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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.3 全等三角形判定定理（边角边）
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2. 掌握三角形全等的“角边角”、“角角边”条件；
3. 在探索三角形全等条件及其应用过程中，能够有条理地思考并进行简单的推理.
学习目标
前面已经学习了利用两边及其夹角分别相等来判定两个三角形全等，如果两个三角形的两个角和这两个角的夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗
课时导入
思考
已知△ABC和△A'B'C'，其中BC=B'C'=3 cm，∠B=∠B'=40°,
∠C=∠C'＝60°，如图4.3-11所示.
A
图4.3-11
C
A'
B'
C'
B
把△ABC放到△A'B'C'上，使点B与点B'重合，BC落在射线B'C'上，点A与点A'在BC的同侧，则由BC=B'C'=3 cm可得，点C与点C'重合.
因为∠B=∠B'=40°，
所以射线BA与射线B'A'重合.
又∠C=∠C'=60°，
故射线CA与射线C'A'重合.
因为C'A'与B'A'，CA与BA都有且只有一个交点，
所以点A与点A'重合.
于是△ABC与△A'B'C'完全重合，从而△ABC≌△A'B'C'.
由此猜测：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
数学上已经证明上述猜测成立，并称之为全等三角形的判定定理（角
边角）.
如图4.3-12，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.求证：△ABE≌△CDF.
证明：因为AB∥DC，
所以∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
所以△ABE≌△CDF (角边角).
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
例3
图4.3-12
如图4.3-13，∠1=∠2，∠C=∠E，AC=AE.求证：△ABC≌△ADE.
证明：因为∠1=∠2，
所以∠1+∠BAE =∠2+∠BAE.
在△ABC 和△ADE 中，
所以△ABC≌△ADE (角边角).
∠BAC =∠DAE，
AC = AE，
∠C =∠E，
例4
图4.3-13
C
E
D
B
A
1
2
即∠BAC =∠DAE.
练一练
如图，已知AB∥DF，AC∥DE，BC=FE，且点B，E，C，F在一条直线上. 试说明：△ABC≌△DFE.
解：因为AB∥DF且点B，E，C，F在一条直线上，
所以∠B=∠F.
因为AC∥DE，
所以∠ACB=∠DEF.
在△ABC和△DFE中，
∠B =∠F ，
BC =FE，
∠ACB =∠DEF ，
所以△ABC≌△DFE(角边角).
练一练
如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，可证得△ABC≌△DCB．则判定两三角形全等的依据是 .
B
C
A
D
角边角
提示：BC是公共边.
如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？为什么
议一议
如图4.3-14，在△ABC和△A′B′C′中，满足∠A=∠A′，∠B=∠B′， BC=B′C′.
A′
B′
C′
A
B
C
图4.3-14
因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A'+∠B'+∠C'=180°，
所以∠C=∠C'.
又由于BC=B'C'，∠B=∠B'，
因此△ABC≌△A'B'C'（角边角）.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
由此得到全等三角形的判定定理（角角边）：
如图4.3-15，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：△ABC≌△ADC.
证明：因为∠1=∠2，
所以∠ACB=∠ACD（等角的补角相等）.
在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D，
AC=AC，
∠ACB=∠ACD，
所以△ABC≌△ADC（角角边）．
例5
图4.3-15
练一练
如图，已知∠A =∠D，AB = CD，可得△ABO≌_______，理由是_________.
A
B
C
D
O
△DCO
角角边
1. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证：AD=AE.
A
D
B
C
O
E
证明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A= ( )，
________ ( )，
∠C= ( )，
所以△ACD≌△ABE ( ).
所以AD=AE（ ）.
∠A
公共角
AB = AC
∠B
角边角
全等三角形的对应边相等
已知
已知
随 堂 小 测
2.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.求证：AB=AD.
证明：因为AB⊥BC，AD⊥DC，
所以∠B=∠D=90°.
在△ABC 和△ADC 中，
∠1=∠2，
∠B=∠D，
AC=AC，
所以△ABC≌△ADC (角角边).
所以 AB=AD.
3.如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED.
A
B
E
C
D
1
2
证明：因为∠1=∠2，
所以∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
所以△AED≌△ABC(角边角).
所以BC=ED.
在△AED和△ABC中，
∠E =∠B，
AE = AB，
∠EAD =∠BAC ，
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D，E.
求证：（1）△BDA≌△AEC；
（2） DE＝BD＋CE.
证明：（1）因为 BD⊥m，CE⊥m，
所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
所以∠ABD＋∠BAD＝90°.
因为∠BAC＝90°，
所以∠CAE＋∠BAD＝90°.
所以△BDA≌△AEC（角角边）.
∠ADB＝∠CEA＝90°，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝AC，
所以∠ABD＝∠CAE.
在△BDA 和△AEC 中，
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D，E.
求证：（1）△BDA≌△AEC；
（2） DE＝BD＋CE.
所以BD＝AE，AD＝CE.
所以DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
（2）因为△BDA≌△AEC，
两个三角形全等的判定定理：
1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“角边角”.
小结
2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.通常可简写成“角角边”.
角边角：
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（角边角）．
∠B= ∠B'，
BC=B'C'，
∠C= ∠C'，
角角边：
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（角角边）．
∠B= ∠B'，
∠A= ∠A'，
BC=B'C'，
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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