资源简介

专题16 勾股定理-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示.其中M，N分别是两段曲线的最低点.点N的纵坐标是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　）
A．1 B．5 C．2 D．
3．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
4．（2025·连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为　 　m.
5．（2025·广州）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为　 　．
6．（2025·广西）如图，点在同侧，，则　 　．
7．（2025·东营）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为　 　．
8．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
9．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
10．（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ．
11．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
12．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
13．（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，点C在直线m：上，且连接AB，BC，将绕点C顺时针旋转到点B的对应落在直线m上，再将点绕点顺时针旋转到点的对应点.也落在直线m上.如此下去，…，则的纵坐标是　 　.
三、解答题
14．（2025·吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
15．（2025·广州）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是黄金矩形；
（3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
16．（2025·青岛）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算：　 　；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
（3）【应用新运算】
如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为　 　．
17．（2025·广东） 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【解答】解：根据图2，AD=20，CD=8，BD=15
点D到AB的距离DE=12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF，如图
∴，
∴AB=AE+BE=25
∵AD2+BD2=202+152=625=252=AB2
∴∠ADB=90°
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°
∴
∴
∴
∴点N的纵坐标为
故答案为：B
【分析】根据图2，AD=20，CD=8，BD=15，点D到AB的距离DE=12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF，根据勾股定理可得AE，BE，根据边之间的关系可得AB，再根据勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，则∠BDC=90°，再根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
4．【答案】2.4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴
故答案为：2.4.
【分析】根据题意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
5．【答案】10
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H
∵∠C=90°，
∴设AC=12k，AD=13k
∴
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB
∴DH=DC=5k
设点B到AD的距离为h
∴
解得：h=10
故答案为：10
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，设AC=12k，AD=13k，根据勾股定理可得CD，再根据角平分线性质可得DH=DC=5k，再根据三角形面积即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E
∵AB=CA，BD=CD
∴AE⊥BC，BE=CE
∵
∴BE=CE=1
∴
∴
故答案为：
【分析】延长AD交BC于点E，根据等腰三角形性质可得AE⊥BC，BE=CE=1，再根据勾股定理可得AE，DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED= 90°，
CD2= DE2+CE2=DE2，
∴DE=
∵正方形的边长为2
∴DE==
∴面积标记为S1的正方形：边长为2，面积为：22；
面积标记为S2的正方形：边长为=，面积为：（）2；
面积标记为S3的正方形：边长为，面积为：（1）2；
面积标记为S4的正方形：边长为，面积为：（）2=；
面积标记为S5的正方形：边长为=，面积为：=；
面积标记为S6的正方形：边长为=，面积为：=；
……
以此类推，面积标记为S2025的正方形面积为：；
的值为.
故答案为：.
【分析】先根据等腰直角三角形的计算发现后面每一个正方形的边长=，即可表示出面积，发现第n个图标记的，计算即可解答.
8．【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
9．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
10．【答案】11，60，61
【知识点】勾股数；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：
第②组勾股数分别为：
第③组勾股数分别为：
第④组勾股数为： ；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1=11，
故答案为： 11， 60， 61.
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 由此可写出第⑤组勾股数.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
13．【答案】2004
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—边角关系；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：当x=0时，y=，
∴直线与y轴交于点(0，)，
∴直线与x轴夹角的正切为，即夹角为30°，
AB=，
∴，
由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动3+4+5=12个单位长度，
∵，
即，
∴的纵坐标是，
故答案为：2004.
【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出长，然后求出直线m与x轴的夹角度数，然后利用30°的直角三角形的性质解答即可.
14．【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
15．【答案】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得，，再根据矩形性质可得，，，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则=2，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
（3）根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据勾股定理可得FG，连接，由对折可得：，，，设，则，根据割补法，结合三角形，梯形的面积建立方程，解方程可得x值，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
16．【答案】（1）a
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；勾股定理；单项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案为：a；
（3）由题意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍负) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案为：；
【分析】(1)根据 定义的运算为，代入计算，再化简即可解答；
(2)根据 定义得运算为，先计算 的左边，再计算右边，观察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根据题意利用 正方形与正方形的面积分别为26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根据 定义的运算计算出(2a)b(2a) =，再整体代值计算即可解答.
17．【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
1 / 1专题16 勾股定理-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示.其中M，N分别是两段曲线的最低点.点N的纵坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【解答】解：根据图2，AD=20，CD=8，BD=15
点D到AB的距离DE=12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF，如图
∴，
∴AB=AE+BE=25
∵AD2+BD2=202+152=625=252=AB2
∴∠ADB=90°
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°
∴
∴
∴
∴点N的纵坐标为
故答案为：B
【分析】根据图2，AD=20，CD=8，BD=15，点D到AB的距离DE=12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF，根据勾股定理可得AE，BE，根据边之间的关系可得AB，再根据勾股定理逆定理可得∠ADB=90°，则∠BDC=90°，再根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
2．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　）
A．1 B．5 C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
3．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
二、填空题
4．（2025·连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为　 　m.
【答案】2.4
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知∠ACB=90°，AC=h，
∴
故答案为：2.4.
【分析】根据题意可知 ∠ACB=90°，AC=h，然后利用勾股定理求出h的值.
5．（2025·广州）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为　 　．
【答案】10
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H
∵∠C=90°，
∴设AC=12k，AD=13k
∴
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB
∴DH=DC=5k
设点B到AD的距离为h
∴
解得：h=10
故答案为：10
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，设AC=12k，AD=13k，根据勾股定理可得CD，再根据角平分线性质可得DH=DC=5k，再根据三角形面积即可求出答案.
6．（2025·广西）如图，点在同侧，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E
∵AB=CA，BD=CD
∴AE⊥BC，BE=CE
∵
∴BE=CE=1
∴
∴
故答案为：
【分析】延长AD交BC于点E，根据等腰三角形性质可得AE⊥BC，BE=CE=1，再根据勾股定理可得AE，DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2025·东营）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：如图，∵△CDE为等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED= 90°，
CD2= DE2+CE2=DE2，
∴DE=
∵正方形的边长为2
∴DE==
∴面积标记为S1的正方形：边长为2，面积为：22；
面积标记为S2的正方形：边长为=，面积为：（）2；
面积标记为S3的正方形：边长为，面积为：（1）2；
面积标记为S4的正方形：边长为，面积为：（）2=；
面积标记为S5的正方形：边长为=，面积为：=；
面积标记为S6的正方形：边长为=，面积为：=；
……
以此类推，面积标记为S2025的正方形面积为：；
的值为.
故答案为：.
【分析】先根据等腰直角三角形的计算发现后面每一个正方形的边长=，即可表示出面积，发现第n个图标记的，计算即可解答.
8．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
9．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
10．（2025·扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ．
【答案】11，60，61
【知识点】勾股数；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：
第②组勾股数分别为：
第③组勾股数分别为：
第④组勾股数为： ；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1=11，
故答案为： 11， 60， 61.
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 由此可写出第⑤组勾股数.
11．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
12．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
13．（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，点C在直线m：上，且连接AB，BC，将绕点C顺时针旋转到点B的对应落在直线m上，再将点绕点顺时针旋转到点的对应点.也落在直线m上.如此下去，…，则的纵坐标是　 　.
【答案】2004
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—边角关系；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：当x=0时，y=，
∴直线与y轴交于点(0，)，
∴直线与x轴夹角的正切为，即夹角为30°，
AB=，
∴，
由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动3+4+5=12个单位长度，
∵，
即，
∴的纵坐标是，
故答案为：2004.
【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出长，然后求出直线m与x轴的夹角度数，然后利用30°的直角三角形的性质解答即可.
三、解答题
14．（2025·吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
15．（2025·广州）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是黄金矩形；
（3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，矩形是黄金矩形，
∴，
∴
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
（3）解：四边形是黄金矩形，证明如下：
∵，四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形；
由（2）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
如图，连接，由对折可得：，，，
设，则，
∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得，，再根据矩形性质可得，，，再根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则=2，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
（3）根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据勾股定理可得FG，连接，由对折可得：，，，设，则，根据割补法，结合三角形，梯形的面积建立方程，解方程可得x值，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.
16．（2025·青岛）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算：　 　；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
（3）【应用新运算】
如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为　 　．
【答案】（1）a
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；勾股定理；单项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：(1)
故答案为：a；
（3）由题意得，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=a，BF=b，且a> b，正方形ABCD的面积为26，
∴a2+b2=26，
∵四个直角三角形全等，
∴AE=BF=b，
∴EF=AF-AE=a-b，
∵正方形EFGH的面积为16，
∴ (a-b)2=16a2+b2-2ab=16，
∴26-2ab=16，
∴ab=5，
∴ (a+b)2= (a-b)2+4ab=16+4X 5=36，
∴a+b=6 (舍负) ，
∴(2a)b(2a) = (2a)(2a)b=ab =
故答案为：；
【分析】(1)根据 定义的运算为，代入计算，再化简即可解答；
(2)根据 定义得运算为，先计算 的左边，再计算右边，观察是否相等，即可判定得到答案，解答即可；
（3）根据题意利用 正方形与正方形的面积分别为26和16 表示出ab=5，a+b=6；然后再根据 定义的运算计算出(2a)b(2a) =，再整体代值计算即可解答.
17．（2025·广东） 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3， 4， 5 7， 24， 25 11， 60， 61 15， 112， 113 19， 180， 181
4， 3， 5 8， 15， 17 12， 35， 37 16， 63， 65 20， 21， 29
5， 12， 13 9， 12， 15 13， 84， 85 17， 144， 145 21， 28， 35
6， 8， 10 10，▲， 26 14， 48， 50 18， 80， 82 22， 120， 122
（1）请补全上表中的勾股数.
（2）根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花
【答案】（1）24
（2）解：若任取两个正整数m和n(m> n)， 则 是勾股数.
∵+ n4
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： (株)
四块绿地一共： (株)
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）x==24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
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