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(共14张PPT)
第4章 三角形
4.2 命题与证明
4.2.3 定理，推论
1. 了解定理、推论与互逆命题的概念；（重点）
2. 能经过推论证明命题．（难点）
学习目标
经过证明为真的命题叫作定理.
例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”.
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”.
课时导入
如图4.2-1，在△ABC中，已知∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF是∠ABC的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
因为∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180°
-60°=120°，∠BAF=180°-80°=100°,
所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°
+100°=360°.
这启发我们猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
探究
图4.2-1
D
C
A
E
B
F
60°
40°
80°
下面来证明.
由此可得：
如图4.2-2，△ABC的三个外角分别为∠BAF，
∠CBD，∠ACE.
因为∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC,
∠ACE=180°-∠ACB,
所以∠BAF+∠CBD+∠ACE =（180°-∠BAC）+
（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）
=540°-（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）
=540°-180°=360°.
三角形的外角和等于360°.
图4.2-2
D
C
A
E
B
F
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它是原定理的逆定理，并将这两个定理叫作互逆定理.
例如，平行线的性质定理1（两直线平行，应同位角相等）与
平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理.
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.
这个逆命题正确，原定理有逆定理．
命题“等角的补角相等”有没有逆定理？
练一练
证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边，
例5
图4.2-3
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，∠CAD=∠B +∠C.
又∠B =∠C ，
于是∠CAD= 2∠B.
由于AE是∠CAD的平分线，
因此∠CAD=2∠DAE，
即∠B=∠DAE .
所以AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行.
已知：如图4.2-3，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC.
从而2∠B=2∠DAE，
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
第二步，根据命题的结论写出求证；
第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明.
（1）同旁内角互补（ ）
（4）两点可以确定一条直线（ ）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）
（2）一个角的补角大于这个角（ ）
1.判断下列命题的真假.真的画“√”，假的画“× ”.
（5）两点之间线段最短（ ）
（3）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
（6）同角的余角相等（ ）
×
√
√
√
×
随 堂 小 测
2.举反例说明下列命题是假命题.
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若 ab = 0，则 a + b = 0.
解：（1）如：两条平行线被第三条直线所截得的一组内错角，它们不是对顶角，但这两个角相等.
（2）如：当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a +b ≠ 0.
3.试着判断下列定理没有逆定理：
（1）对顶角相等；
（2）两直线平行，同旁内角互补.
解：（1）逆命题：相等的角是对顶角.
这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．
（2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.
这个逆命题正确，原定理有逆定理．
逆定理
推论
定理
举反例
基本事实
少数
假命题
真命题
证明
真命题
命题
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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