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3.2认识万有引力定律 练习
一、单选题
1．如图所示，神舟十七号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为飞船的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A点距离地球最近，C点距离地球最远。B点和D点是弧线和的中点，下列说法正确的是（　　）
A．飞船在C点所受地球引力最大
B．飞船在A点运行速度最小
C．飞船从B点经C到D点的运动时间
D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等
2．在物理学的发展历程中，有很多科学家做出了卓越的贡献，下列说法正确的是（　　）
A．牛顿利用扭秤装置比较准确地测出了万有引力常数G
B．哥白尼是“地心说”的主要代表人物，并且现代天文学也证明了太阳是宇宙的中心
C．牛顿发现了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系
D．第谷总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
3．欧洲航天局在2025年2月4日宣布，欧洲航天局利用空间探测器探测到一颗巨大的系外行星盖亚-4b，环绕着一恒星公转，其椭圆轨道如图所示，环绕周期大约570天。连线为长轴、连线为短轴，其环绕方向为顺时针。下列说法正确的是（　　）
A．恒星不一定处在椭圆的焦点上
B．盖亚-4b在、两点的加速度相同
C．盖亚-4b在点的速度大于在点的速度
D．盖亚-4b从经到的时间约为285天
4．2023年5月，天舟六号货运飞船在中国文昌成功发射，其在飞行预定圈数后，到达200公里高的入轨轨道，再通过次变轨完成与空间站的交会对接．如图所示，阴影部分为天舟六号在不同轨道上绕地球运行时与地球的连线在单位时间内扫过的面积，下列说法正确的是（ ）
A．图中两阴影部分的面积相等
B．天舟六号在轨道2上经过N点时的速率小于经过P点时的速率
C．天舟六号从N到P的过程中，运行速率越来越小
D．天舟六号从N到P的过程中，所受地球引力方向与其速度方向共线
5．木卫三是太阳系中最大的卫星，主要由硅酸盐岩石和冰体构成。木卫三的平均半径约为， 是月球半径的1.5倍，质量约为，是月球质量的2倍，假设质量相等的两个飞行器分别落在木卫三和月球的表面，木卫三和月球对各自飞行器的引力大小之比为（　　）
A． B． C． D．
6．2023年3月26日记者从中国石油大庆油田获悉，大庆油田累计生产原油突破25亿吨．已知地球的质量为M，半径为R（地球视为质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零），引力常量为G，假如大庆油田的某油井向地心挖掘的深度为（k为常数），则井底一个质量为m的挖井工人与地球之间的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
7．已知地球质量为M，月球质量为m，地月距离为L。以地心作为坐标原点，沿地月连线建立x轴，在x轴上有一个探测器。由于地球和月球对探测器的引力做功与路径无关，探测器具有与其位置相关的引力势能。仅考虑地球和月球对探测器的作用，可得探测器引力势能随位置变化关系如图所示。在处引力势能最大，k已知，下列选项正确的是（　　）
A．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，先逐渐增大后逐渐减小
B．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，一直减小
C．地球与月球的质量之比
D．地球与月球的质量之比
8．2023年12月9 日，“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入预定轨道。已知“鸿鹄卫星”离地面高度为h，其质量为m，地球质量为m地，地球半径为R，引力常量为G，则地球和“鸿鹄卫星”间的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．国际天文学团队发现“超级地球”——行星HD20794d。如图所示，该行星围绕着一颗类太阳恒星运动，运行轨道呈椭圆形，位于宜居带内、外缘之间，、、、是椭圆轨道的顶点。已知类太阳恒星质量小于太阳质量，则“超级地球”（　　）
A．运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于地球公转轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比
B．从到所用时间大于到所用时间
C．在点的速度大于点的速度
D．在点的加速度小于点的加速度
10．下列关于物理学史或物理认识说法正确的是（　　）
A．牛顿的理想实验将实验事实和逻辑推理相结合得出了力不是维持物体运动的原因
B．通过第谷观测，开普勒发现所有行星围绕太阳运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
C．牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中
D．根据平均速度的定义式，当，就可以表示物体在时刻的瞬时速度，则平均速度定义采用了比值定义法，瞬时速度在此基础上运用了极限法
11．如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　）
A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T
12．如图所示，三颗质量均为的卫星等间隔分布在半径为的圆轨道上，设地球质量为、半径为。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　）
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
三、实验题
13．卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量：
（1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量 。

（2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。
A．增大石英丝的直径
B．增大刻度尺与平面镜的距离
C．利用平面镜对光线的反射
D．减小T形架横梁的长度
14．重力测量
“重力测量”是指测定重力加速度的技术和方法，其成果在地球物理学、测绘学中有着重要的作用。小明用图（a）所示的实验装置测量重力加速度g。其中轻质细线长为L，细线一端挂在已调零的力传感器下，另一悬挂一直径为D的金属小球。悬点的正下方固定一光电门，用于测量小球经过时的挡光时间。实验时将小球拉至不同高度由静止起开始摆动，记下小球在最低点时力传感器的读数F和小球经过光电门的挡光时间t，建立合适坐标系处理实验数据得到图（b）。
(1)图（b）中纵坐标为绳子拉力F，横坐标可能为（　　）
A．t B． C． D．
(2)实验测得图像的斜率为k，纵轴截距为b，则 。（用题中字母L、D、k、b表示）
(3)已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的引力为0。“科拉深井”以的垂直深度，被誉为到达地球最深处的人造物。若将地球视为质量分布均匀、半径为的球体。“科拉深井”井底的重力加速度为，地球表面重力加速度，则 （保留三位有效数字）。
15．牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。卡文迪什巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值，即 （选填“”或“”）。卡文迪什的实验涉及的物理思想方法是 （选填“等效替代法”或“微量放大法”）。
四、解答题
16．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，已知球体的体积，引力常量为G。
(1)求m对M的万有引力大小；
(2)现从M中挖去半径为的球体（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切），如图所示，求：
①剩余部分的质量；
②剩余部分对m的万有引力大小。
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B D A C D BD BD
题号 11 12
答案 AB BC
1．D
【详解】A．根据
可知飞船在A点所受地球引力最大，故A错误；
B．根据开普勒第二定律可知，飞船在A点运行速度最大，故B错误；
C．因为飞船从A点到C点速度逐渐减小，从C点到A点速度逐渐增大，故飞船从B点经C到D点的运动时间大于，故C错误；
D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则，根据开普勒第三定律，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等，故D正确。
故选D。
2．C
【详解】A．卡文迪什利用扭秤装置在实验室里比较准确地测出了引力常量G值，故A错误；
B．哥白尼是“日心说”的主要代表人物，现代天文学表明太阳只是太阳系的中心，不是宇宙的中心，故B错误；
C．牛顿发现了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，故C正确；
D．开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出行星按照这些规律运动的原因，D错误。
故选C。
3．C
【详解】A．根据开普勒第一定律可知恒星一定处在椭圆的一个焦点上，故A错误；
B．盖亚-4b在、两点时与恒星的距离相等，故受到的万有引力大小相等，但是方向不同，故加速度不同，故B错误；
C．点离恒星近，根据开普勒第二定律可知在点的速度大于在点的速度，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知的平均速度大于从经到的平均速度，故从经到的时间比周期的一半285天大的多，故D错误。
故选C。
4．B
【详解】A．根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上相同时间内天舟六号与地球连线所扫过的面积相等，图中两阴影部分为天舟六号在不同轨道上绕地球运行时与地球的连线在单位时间内扫过的面积，故不相等，故A错误；
BC．根据开普勒第二定律可知，天舟六号在近地点的速度大于其在远地点的速度，故天舟六号在轨道2上经过N点时的速率小于经过P点时的速率，天舟六号从N到P的过程中，运行速率越来越大，故B正确，C错误；
D．天舟六号所受地球引力方向沿天舟六号与地球连线方向，而天舟六号速度方向沿椭圆轨道的切线方向，故其所受地球引力方向与其速度方向不共线，故D错误。
故选B。
5．D
【详解】设飞行器的质量为， 则在木卫三表面有
在月球表面有
可得
由题意有
故
D正确。
6．A
【详解】设地球密度为，将地球分别看作半径为的球（质量设为）和厚度为的球壳．由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，即球壳对井底工人的引力为零，则井底工人和地球之间的万有引力为
根据球体质量与体积的关系可知
联立可得
故选A。
7．C
【详解】AB．设地球质量为M，月球的质量为m， 探测器的质量为，引力的合力做功与引力势能的关系
可知图线的斜率绝对值为
由图可知，图像切线斜率绝对值先减小后增大，则地球和月球对探测器作用力随探测器位置x的增大，先逐渐减小后逐渐增大，故AB错误；
CD．在处图线的切线斜率为0 ，则探测器在该处受地球和月球的引力的合力为零，即
解得地球与月球的质量之比
故C正确，D错误。
故选C。
8．D
【详解】结合题中数据，根据万有引力表达式可得地球和“鸿鹄卫星”间的万有引力大小为
r为卫星到地心的距离，即
故二者间万有引力大小为
故选 D。
9．BD
【详解】A．“超级地球”围绕类太阳恒星运动，中心天体时类太阳恒星；地球围绕太阳运动，中心天体时太阳，中心天体不同，轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不同，故A错误；
B．“超级地球”围绕类太阳恒星做椭圆运动，从Q到M的平均速度大小小于从M到P的平均速度大小，所以从Q到M所用时间大于M到P所用时间，故B正确；
C．由开普勒第二定律可知在远日点Q点的速度小于近日点P点的速度，故C错误；
D．根据万有引力公式
可知“超级地球”在P点受到的万有引力大，根据牛顿第二定律可知在Q点的加速度小于P点的加速度，故D正确。
故选BD。
10．BD
【详解】A．伽利略的理想实验将实验事实和逻辑推理相结合得出了力不是维持物体运动的原因。故A错误；
B．通过研究第谷的观测数据，开普勒发现所有行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。故B正确；
C．卡文迪许对引力常量G进行了准确测定。故C错误；
D．根据平均速度的定义式
当，就可以表示物体在时刻的瞬时速度，则平均速度定义采用了比值定义法，瞬时速度在此基础上运用了极限法。故D正确。
故选BD。
11．AB
【详解】A．根据开普勒第二定律，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，中继星与月球连线相同时间内扫过的面积相等，可知近月点速度大，远月点速度小，v1 > v2，故A正确；
B．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，所受合力为万有引力，设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式
在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，根据牛顿第二定律
得
在近月点的加速度大于远月点的加速度，即a1 > a2，故B正确；
C．设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式
中继星在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，F1 > F2，故C错误；
D．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，轨道关于长轴对称，从远月点到近月点的时间与从近月点到远月点的时间相等，t = 0.5T，故D错误。
故选AB。
12．BC
【详解】AB．根据万有引力定律，地球与一颗卫星之间的引力大小，由于一颗卫星对地球的引力与地球对一颗卫星的引力是一对相互作用力，其大小相等，故B正确，A错误；
C．三颗卫星等间隔分布，由几何关系知，两颗卫星间的距离
则两颗卫星间的万有引力大小
故C项正确；
D．卫星对地球的引力均沿卫星与地球球心间的连线向外，由于三颗卫星质量相等，各自对地球的引力大小相等，且三颗卫星等间隔分布，由几何关系知，相邻两个力的夹角为，故三颗卫星对地球引力的合力大小为零，故D错误。
故选BC。
13． BC/ CB
【详解】（1）[1] 根据万有引力公式可得
得引力常量
（2）[2] A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误；
BC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采用使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确；
D．当减小T型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误；
故选BC。
14．(1)D
(2)
(3)0.998
【详解】（1）根据题意可知，小球经过光电门的速度为
由牛顿第二定律有
整理可得
则图（b）中纵坐标为绳子拉力F，横坐标可能为。
故选D。
（2）实验测得图像的斜率为k，纵轴截距为b，则有
，
整理可得
（3）根据万有引力等于重力有
又有
整理可得
则
15． 微量放大法
【详解】[1]根据万有引力公式
整理得
根据量纲法则，得引力常量的单位为
[2]卡文迪什测量引力常量使用的扭秤装置，入射光线不变，当入射角改变时，将扭秤转动的高度通过反射光线在屏上光斑移动显示出来，采用的微量放大法。
16．(1)
(2)①；②
【详解】（1）由万有引力定律可知球体与质点之间的万有引力
解得
（2）①完整球体的质量
挖去的小球质量
故剩余部分的质量
②被挖掉的小球与质点之间的万有引力
由题意可知
解得
故剩余部分对质点的万有引力
解得

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