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第4章 三角形
4.1 认识三角形
第1课时 三角形的有关概念
1. 理解三角形的相关概念及其分类；（重点）
2. 掌握三角形三角的关系，通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力.（难点）
3. 了解三角形的高线、角平分线、中线、重心的概念并掌握其性质；（重点）
4. 会用工具准确画出三角形的高线、角平分线、中线；
5. 掌握三角形的中线能将三角形面积相等的两部分，并会应用解题.（难点）
学习目标
观察图4.1-1，在图中找出几个角形.构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？
议一议
图4.1-1
课时导入
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
A
B
C
a
b
c
三角形可用符号“△”来表示，如图4.1-2中的
三角形可记作△ABC”，读作“三角形ABC”.
其中，A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B，
∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；
线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.
通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，
c来表示.
图4.1-2
练一练
下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（ ）
A B C D
D
腰
三边各不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
顶角
底角
你能找出下列三角形的三边长的特点吗？
三边均不相等
有两条边相等
三条边均相等
三角形中，有的三边都不相等，有的两边相等，有的三边都相等，其中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角，如图4.1-3所示.
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.
图4.1-3
等腰三角形
底边
底角
底角
腰
顶角
腰
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)．
等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.
三角形
三边各不相等的三角形
等腰三角形
腰和底边不相等的三角形
腰和底边不相等的三角形（等边三角形）
三角形按边分类：
在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度，这一结论对任何三角形都成立吗？为什么
利用不等式的基本性质，对上面的不等式进行移项变形，还可以得到：
如图4.1-2，根据“两点之间，线段最短”，得
AB+AC > BC，
同理可得
AB+BC > AC，AC+BC > AB.
三角形的任意两边之和大于第三边.
由此得到，三角形三边之间有以下关系：
思考
三角形的任意两边之差小于第三边.
练一练
有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的木棒能与它们首尾相接摆成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？
解：取长度为2 cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形；
取长度为13 cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
如图4.1-4，D是△ABC的边AC上一点，且AD=BD，试判断AC与BC的大小关系.
解：因为AC=AD+DC，
又AD=BD，
则AC=BD+DC.
在△BDC中，
BD+DC>BC（三角形的任意两边之和大于第三边），
所以AC>BC.
例1
图4.1-4
A
B
C
H
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图4.1-5，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的边BC上的高.
图4.1-5
如图4.1-6，试用三角板或量角器分别画出图中△ABC三条边上的高线.
A
B
C
D
E
F
AC边上的高是线段BE
AB边上的高是线段CF
BC边上的高是线段AD
做一做
图4.1-6
练一练
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
D
在三角形中，一角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图4.1-7，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是△ABC的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC.
A
B
C
D
图4.1-7
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线，如图4.1-8，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC.
A
B
C
E
图4.1-8
任意画一个三角形，画出三边上的中线，你发现了什么？
事实上，三角形的三条中线相交于一点，这三条中
线的交点叫作三角形的重心.如图4.1-9，△ABC的三
条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的
重心.
A
B
C
D
E
F
G
图4.1-9
说一说
它们相交于一点.
如图4.1-10，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高线.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.
（2）图中哪些三角形的面积相等？
解：（1）图中有6个三角形，
它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.
（2）因为AD是△ABC的中线，
所以BD=DC.
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，
因此S△ABD=S△ADC.
所以S△ABD= BD·AE，S△ADC= DC·AE，
例2
图4.1-10
练一练
A
D
B
C
解：因为CD是△ABC的中线，所以BD＝AD，
所以△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25 cm，
则BD+CD＝25－BC.
所以△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC＝25-（BC-AC）＝25-5＝20 （cm）.
在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长.
1.如图表示的是三角形的分类，则正确的是（ ）
A.M表示三边各不相等的三角形，N表示等腰三角形，
P表示等边三角形
B.M表示三边各不相等的三角形，N表示等边三角形，
P表示等腰三角形
C.M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边各不相等的三角形
D.M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边各不相等的三角形
B
随 堂 小 测
2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB ，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A.AC是△ABC的高 B.DE是△BCD的高
C. DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高
C
3.如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为6 cm2，则△ABD的面积为（ ）
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12cm2
A
B
D
C
A
4.如图.
（1）图中共有___个三角形，它们分别__________
________________________________________；
（2）以AD为边的三角形有_______________________；
（3）∠AED是______，______的内角.
6
△ABD、
△ADE、
△AEC、
△ABE、
△ADC、
△ABC
△ABD、
△ADE
△ABE
△ADE、
△ADC
6. 若等腰三角形的一边长是5 cm，另一边长是8 cm，
则这个等腰三角形的周长为______________.
5. 五条线段的长分别为1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三条线段为边长可以构成____个三角形.
3
18 cm 或 21 cm
7.如图，已知AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线.
(1)若∠B=44°,∠C=80°,求∠DAE的度数;
(2)若BF=5，△ABC的面积为30，求AD的长.
解：(1)因为∠B=44°,∠C=80°,
所以∠CAB=180°-∠B-∠C=56°，
所以∠CAE= ∠CAB=28°.
因为∠ADC=90°，∠C=80°，
所以∠DAE=∠CAE-∠DAC=
28°-10°=18°.
（2）因为AF是△ABC的中线，
所以BF=CF=5，所以BC=10.
因为△ABC的面积为30，
所以 BC×AD=30，
即 ×10×AD=30，
所以AD=6.
三角形的相关概念及三边关系
三角形
按边分类
三边各不相等的三角形
等腰三角形
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形，用符号“△”来表示
三角形的顶点、内角、边
等边三角形
腰和底边不相等的三角形
小结
从三角形的一个顶点向它的对边所在
的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
三角形的高、中线与角平分线
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段
三角形的高线
三角形的角平分线
三角形的三条高线所在直线交于一点
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段
三角形的中线
三角形的三条中线交于一点——重心
三角形的中线把原三角形的面积平分
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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