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第4章 三角形
4.5 　等腰三角形
第3课时　等边三角形的性质与判定
1. 探索并掌握等边三角形的性质定理与判定定理；
2. 能运用等边三角形的性质与判定进行计算和证明.
学习目标
复习导入
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
新课讲授
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形.
等边三角形是轴对称图形.
等边三角形有几条对称轴？
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
等边三角形是特殊的等腰三角形.
等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？
如图，△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC.
由于AB=AC，则根据等腰三角形的性质定理得，
∠B=∠C.
同理，由于AC=BC，因此∠A=∠B.
从而∠A=∠B=∠C.
根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°.
因此∠A=∠B=∠C=60°.
由此可得等边三角形的性质定理：
探 究
等边三角形的各角都等于60°.
A
C
B
D
E
如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18 cm，EC =2 cm,则△ADE的周长是 cm.
12
练一练
三个角都相等的三角形是等边三角形.
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
说一说
逆命题成立.如图，在△ABC中，
由于∠A=∠B，则AC=BC.
同理可由，∠B=∠C得AB=AC.
由于AB=AC=BC，
因此△ABC是等边三角形.
由此可得等边三角形的判定定理1：
练一练
如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠A=∠B=∠C.
因为DE∥BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
所以∠A=∠ADE=∠AED .
所以△ADE是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
思 考
如图，在△ABC中，AB=AC.
情形1 设∠A=60°.
根据三角形内角和定理得
∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°.
由于AB=AC，因此∠B=∠C=60°.
于是△ABC是等边三角形.
情形2 设∠B=60°.
由于AB=AC，因此∠C=∠B=60°，
从而∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°.
于是△ABC是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
思 考
如图，在△ABC中，AB=AC.
情形3 设∠C=60°.
与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
由此可得等边三角形的判定定理1：
【例4】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证：△ADE是等边三角形.
证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=60°(等边三角形的性质定理).
因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE，
所以△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
练一练
如图，在等边三角形ABC中，AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：
因为 △ABC是等边三角形，
所以∠A= ∠B= ∠C=60°.
因为 AD=AE,
所以△ADE是等腰三角形.
因为 ∠A=60°，
所以 △ADE是等边三角形.
随 堂 小 测
1.下列三角形一定是等边三角形的个数是（ ）
A.5个 B. 3个
C.4个 D. 6个
C
2. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
9
3.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是______°.
120
4.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
C
B
D
E
O
B
C
D
A
E
5.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数.
解：
因为 △ABC是等边三角形，
所以∠CBA=60°.
因为BD是AC边上的中线，
所以∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
因为 BD=BE，
所以 ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
所以∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°.
6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABC＝∠ACB＝60°.
因为∠ABE＝40°，
所以∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
因为BE＝DE，
所以∠D＝∠EBC＝20°，
所以∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
7.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
因为△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
所以AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
因为 A，O，D三点共线，
所以 ∠DOB=∠COA=120°，
所以△COA ≌△DOB(SAS).
所以∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
因为 ∠EFB=∠AFO，
所以 ∠AEB=∠AOB=60°.
F
课堂小结
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢

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