列条件求双曲线的标准方程：
（1） 过点，与双曲线的离心率相等；
（2） 与双曲线具有相同的渐近线，且过点.
【答案】（1） 解：过点，可知所求双曲线的焦点在 轴上，且，双曲线 的离心率，因为所求双曲线与双曲线 的离心率相等，所以所求双曲线的离心率为，解得，所以，所以所求双曲线的标准方程为.
（2） 由题意可设所求双曲线的方程为，把点 代入所设方程得，解得.所以所求双曲线的标准方程为.
1.已学习：双曲线的几何性质.
2.须贯通：（1）根据几何性质求双曲线方程的方法.（2）求离心率及其范围的方法.
3.应注意：（1）忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.（2）混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误.
课后达标 检测
A 基础达标
1．双曲线的实半轴长为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】选.由双曲线，可化为，可得，即，所以双曲线 的实半轴长为4.
2．已知双曲线的虚轴长为2，一个焦点为，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意可知，双曲线 的焦点在 轴上，设其标准方程为,
由题意可得 解得
故双曲线 的渐近线方程为.
3．已知双曲线的离心率，则实数的值为（ ）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】选.由题意双曲线 的标准方程为，，则，即.
4．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意可设所求双曲线的标准方程为.又该双曲线经过点，则，解得，则所求双曲线的标准方程为.
5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】选.由 可得其渐近线方程为，即,依题意，圆 的圆心 到 的距离为，化简得，则.
6．（多选）双曲线的左、右顶点分别为，，，两点在上，且关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 以的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 直线与的斜率之积为
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为2
【答案】BCD
【解析】选.对于，的焦点和顶点分别为，，从而以 的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故 错误；
对于，双曲线 的离心率为，故 正确；
对于，显然，异于，，不妨设，,
因为点,都在双曲线 上，
且，，
所以直线 与 的斜率之积为
，故 正确；
对于，双曲线 的焦点、渐近线方程分别是，，所以焦点到渐近线的距离，故 正确.
7．已知双曲线的实轴长为，离心率为2，则双曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题得 解得
所以双曲线的标准方程为.
8．已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】圆，双曲线 的渐近线方程为，因为圆 与双曲线 的渐近线有公共点，
所以圆心 到渐近线的距离，
所以，所以，即，所以.
9．已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内分别交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设，过点 作 轴的垂线，直线方程为，
将 代入双曲线方程得，所以，
又点 在第一象限，所以,，双曲线的一条渐近线方程为，令 可得，即,，
又，所以 是线段 的中点，则，即，所以，所以双曲线 的渐近线方程为，即.
10．[（2025·孝感期中）]（13分）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线.
（1） 若经过抛物线的顶点，求双曲线的方程；（5分）
（2） 若双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，求双曲线的方程.（8分）
【答案】
（1） 解：依题意可设 的方程为.
抛物线 的顶点为，将 代入 的方程，得，则 的方程为.
（2） 由题意易知，.
当焦点在 轴上时，设双曲线 的方程为，，则，，
则双曲线 的方程为；
当焦点在 轴上时，设双曲线 的方程为，，
则，，
则双曲线 的方程为.
综上所述，双曲线 的方程为 或.
B 能力提升
11．已知双曲线的左、右焦点分别为,，右顶点为，点是右支上一点，点是的重心，若，则点到的两条渐近线的距离之和为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】选.如图，由已知可得，设点，由 可得点 的横坐标,因为点 是 的重心，则，将 代入双曲线方程可得，解得，则点 的坐标为 或，由双曲线的对称性，可知点 的两个坐标到渐近线的距离之和相同，取点，由双曲线方程可得渐近线方程为，则点 到双曲线 的两条渐近线的距离之和为.
12．（多选）已知双曲线的离心率为，焦距为，直线与双曲线交于，两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABC
【解析】选.对于，设双曲线的右焦点为，因为直线 过原点，所以四边形 为平行四边形，所以,所以,故 正确；对于,因为，所以四边形 为矩形，所以，故 正确；对于，若，由渐近线的性质可知，所以，故 正确；对于，若，则，由渐近线的性质可知，在 中，，故 错误.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，在中，， ，则双曲线的离心率是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，由双曲线的定义知，
所以.
如图，取 的中点，连接,
所以，
又 ，得，
所以在 中，，
即，得，所以，
解得，
因为，所以双曲线 的离心率是.
14．[（2025·潍坊期末）]（15分）已知双曲线，点,都在双曲线上，且的右焦点为.
（1） 求的离心率及其渐近线方程；（6分）
（2） 设点是双曲线右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为,，证明：.（9分）
【答案】
（1） 解：由题意，把点，代入双曲线 的方程,得 解得
所以双曲线 的方程为，
故离心率，渐近线方程为.
（2） 证明：由题意得，,一定存在且，，且，
，，
则，
又点 的坐标满足，
则，
故
，
所以.
C 素养拓展
15．（15分）
（1） 根据双曲线的定义证明反比例函数的图象是双曲线；（7分）
（2） 我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.
探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，请说明理由.（8分）
【答案】
（1） 证明：观察图象可知若函数 的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，
且 轴、轴是 图象的渐近线，直线 是双曲线的对称轴，它与双曲线 的两个交点为,是双曲线的两个顶点，实轴长.
两焦点坐标为,.
设点 在函数 的图象上，则，即,，
①当 时，，
所以
.
②当 时，，同理，
有.
因此，无论点 在第一象限或者在第三象限，均有.
综上，函数 的图象是双曲线.
（2） 解：因为 与 是双曲线 的两条渐近线，且.
类似地，双曲线 上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.
证明如下：设 是双曲线 上任意一点，则有.
双曲线 的渐近线方程为.
于是点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为，结论成立.
第2课时 直线与双曲线的位置关系
新知学习 探究
一 判断直线与双曲线的位置关系
［知识梳理］
设直线,①
双曲线,②
把①代入②得.
（1） 当,即时，直线与双曲线①_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当,即时，
.
直线与双曲线有②_ _ 个公共点；
直线与双曲线有③_ _ 个公共点；
直线与双曲线有④_ _ 个公共点.
【答案】（1） 相交于一点
（2） 2；1；0
［例1］ 已知双曲线,直线，试分别确定满足下列条件的实数的取值范围.
（1） 直线与双曲线有两个不同的公共点；
（2） 直线与双曲线有且只有一个公共点；
（3） 直线与双曲线没有公共点.
【答案】
［例1］ 【解】 联立 消去,
整理得
当,即 时,
.
（1） 由
得 且,
此时方程 有两个不同的实数解，
即直线 与双曲线有两个不同的公共点.
（2） 由 得,
此时方程 有两个相同的实数解，
即直线 与双曲线有且只有一个公共点；
当,即 时，
方程（*）化为，
方程（*）只有一个实数解，即直线 与双曲线相交，有且只有一个公共点.
故当 或 时，
直线 与双曲线有且只有一个公共点.
（3） 由 得 或，此时方程（*）无实数解，
即直线 与双曲线没有公共点.
（1）解决直线与双曲线公共点问题时，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时的情况.
（2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或与直线或平行.
（3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
［跟踪训练1］．
（1） 若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（ ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
（2） 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.直线，即 恒过点，
又双曲线的渐近线方程为，则点 在其中一条渐近线 上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线 过点 且平行于 或过点 且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线 有2条.
（2） 联立 得,①
由题知方程①有一个正根，一个负根，
所以
解得.
二 与双曲线有关的弦长及中点弦问题
［例2］
（1） 过点能否作一条直线与双曲线交于两点，，且点是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.
（2） 已知直线和双曲线相交于,两点，为原点，求的面积.
【答案】
（1） 【解】若能作出直线，则直线 的斜率存在，设为，设,,则 两式相减得,
整理可得,
因为 是线段 的中点，所以,即，
故直线 的方程为，
即，
将直线方程代入双曲线方程可得,
，此时直线与双曲线不相交.
故不能作出这样的直线.
（2） 方法一:联立
得，设,，
则,，所以.
又因为点 到直线 的距离为，
所以.
方法二：由方法一易得.
设直线 与 轴的交点为,则.
弦长及中点弦问题的解题策略
（1）利用弦长公式 ，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.
（2）涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的关系.
［跟踪训练2］．
（1） [（2025·天津期中）]若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.设双曲线方程为，，,则 两式相减得,由题意知,所以，为线段 中点，则，，
又，所以，即，
而 是双曲线的焦点，所以，，则，
经验证双曲线 符合题意，所以双曲线的方程为.
（2） 设双曲线 与直线 交于,两点，由 消去 整理得，则，解得，且，,所以.
由，解得，所以.
三 与双曲线有关的综合问题
［例3］ 已知双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足 ，且.
（1） 求双曲线的离心率；
（2） 若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于,两点，且的面积为，求直线的方程.
【答案】
（1） 【解】由对称性可知，故，
由双曲线定义可知，即，
所以，又因为，
在 中，由余弦定理得，
即，
解得，故离心率为.
（2） 因为双曲线过点，
所以，又由（1）知，
解得，,所以双曲线方程为，圆，
当直线 的斜率不存在时，则,,,，
所以当直线 的斜率不存在时不成立.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为,，，
又点 到直线 的距离,
所以,，
联立 消去 得，
则 由 的面积为，即,所以，
，
将 代入上式得，
所以 或 即 或
经检验，满足，所以直线 的方程为 或.
与双曲线有关的综合问题
（1）当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.
（2）当与直线知识结合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.
［跟踪训练3］．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的右支于，两点，且当垂直于轴时，与的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.
（1） 求的方程；
（2） 若，求的值.
【答案】
（1） 解：根据题意有，的渐近线方程为，
将 代入两个渐近线方程得到交点坐标为，，
与 的两条渐近线所围成的三角形的面积为，
所以，的方程为.
（2） 设，，
其中，，
由（1）可知，，
当 轴时，显然 与 不垂直.
当 不垂直于 轴时，设 的方程为，代入 的方程有
，
故，，
，，
当 时有，①
由
得到，
代入，
整理有，②
由①，②可得.
所以
.
课堂巩固 自测
1．若直线与双曲线相交于,两点，则（ ）
A. 6 B. C. D. 9
【答案】B
【解析】选.由 消去 并整理得，，设,，则,，所以.
2．（多选）已知直线，双曲线，则（ ）
A. 当时，与只有一个交点
B. 当时，与只有一个交点
C. 当时，与的左支有两个交点
D. 当时，与的左支有两个交点
【答案】ABD
【解析】选.由题意知直线 过定点，
当 时，与 的渐近线平行，与 只有一个交点，故，正确；
当 时，与 的左支和右支各有一个交点，故 错误；
当 时，与 的左支有两个交点，故 正确.
3．已知直线与双曲线交于，两点，且弦的中点为,，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设，，则，，又
两式相减得,
即，
因为,整理得，
所以直线 的方程为，
即.
4．已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为.
（1） 求的方程和焦点坐标；
（2） 设的右焦点为，过点的直线交于，两点，若线段中点的横坐标为3，求.
【答案】
（1） 解：因为 的离心率，又 的虚轴长为2，所以,又,联立解得,,,
所以 的方程为，左、右焦点坐标分别为，.
（2） 由（1）知，根据题意易得过点 的直线斜率存在，设直线的方程为,,，
联立 化简得,
则
所以,,
因为线段 中点的横坐标为3，所以,解得，经检验，满足条件，所以,则,则.
1.已学习：直线与双曲线位置关系的判断.
2.须贯通：（1）解决直线与双曲线问题的通法.
（2）弦长问题、中点弦问题.
3.应注意：“点差法”解题要验证直线与双曲线的交点是否存在.
课后达标 检测
A 基础达标
1．过双曲线的左焦点和点的直线与双曲线的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】选.由题意得，则直线 的斜率，故直线 的方程为，而双曲线的渐近线方程为，
则直线 与直线 平行，且 过双曲线的左焦点，故直线 与双曲线 的交点个数是1.
2．过双曲线的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于，两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题知，直线 的方程为，①
设，,，
将①代入双曲线方程消去 得，.
方法一:解得，.
将，代入①，得，，
故
.
方法二：则,,
所以
.
3．已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以，即双曲线离心率的取值范围为.
4．已知双曲线的下焦点和上焦点分别为,，直线与交于，两点，若的面积是面积的4倍，则（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由 可知，,联立 整理得，则，即，由 的面积是 面积的4倍可知，到直线 的距离是 到直线 的距离的4倍，即，化简可得，即，解得 或（舍去）.
5．已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设，，可得，，两式相减可得，由点 是弦 的中点，且直线，可得，，，则，即，双曲线的渐近线方程为.经验证此时直线与双曲线有两个交点，符合题意.
6．（多选）已知直线经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，经过的点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.若直线 与 的两支交于顶点，，则，若直线 与 的一支交于，两点，则通径最短，，由题意得，解得，则 的方程为，经验证，选项表示的点不在双曲线上，，选项表示的点在双曲线上.
7．若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或

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