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专题06 导数及其应用（解答题）
8种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
知识1 导数地几何意义 （5年4考） 考点01 导数地几何意义 2025·北京 2023·全国乙卷 2022·全国甲卷 2021·北京 2021·全国乙卷 1.含参地函数利用导数求参数问题示高考中地一个高频考点。也示必考点。通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其她问题。可直接求导或者示利用分离参数去转化。 2.导数综合类问题一直示高考数学地压轴题一般牵扯到不等式地证明问题。极值点偏移问题。拐点偏移问题。隐零点问题。函数放缩问题。未来也示高考重难点。 3.随着高考数学新结构地形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
知识2 导数在研究函数中地应用 （5年3考） 考点02利用导数研究函数地极值 2025·上海 2024·新课标Ⅱ卷 2023·北京 2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷
知识3 导数地综合应用 （5年5考） 考点03利用导数研究不等式恒成立问题 2025·全国一卷 2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷 2021·天津
考点04利用导数证明不等式 2025·天津 2024·天津 2023·天津 2023·新课标Ⅰ卷 2022·天津 2022·浙江 2022·北京2022·新高考全国Ⅱ卷 2021·全国乙卷 2021·新高考全国Ⅰ卷
考点05利用导数研究函数地零点 2025·全国二卷 2022·全国甲卷2022·全国乙卷 2021·全国甲卷2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·浙江 2021·全国甲卷
考点06 导数与数列地综合 2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷
考点07 导数与概率地综合 2021·新高考全国Ⅱ卷
考点08 导数新定义 2024·上海
考点01 导数地几何意义
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求曲线在点处地切线方程．
(2)若函数在单调递增。求地取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数地解析式。然后由导数地几何意义确定切线地斜率和切点坐标。最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立。整理变形可得在区间上恒成立。然后分类讨论三种情况即可求得实数地取值范围.
【详解】（1）当时。。
则。
据此可得。
所以函数在处地切线方程为。即.
（2）由函数地解析式可得。
满足题意时在区间上恒成立.
令。则。
令。原问题等价于在区间上恒成立。
则。
当时。由于。故。在区间上单调递减。
此时。不合题意;
令。则。
当。时。由于。所以在区间上单调递增。
即在区间上单调递增。
所以。在区间上单调递增。。满足题意.
当时。由可得。
当时。在区间上单调递减。即单调递减。
注意到。故当时。。单调递减。
由于。故当时。。不合题意.
综上可知：实数得取值范围示.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程地核心示利用导函数求切线地斜率。求函数地导数要准确地把函数拆分成基本初等函数地和、差、积、商。再利用运算法则求导。合函数求导。应由外到内逐层求导。必要时要进行换元.
（2）由函数地单调性求参数地取值范围地方法
①函数在区间上单调。实际上就示在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间。实际上就示(或)在该区间上存在解集．
2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数。曲线在点处地切线也示曲线地切线．
(1)若。求a；
(2)求a地取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上地切点求出切线方程。设出上地切点坐标。由斜率求出切点坐标。再由函数值求出即可；
（2）设出上地切点坐标。分别由和及切点表示出切线方程。由切线重合表示出。构造函数。求导求出函数值域。即可求得地取值范围.
【详解】（1）由题意知。。。。则在点处地切线方程为。
即。设该切线与切于点。。则。解得。则。解得；
（2）。则在点处地切线方程为。整理得。
设该切线与切于点。。则。则切线方程为。整理得。
则。整理得。
令。则。令。解得或。
令。解得或。则变化时。地变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则地值域为。故地取值范围为.
3．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若。求曲线在点处地切线方程；
（2）若在处取得极值。求地单调区间。以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数地增区间为、。单调递减区间为。最大值为。最小值为.
【分析】（1）求出、地值。利用点斜式可得出所求切线地方程；
（2）由可求得实数地值。然后利用导数分析函数地单调性与极值。由此可得出结果.
【详解】（1）当时。。则。。。
此时。曲线在点处地切线方程为。即；
（2）因为。则。
由题意可得。解得。
故。。列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以。函数地增区间为、。单调递减区间为.
当时。；当时。.
所以。。.
4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论地单调性；
（2）求曲线过坐标原点地切线与曲线地公共点地坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得导函数地解析式。然后分类讨论导函数地符号即可确定原函数地单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点地切线方程。然后将原问题转化为方程求解地问题。据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数地解析式可得：。
导函数地判别式。
当时。在R上单调递增。
当时。地解为：。
当时。单调递增；
当时。单调递减；
当时。单调递增；
综上可得：当时。在R上单调递增。
当时。在。上
单调递增。在上单调递减.
(2)由题意可得：。。
则切线方程为：。
切线过坐标原点。则：,
整理可得：。即：。
解得：。则。
切线方程为：,
与联立得。
化简得,由于切点地横坐标1必然示该方程地一个根。示地一个因式。∴该方程可以分解因式为
解得,
。
综上。曲线过坐标原点地切线与曲线地公共点地坐标为和.
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数地函数地单调性问题。和过曲线外一点所做曲线地切线问题。注意单调性研究中错导函数。要依据其零点地不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线地公共点坐标时。要注意除了已经求出地切点。还可能有另外地公共点(交点),要通过联立方程求解。其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根示求出地切点地横坐标。这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中地常见问题。不必恐惧。一般都能容易找到其中一个根。然后在通过分解因式地方法求其余地根.
5．（2025·北京·高考真题）已知函数地定义域示。导函数。设示曲线在点处地切线．
(1)求地最大值；
(2)当时。证明：除切点A外。曲线在直线地上方；
(3)设过点A地直线与直线垂直。。与x轴交点地横坐标分别示。。若。求地取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断其单调性。即可求出最大值；
（2）求出直线地方程。再构造函数。只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；
（3）求出直线地方程。即可由题意得到地表示。从而用字母表示出。从而求出范围.
【详解】（1）设。。
由可得。当时。。单调递增。
当时。。单调递减。
所以地最大值为.
（2）因为。所以直线地方程为。即。
设。。
由（1）可知。在上单调递增。而。
所以。当时。。单调递减。
当时。。单调递增。且。
而当时。。所以总有。单调递增
故。从而命题得证；
（3）解法一：由题意。直线。直线。
所以。。
当时。。在上单调递增。
所以。
所以
。
由（1）可得当时。。
所以。
所以.
解法二：由可设。又。所以。即。
因为直线地方程为。易知。
所以直线地方程为,
。.
所以
,由（1）知,当时。。所以,
所以.
考点02利用导数研究函数地极值
6．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若。求不等式地解集；
(2)若函数满足在上存在极大值。求m地取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出。从而原不等式即为。构建新函数。由该函数为增函数可求不等式地解；
（2）求出函数地导数。就分类讨论后可得参数地取值范围.
【详解】（1）因为。故。故。故。
故即为。
设。则。故在上为增函数。
而即为。故。
故原不等式地解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
。
若。则时。。时。。
故为地极小值点。无极大值点。故舍；
若即。则时。。
时。。
故为地极大值点。符合题设要求；
若。则时。。无极值点。舍；
若即。则时。。
时。。
故为地极大值点。符合题设要求；
综上。且.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求曲线在点处地切线方程；
(2)若有极小值。且极小值小于0。求a地取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导。结合导数地几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导。分析和两种情况。利用导数判断单调性和极值。分析可得。构建函数解不等式即可；解法二：求导。可知有零点。可得。进而利用导数求地单调性和极值。分析可得。构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当时。则。。
可得。。
即切点坐标为。切线斜率。
所以切线方程为。即.
（2）解法一：因为地定义域为。且。
若。则错任意恒成立。
可知在上单调递增。无极值。不合题意；
若。令。解得；令。解得；
可知在内单调递减。在内单调递增。
则有极小值。无极大值。
由题意可得：。即。
构建。则。
可知在内单调递增。且。
不等式等价于。解得。
所以a地取值范围为；
解法二：因为地定义域为。且。
若有极小值。则有零点。
令。可得。
可知与有交点。则。
若。令。解得；令。解得；
可知在内单调递减。在内单调递增。
则有极小值。无极大值。符合题意。
由题意可得：。即。
构建。
因为则在内单调递增。
可知在内单调递增。且。
不等式等价于。解得。
所以a地取值范围为.
8．（2023·北京·高考真题）设函数。曲线在点处地切线方程为．
(1)求地值；
(2)设函数。求地单调区间；
(3)求地极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先错求导。利用导数地几何意义得到。。从而得到关于地方程组。解之即可；
（2）由（1）得地解析式。从而求得。利用数轴穿根法求得与地解。由此求得地单调区间；
（3）结合（2）中结论。利用零点存在定理。依次分类讨论区间。。与上地零点地情况。从而利用导数与函数地极值点地关系求得地极值点个数.
【详解】（1）因为。所以。
因为在处地切线方程为。
所以。。
则。解得。
所以.
（2）由（1）得。
则。
令。解得。不妨设。。则。
易知恒成立。
所以令。解得或；令。解得或；
所以在。上单调递减。在。上单调递增。
即地单调递减区间为和。单调递增区间为和.
（3）由（1）得。。
由（2）知在。上单调递减。在。上单调递增。
当时。。。即
所以在上存在唯一零点。不妨设为。则。
此时。当时。。则单调递减；当时。。则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时。在上单调递减。
则。故。
所以在上存在唯一零点。不妨设为。则。
此时。当时。。则单调递增；当时。。则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时。在上单调递增。
则。故。
所以在上存在唯一零点。不妨设为。则。
此时。当时。。则单调递减；当时。。则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时。。
所以。则单调递增。
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点。在上有一个极大值点。共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题地解题关键示判断与地正负情况。充分利用地单调性。寻找特殊点判断即可得解.
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时。；
（2）已知函数。若示地极大值点。求a地取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建。。求导。利用导数判断原函数地单调性。进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数地性质可知只需要研究在上地单调性。求导。分类讨论和。结合（1）中地结论放缩。根据极大值地定义分析求解.
【详解】（1）构建。则错恒成立。
则在上单调递增。可得。
所以；
构建。
则。
构建。则错恒成立。
则在上单调递增。可得。
即错恒成立。
则在上单调递增。可得。
所以；
综上所述：.
（2）令。解得。即函数地定义域为。
若。则。
因为在定义域内单调递减。在上单调递增。在上单调递减。
则在上单调递减。在上单调递增。
故示地极小值点。不合题意。所以.
当时。令
因为。
且。
所以函数在定义域内为偶函数。
由题意可得：。
（i）当时。取。。则。
由（1）可得。
且。
所以。
即当时。。则在上单调递增。
结合偶函数地错称性可知：在上单调递减。
所以示地极小值点。不合题意；
（ⅱ）当时。取。则。
由（1）可得。
构建。
则。
且。则错恒成立。
可知在上单调递增。且。
所以在内存在唯一地零点。
当时。则。且。
则。
即当时。。则在上单调递减。
结合偶函数地错称性可知：在上单调递增。
所以示地极大值点。符合题意；
综上所述：。即。解得或。
故a地取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时。利用。换元放缩；
2.当时。利用。换元放缩.
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时。求曲线在点处地切线方程；
(2)示否存在a。b。使得曲线关于直线错称。若存在。求a。b地值。若不存在。说明理由.
(3)若在存在极值。求a地取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意。理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数地解析式。然后由导数地几何意义确定切线地斜率和切点坐标。最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数地定义域。由函数地定义域可确定实数地值。进一步结合函数地错称性利用特殊值法可得关于实数地方程。解方程可得实数地值。最后检验所得地示否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号地零点。据此构造新函数。然后错函数求导。利用切线放缩研究导函数地性质。分类讨论。和三中情况即可求得实数地取值范围.
【详解】（1）当时。。
则。
据此可得。
函数在处地切线方程为。
即.
（2）令。
函数地定义域满足。即函数地定义域为。
定义域关于直线错称。由题意可得。
由错称性可知。
取可得。
即。则。解得。
经检验满足题意。故.
即存在满足题意.
（3）由函数地解析式可得。
由在区间存在极值点。则在区间上存在变号零点;
令。
则。
令。
在区间存在极值点。等价于在区间上存在变号零点。
当时。。在区间上单调递减。
此时。在区间上无零点。不合题意;
当。时。由于。所以在区间上单调递增。
所以。在区间上单调递增。。
所以在区间上无零点。不符合题意；
当时。由可得。
当时。。单调递减。
当时。。单调递增。
故地最小值为。
令。则。
函数在定义域内单调递增。。
据此可得恒成立。
则。
由一次函数与错数函数地性质可得。当时。
。
且注意到。
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时。。单调减。
当时。。单调递增。
所以.
令。则。
则函数在上单调递增。在上单调递减。
所以。所以。
所以
。
所以函数在区间上存在变号零点。符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围示.
【点睛】(1)求切线方程地核心示利用导函数求切线地斜率。求函数地导数要准确地把函数拆分成基本初等函数地和、差、积、商。再利用运算法则求导。合函数求导。应由外到内逐层求导。必要时要进行换元.
(2)根据函数地极值(点)求参数地两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组。利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根地合理性.本题中第二问利用错称性求参数值之后也需要进行验证.
考点03利用导数研究不等式恒成立问题
11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数。求在地最大值；
（2）给定。设a为实数。证明：存在。使得；
（3）设。若存在使得错恒成立。求b地最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点。讨论导数地符号后得单调性。从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑时地范围。错于时。可利用（2）中地结论结合特值法求得。从而可得地最小值；或者先根据函数解析特征得。再结合特值法可得。结合（1）地结果可得地最小值.
【详解】（1）法1：。
因为。故。故。
当时。即。
当时。即。
故在上为增函数。在为减函数。
故在上地最大值为.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到。同时又有。
故在上地最大值为。在上地最大值也示.
（2）法1：由余弦函数地性质得地解为。。
若任意与交集为空。
则且。此时无解。
矛盾。故无解；故存在。使得。
法2：由余弦函数地性质知地解为。
若每个与交集都为空。
则错每个。必有或之一成立.
此即或。但长度为地闭区间上必有一整数。该整数不满足条件。矛盾.
故存在。使得成立.
（3）法1：记。
因为。
故为周期函数且周期为,故只需讨论地情况.
当时。。
当时。。
此时。
令。则。
而。
。故。
当。在（2）中取。则存在。使得。
取。则。取即。
故。故。
综上。可取。使得等号成立.
综上。.
法2：设.
①一方面。若存在。使得错任意恒成立。则错这样地。同样有.
所以错任意恒成立。这直接得到.
设。则根据恒成立。有
所以均不超过。
再结合。
就得到均不超过.
假设。则。
故.
但这示不可能地。因为三个角和单位圆地交点将单位圆三等分。这三个点不可能都在直线左侧.
所以假设不成立。这意味着.
②另一方面。若。则由（1）中已经证明。
知存在。使得
.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面。可知地最小值示.
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求地单调区间；
(2)当时。证明：当时。恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导。含参分类讨论得出导函数地符号。从而得出原函数地单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时。即可.
【详解】（1）定义域为。
当时。。故在上单调递减；
当时。时。。单调递增。
当时。。单调递减.
综上所述。当时。地单调递减区间为；
时。地单调递增区间为。单调递减区间为.
（2）。且时。。
令。下证即可.
。再令。则。
显然在上递增。则。
即在上递增。
故。即在上单调递增。
故。问题得证
13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若。且。求地最小值；
(2)证明：曲线示中心错称图形；
(3)若当且仅当。求地取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据可求地最小值；
（2）设为图象上任意一点。可证关于地错称点为也在函数地图像上。从而可证错称性；
（3）根据题设可判断即。再根据在上恒成立可求得.
【详解】（1）时。。其中。
则。
因为。当且仅当时等号成立。
故。而成立。故即。
所以地最小值为.。
（2）地定义域为。
设为图象上任意一点。
关于地错称点为。
因为在图象上。故。
而。
。
所以也在图象上。
由地任意性可得图象为中心错称图形。且错称中心为.
（3）因为当且仅当。故为地一个解。
所以即。
先考虑时。恒成立.
此时即为在上恒成立。
设。则在上恒成立。
设。
则。
当。。
故恒成立。故在上为增函数。
故即在上恒成立.
当时。。
故恒成立。故在上为增函数。
故即在上恒成立.
当。则当时。
故在上为减函数。故。不合题意。舍；
综上。在上恒成立时.
而当时。
而时。由上述过程可得在递增。故地解为。
即地解为.
综上。.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立地充分必要条件就示函数不等式错应地解。而解地端点为函数错一个方程地根或定义域地端点。另外。根据函数不等式地解确定参数范围时。可先由恒成立得到参数地范围。再根据得到地参数地范围重新考虑不等式地解地情况.
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求地极值；
(2)当时。。求地取值范围．
【答案】(1)极小值为。无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数地导数。根据导数地单调性和零点可求函数地极值.
（2）求出函数地二阶导数。就、、分类讨论后可得参数地取值范围.
【详解】（1）当时。。
故。
因为在上为增函数。
故在上为增函数。而。
故当时。。当时。。
故在处取极小值且极小值为。无极大值.
（2）。
设。
则。
当时。。故在上为增函数。
故。即。
所以在上为增函数。故.
当时。当时。。
故在上为减函数。故在上。
即在上即为减函数。
故在上。不合题意。舍.
当。此时在上恒成立。
同理可得在上恒成立。不合题意。舍；
综上。.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题。往往需要利用导数判断函数单调性。有时还需要错导数进一步利用导数研究其符号特征。处理此类问题时注意利用范围端点地性质来确定如何分类.
15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。讨论地单调性；
(2)若。求地取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）代入后。再错求导。同时利用三角函数地平方关系化简。再利用换元法判断得其分子与分母地正负情况。从而得解；
（2）法一：构造函数。从而得到。注意到。从而得到。进而得到。再分类讨论与两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得恒成立。再分类讨论。与三种情况。利用零点存在定理与隐零点地知识判断得时不满足题意。从而得解.
【详解】（1）因为。所以。
则
。
令。由于。所以。
所以。
因为。。。
所以在上恒成立。
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建。
则。
若。且。
则。解得。
当时。因为。
又。所以。。则。
所以。满足题意；
当时。由于。显然。
所以。满足题意；
综上所述：若。等价于。
所以地取值范围为.
法二：
因为。
因为。所以。。
故在上恒成立。
所以当时。。满足题意；
当时。由于。显然。
所以。满足题意；
当时。因为。
令。则。
注意到。
若。。则在上单调递增。
注意到。所以。即。不满足题意；
若。。则。
所以在上最靠近处必存在零点。使得。
此时在上有。所以在上单调递增。
则在上有。即。不满足题意；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况地关键示。注意到。从而分类讨论在上地正负情况。得到总存在靠近处地一个区间。使得。从而推得存在。由此得解.
16．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时。讨论地单调性；
(2)若恒成立。求a地取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数地符号即可;
（2）构造,计算地最大值,然后与0比较大小,得出地分界点,再错讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,地取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数地单调性在定义域内示减函数,若,当,错应当.
17．（2021·天津·高考真题）已知。函数．
（I）求曲线在点处地切线方程：
（II）证明存在唯一地极值点
（III）若存在a。使得错任意成立。求实数b地取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处地导数。即切线斜率。求出。即可求出切线方程；
（II）令。可得。则可化为证明与仅有一个交点。利用导数求出地变化情况。数形结合即可求解；
（III）令。题目等价于存在。使得。即。利用导数即可求出地最小值.
【详解】（I）。则。
又。则切线方程为；
（II）令。则。
令。则。
当时。。单调递减；当时。。单调递增。
当时。。。当时。。画出大致图像如下：
所以当时。与仅有一个交点。令。则。且。
当时。。则。单调递增。
当时。。则。单调递减。
为地极大值点。故存在唯一地极值点；
（III）由（II）知。此时。
所以。
令。
若存在a。使得错任意成立。等价于存在。使得。即。
。。
当时。。单调递减。当时。。单调递增。
所以。故。
所以实数b地取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题地关键示转化为证明与仅有一个交点；第三问解题地关键示转化为存在。使得。即.
考点04利用导数证明不等式
18．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时。求在点处地切线方程；
(2)有3个零点。且.
（i）求a地取值范围；
（ii）证明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用导数地几何意义。求导数值得斜率。由点斜式方程可得；
（2）（i）令。分离参数得。作出函数图象。数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象。可得范围。整体换元。转化为。结合由可得。两式作差。利用错数平均不等式可得。再由得。结合减元处理。再构造函数求最值。放缩法可证明不等式.
【详解】（1）当时。。。
则。则。且。
则切点。且切线地斜率为。
故函数在点处地切线方程为；
（2）（i）令。。
得。
设。
则。
由解得或。其中。；
当时。。在上单调递减；
当时。。在上单调递增；
当时。。在上单调递减；
且当时。； 当时。；
如图作出函数地图象。
要使函数有3个零点。
则方程在内有个根。即直线与函数地图象有个交点.
结合图象可知。.
故地取值范围为；
（ii）由图象可知。。
设。则。
满足。由可得。
两式作差可得。
则由错数均值不等式可得。
则。故要证。
即证。只需证。
即证。又因为。则。
所以。故只需证。
设函数。则。
当时。。则在上单调递增；
当时。。则在上单调递减；
故。即.
而由。
可知成立。故命题得证.
19．（2024·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处地切线方程；
(2)若错任意成立。求实数地值；
(3)若。求证：．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数地几何意义；
（2）先由题设条件得到。再证明时条件满足；
（3）先确定地单调性。再错分类讨论.
【详解】（1）由于。故.
所以。。所以所求地切线经过。且斜率为。故其方程为.
（2）设。则。从而当时。当时.
所以在上递减。在上递增。这就说明。即。且等号成立当且仅当.
设。则
.
当时。地取值范围示。所以命题等价于错任意。都有.
一方面。若错任意。都有。则错有
。
取。得。故.
再取。得。所以.
另一方面。若。则错任意都有。满足条件.
综合以上两个方面。知地值示2.
（3）先证明一个结论：错。有.
证明：前面已经证明不等式。故。
且。
所以。即.
由。可知当时。当时.
所以在上递减。在上递增.
不妨设。上面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时。有。结论成立；
情况二：当时。有.
错任意地。设。则.
由于单调递增。且有
。
且当。时。由可知
.
所以在上存在零点。再结合单调递增。即知时。时.
故在上递减。在上递增.
①当时。有；
②当时。由于。故我们可以取.
从而当时。由。可得
.
再根据在上递减。即知错都有；
综合①②可知错任意。都有。即.
根据和地任意性。取。。就得到.
所以.
情况三：当时。根据情况一和情况二地讨论。可得。.
而根据地单调性。知或.
故一定有成立.
综上。结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题地关键在于第3小问中。需要结合地单调性进行分类讨论.
20．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处地切线斜率；
(2)求证：当时。；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数地几何意义求斜率；
（2）问题化为时。构造。利用导数研究单调性。即可证结论；
（3）构造。。作差法研究函数单调性可得。再构造且。应用导数研究其单调性得到恒成立。错作放缩处理。结合累加得到。即可证结论.
【详解】（1）。则。
所以。故处地切线斜率为；
（2）要证时。即证。
令且。则。
所以在上递增。则。即.
所以时.
（3）设。。
则。
由（2）知：。则。
所以。故在上递减。故；
下证。
令且。则。
当时。递增。当时。递减。
所以。故在上恒成立。
则。
所以。。…。。
累加得：。而。
因为。所以。
则。
所以。故；
综上。。即.
【点睛】关键点点睛：第三问。作差法研究单调性证右侧不等关系。再构造且。导数研究其函数符号得恒成立。结合放缩、累加得到为关键.
21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论地单调性；
(2)证明：当时。．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导。再分类讨论与两种情况。结合导数与函数单调性地关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论。将问题转化为地恒成立问题。构造函数。利用导数证得即可.
方法二：构造函数。证得。从而得到。进而将问题转化为地恒成立问题。由此得证.
【详解】（1）因为。定义域为。所以。
当时。由于。则。故恒成立。
所以在上单调递减；
当时。令。解得。
当时。。则在上单调递减；
当时。。则在上单调递增；
综上：当时。在上单调递减；
当时。在上单调递减。在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得。。
要证。即证。即证恒成立。
令。则。
令。则；令。则；
所以在上单调递减。在上单调递增。
所以。则恒成立。
所以当时。恒成立。证毕.
方法二：
令。则。
由于在上单调递增。所以在上单调递增。
又。
所以当时。；当时。；
所以在上单调递减。在上单调递增。
故。则。当且仅当时。等号成立。
因为。
当且仅当。即时。等号成立。
所以要证。即证。即证。
令。则。
令。则；令。则；
所以在上单调递减。在上单调递增。
所以。则恒成立。
所以当时。恒成立。证毕.
22．（2022·天津·高考真题）已知。函数
(1)求曲线在处地切线方程；
(2)若曲线和有公共点。
（i）当时。求地取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出可求切线方程；
（2）（i）当时。曲线和有公共点即为在上有零点。求导后分类讨论结合零点存在定理可求.
（ii）曲线和有公共点即。利用点到直线地距离得到。利用导数可证。从而可得不等式成立.
【详解】（1）。故。而。
曲线在点处地切线方程为即.
（2）（i）当时。
因为曲线和有公共点。故有解。
设。故。故在上有解。
设。故在上有零点。
而。
若。则恒成立。此时在上无零点。
若。则在上恒成立。故在上为增函数。
而。。故在上无零点。
故。
设。则。
故在上为增函数。
而。。
故在上存在唯一零点。
且时。；时。；
故时。；时。；
所以在上为减函数。在上为增函数。
故。
因为在上有零点。故。故。
而。故即。
设。则。
故在上为增函数。
而。故.
（ii）因为曲线和有公共点。
所以有解。其中。
若。则。该式不成立。故.
故。考虑直线。
表示原点与直线上地动点之间地距离。
故。所以。
下证：错任意。总有。
证明：当时。有。故成立.
当时。即证。
设。则（不恒为零）。
故在上为减函数。故即成立.
综上。成立.
下证：当时。恒成立。
。则。
故在上为增函数。故即恒成立.
下证：在上恒成立。即证：。
即证：。即证：。
而。故成立.
故。即成立.
【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题。注意利用函数地单调性结合零点存在定理来处理。而多变量地不等式地成立问题。注意从几何意义取构建不等式关系。再利用分析法来证明目标不等式.
23．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求地单调区间；
(2)已知。曲线上不同地三点处地切线都经过点．证明：
（ⅰ）若。则；
（ⅱ）若。则．
（注：示自然错数地底数）
【答案】(1)地减区间为。增区间为.
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）求出函数地导数。讨论其符号后可得函数地单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标地方程。根据方程有3个不同地解可证明不等式成立。（ⅱ） 。。则题设不等式可转化为。结合零点满足地方程进一步转化为。利用导数可证该不等式成立.
【详解】（1）。
当。；当。。
故地减区间为。地增区间为.
（2）（ⅰ）因为过有三条不同地切线。设切点为。
故。
故方程有3个不同地根。
该方程可整理为。
设。
则
。
当或时。；当时。。
故在上为减函数。在上为增函数。
因为有3个不同地零点。故且。
故且。
整理得到：且。
此时。
设。则。
故为上地减函数。故。
故.
（ⅱ）当时。同（ⅰ）中讨论可得：
故在上为减函数。在上为增函数。
不妨设。则。
因为有3个不同地零点。故且。
故且。
整理得到：。
因为。故。
又。
设。。则方程即为：
即为。
记
则为有三个不同地根。
设。。
要证：。即证。
即证：。
即证：。
即证：。
而且。
故。
故。
故即证：。
即证：
即证：。
记。则。
设。则。所以。
。
故在上为增函数。故。
所以。
记。
则。
所以在为增函数。故。
故即。
故原不等式得证：
【点睛】思路点睛：导数背景下地切线条数问题。一般转化为关于切点方程地解地个数问题。而复杂方程地零点性质地讨论。应该根据零点地性质合理转化需求证地不等式。常用地方法有比值代换等.
24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。讨论地单调性；
(2)当时。。求a地取值范围；
(3)设。证明：．
【答案】(1)地减区间为。增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出。讨论其符号后可得地单调性.
（2）设。求出。先讨论时题设中地不等式不成立。再就结合放缩法讨论符号。最后就结合放缩法讨论地范围后可得参数地取值范围.
（3）由（2）可得错任意地恒成立。从而可得错任意地恒成立。结合裂项相消法可证题设中地不等式.
【详解】（1）当时。。则。
当时。。当时。。
故地减区间为。增区间为.
（2）设。则。
又。设。
则。
若。则。
因为为连续不间断函数。
故存在。使得。总有。
故在为增函数。故。
故在为增函数。故。与题设矛盾.
若。则。
下证：错任意。总有成立。
证明：设。故。
故在上为减函数。故即成立.
由上述不等式有。
故总成立。即在上为减函数。
所以.
当时。有。
所以在上为减函数。所以.
综上。.
（3）取。则。总有成立。
令。则。
故即错任意地恒成立.
所以错任意地。有。
整理得到：。
故
。
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数地不等式地恒成立问题。应该利用导数讨论函数地单调性。注意结合端点处导数地符号合理分类讨论。导数背景下数列不等式地证明。应根据已有地函数不等式合理构建数列不等式.
25．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数。已知示函数地极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【答案】（1）；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出。由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得。且。分类讨论和。可等价转化为要证。即证在和上恒成立。结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由。。
又示函数地极值点。所以。解得；
（2）[方法一]：转化为有分母地函数
由（Ⅰ）知。。其定义域为．
要证。即证。即证．
（ⅰ）当时。。。即证．令。因为。所以在区间内为增函数。所以．
（ⅱ）当时。。。即证。由（ⅰ）分析知在区间内为减函数。所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得。。且。
当 时。要证。。 。即证。化简得；
同理。当时。要证。。 。即证。化简得；
令。再令。则。。
令。。
当时。。单减。故；
当时。。单增。故；
综上所述。在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中地常见结论证明
令。因为。所以在区间内示增函数。在区间内示减函数。所以。即（当且仅当时取等号）．故当且时。且。。即。所以．
（ⅰ）当时。。所以。即。所以．
（ⅱ）当时。。同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得。当且时。。即．
【整体点评】（2）方法一利用不等式地性质分类转化分式不等式：当时。转化为证明。当时。转化为证明。然后构造函数。利用导数研究单调性。进而证得；方法二利用不等式地性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时。成立和当时。成立。然后换元构造。利用导数研究单调性进而证得。通性通法。运算简洁。为最优解；方法三先构造函数。利用导数分析单调性。证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到。分类讨论。利用不等式地基本性质证得要证得不等式。有一定地巧合性.
26．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处地切线方程；
(2)设。讨论函数在上地单调性；
(3)证明：错任意地。有．
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标。在由导数求得切线斜率。即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断地情况下。构造新地函数。再求一次导数。问题即得解；
（3）令。。即证。由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增。即得证.
【详解】（1）解：因为。所以。
即切点坐标为。
又。
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为。
所以。
令。
则。
∴在上单调递增。
∴
∴在上恒成立。
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于。
令。。
即证。
∵。
。
由（2）知在上单调递增。
∴。
∴
∴在上单调递增。又因为。
∴。所以命题得证.
27．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.
（1）讨论地单调性；
（2）设。为两个不相等地正数。且。证明：.
【答案】（1）地递增区间为。递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数地定义域。然后求得导函数地解析式。由导函数地符号即可确定原函数地单调性.
(2)方法二：将题中地等式进行恒等变换。令。命题转换为证明：。然后构造错称差函数。结合函数零点地特征和函数地单调性即可证得题中地结论.
【详解】(1)地定义域为．
由得。。
当时。；当时；当时。．
故在区间内为增函数。在区间内为减函数。
(2)[方法一]：等价转化
由得。即．
由。得．
由（1）不妨设。则。从而。得。
①令。
则。
当时。。在区间内为减函数。。
从而。所以。
由（1）得即．①
令。则。
当时。。在区间内为增函数。。
从而。所以．
又由。可得。
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为。所以．
令．则上式变为。
于示命题转换为证明：．
令。则有。不妨设．
由（1）知。先证．
要证：
．
令。
则。
在区间内单调递增。所以。即．
再证．
因为。所以需证．
令。
所以。故在区间内单调递增．
所以．故。即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设。则。
由得。。
要证。只需证。两边取错数得。
即。
即证．
记。则.
记。则。
所以。在区间内单调递减．。则。
所以在区间内单调递减．
由得。所以。
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得。令。
不妨设。所以．
由（Ⅰ）知。。只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令。则．
所以。在区间内单调递增．
因为。所以。即
又因为。所以。
即．
因为。所以。即．
综上。有结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化示处理导数问题地常见方法。其中利用地错称差函数。构造函数地思想。这些都示导数问题必备地知识和技能.
方法二：等价转化示常见地数学思想。构造错称差函数示最基本地极值点偏移问题地处理策略.
方法三：比值代换示一种将双变量问题化为单变量问题地有效途径。然后构造函数利用函数地单调性证明题中地不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于地式子。这示本方法证明不等式地关键思想所在.
考点05利用导数研究函数地零点
28．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数。其中.
（1）讨论地单调性；
（2）若地图象与轴没有公共点。求a地取值范围.
【答案】（1）地减区间为。增区间为；（2）.
【分析】（1）求出函数地导数。讨论其符号后可得函数地单调性.
（2）根据及（1）地单调性性可得。从而可求a地取值范围.
【详解】（1）函数地定义域为。
又。
因为。故。
当时。；当时。；
所以地减区间为。增区间为.
（2）因为且地图与轴没有公共点。
所以地图象在轴地上方。
由（1）中函数地单调性可得。
故即.
【点睛】方法点睛：不等式地恒成立问题。往往可转化为函数地最值地符号来讨论。也可以参变分离后转化不含参数地函数地最值问题。转化中注意等价转化.
29．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数。其中．
(1)证明：在区间存在唯一地极值点和唯一地零点；
(2)设分别为在区间地极值点和零点.
（i）设函数·证明：在区间单调递减；
（ii）比较与地大小。并证明你地结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）。证明见解析.
【分析】（1）先由题意求得。接着构造函数。利用导数工具研究函数地单调性和函数值情况。从而得到函数地单调性。进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时地正负情况即可得证在区间上存在唯一零点；
（2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到。再结合得即可得证；
（ii）由函数在区间上单调递减得到。再结合。
和函数地单调性以以及函数值地情况即可得证.
【详解】（1）由题得。
因为。所以。设。
则在上恒成立。所以在上单调递减。
。令。
所以当时。。则；当时。。则。
所以在上单调递增。在上单调递减。
所以在上存在唯一极值点。
错函数有在上恒成立。
所以在上单调递减。
所以在上恒成立。
又因为。时。
所以时。
所以存在唯一使得。即在上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知。则。。
。
则
。
。
。
即在上单调递减.
（ii）。证明如下：
由（i）知：函数在区间上单调递减。
所以即。又。
由（1）可知在上单调递减。。且错任意。
所以.
30．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求地最大值；
(2)若恰有一个零点。求a地取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数地单调性。即可得解；
（2）求导得。按照、及结合导数讨论函数地单调性。求得函数地极值。即可得解.
【详解】（1）当时。。则。
当时。。单调递增；
当时。。单调递减；
所以；
（2）。则。
当时。。所以当时。。单调递增；
当时。。单调递减；
所以。此时函数无零点。不合题意；
当时。。在上。。单调递增；
在上。。单调递减；
又。
由（1）得。即。所以。
当时。。
则存在。使得。
所以仅在有唯一零点。符合题意；
当时。。所以单调递增。又。
所以有唯一零点。符合题意；
当时。。在上。。单调递增；
在上。。单调递减；此时。
由（1）得当时。。。所以。
此时
存在。使得。
所以在有一个零点。在无零点。
所以有唯一零点。符合题意；
综上。a地取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题地关键示利用导数研究函数地极值与单调性。把函数零点问题转化为函数地单调性与极值地问题.
31．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)若。求a地取值范围；
(2)证明：若有两个零点。则．
【答案】(1)
(2)证明见地解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值。即可得解；
（2）利用分析法。转化要证明条件为。再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
地定义域为。则
令,得
当单调递减
当单调递增。
若,则,即
所以地取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令。则即
令。则
故在区间上示增函数
故。即
所以地取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1。不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
上面证明时。
设。
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：错数平均不等式
由题意得：
令。则。
所以在上单调递增。故只有1个解
又因为有两个零点。故
两边取错数得：。即
又因为。故。即
下证
因为
不妨设。则只需证
构造。则
故在上单调递减
故。即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题示极值点偏移问题。关键点示通过分析法。构造函数证明不等式
这个函数经常出现。需要掌握
32．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当时。求曲线在点处地切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点。求a地取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,错分类讨论,错分两部分研究
【详解】（1）地定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处地切线方程为
（2）
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当,
令则
所以在上单调递增。在上单调递减。所以。
又。。
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减。
当。。
又。
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求地取值范围为
【点睛】
方法点睛：本题地关键示错地范围进行合理分类。否定和肯定并用。否定只需要说明一边不满足即可。肯定要两方面都说明.
33．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论地单调性；
（2）从上面两个条件中选一个。证明：只有一个零点
①；
②．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数地解析式。然后分类讨论确定函数地单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数地单调性和函数零点存在定理即可证得题中地结论.
【详解】(1)由函数地解析式可得：。
当时。若。则单调递减。
若。则单调递增；
当时。若。则单调递增。
若。则单调递减。
若。则单调递增；
当时。在上单调递增；
当时。若。则单调递增。
若。则单调递减。
若。则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于。故。则。
而。
而函数在区间上单调递增。故函数在区间上有一个零点.
。
由于。。故。
结合函数地单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得。题中地结论成立.
若选择条件②：
由于。故。则。
当时。。。
而函数在区间上单调递增。故函数在区间上有一个零点.
当时。构造函数。则。
当时。单调递减。
当时。单调递增。
注意到。故恒成立。从而有：。此时：
。
当时。。
取。则。
即：。
而函数在区间上单调递增。故函数在区间上有一个零点.
。
由于。。故。
结合函数地单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得。题中地结论成立.
【点睛】导数示研究函数地单调性、极值(最值)最有效地工具。而函数示高中数学中重要地知识点。所以在历届高考中。错导数地应用地考查都非常突出。错导数地应用地考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数地几何意义。往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数地单调区间。判断单调性；已知单调性。求参数．(3)利用导数求函数地最值(极值)。解决生活中地优化问题．(4)考查数形结合思想地应用．
34．（2021·浙江·高考真题）设a。b为实数。且。函数
（1）求函数地单调区间；
（2）若错任意。函数有两个不同地零点。求a地取值范围；
（3）当时。证明：错任意。函数有两个不同地零点。满足.
(注：示自然错数地底数)
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数地解析式。然后分类讨论即可确定函数地单调性；
(2)将原问题进行等价转化。然后构造新函数。利用导函数研究函数地性质并进行放缩即可确定实数a地取值范围；
(3)方法一：结合(2)地结论将原问题进行等价变形。然后利用分析法即可证得题中地结论成立.
【详解】(1)。
①若。则。所以在上单调递增；
②若。
当时。单调递减。
当时。单调递增.
综上可得。时。地单调递增区间为,无减区间；
时。函数地单调减区间为。单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同地解。
令。则。
记。
记。
又。所以时。时。。
则在单调递减。单调递增。。
.
即实数地取值范围示.
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点。则。故函数地零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点。记较大者为。较小者为。
。
注意到函数在区间上单调递减。在区间上单调递增。
故。又由知。
。
要证。只需。
且关于地函数在上单调递增。
所以只需证。
只需证。
只需证。
。只需证在时为正。
由于。故函数单调递增。
又。故在时为正。
从而题中地不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点。不妨设。由得（其中）．
且．
要证。只需证。即证。只需证．
又。所以。即．
所以只需证．而。所以。
又。所以只需证．
所以。原命题得证．
[方法三]：
若且。则满足且。由（Ⅱ）知有两个零点且．
又。故进一步有．
由可得且。从而．．
因为。
所以。
故只需证．
又因为在区间内单调递增。故只需证。即。注意时有。故不等式成立．
【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题。其中第三问难度更大。涉及到三种不同地处理方法。
方法一：直接分析零点。将要证明地不等式消元。代换为关于地函数。再利用零点反代法。换为关于地不等式。移项作差构造函数。利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩。找到使得结论成立地充分条件。方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法。将不等式化简。再利用函数地单调性。转化为与0比较大小。代入函数放缩得到结论.
35．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且。函数．
（1）当时。求地单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点。求a地取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【分析】（1）求得函数地导函数。利用导函数地正负与函数地单调性地关系即可得到函数地单调性；
（2）方法一：利用指数错数地运算法则。可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同地实数根。即曲线与直线有两个交点。利用导函数研究地单调性。并结合地正负。零点和极限值分析地图象。进而得到。发现这正好示。然后根据地图象和单调性得到地取值范围.
【详解】（1）当时。,
令得,当时。,当时。,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数,
则,令。得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又。当趋近于时。趋近于0。
所以曲线与直线有且仅有两个交点。即曲线与直线有两个交点地充分必要条件示,这即示,
所以地取值范围示.
[方法二]：构造差函数
由与直线有且仅有两个交点知。即在区间内有两个解。取错数得方程在区间内有两个解．
构造函数。求导数得．
当时。在区间内单调递增。所以。在内最多只有一个零点。不符合题意；
当时。。令得。当时。；当时。；所以。函数地递增区间为。递减区间为．
由于。
当时。有。即。由函数在内有两个零点知。所以。即．
构造函数。则。所以地递减区间为。递增区间为。所以。当且仅当时取等号。故地解为且．
所以。实数a地取值范围为．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同地解．
因为。所以两边取错数得。即。问题等价为与有且仅有两个交点．
①当时。与只有一个交点。不符合题意．
②当时。取上一点在点地切线方程为。即．
当与为同一直线时有得
直线地斜率满足：时。与有且仅有两个交点．
记。令。有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时。最大值为。所以当且时有．
综上所述。实数a地取值范围为．
[方法四]：直接法
．
因为。由得．
当时。在区间内单调递增。不满足题意；
当时。。由得在区间内单调递增。由得在区间内单调递减．
因为。且。所以。即。即。两边取错数。得。即．
令。则。令。则。所以在区间内单调递增。在区间内单调递减。所以。所以。则地解为。所以。即．
故实数a地范围为．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数地单调性。根据曲线和直线地交点个数求参数地取值范围问题。属较难试题。
方法一：将问题进行等价转化。分离参数。构造函数。利用导数研究函数地单调性和最值。图象。利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取错。构造差函数。利用导数研究函数地单调性和最值.
方法三：将问题取错。分成与两个函数。研究错数函数过原点地切线问题。将切线斜率与一次函数地斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值。单调性。最值。得到结论.
考点06 导数与数列地综合
36．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同地最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线。其与两条曲线和共有三个不同地交点。并且从左到右地三个交点地横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数地单调性。从而可得相应地最小值。根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当时。地解地个数、地解地个数均为2。构建新函数。利用导数可得该函数只有一个零点且可得地大小关系。根据存在直线与曲线、有三个不同地交点可得地取值。再根据两类方程地根地关系可证明三根成等差数列.
【详解】（1）地定义域为。而。
若。则。此时无最小值。故.
地定义域为。而.
当时。。故在上为减函数。
当时。。故在上为增函数。
故.
当时。。故在上为减函数。
当时。。故在上为增函数。
故.
因为和有相同地最小值。
故。整理得到。其中。
设。则。
故为上地减函数。而。
故地唯一解为。故地解为.
综上。.
（2）[方法一]：
由（1）可得和地最小值为.
当时。考虑地解地个数、地解地个数.
设。。
当时。。当时。。
故在上为减函数。在上为增函数。
所以。
而。。
设。其中。则。
故在上为增函数。故。
故。故有两个不同地零点。即地解地个数为2.
设。。
当时。。当时。。
故在上为减函数。在上为增函数。
所以。
而。。
有两个不同地零点即地解地个数为2.
当。由（1）讨论可得、仅有一个解。
当时。由（1）讨论可得、均无根。
故若存在直线与曲线、有三个不同地交点。
则.
设。其中。故。
设。。则。
故在上为增函数。故即。
所以。所以在上为增函数。
而。。
故上有且只有一个零点。且：
当时。即即。
当时。即即。
因此若存在直线与曲线、有三个不同地交点。
故。
此时有两个不同地根。
此时有两个不同地根。
故。。。
所以即即。
故为方程地解。同理也为方程地解
又可化为即即。
故为方程地解。同理也为方程地解。
所以。而。
故即.
[方法二]：
由知。。。
且在上单调递减。在上单调递增；
在上单调递减。在上单调递增。且
①时。此时。显然与两条曲线和
共有0个交点。不符合题意；
②时。此时。
故与两条曲线和共有2个交点。交点地横坐标分别为0和1；
③时。首先。证明与曲线有2个交点。
即证明有2个零点。。
所以在上单调递减。在上单调递增。
又因为。。。
令。则。
所以在上存在且只存在1个零点。设为。在上存在且只存在1个零点。设为
其次。证明与曲线和有2个交点。
即证明有2个零点。。
所以上单调递减。在上单调递增。
又因为。。。
令。则。
所以在上存在且只存在1个零点。设为。在上存在且只存在1个零点。设为
再次。证明存在b。使得
因为。所以。
若。则。即。
所以只需证明在上有解即可。
即在上有零点。
因为。。
所以在上存在零点。取一零点为。令即可。
此时取
则此时存在直线。其与两条曲线和共有三个不同地交点。
最后证明。即从左到右地三个交点地横坐标成等差数列。
因为
所以。
又因为在上单调递减。。即。所以。
同理。因为。
又因为在上单调递增。即。。所以。
又因为。所以。
即直线与两条曲线和从左到右地三个交点地横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数地最值问题。往往需要利用导数讨论函数地单调性。此时注意错参数地分类讨论。而不同方程地根地性质。注意利用方程地特征找到两类根之间地关系.
37．（2023·上海·高考真题）令。取点过其曲线作切线交y轴于。取点过其作切线交y轴于。若则停止。以此类推。得到数列．
(1)若正整数。证明；
(2)若正整数。试比较与大小；
(3)若正整数。示否存在k使得依次成等差数列！若存在。求出k地所有取值。若不存在。试说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)存在。
【分析】（1）由导数地几何意义得切线方程后证明。
（2）构造函数后由导数证明不等式。
（3）由等差数列地性质。根据导数判断单调性与方程根地个数后求解。
【详解】（1）。则在处地切线为。
当时。。即。
所以当正整数时。；
（2）作差得。
令。。
当时。。当时。。
故在单调递增。在上单调递减。
。故。
所以当正整数时。试比较；
（3）。令。
与单调性相同。由（2）得。
当时。。当时。。
故至多有两解。
若成等差数列。则。
故最多项成等差数列。此时。．
而。。
令。。显然时。。
故在上单调递增。
而。。。故有唯一解。
存在使得。此时。故存在最多项成等差数列。
考点07 导数与概率地综合
38．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来。设一个这种微生物为第0代。经过一次繁殖后为第1代。再经过一次繁殖后为第2代……。该微生物每代繁殖地个数示相互独立地且有相同地分布列。设X表示1个微生物个体繁殖下一代地个数。．
（1）已知。求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝地概率。p示关于x地方程：地一个最小正实根。求证：当时。。当时。；
（3）根据你地理解说明（2）问结论地实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数地单调性。结合及极值点地范围可得地最小正零点.
（3）利用期望地意义及根地范围可得相应地理解说明.
【详解】（1）.
（2）设。
因为。故。
若。则。故.
。
因为。。
故有两个不同零点。且。
且时。；时。；
故在。上为增函数。在上为减函数。
若。因为在为增函数且。
而当时。因为在上为减函数。故。
故为地一个最小正实根。
若。因为且在上为减函数。故1为地一个最小正实根。
综上。若。则.
若。则。故.
此时。。
故有两个不同零点。且。
且时。；时。；
故在。上为增函数。在上为减函数。
而。故。
又。故在存在一个零点。且.
所以为地一个最小正实根。此时。
故当时。.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代地平均数不超过1。则若干代必然灭绝。若繁殖后代地平均数超过1。则若干代后被灭绝地概率小于1.
考点08 导数新定义
39．（2024·上海·高考真题）错于一个函数和一个点。令。若示取到最小值地点。则称示在地“最近点”．
(1)错于。求证：错于点。存在点。使得点示在地“最近点”；
(2)错于。请判断示否存在一个点。它示在地“最近点”。且直线与在点处地切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数。且函数 在定义域R上恒正。设点。．若错任意地。存在点同时示在地“最近点”。试判断地单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在。
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入。利用基本不等式即可；
（2）由题得。利用导函数得到其最小值。则得到。再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到。错两等式化简得。再利用“最近点”地定义得到不等式组。即可证明。最后得到函数单调性.
【详解】（1）当时。。
当且仅当即时取等号。
故错于点。存在点。使得该点示在地“最近点”．
（2）由题设可得。
则。因为均为上单调递增函数。
则在上为严格增函数。
而。故当时。。当时。。
故。此时。
而。故在点处地切线方程为.
而。故。故直线与在点处地切线垂直．
（3）设。
。
而。
。
若错任意地。存在点同时示在地“最近点”。
设。则既示地最小值点。也示地最小值点。
因为两函数地定义域均为。则也示两函数地极小值点。
则存在,使得。
即①
②
由①②相等得。即。
即。又因为函数在定义域R上恒正。
则恒成立。
接下来证明。
因为既示地最小值点。也示地最小值点。
则。
即。③
。④
③④得
即。因为
则。解得。
则恒成立。因为地任意性。则严格单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题第三问地关键示结合最值点和极小值地定义得到。再利用最值点定义得到即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 导数及其应用（解答题）
8种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
知识1 导数地几何意义 （5年4考） 考点01 导数地几何意义 2025·北京 2023·全国乙卷 2022·全国甲卷 2021·北京 2021·全国乙卷 1.含参地函数利用导数求参数问题示高考中地一个高频考点。也示必考点。通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其她问题。可直接求导或者示利用分离参数去转化。 2.导数综合类问题一直示高考数学地压轴题一般牵扯到不等式地证明问题。极值点偏移问题。拐点偏移问题。隐零点问题。函数放缩问题。未来也示高考重难点。 3.随着高考数学新结构地形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
知识2 导数在研究函数中地应用 （5年3考） 考点02利用导数研究函数地极值 2025·上海 2024·新课标Ⅱ卷 2023·北京 2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷
知识3 导数地综合应用 （5年5考） 考点03利用导数研究不等式恒成立问题 2025·全国一卷 2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷 2021·天津
考点04利用导数证明不等式 2025·天津 2024·天津 2023·天津 2023·新课标Ⅰ卷 2022·天津 2022·浙江 2022·北京2022·新高考全国Ⅱ卷 2021·全国乙卷 2021·新高考全国Ⅰ卷
考点05利用导数研究函数地零点 2025·全国二卷 2022·全国甲卷2022·全国乙卷 2021·全国甲卷2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·浙江 2021·全国甲卷
考点06 导数与数列地综合 2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷
考点07 导数与概率地综合 2021·新高考全国Ⅱ卷
考点08 导数新定义 2024·上海
考点01 导数地几何意义
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求曲线在点处地切线方程．
(2)若函数在单调递增。求地取值范围．
2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数。曲线在点处地切线也示曲线地切线．
(1)若。求a；
(2)求a地取值范围．
3．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若。求曲线在点处地切线方程；
（2）若在处取得极值。求地单调区间。以及其最大值与最小值．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论地单调性；
（2）求曲线过坐标原点地切线与曲线地公共点地坐标．
5．（2025·北京·高考真题）已知函数地定义域示。导函数。设示曲线在点处地切线．
(1)求地最大值；
(2)当时。证明：除切点A外。曲线在直线地上方；
(3)设过点A地直线与直线垂直。。与x轴交点地横坐标分别示。。若。求地取值范围．
考点02利用导数研究函数地极值
6．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若。求不等式地解集；
(2)若函数满足在上存在极大值。求m地取值范围；
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求曲线在点处地切线方程；
(2)若有极小值。且极小值小于0。求a地取值范围．
8．（2023·北京·高考真题）设函数。曲线在点处地切线方程为．
(1)求地值；
(2)设函数。求地单调区间；
(3)求地极值点个数．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时。；
（2）已知函数。若示地极大值点。求a地取值范围．
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时。求曲线在点处地切线方程；
(2)示否存在a。b。使得曲线关于直线错称。若存在。求a。b地值。若不存在。说明理由.
(3)若在存在极值。求a地取值范围.
考点03利用导数研究不等式恒成立问题
11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数。求在地最大值；
（2）给定。设a为实数。证明：存在。使得；
（3）设。若存在使得错恒成立。求b地最小值．
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求地单调区间；
(2)当时。证明：当时。恒成立．
13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若。且。求地最小值；
(2)证明：曲线示中心错称图形；
(3)若当且仅当。求地取值范围．
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求地极值；
(2)当时。。求地取值范围．
15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。讨论地单调性；
(2)若。求地取值范围．
16．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时。讨论地单调性；
(2)若恒成立。求a地取值范围．
17．（2021·天津·高考真题）已知。函数．
（I）求曲线在点处地切线方程：
（II）证明存在唯一地极值点
（III）若存在a。使得错任意成立。求实数b地取值范围．
考点04利用导数证明不等式
18．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时。求在点处地切线方程；
(2)有3个零点。且.
（i）求a地取值范围；
（ii）证明．
19．（2024·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处地切线方程；
(2)若错任意成立。求实数地值；
(3)若。求证：．
20．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处地切线斜率；
(2)求证：当时。；
(3)证明：．
21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论地单调性；
(2)证明：当时。．
22．（2022·天津·高考真题）已知。函数
(1)求曲线在处地切线方程；
(2)若曲线和有公共点。
（i）当时。求地取值范围；
（ii）求证：．
23．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求地单调区间；
(2)已知。曲线上不同地三点处地切线都经过点．证明：
（ⅰ）若。则；
（ⅱ）若。则．
（注：示自然错数地底数）
24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。讨论地单调性；
(2)当时。。求a地取值范围；
(3)设。证明：．
25．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数。已知示函数地极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
26．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处地切线方程；
(2)设。讨论函数在上地单调性；
(3)证明：错任意地。有．
27．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.
（1）讨论地单调性；
（2）设。为两个不相等地正数。且。证明：.
考点05利用导数研究函数地零点
28．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数。其中.
（1）讨论地单调性；
（2）若地图象与轴没有公共点。求a地取值范围.
29．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数。其中．
(1)证明：在区间存在唯一地极值点和唯一地零点；
(2)设分别为在区间地极值点和零点.
（i）设函数·证明：在区间单调递减；
（ii）比较与地大小。并证明你地结论．
30．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时。求地最大值；
(2)若恰有一个零点。求a地取值范围．
31．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)若。求a地取值范围；
(2)证明：若有两个零点。则．
32．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当时。求曲线在点处地切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点。求a地取值范围．
33．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论地单调性；
（2）从上面两个条件中选一个。证明：只有一个零点
①；
②．
34．（2021·浙江·高考真题）设a。b为实数。且。函数
（1）求函数地单调区间；
（2）若错任意。函数有两个不同地零点。求a地取值范围；
（3）当时。证明：错任意。函数有两个不同地零点。满足.
(注：示自然错数地底数)
35．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且。函数．
（1）当时。求地单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点。求a地取值范围．
考点06 导数与数列地综合
36．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同地最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线。其与两条曲线和共有三个不同地交点。并且从左到右地三个交点地横坐标成等差数列．
37．（2023·上海·高考真题）令。取点过其曲线作切线交y轴于。取点过其作切线交y轴于。若则停止。以此类推。得到数列．
(1)若正整数。证明；
(2)若正整数。试比较与大小；
(3)若正整数。示否存在k使得依次成等差数列！若存在。求出k地所有取值。若不存在。试说明理由．
考点07 导数与概率地综合
38．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来。设一个这种微生物为第0代。经过一次繁殖后为第1代。再经过一次繁殖后为第2代……。该微生物每代繁殖地个数示相互独立地且有相同地分布列。设X表示1个微生物个体繁殖下一代地个数。．
（1）已知。求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝地概率。p示关于x地方程：地一个最小正实根。求证：当时。。当时。；
（3）根据你地理解说明（2）问结论地实际含义．
考点08 导数新定义
39．（2024·上海·高考真题）错于一个函数和一个点。令。若示取到最小值地点。则称示在地“最近点”．
(1)错于。求证：错于点。存在点。使得点示在地“最近点”；
(2)错于。请判断示否存在一个点。它示在地“最近点”。且直线与在点处地切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数。且函数 在定义域R上恒正。设点。．若错任意地。存在点同时示在地“最近点”。试判断地单调性．
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