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§1　集合
1.1　集合的概念与表示
学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.　2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感受集合语言的意义和作用，培养数学抽象的核心素养.　3.会用集合的表示方法表示一些简单集合.
任务一　元素与集合的概念
问题1.阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①方程x2－2 025x－2 026＝0的所有实数根；
②在平面直角坐标系中，第一象限的点的全体；
③某中学2025年入学的全体高一学生；
④所有的正方形；
⑤地球上的四大洋；
⑥著名的高等院校.
(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？哪个例子的对象不确定，为什么？
(2)观察并讨论①－⑤中各例有什么共同特点？
提示：(1)分别为实数根、点、学生、正方形、大洋、高等院校.其中⑥的对象不确定，因为“著名”没有明确的划分标准.
(2)①－⑤中各例指的都是“所有的”，即某些研究对象的全体.
[微思考]　(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？(2)“中国各地最美的乡村”能否构成一个集合？(3)“唐宋散文八大家”能否构成一个集合？
提示：(1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.(2)不能.因为“最美”没有明确的划分标准.(3)能.因为标准确定.
(多选题)下列选项中正确的是(　　)
A.2024年参加巴黎奥运会的全体乒乓球选手能构成集合
B.小于的正整数能构成集合
C.组成集合的元素一定是有限个
D.直角坐标系中横、纵坐标互为相反数的点能构成集合
答案：ABD
解析：对于A，2024年参加巴黎奥运会的全体乒乓球选手是确定的，可以构成集合；对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合；对于C，组成集合的元素可以是无限个，如所有自然数组成的集合；对于D，直角坐标系中横、纵坐标互为相反数的点都是确定的，能构成集合.故选ABD.
　　集合是一个整体，所有满足条件的对象都在这个集合中，集合中的元素是我们研究的对象，可以有多个也可以只有一个.
对点练1.请写出下列集合中的元素：
(1)大于1小于10的奇数构成的集合：　　　　；
(2)我国四大名著构成的集合：　　　　　　　　　　　　　.
答案：(1)3，5，7，9　(2)《三国演义》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》
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任务二　元素与集合的关系
问题2.“我国的小河流”“有趣的书”“高一年级跑得快的同学”等能组成集合吗？
提示：不能.其中的元素不确定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相对性，没有明确的标准，是一些不能够确定的对象，因此，不能构成集合.
问题3.在体育课上，如果体育老师说“男同学踢足球，女同学打羽毛球”，你会去踢足球吗？
提示：是男生就去，不是男生就不去.
1.集合中元素的特性
给定的集合，它的元素必须是确定的(确定性)、互不相同的(互异性)、顺序任意的(无序性).
2.元素与集合的关系
关系 说法 记法
属于 元素a属于集合A a∈A
不属于 元素a不属于集合A a A
3.常用的数集及表示符号
数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集
符号 N N＋或N* Z Q R R＋
[微提醒]　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向.
[微思考]　集合N与N*或N＋有什么区别？
提示：集合N中的元素是0和正整数，集合N*或N＋中的元素是正整数.
(1)(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.∈R
B.0 N
C.不超过 20的素数能构成集合
D.π的近似值不能构成集合
(2)已知不等式x－a＞0的解集为集合A，若1∈A，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：(1)ACD　(2) a＜1
解析：(1)对于A，∈R正确；对于B，0∈N，故B不正确；对于C，不超过20的素数是确定的，可以组成集合，故C正确；对于D，π的近似值无法确切取到，不能组成集合，故D正确.故选ACD.
(2)由1∈A，得1－a＞0，解得a＜1，故答案为a＜1.
判断元素与集合关系的两种方法
1.直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
2.推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
对点练2.(1)设不等式3－2x＜0的解集为M，下列判断正确的是(　　)
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a＝　　　　.
答案：(1)B　(2)－
解析：(1)当x＝0时，3－2x＝3＞0，0 M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，2∈M.故选B.
(2)由－3∈A，可得－3＝a－2，或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1，或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，所以a＝－.
任务三　集合的表示
问题4.(1)用A表示“大于－2且小于2的整数”构成的集合，这是利用哪种方法表示集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
(2)“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？
提示：(1)这是用自然语言法表示集合；我们可以一一写出其元素为－1，0，1.
(2)不能，集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.
列举法 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法叫作列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围｜x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征
有限集、无 限集、空集 含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作
[微提醒]　(1)列举法元素间用“，”隔开，把元素一一列举出来并用“{ }”括起来即可.对于无限集，有时也可用列举法，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.(2)描述法应写清该集合中元素的代表符号，代表元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写.
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(1)(链教材P3例1)用列举法表示下列集合：
①由大于1且小于6的整数组成的集合A；
②方程x2－16＝0的实数根组成的集合B；
③一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点组成的集合C.
(2)(链教材P3例2)用描述法表示下列集合：
①小于6的所有的整数组成的集合A；
②被3除余2的正整数组成的集合B；
③平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.
解：(1)①因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
②方程x2－16＝0的实数根为－4，4，
所以B＝{－4，4}.
③由y＝x＋2，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2；所以一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点为(0，2)，(－2，0)，所以C＝{(0，2)，(－2，0)}.
(2)①设x∈A，则x∈Z，且使x＜6成立，因此用描述法可以表示为A＝{x∈Z｜x＜6}.
②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}.
③平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即x＜0，y＞0，故第二象限内的点组成的集合为C＝{(x，y)｜x＜0，y＞0}.
1.用列举法表示集合应注意
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
2.利用描述法表示集合应注意
对点练3.选择适当的方法表示下列集合：
(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合；
(2)不大于15的质数集；
(3)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合.
解：(1)因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2，故用列举法表示为{1，2}.
(2)不大于15的质数有2，3，5，7，11，13，故用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}.
(3)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合用描述法表示为{(x，y)｜xy≤0，x∈R，y∈R}.
任务四　区间及其表示
问题5.你能用列举法表示集合{x｜x－5＜2}吗？你还有其他的方法表示{x｜x－5＜2}吗？
提示：集合{x｜x－5＜2}可化简为{x｜x＜7}，因为满足x＜7的实数有无数多个，所以无法用列举法表示；还可以用区间表示.
1.区间的概念(a，b为实数，且a＜b)
集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x｜a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x｜a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b)
{x｜a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b]
2.特殊区间的表示
定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤b} {x｜x＜b}
区间 (－∞， ＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
[微思考]　(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　　)
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，2]
(2)若[a，5a－2]为一个确定区间，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：(1)B　(2)
解析：(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞).故选B.
(2)由题设知，5a－2＞a，可得a＞，则实数a的取值范围为.
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区间表示的关注点
1.(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
2.区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
对点练4.(多选题)下列叙述正确的是(　　)
A.{x｜x＞1}用区间可表示为[1，＋∞)
B.{x｜－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]
C.(－∞，3]用集合可表示为{x｜x＜3}
D.[2，4]用集合可表示为{x｜2≤x≤4}
答案：BD
解析：对于A，{x｜x＞1}用区间可表示为(1，＋∞)，故A错误；对于B，{x｜－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]，故B正确；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x｜x≤3}，故C错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x｜2≤x≤4}，故D正确.故选BD.
任务五　利用集合中元素的性质求参数
已知集合A＝{a2＋4a＋1，a＋1}，B＝{x｜x2＋px＋q＝0}，1∈A.
(1)求实数a的值；
(2)如果集合A是集合B的列举表示法，求实数p，q的值.
解：(1)因为1∈A，所以a2＋4a＋1＝1，或a＋1＝1，得a＝－4，或a＝0.
当a＝0时，a2＋4a＋1＝a＋1＝1，不符合元素的互异性，故a＝0舍去；
当a＝－4时，a2＋4a＋1＝1，a＋1＝－3，符合题意.所以a＝－4.
(2)由(1)得A＝{1，－3}，故集合B中，方程x2＋px＋q＝0的两根为1，－3.
由一元二次方程根与系数的关系，得p＝－[1＋(－3)]＝2，q＝1×(－3)＝－3.
[变式探究]
　(变条件)若将本例中“1∈A”换成“2a∈A”，求实数a的值.
解：因为2a∈A，所以a2＋4a＋1＝2a，或a＋1＝2a，解得a＝－1，或a＝1.
当a＝－1时，此时集合A中有两个元素－2，0，符合题意；
当a＝1时，此时集合A中有两个元素6，2，符合题意.
故所求a的值为－1或1.
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
对点练5.(开放题)有限数集S中至少含有1个元素且满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S＝　　　　　.(写出一个即可)
答案：{0，1}(或{－1，1})
解析：不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，所以a2，b2，ab中必有两个是相等的.若a2＝b2，则a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)，或a＝1，或a＝－1，此时S＝{－1，1}.
若a2＝ab，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1，
此时S＝{0，1}.若b2＝ab，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1，此时S＝{0，1}.
综上，S＝{0，1}或S＝{－1，1}.
任务 再现 1.元素与集合的概念、元素与集合的关系.2.常用数集的表示.3.集合中元素的特性及应用.4.集合的表示方法：列举法、描述法、区间
方法 提炼 1.判断元素与集合的关系：直接法、推理法.2.利用集合中元素的性质求参数：分类讨论思想、等价转化思想
易错 警示 1.集合中忽略互异性的判断.2.自然数集中容易遗忘0这个元素
1.下列四组对象，能构成集合的是(　　)
A.某中学所有高个子的学生
B.倒数等于它自身的实数
C.一切较大的数
D.中国著名的艺术家
答案：B
解析：某中学所有高个子的学生，一切较大的数，中国著名的艺术家，元素不明确；倒数等于它自身的实数，符合集合元素的确定性.故选B.
2.若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是(　　)
A.等腰梯形 B.直角梯形
C.菱形 D.矩形
答案：B
解析：根据集合中元素的互异性，以x1，x2，x3，x4为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可能满足要求.故选B.
3.设集合B＝{x∈N*｜－1≤x＜3}，则(　　)
A.－1∈B B.0∈B
C.2∈B D.3∈B
答案：C
解析：由题意可知：集合B＝{1，2}，所以－1 B，0 B，2∈B，3 B，即A，B，D错误，C正确.故选C.
4.若实数x满足{x｜3≤x＜7}，则用区间表示为　　　　.
答案：[3，7)
解析：由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，故表示为[3，7).
课时分层评价1　集合的概念与表示
(时间：40分钟　满分：100分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.(多选题)下列对象能构成集合的有(　　)
A.接近于2 025的所有正整数
B.小于－3的实数
C.未来10年内的房价趋势
D.点M(3，2)与点N(4，3)
答案：BD
解析：对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；对于B，小于－3的实数是确定的，能构成集合；对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；对于D，点M(3，2)与点N(4，3)是两个不同的点，是确定的，能构成集合.故选BD.
2.集合{x∈N＋｜x＜5}的另一种表示法是(　　)
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
答案：B
解析：由x＜5，且x∈N＋，得x＝1，2，3，4，故集合可表示为{1，2，3，4}.故选B.
3.下列集合是空集的是(　　)
A.{x｜x＞0，或x＜－5} B.{x｜x＞4}
C.{x｜x2≤0} D.{x｜x＞5，且x＜－4}
答案：D
解析：A，B，C选项的集合中均含有元素，均不为空集；D中集合没有任何元素，为空集.故选D.
4.已知集合A＝{a，｜a｜，a－3}，若3∈A，则实数a的值为(　　)
A.－3 B.3
C.3或－3 D.6
答案：A
解析：因为3∈A，所以｜a｜＝3或a－3＝3，当｜a｜＝3时，得到a＝－3或a＝3，又a＝－3时，A＝{－3，3，－6}，满足题意，a＝3时，a＝｜a｜＝3，不满足集合元素的互异性，当a－3＝3，得到a＝6，此时a＝｜a｜＝6，不满足集合元素的互异性.故选A.
5.(多选题)下列说法正确的有(　　)
A.10以内的质数组成的集合是{0，2，3，5，7}
B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C.方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
D.若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是等腰三角形
答案：BD
解析：对于A，0不是质数，故A错误；对于B，根据集合元素的无序性可知{1，2，3}＝{3，1，2}，故B正确；对于C，根据集合元素的互异性可知方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}，故C错误；对于D，根据集合元素的互异性可知a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形，故D正确.故选BD.
6.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为(　　)
A.{x｜x＝8k，k∈N} B.{x｜x＝8k＋8，k∈N}
C.{1，2，4} D.{1，2，4，8}
答案：B
解析：能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除；由于A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除；对于B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确.故选B.
7.设x，y∈R，用列举法表示＋所有可能取值组成的集合，结果是　　　　.
答案：{2，0，－2}
解析：根据x，y的符号，分情况去绝对值：若x＞0，y＞0，＋＝2；若x＞0，y＜0，＋＝0；若x＜0，y＞0，＋＝0；若x＜0，y＜0，＋＝－2.＋所有可能取值组成的集合为{2，0，－2}.
8.集合S＝{x｜x＝m＋n，m∈Z，n∈Z}，则－　　　S.(用“∈”或“ ”连接)
答案：∈
解析：当m＋n＝－时，有m＝0，n＝－1，满足m∈Z，n∈Z.所以－∈S.
9.(开放题)已知a≥1，集合A＝{x｜2－a≤x≤a}中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是　　　　.
答案：2(答案不唯一)
解析：由题设4＞a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a＜3，所以符合条件的一个a值为2(答案不唯一).
10.(10分)已知含有两个元素的集合A＝{m，m2－3m}，其中m∈R.
(1)实数m不能取哪些数？
(2)若4∈A，求实数m的值.
解：(1)根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4.
(2)由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.若集合M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，则(　　)
A.(1，3)∈M B.(－1，3)∈M
C.(－1，2)∈M D.(1，2)∈M
答案：B
解析：由已知M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，令x－y＝a，x＋y＝b，解得x＝，y＝，又y＝2x，则＝a＋b，化简得b＝－3a.故选B.
12.若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5个元素，则实数m的取值范围为(　　)
A.[－1，0) B.(－1，0]
C.(－1，0) D.[－2，－1)
答案：D
解析：若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5个元素，则这5个元素只能是3，2，1，0，－1，这表明m＜－1，m≥－2，即实数m的取值范围为[－2，－1).故选D.
13.(多选题)设a，b∈A＝{x｜x＝3m＋1，m∈Z}，c∈B＝{x｜x＝3k－1，k∈Z}，则(　　)
A.a＋b∈A B.ab∈A
C.a＋b∈B D.ac∈B
答案：BCD
解析：设a＝3u＋1，b＝3v＋1，c＝3w－1(u，v，w∈Z)，而a＋b＝3(u＋v)＋2＝3(u＋v＋1)－1∈B，即A错误，C正确；ab＝9uv＋3(u＋v)＋1＝3(3uv＋u＋v)＋1∈A，即B正确；ac＝9uw＋3(w－u)－1＝3(3uw－u＋w)－1∈B，即D正确.故选BCD.
14.(10分)已知集合A＝{x∈R｜ax2－3x＋1＝0，a∈R}.
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若a＝－10，用列举法表示集合A；
(3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值.
解：(1)由1∈A，得a×12－3×1＋1＝0，解得a＝2，所以实数a的值为2.
(2)当a＝－10时，A＝{x∈R｜－10x2－3x＋1＝0}＝.
(3)当a＝0时，方程－3x＋1＝0的根为x＝，符合题意，因此a＝0；
当a≠0时，集合A中仅有一个元素，则Δ＝9－4a＝0，解得a＝，所以实数a的值为0或.
15.(5分)(新情境)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托尔三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托尔三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：第一次操作剩下：，；第二次操作剩下：，，，；第三次操作剩下：，，，，，，，；即从左到右第四个区间为.故选C.
16.(15分)已知集合A＝{x｜x＝m2－n2，m∈Z，n∈Z}.
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)写出所有满足集合A的偶数.
解：(1)因为8＝32－12，9＝52－42，
所以8∈A，9∈A，
假设10＝m2－n2，m∈Z，n∈Z，
则｜m｜2－｜n｜2＝10，
即(｜m｜＋｜n｜)(｜m｜－｜n｜)＝10，
且｜m｜＋｜n｜＞｜m｜－｜n｜＞0，(｜m｜＋｜n｜)∈Z，
(｜m｜－｜n｜)∈Z，
所以显然均无整数解，所以10 A.
综上，8∈A，9∈A，10 A.
(2)由m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m∈Z，n∈Z，
当m和n同为奇数和偶数时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数；
当m和n为一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，所以(m＋n)(m－n)为奇数.
综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).
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1.1　集合的概念与表示
　
第一章　§1　集合
学习目标
1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.　
2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感受集合语言的意义和作用，培养数学抽象的核心素养.
3.会用集合的表示方法表示一些简单集合.
任务一　元素与集合的概念
问题1.阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①方程x2－2 025x－2 026＝0的所有实数根；
②在平面直角坐标系中，第一象限的点的全体；
③某中学2025年入学的全体高一学生；
④所有的正方形；
⑤地球上的四大洋；
⑥著名的高等院校.
(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？哪个例子的对象不确定，为什么？
提示：分别为实数根、点、学生、正方形、大洋、高等院校.其中⑥的对象不确定，因为“著名”没有明确的划分标准.
问题导思
(2)观察并讨论①－⑤中各例有什么共同特点？
提示：①－⑤中各例指的都是“所有的”，即某些研究对象的全体.
新知构建
(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
微思考
(2)“中国各地最美的乡村”能否构成一个集合？
提示：不能.因为“最美”没有明确的划分标准.
(3)“唐宋散文八大家”能否构成一个集合？
提示：能.因为标准确定.
√
典例
1
√
√
　　集合是一个整体，所有满足条件的对象都在这个集合中，集合中的元素是我们研究的对象，可以有多个也可以只有一个.
规律方法
对点练1.请写出下列集合中的元素：
(1)大于1小于10的奇数构成的集合：_____________；
(2)我国四大名著构成的集合：______________________________________
___________.
3，5，7，9
《三国演义》，《水浒传》，《西游记》，
《红楼梦》
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任务二　元素与集合的关系
问题2.“我国的小河流”“有趣的书”“高一年级跑得快的同学”等能组成集合吗？
提示：不能.其中的元素不确定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相对性，没有明确的标准，是一些不能够确定的对象，因此，不能构成集合.
问题导思
问题3.在体育课上，如果体育老师说“男同学踢足球，女同学打羽毛球”，你会去踢足球吗？
提示：是男生就去，不是男生就不去.
1.集合中元素的特性
给定的集合，它的元素必须是确定的(确定性)、互不相同的(互异性)、顺序任意的(无序性).
2.元素与集合的关系
新知构建
关系 说法 记法
属于 元素a属于集合A a____A
不属于 元素a不属于集合A a____A
∈

3.常用的数集及表示符号
数集 自然
数集 正整
数集 ________ 有理
数集 ________ 正实
数集
符号 ____ ____________ Z Q R R＋
整数集
实数集
N
N＋或N*
符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向.
微提醒
集合N与N*或N＋有什么区别？
提示：集合N中的元素是0和正整数，集合N*或N＋中的元素是正整数.
微思考
√
典例
2
√
√
(2)已知不等式x－a＞0的解集为集合A，若1∈A，则实数a的取值范围是__________.
a＜1
由1∈A，得1－a＞0，解得a＜1，故答案为a＜1.
判断元素与集合关系的两种方法
1.直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
2.推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
规律方法
对点练2.(1)设不等式3－2x＜0的解集为M，下列判断正确的是
A.0∈M，2∈M B.0 M，2∈M
C.0∈M，2 M D.0 M，2 M
√
当x＝0时，3－2x＝3＞0，0 M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，2∈M.故选B.
(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a＝______.

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任务三　集合的表示
问题4.(1)用A表示“大于－2且小于2的整数”构成的集合，这是利用哪种方法表示集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示：这是用自然语言法表示集合；我们可以一一写出其元素为－1，0，1.
问题导思
(2)“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？
提示：不能，集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.
新知构建
列举法 把集合中的元素__________出来写在________________内表示集合的方法叫作列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为_____________________________，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写出集合中元素所具有的__________
有限集、无
限集、空集 含有________元素的集合叫作有限集；含有________元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作______，记作____
一一列举
花括号“{}”
{x及x的范围｜x满足的条件}
共同特征
有限个
无限个
空集

(1)列举法元素间用“，”隔开，把元素一一列举出来并用“{ }”括起来即可.对于无限集，有时也可用列举法，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.(2)描述法应写清该集合中元素的代表符号，代表元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写.
微提醒
(1)(链教材P3例1)用列举法表示下列集合：
①由大于1且小于6的整数组成的集合A；
典例
3
解：因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
②方程x2－16＝0的实数根组成的集合B；
解：方程x2－16＝0的实数根为－4，4，
所以B＝{－4，4}.
③一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点组成的集合C.
解：由y＝x＋2，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2；所以一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点为(0，2)，(－2，0)，所以C＝{(0，2)，(－2，0)}.
(2)(链教材P3例2)用描述法表示下列集合：
①小于6的所有的整数组成的集合A；
解：设x∈A，则x∈Z，且使x＜6成立，因此用描述法可以表示为A＝{x∈Z｜x＜6}.
②被3除余2的正整数组成的集合B；
解：设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}.
③平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.
解：平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即x＜0，y＞0，故第二象限内的点组成的集合为C＝{(x，y)｜x＜0，y＞0}.
1.用列举法表示集合应注意
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
2.利用描述法表示集合应注意
规律方法
对点练3.选择适当的方法表示下列集合：
(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合；
解：因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2，故用列举法表示为{1，2}.
(2)不大于15的质数集；
解：不大于15的质数有2，3，5，7，11，13，故用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}.
(3)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合.
解：因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合用描述法表示为{(x，y)｜xy≤0，x∈R，y∈R}.
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任务四　区间及其表示
问题5.你能用列举法表示集合{x｜x－5＜2}吗？你还有其他的方法表示{x｜x－5＜2}吗？
提示：集合{x｜x－5＜2}可化简为{x｜x＜7}，因为满足x＜7的实数有无数多个，所以无法用列举法表示；还可以用区间表示.
问题导思
1.区间的概念(a，b为实数，且a＜b)
新知构建
集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{x｜a≤x≤b} 闭区间 ________
{x｜a＜x＜b} 开区间 ________
{x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 ________
{x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 ________
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤b} {x｜x＜b}
区间 _________
_________ ___________ ___________ ____________ ___________
(－∞，
＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
微思考
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
(1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，2]
√
典例
4
不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞).故选B.
(2)若[a，5a－2]为一个确定区间，则实数a的取值范围是__________.

区间表示的关注点
1.(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小 括号.
2.区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
规律方法
对点练4.(多选题)下列叙述正确的是
A.{x｜x＞1}用区间可表示为[1，＋∞)
B.{x｜－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]
C.(－∞，3]用集合可表示为{x｜x＜3}
D.[2，4]用集合可表示为{x｜2≤x≤4}
√
√
对于A，{x｜x＞1}用区间可表示为(1，＋∞)，故A错误；对于B，{x｜－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]，故B正确；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x｜x≤3}，故C错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x｜2≤x≤4}，故D正确.故选BD.
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任务五　利用集合中元素的性质求参数
已知集合A＝{a2＋4a＋1，a＋1}，B＝{x｜x2＋px＋q＝0}，1∈A.
(1)求实数a的值；
解：因为1∈A，所以a2＋4a＋1＝1，或a＋1＝1，得a＝－4，或a＝0.
当a＝0时，a2＋4a＋1＝a＋1＝1，不符合元素的互异性，故a＝0舍去；
当a＝－4时，a2＋4a＋1＝1，a＋1＝－3，符合题意.所以a＝－4.
典例
5
(2)如果集合A是集合B的列举表示法，求实数p，q的值.
解：由(1)得A＝{1，－3}，故集合B中，方程x2＋px＋q＝0的两根为1， －3.
由一元二次方程根与系数的关系，得p＝－[1＋(－3)]＝2，q＝1×(－3)＝－3.
变式探究
(变条件)若将本例中“1∈A”换成“2a∈A”，求实数a的值.
解：因为2a∈A，所以a2＋4a＋1＝2a，或a＋1＝2a，解得a＝－1，或a＝1.
当a＝－1时，此时集合A中有两个元素－2，0，符合题意；
当a＝1时，此时集合A中有两个元素6，2，符合题意.
故所求a的值为－1或1.
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
规律方法
对点练5.(开放题)有限数集S中至少含有1个元素且满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S＝________________.
(写出一个即可)
{0，1}(或{－1，1})
不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，所以a2，b2，ab中必有两个是相等的.若a2＝b2，则a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)，或a＝1，或a＝－1，此时S＝{－1，1}.
若a2＝ab，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1，
此时S＝{0，1}.若b2＝ab，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1，此时S＝{0，1}.
综上，S＝{0，1}或S＝{－1，1}.
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课堂小结
任务
再现 1.元素与集合的概念、元素与集合的关系.
2.常用数集的表示.
3.集合中元素的特性及应用.
4.集合的表示方法：列举法、描述法、区间
方法
提炼 1.判断元素与集合的关系：直接法、推理法.
2.利用集合中元素的性质求参数：分类讨论思想、等价转化思想
易错
警示 1.集合中忽略互异性的判断.
2.自然数集中容易遗忘0这个元素
随堂评价
1.下列四组对象，能构成集合的是
A.某中学所有高个子的学生
B.倒数等于它自身的实数
C.一切较大的数
D.中国著名的艺术家
√
某中学所有高个子的学生，一切较大的数，中国著名的艺术家，元素不明确；倒数等于它自身的实数，符合集合元素的确定性.故选B.
2.若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是
A.等腰梯形 B.直角梯形
C.菱形 D.矩形
√
根据集合中元素的互异性，以x1，x2，x3，x4为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可能满足要求.故选B.
3.设集合B＝{x∈N*｜－1≤x＜3}，则
A.－1∈B B.0∈B
C.2∈B D.3∈B
√
由题意可知：集合B＝{1，2}，所以－1 B，0 B，2∈B，3 B，即A，B，D错误，C正确.故选C.
4.若实数x满足{x｜3≤x＜7}，则用区间表示为__________.
[3，7)
由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，故表示为[3，7).
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课时分层评价
1.(多选题)下列对象能构成集合的有
A.接近于2 025的所有正整数
B.小于－3的实数
C.未来10年内的房价趋势
D.点M(3，2)与点N(4，3)
√
对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；对于B，小于－3的实数是确定的，能构成集合；对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；对于D，点M(3，2)与点N(4，3)是两个不同的点，是确定的，能构成集合.故选BD.
√
2.集合{x∈N＋｜x＜5}的另一种表示法是
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
√
由x＜5，且x∈N＋，得x＝1，2，3，4，故集合可表示为{1，2，3，4}.故选B.
3.下列集合是空集的是
A.{x｜x＞0，或x＜－5} B.{x｜x＞4}
C.{x｜x2≤0} D.{x｜x＞5，且x＜－4}
√
A，B，C选项的集合中均含有元素，均不为空集；D中集合没有任何元素，为空集.故选D.
4.已知集合A＝{a，｜a｜，a－3}，若3∈A，则实数a的值为
A.－3 B.3
C.3或－3 D.6
√
因为3∈A，所以｜a｜＝3或a－3＝3，当｜a｜＝3时，得到a＝－3或a＝3，又a＝－3时，A＝{－3，3，－6}，满足题意，a＝3时，a＝｜a｜＝3，不满足集合元素的互异性，当a－3＝3，得到a＝6，此时a＝｜a｜＝6，不满足集合元素的互异性.故选A.
5.(多选题)下列说法正确的有
A.10以内的质数组成的集合是{0，2，3，5，7}
B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C.方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
D.若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是等腰三角形
√
√
对于A，0不是质数，故A错误；对于B，根据集合元素的无序性可知{1，2，3}＝{3，1，2}，故B正确；对于C，根据集合元素的互异性可知方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}，故C错误；对于D，根据集合元素的互异性可知a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形，故D正确.故选BD.
6.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为
A.{x｜x＝8k，k∈N} B.{x｜x＝8k＋8，k∈N}
C.{1，2，4} D.{1，2，4，8}
√
能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除；由于A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除；对于B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确.故选B.
{2，0，－2}
∈
9.(开放题)已知a≥1，集合A＝{x｜2－a≤x≤a}中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是_____________.
由题设4＞a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a＜3，所以符合条件的一个a值为2(答案不唯一).
2(答案不唯一)
10.(10分)已知含有两个元素的集合A＝{m，m2－3m}，其中m∈R.
(1)实数m不能取哪些数？
解：根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4.
(2)若4∈A，求实数m的值.
解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1.
11.若集合M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，则
A.(1，3)∈M B.(－1，3)∈M
C.(－1，2)∈M D.(1，2)∈M
√
12.若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5个元素，则实数m的取值范围为
A.[－1，0) B.(－1，0]
C.(－1，0) D.[－2，－1)
√
若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5个元素，则这5个元素只能是3，2，1，0，－1，这表明m＜－1，m≥－2，即实数m的取值范围为[－2，－1).故选D.
13.(多选题)设a，b∈A＝{x｜x＝3m＋1，m∈Z}，c∈B＝{x｜x＝3k－1，k∈Z}，则
A.a＋b∈A B.ab∈A
C.a＋b∈B D.ac∈B
√
√
√
设a＝3u＋1，b＝3v＋1，c＝3w－1(u，v，w∈Z)，而a＋b＝3(u＋v)＋2＝3(u＋v＋1)－1∈B，即A错误，C正确；ab＝9uv＋3(u＋v)＋1＝3(3uv＋u＋v)＋1∈A，即B正确；ac＝9uw＋3(w－u)－1＝3(3uw－u＋w)－1∈B，即D正确.故选BCD.
14.(10分)已知集合A＝{x∈R｜ax2－3x＋1＝0，a∈R}.
(1)若1∈A，求实数a的值；
解：由1∈A，得a×12－3×1＋1＝0，解得a＝2，所以实数a的值为2.
√

(2)写出所有满足集合A的偶数.
解：由m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m∈Z，n∈Z，
当m和n同为奇数和偶数时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数；
当m和n为一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，所以(m＋n)(m－n)为奇数.
综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).
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