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第4章 三角形
4.4 　尺规作图
1. 能利用尺规作已知角的等角及过直线外一点作已知直线的平行线；
2. 在分别给出三边、两边及其夹角和两角及其夹边的条件下，能够利用尺规作出三角形；
3. 了解作图方法的合理性.
学习目标
1.尺规作图的工具是什么？
2.你已经学会用尺规作哪些图形？动手试一试.
直尺和圆规.
会作一条线段等于已知线段
根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边及其夹角、两角及任何一边，都可以确定唯一的一个三角形.从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.
新课导入
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c
b
a
如图，已知线段 a，b，c.
求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c.
【例1】 已知三边作三角形.
分析 上一节在探索判定三角形全等的边边边定理时，作出了三条边长分别为2.5 cm，3 cm，4 cm的三角形.由此受到启发，可采取同样步骤作出所求作的三角形。
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c
b
a
如图，已知线段 a，b，c.
求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c.
B
A
C
(1)作线段BC=a；
(2)以点B为圆心，以c为半径画弧，再以点C为圆心，以b为半径画弧，两弧在BC的一侧相交于点A；
(3)连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形.
作法：
a
b
c
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【例1】 已知三边作三角形.
上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么？
由全等三角形的判定定理（边边边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.
O
B
A
分析 以点O为顶点，分别在边OA，OB上截取OC，OD，使OC=OD，连接CD，则构成△COD.然后作一个与△COD全等的三角形，则该三角形中与∠AOB相对应的角，就是所求作的角.
【例2】作一个角等于已知角？
如图，已知∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.
O
B
A
D'
C'
B'
O'
A'
(1)作射线O'A'；
(3)以O'为圆心，以OC(或OD) 的长为半径画圆弧，交O'A'于点C'；
(4)以点C'为圆心，以CD的长为半径画圆弧，交前弧于点D'；
作法：
(5)过D'作射线O'B'，则∠A'O'B'为所求作的角.
D
C
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，交OA于点C，交OB于点D；
【例2】作一个角等于已知角？
如图，已知∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.
运用所学知识，请说一说：为什么∠A'O'B' 就是所求作的角？
解：由作图过程可知：
根据“边边边”可得△D'O'C'≌△DOC，
所以∠D'O'C'=∠DOC，
即∠A'O'B'=∠AOB.
O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC，
【例3】已知两边及其夹角作三角形
如图，已知∠α和线段a，c. 求作△ABC，使∠B=∠α，BC=a，AB=c.
(2)在射线BM，BN上分别截取BC=a，AB=c；
(3)连接AC，则△ABC为所求作的三角形.
(1)作∠MBN=∠α；
B
M
N
A
C
作法：
为什么△ABC 就是所求作的三角形？
由全等三角形的判定定理（边角边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知两边及其夹角能作出唯一的三角形.
【例4】已知两角及其夹边作三角形
如图,已知∠α,∠β和线段a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β,BC=a.
A
(1)作线段BC=a；
α
β
E
D
C
B
作法：
(2)在BC的同侧，作∠DBC=∠α，∠ECB=
∠β，BD与CE相交于点A.则△ABC为所求作的三角形.
例题作出的△ABC 唯一吗？
由全等三角形的判定定理（角角边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知两角及其夹边能作出唯一的三角形.
(1)如图,已知∠α,∠β和线段a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，AB=a.
做一做
(2)你根据(1)作出的△ABC与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么
【例5】过直线外一点作这条直线的平行线.
如图，已知直线AB，点P不在AB上.
求作过点P且与直线AB平行的直线.
分析 受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点P画一条直线与直线AB相交，构造出∠α，再以点P为顶点作∠α的同位角教使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”可知：在点P处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线.
A
B
P
【例5】过直线外一点作这条直线的平行线.
如图，已知直线AB，点P不在AB上.
求作过点P且与直线AB平行的直线.
A
B
P
(5)连接PD，则直线PD为所求作的平行线.
作法
(1)过点P作直线EF,与直线AB相交于点M;
(2)以点M为圆心,以小于MP的长度为半径画圆弧,交MB于点G,交MF于点H；
(3)以点P为圆心,以MG(或MH)的长为半径画圆弧,交PF于点C；
(4)以点C为圆心,以HG的长为半径画圆弧,与前弧交于点D；
A
B
P
M
E
F
G
D
C
H
1. 如图，△ABC 是三边均不相等的三角形，DE = BC，以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画 个.
A
B
C
D
E
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随 堂 小 测
O
a
分析：先作一个角等于已知角，即∠MBN =∠O,再在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求作的三角形.
M
B
N
C
P
A
2. 如图，已知线段 a 及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC = a，∠B =∠O，∠C = 2∠B.
3. 如图，已知线段a，b，m，求作△ABC，使BC＝2a，AC＝b，且BC边上的中线AD＝m.
解：作法：
(1)作△ADC，使AC＝b，AD＝m，
DC＝a；
(2)作BD＝a；
(3)连接AB，则△ABC即为
所求作的三角形，如图.
常用作图语言
1.作∠……=∠……；
2.在……截取，使……=……；
3.以……顶点，以……为一边，作∠……=∠……；
4.作一条线段……=……；
5.连接……，或连接……交……于点……；
6.分别以……，……为圆心，以……，……为半径画圆弧，两弧交于……点.
用尺规作三角形的方法
1.已知两边及它们的夹角作三角形的方法
2.已知三边作三角形的方法
3.已知两角及它们的夹边作三角形的方法
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢

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