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第4章 三角形
4.2 命题与证明
4.2.2 证明，举反例
1. 了解证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式；（重点）
2. 掌握综合法证明的格式；
3. 通过实例体会举反例的含义.（重难点）
学习目标
由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题，又如，由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题.一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
举反例是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
如何判断一个命题是假命题呢？
议一议
课时导入
命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题
解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题.
例2
（1）a=-2，b=2，a2=b2，但是a≠b，因此“若a2=b2，则a=b”是假命题.
用举反例的方法说明下列命题是假命题，
（1）若a2=b2，则a=b；
（2）一个角的余角大于这个角；
（3）若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
做一做
（2）设角的度数是50°，则这个角的余角的度数是40°，这个角的余角小于这个角，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.
用举反例的方法说明下列命题是假命题，
（1）若a2=b2，则a=b；
（2）一个角的余角大于这个角；
（3）若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
做一做
（3）a=-2，b=2，a，b是有理数，但是|a+b|=0，|a|+|b|=2，所以|a+b|≠|a|+|b|，因此“若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|”是假命题.
（4）两条直线互相垂直（即AB⊥CD）,∠AOC=90° ,∠AOD=90° ,
∠AOC=∠AOD=90° ,但 ∠AOC 和 ∠AOD 是邻角,因此“如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角”是假命题.
如何判断一个命题是真命题呢？
思考
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2≠0.
证明：若a≠0，则a2为正数.
又b2为正数或0，从而a2+b2是正数，因此a2+b2≠0.
同理可得，若b≠0，则a2+b2≠0.
例3
证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°.
例4
分析 “至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明. 我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.
证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于 60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
从而∠A +∠B +∠C＜60°+60°+60°=180°.
这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾，故假设不成立.
因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°.
应用举反例的情形：
（1） 直接证明困难；
（2）需分成很多类进行讨论；
（3） 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”的一类命题；
（4） 结论为“唯一”类命题.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x成立 对任何x不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有(n-1)个
至少有(n+1)个
存在某个x不成立
存在某个x成立
不等于
某个
像例4这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立.从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法.
反证法基本步骤：
（1）假设命题不成立;
（2）导出矛盾；
（3）肯定结论.
用反证法证明本节例3.
做一做
证明：若存在实数a≠0或实数b≠0，满足a2+b2=0.
由于a和b是实数，其平方满足a2≥0和b2≥0.由a2+b2=0和平方的非负性，可得：如果a2＞0，则a2+b2≥a2＞0，与a2+b2=0矛盾.
如果b2＞0，则a2+b2≥b2＞0，同样与a2+b2=0矛盾.
因此必须有a2=0且b2=0（否则和不可能为零）.
进而由a2=0得a=0，由b2=0得b=0.所以a=0且b=0.
但这与反设中的条件“a≠0或b≠0”矛盾，
因此反设不成立，原命题成立.
1.用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（ ）
A. ∠A＝60° B. ∠A＜60°
C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60°
D
2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　)
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
C
随 堂 小 测
3. 求证：△ABC 中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC 中有两个钝角，
不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°.
这与三角形的内角和定理相矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC 中不能有两个钝角．
直接证明一个命题为真有困难时
假设命题不成立
利用命题的条件或有关的结论
推理
导出矛盾
假设不成立
即所证明的命题正确
反证法
（间接证明）
否定结论，导出矛盾，肯定结论.
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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