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(共20张PPT)
第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2. 掌握三角形全等的“边角边”条件；（重难点）
3. 在探索三角形全等条件及其应用过程中，能够有条理地思考并进行简单的推理.
学习目标
我们知道，如果两个三角形的三条边和三个角分别
对应相等，那么这两个三角形全等，能否用更少的条件
来判定两个三角形全等？下面来进行研究.
课时导入
根据下表给出的△ABC和△A'B'C'的相等条件及对应的图形，判断△ABC和△A'B'C'是否全等，并把结果写在表格中.
做一做
边和角相等条件 对应的图形 是否全等
BC=B'C'
∠B=∠B'
AB=A'B' BC=B'C'
A
B（B′）
A′
C（C′）
A
B（B′）
A′
C
C′
A
B（B′）
A′
C（C′）
否
否
否
续表
边和角相等条件 对应的图形 是否全等
BC=B'C' ∠B=∠B'
∠A=∠B'A'C' ∠B=∠B'
A
B（B′）
A′
C（C′）
A
B（B′）
A′
C
C′
由上表可知，当两个三角形只有一条边(或一个角)相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等.这启发我们思考：能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等
否
否
用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两条边长分别为2 cm，
2.5 cm，并且这两条边的夹角为50°.将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？
A
B
图4.3-7
做一做
假设两名同学画出的三角形分别为△ABC和△A'B'C'，其中AB=A'B'=2.5 cm，BC=B'C'=2 cm，∠B=∠B'=50°，如图4.3-7所示.
C
A'
B'
C'
把△ABC放到△A'B'C'上，使点B与点B'重合，BC落在射线B'C'上，点A与点A'在BC的同侧，则由BC=B'C'可得，点C与点C'重合.
于是△ABC与△A'B'C'完全重合，从而△ABC≌△A'B'C'.
又∠B=∠B'，则射线BA与射线B'A'重合，由BA=B'A'可知，点A与点A'重合.
由此猜测：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
下面我们利用平移、旋转、轴对称知识来证明上述猜测成立.
图4.3-8
A'
B'
C'
A
B
C
设在△ABC和△A′B′C′中，BA=B'A'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
如图4.3-8所示.
第一步，如图4.3-9，将△ABC沿射线BB'的方向平移，平移的距离等于
线段BB'的长度，在这个平移下，将△ABC的像记为△A1B1C1，则点B的像（点B1）与点B'重合，且△A1B1C1≌△ABC.
从而B1C1=BC，B1A1=BA，∠A1B1C1=∠ABC.
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
图4.3-9
A1
C1
B'（B1）
第二步，如图4.3-9，将△A1B1C1绕点B'旋转，旋转角的大小等于∠C1B'C.
在这个旋转下，将△A1B1C1的像记为△A2B2C2，则点B1的像（点B2）与点B'重合，点C1的像（点C'）在射线B'C'上，且△A2B2C2≌△A1B1C1，
从而B2A2=B1A1，B2C2=B1C1.
又B1C1=BC，BC=B'C'，则B'C2=B'C'，于是点C2与点C'重合.
又∠A2B2C2=∠A1B1C1， ∠A1B1C1=∠ABC，∠ABC=∠A'B'C',
所以∠A2B2C2=∠A'B'C'.
A
B
C
A1
B'（B1）
C1
B'（B1）（B2）
A2
C'（C2）
图4.3-9
A1
第三步，如图4.3-9，作△A2B2C2关于直线B'C'成轴对称的图形，将其
像记为△A3B3C3.由于点B2与点B'重合，且均在对称轴B'C'上，因此点B2的像（点B3）与点B'重合.同理可得，点C2的像（点C3）与点C'重合.
又△A3B3C3≌△A2B2C2，于是∠A3B3C3=∠A2B2C2.
又∠A2B2C2=∠A'B'C'，所以∠A3B3C3=∠A'B'C'.
B'（B1）（B2）（B3）
A'（A3）
C'（C2）（C3）
A
B
C
C1
B'（B1）（B2）
A2
C'（C2）
图4.3-9
又点B3，C3别与点B'，C'重合，从而∠A3B3C3=∠A3B'C'，
于是∠A3B'C'=∠A'B'C'，因此射线B'A3与射线B'A'重合.
又B3A3=B2A2，B2A2=B1A1，B1A1=BA，BA=B'A'，
于是B3A3=B'A'=B'A3，因此点A3与点A'重合，
所以△A3B3C3与△A'B'C'重合，即△A3B3C3≌△A'B'C'.
又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，△A2B2C2≌△A3B3C3，
因此△ABC≌△A'B'C'.
我们将上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边）.
今后在解决有关两个三角形全等的问题时，一般只需用全等三角形的判定定理进行证明即可.
提
示
如图4.3-10，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△ACO≌△BDO.
证明：
在△ACO 和△BDO 中，
所以△ACO≌△BDO(边角边).
AO=BO，
∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
CO=DO，
证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐含的条件，如对顶角相等、公共角（边）相等这些.
例1
图4.3-10
“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法.
“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题.
议一议
1.如图，AB=AC，若想用“边角边”判定△ABD≌△ACE，则需补充一个条件_____________.
AD = AE
随 堂 小 测
2.如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD．
试说明：△AOB≌△COD.
O
B
D
A
C
解：因为∠AOC=∠BOD，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
OB=OD，
所以△AOB≌△COD.
所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD，
即∠COD=∠AOB.
在△AOB和△COD中，
3.如图，BC∥EF，BC=BE，AB=FB，∠1=∠2，若∠1=60°，求∠C 的度数．
BC=BE,
∠ABC=∠FBE,
AB=FB,
在△ABC和 △FBE中，
所以∠C＝∠BEF＝∠1＝ 60°.
解：因为∠1＝∠2，所以∠ABC ＝∠FBE .
所以△ABC ≌△FBE (边角边).
因为∠C＝∠BEF, 又BC∥ EF，
两个三角形全等的判定定理：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边角边”.
数学语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'（边角边）．
AB=A'B'，
∠A= ∠A'，
AC=A'C'，
文字语言：
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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