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第4章 三角形
4.5 　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定
1.掌握等腰三角形的判定定理.
2.能运“等腰三角形的判定定理”进行证明和计算.
3.培养论证几何图形问题的能力，体会证明的必要性
学习目标
复习导入
1.等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形是轴对称图形.
③等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”) .
2.等腰三角形有哪些性质？
既是性质又是判定
A
B
C
D
任意画∠EBC，在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE与 CF交于点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么
探 究
AB=AC.
发现△ABC是等腰三角形.
探究新知
如图，在△ABC中，∠B=∠C，
以过点A的一条直线为折痕对折，使得射线AC与射线AB重合，折痕与BC的交点记作D，则AD为∠BAC的平分线.
由此可得等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
D
在△ABD和∠ACD中，
所以△ABD≌△ACD(角角边).
从而AB=AC，因此△ABC是等腰三角形.
A
B
C
D
2
1
因为∠1=∠2， 所以BD=DC.
(等角对等边).
因为∠1=∠2， 所以DC=BC.
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
都不正确，因为两角都不是在同一个三角形中.
如图，下列推理正确吗
练一练
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB， AC上的点，且DE//BC.求证：△ADE为等腰三角形.
证明：
因为 AB=AC，
所以∠B=∠C(等边对等角).
又因为 DE// BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
所以 ∠ADE= ∠AED.
于是△ADE为等腰三角形(等角对等边).
已知：如图，AC=AD,∠ACB=∠ADB，求证：BC=BD.
A
B
C
D
证明：连接CD.
因为AC=AD,
所以∠ACD=∠ADC（等边对等角）.
又∠ACB=∠ADB，
所以∠ACB-∠ACD=∠ADB-∠ADC，
即∠BCD=∠BDC,
所以△BCD为等腰三角形，
所以BC=BD.
练一练
【例3】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.
求证：AB=AC.
分析 要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.
因为∠1=∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
A
B
C
D
E
1
2
命题的证明首先需要将命题转化为已知、求证的格式，再要根据题意画出图形，最后证明结论的成立.
证明：因为AD//BC，
所以∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等).
又因为∠1=∠2，
所以∠B=∠C，
所以AB=AC.（等角对等边）．
AB//CD，∠1=∠2
∠1= ∠B, ∠2= ∠C
∠B= ∠C
AB= AC
A
B
C
D
E
1
2
如图，已知OC是∠AOB的平分线，CD//OB交OA于点D.
求证：△DOC是等腰三角形.
证明：因为OC平分∠AOB，
所以∠AOC=∠BOC.
因为CD∥OB，
所以∠DCO=∠BOC，
所以∠AOC=∠DCO，
所以OD=CD,
所以△DOC是等腰三角形.
角平分线+平行线可以推出等腰三角形.
练一练
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
随 堂 小 测
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C
1
3.如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
O
a
b
D
A
4.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么
解：△ABC是等腰三角形.
因为∠B=65°, ∠A=50°,
所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,
所以△ABC是等腰三角形.
5.已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.
求证：AB = AD.
B
A
D
C
证明：因为AD∥BC，
所以∠ADB=∠DBC.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠DBC.
所以∠ABD=∠ADB，
所以AB=AD.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O. 过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 探究EF，BE，FC之间的关系.
A
B
C
O
E
F
解：EF=BE+CF.理由如下：因为EF∥BC，
所以∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
因为BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
所以∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
所以∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，
所以BE＝OE，CF＝OF，
所以EF＝EO + FO＝BE + CF.
定义
等角对等边
两边相等的三角形是等腰三角形
注意是在同一个三角形中
等腰三角形的判定
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢

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