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第4章 三角形
4.6 　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的判定与性质
1. 理解线段垂直平分线的概念；
2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；
3. 通过对线段垂直平分线性质定理的探索，进一步了解原命题与逆命题之间的关系.
学习目标
新课导入
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(或中垂线).如图，直线l就是线段PP'的垂直平分线.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线有什么特征？
被对称轴垂直平分
平面内点P与点P′关于一条直线对称，则线段PP′被这条直线垂直平分.
如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P(点P不在线段AB上)，连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？
所以△PAD≌△PBD(边角边).
因此PA=PB.
设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB，
于是∠ADP=∠BDP=90°.
在△PAD和△PBD中
当点P在线段AB上式，结论还成立吗？
探 究
于是得到线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）.
A. 3.9 cm
B. 7.8 cm
C. 3.2 cm
D. 4.6 cm
练一练
B
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么
条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.
它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
你能证明上述逆命题是真命题吗？
说一说
如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB，由于MA=MB，则∠MAB是等腰三角形.
取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线.
因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上.
当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上.
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【例1】如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA=OB（线段垂直平分线上的性质定理）.
同理可得OB=OC.
于是OA=OC.
所以点O在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线上的性质定理的逆定理).
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
练一练
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
将该购物中心应建于AB，BC，AC三条线段的垂直平分线的交点处，才能使得它到三个小区的距离相等.
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（　　）
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
A
2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD 的周长为8 cm，则线段AC 的长为 .
3 cm
随 堂 小 测
3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.
证明：因为∠1=∠2，所以 EB=EC.
所以 点E在线段BC的垂直平分线上.
又因为∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，
所以 点A也在线段BC的垂直平分线上.
所以 AD垂直平分BC.
4.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.求证：AO = BO.
证明：因为AC=BC，AD=BD，
所以点C和点D在线段AB的垂直平分线上.
所以CD垂直平分线段AB.
又因为AB与CD相交于点O，
所以AO=BO.
线段的垂直平分线 定义 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
性质定理 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
数学语言：若点P在线段AB的垂直平分线上(AC=BC，PC⊥AB)，则PA=PB
性质定理的逆定理 文字语言：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
数学语言：如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢

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