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第4章 三角形
4.6 　线段的垂直平分线
第2课时　线段垂直平分线的尺规作图
1. 学会用尺规作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、已知底边及其高作等腰三角形以及作一个角的平分线；
2. 通过作线段的垂直平分线去解决实际问题.
学习目标
如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.
A
B
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.
新课导入
作法：
(1)分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画弧，两弧相交于点C 和点D；
②过点 C，D 作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
A
B
C
D
为什么？
如果画的弧小于AB的长，那么两弧没有交点；
如果画的弧等于AB的长，那么两弧只有一个交点.
D
【例2】作一条线段的垂直平分线.
如图，已知线段AB.求作线段AB的垂直平分线.
因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.
A
B
C
D
如何用尺规过一点P作已知直线l的垂线呢？
若能找到直线l上一条线段AB，使AB的的垂直平分线经过点P，则该垂直平分线就是所求作的直线.
点P与已知直线l的位置关系有两种:
P
l
P
l
点P在直线l上
点P在直线l外
思 考
(1)点P在直线l上.
①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B；
②分别以A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP,则直线CP为所求作的直线.
l
P
A
B
C
(2)点P在直线l外.
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
A
B
C
P
l
【例3】已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图，已知线段a，b.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
分析 由于等腰△ABC的底边BC上的高线AD也是底边上的中线，从而直线AD是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就可确定三角形的另一个顶点.
·
·
·
·
h
a
作法 (1)作线段BC=a;
【例3】已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图，已知线段a，b.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
(2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D;
(3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA=h；
(4)连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形(如图).
·
·
·
·
h
a
A
D
C
B
N
M
·
·
·
·
【例4】求作一个角的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
分析 由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射
线OA，OB上，构造等腰△ODE，然后过点O作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
A
B
O
【例4】求作一个角的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
A
B
O
A
B
O
D
E
C
·
(2)分别以点D，E为圆心，以相同长度(大于DE的长)为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
作法 (1)以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB交于点D，E，连接DE；
(3)作射线 OC，则OC为所求作的∠AOB的平分线（如图).
说一说：为什么OC是∠AOB的平分线？
提示：角内部的全等三角形.
1.在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A.∠A的平分线
B. AC边的中线
C. AB边上的高线
D. AB边的垂直平分线
D
随 堂 小 测
2.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以AB的垂直平分线与公路的交点便是.
A
B
公共汽车站
解：如图，点P即为公共汽车站应建的位置.
P
3.如图，作出等腰△ABC的边BC上的高.
A
B
C
解：如图.
过一点P作已知直线l的垂线
作已知线段的垂直平分线
课堂小结
作一个角的平分线
已知底边及底边上的高线作等腰三角形
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢

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