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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.1 认识全等三角形
1. 了解全等图形即全等三角形的概念；
2.能识别全等三角形及其对应边、对应角，理解全等三角形的性质；(重点）
3. 会用全等三角形的性质解决简单问题.（难点）
学习目标
在日常生活中，我们经常可以看到形状、天小完全相
同的图形，图形的形状和大小是几何研究的重要内容.
课时导入
如图4.3-1是两组形状、大小完全相同的图形.用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？
图4.3-1
由上述操作可知，两组图形分别都能完全重合.
一般地，能够完全重合的两个图形叫作全等图形.
做一做
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
C
A
B
C'
A'
B'
全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点,
互相重合的边叫作对应边,
互相重合的角叫作对应角.
如图4.3-2，若△ABC和△A′B′C′ 全等，
则记作：△ABC≌△A′B′C′ .
要注意的是，全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
图4.3-2
其中A与A′，B与B′，C与C′是对应顶点；B与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′是对应边；∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角.
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
反过来，如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
如图4.3-3，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4， ∠A=60°.
(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
(2)求AC，DC的长及∠D的度数.
例1
图4.3-3
解：(1)AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.
(2)因为AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，
所以AC=DB=4，DC=AB=3.
所以∠D=∠A=60°.
因为∠A与∠D是全等三角形的对应角，
练一练
如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度数和 CF 的长．
解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，EF＝7，
所以∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7.
所以CF＝BC－BF＝7－4＝3.
（1）如图4.3-4，把△ABC沿点B到点C的方向平移一定距离，得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等吗？
议一议
图4.3-4
图4.3-5
C
A
B
C'
A'
B'
C
A
B
C'
A'
（2）如图4.3-5，把△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′B′C′，旋转角为∠ABA′，则△ABC与△A′B′C′全等吗？
平移
（B')
（3）如图4.3-6，把△ABC沿直线l折叠，得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等吗？
由平移、旋转、轴对称的知识可知，一个图形经过平移或旋转或轴对称得到的图形与原图形全等.
图4.3-6
C
A
B
C'
A'
B'
l
1.下列图形：①两个正方形；②每边长都是1 cm的两个四边形；③每边都是2 cm的两个三角形；④半径都是1.5 cm的两个圆.其中是一对全等图形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=4 cm，BD=3 cm， AD = 5 cm，那么BC的长是（ ）
A. 5 cm B. 4 cm
C. 3 cm D. 无法确定
A
B
D
C
A
随 堂 小 测
3.如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE， 显然有△ABC≌△ADE，写出所有的对应顶点、对应边和对应角.
A
E
D
C
B
解：对应顶点：A与A，B与D，C与E；
对应边：AB与AD，AC与AE，BC与DE；
对应角：∠BAC与∠DAE，∠B与∠D，∠C与∠E.
4.如图，△ABC≌△AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC与∠EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B=35°，AB=3 cm，BC=1 cm，求∠E，∠ADE的度数和线段DE，AE的长度.
B
C
E
D
A
解：因为△ABC≌△AED，
所以∠E=∠B=35°，
∠ADE=∠ACB=180°-25°-35°=120°，
DE=BC=1 cm，AE=AB=3 cm.
能够完全重合的两个图形
全等三角形的对应边相等，对应角相等
图形的全等
能够完全重合的两个三角形
全等
图形
全等三角形
形状和大小都相同
小结
寻找对应元素的规律：
1.有公共边的，公共边一般是对应边；
2.有公共角的，公共角一般是对应角；
3.有对顶角的，对顶角一般是对应角；
4.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
5.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.
全等变换图形展示
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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