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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.5 全等三角形的应用
1. 可以灵活构造全等三角形，将不可测距离化为可测距离；
2. 能利用三角形的全等解决实际问题；（重难点）
3. 在解决问题过程中进行有条理的思考与表达.
学习目标
为测量河宽AB，小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点 E 处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小楠说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？
如图4.3-19，在△AEB 和△CED 中，
所以△AEB≌△CED (角边角)，
从而AB = CD .
即CD 的长就是河的宽度.因此，小楠说得对.
∠A =∠C = 90°，
AE = CE，
∠AEB =∠CED (对顶角相等)，
课时导入
思考
图4.3-19
小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动（如图4.3-20所示)，使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木条的粗细忽略不计)？
例8
图4.3-20
解：如图4.3-20，连接AB，CD，
由题意可知，OA=OB=OC=OD.
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(边角边），从而AB=CD，
即AB的长等于玻璃瓶的内径.
分析 只需要说明AB和CD相等即可.
OA =OC，
∠AOB =∠COD (对顶角相等)，
OB =OD，
在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图4.3-21所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么
解：如图4.3-21，过点B作BF⊥AC，交AC于点F，
则∠CFB=∠AFB=90°.
例9
图4.3-21
又∠CFB=∠CAE=90°，所以FB//AE，从而∠ABF=∠BAE.
因为两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，
所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF=∠ABF.
F
在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C处，如图4.3-21所示.已知AE为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么
在△CBF与△ABF中，
∠CBF =∠ABF，
BF=BF，
∠CFB =∠AFB，
所以△CBF≌△ABF (角边角)，
从而CF=AF.
例9
图4.3-21
所以AF，EB是平行线AE与FB的公垂线段，
又FA⊥AE，BE⊥AE，且AE//FB,
故AF=EB，从而AC=2AF=2EB.
因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的2倍.
1.如图，AB=AC，BD=CD，E为AD上一点.试说明：BE=CE.
所以∠BAD=∠CAD.
解：在△ABD 和△ACD中，
因为AB=AC，BD=CD，AD=AD，
所以BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AE=AE(公共边)，
所以△ABD≌△ACD (边边边).
所以△ABE≌△ACE (边角边).
随 堂 小 测
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
解：相等．理由如下：
在△ABC 和△ADC 中，
AB＝AD，
AC＝AC，
BC＝DC，
所以△ABC≌△ADC (边边边)，
所以∠DAE＝∠BAE.
AB＝AD，
∠DAE＝∠BAE，
AE＝AE，
所以△ADE≌△ABE (边角边).
所以 BE＝DE.
在△ADE 和△ABE 中，
解：在△ABC与△DEC中，
CA=CD，
∠ACB=∠DCE，
CB=CE ，
所以△ABC≌△EDC (边角边),
所以AB=DE.
3.如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD＝CA；连接BC 并延长到E，使CE＝CB，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离.你能说明其中的道理吗
你还有其他测量AB间距离的方法吗？
方案二：过点B作AB的垂线BF，在BF上分别取点C，E，使得BC=EC，过点E作BE的垂线EG，在EG上找一点D，使得点A，C，D在一条直线上，测得DE的长度就是A，B间的距离.
B
A
D
C
E
G
F
解：在△ABC和△DEC中，
∠ABC＝∠DEC=90°，
BC＝EC，
∠ACB＝∠DCE,
所以△ABC≌△DEC（角边角），
所以AB＝DE.
方案三：先构造△ABC，再确定点D，使得AD∥BC，AD＝BC，连接CD并测量出它的长度，CD的长度就是A，B间的距离.
解：在△ABC和△CDA中，
BC＝AD，
∠BCA＝∠DAC，
AC＝CA,
所以△ABC≌△CDA（角边角），
所以AB＝CD.
B
A
D
C
还有其他测量方案吗？
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(边角边)
找第三边(边边边)
找任一角(角角边)
边为角的对边
边为角的一边
找角的另一边(边角边)
找边的对角(角角边)
找夹边的另一角(角边角)
找夹边(角边角)
找其中一角的对边(角角边)
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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