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第4章 三角形
4.2 命题与证明
4.2.1 定义，命题
1. 理解定义，命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；（重点）
2. 了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例.（重难点）
学习目标
我们已经学习了许多概念，例如，实数、方程、角平分线等.对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
例如，“连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离”是两点的距离的定义. “若一个数是一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数”是无理数的定义.
一般地，常常用陈述句叙述一件事情.比如：（1）-1是自然数；（2）对顶角相等.我们还可发现这两个陈述句中，（1）是错误（假）的，（2）是正确（真）的.
课时导入
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是开个命题，如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
可以判断真假的陈述句一定是命题.
抽象
请结合已学数学知识，说出一些命题.
说一说
如果|a|=3,那么a=±3.
垂线段最短.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
上述命题的表述形式都是“如果……，那么……”.
下列命题的表述形式有什么特点？
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
议一议
对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论.
对于上述命题（2），“一个三角形是直角三角形”是条件，“这个三角形中有一个角是直角”是结论.
不难发现，命题（1）与命题（2）的条件与结论互换了位置，即命题（1）的条件和结论分别是命题（2）的结论和条件.
对于上述命题（1），“一个三角形中有一个角是直角”是条件，“这个三角形是直角三角形”是结论.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.
命题（1）和命题（2）就是互逆命题.若把命题（1）称为原命题，则命题（2)是它的逆命题.
下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果 a = b，b = c，那么 a = c；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
练一练
解：(1)条件：两个角相等. 结论：它们是对顶角.
(2)条件：a = b，b = c. 结论：a = c.
(3)条件：已知三角形的一外角及与外角不相邻的两个内角的和.
结论：这一外角等于这两个内角的和.
下面两个命题是互逆命题吗？
（1）如果ɑ是整数，那么ɑ是有理数；
（2）如果ɑ是有理数，那么ɑ是整数.
例1
解：命题（1）的条件是“ɑ是整数”，结论是“ɑ是有理数”.
命题（2）的条件是“ɑ是有理数”，结论是“ɑ是整数”.
由于命题（1）的条件和结论分别是命题（2）的结论和条件，于是，命题（1）与命题（2）是互逆命题.
进一步发现，“议一议”栏目中的原命题与它的逆命题均是真命题，但是对于例1，由于整数是有理数，于是命题（1）是真命题.又0.1是有理数，但0.1不是整数，于是命题（2）是假命题.
由此可知，当命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
有时为了叙述简便，对于“如果……，那么……”“若……，则……”形式的命题也可以省略关联词“如果（若）”“那么（则）例如，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简单叙述成“对顶角相等”.
指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）能被2整除的数是偶数；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
做一做
（1）条件：能被2整除的数
结论：这个数是偶数
改写：如果一个能被2整除，那么这个数是偶数.
（2）条件：平行于同一条直线的两条直线
结论：两条直线平行
改写：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.
1.下列语句中，属于定义的是（ ）
A.直角都相等
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D.两点之间线段最短
C
随 堂 小 测
2.指出下列语句中， 是命题， 不是命题.
①直线a⊥b.
②同位角都相等吗？
③如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互余.
④“0”不能做分母.
⑤如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.
①②
③④⑤
3.命题“三角形的中线分三角形为面积相等的两部分”的条件是
，
结论是 .将它改写成“如果……，
那么……”的形式是
.
三角形的中线把该三角形分成两个小三角形
这两小三角形的面积相等
如果三角形的一条中线把该三角形分成两个
三角形，那么这两个三角形的面积相等
定义
对一个概念的含义加以描述或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
命题
一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
表现形式：“如果……，那么……”.
互逆命题
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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