资源简介

1　认识证明
第2课时
课时目标
1.通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义;会区分命题的条件和结论,了解判断命题真假的方法.(推理能力)
2.通过实例感受证明的过程与格式,知道八条基本事实.(推理能力)
3.感受证明的必要性,了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是否错误.(推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.定义 对名称和术语的含义加以描述,作出明确的 . 2.命题 3.公理、定理和证明 (1)公理:公认的 命题. (2)定理:经过证明的 命题. (3)证明:演绎推理的 . 4.命题证明的步骤 (1)根据命题,画出图形.(2)结合图形,写出已知和求证.(3)写出证明过程. 1.“在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线”这个句子是( ) A.定义 B.命题 C.公理 D.定理 2.下列句子中,是定理的是 ,是公理的是 ,是定义的是 .(填序号) ①两点确定一条直线; ②对顶角相等; ③全等三角形的对应边相等,对应角相等; ④有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形; ⑤两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　命题的结构(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P182思考·交流拓展)指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式.
(1)绝对值不相等的两个数一定不相等.
(2)与同一个角互补的两个角相等.
(3)三角形的内角和等于180°.
举一反三
命题“互为相反数的两个数的和为0”的条件是 ,结论是 .
重点2　命题的真假(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P183尝试·思考强化)判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题,举一个反例.
(1)若a2>b2,则a>b.
(2)不是对顶角的两个角不相等.
(3)一个角的余角小于这个角.
举一反三
1.(2025·泉州期中)下列命题是真命题的是( )
A.若a=b,则a2=b2 B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ab=0,则a=0 D.若a2=b2,则a=b
2.(2025·温州质检)判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)三个角对应相等的两个三角形全等.
(2)有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角.
重点3　命题的证明(推理能力)
【典例3】(2025·北京期中)探究并解决问题:
定义一种新的运算,叫作“ ”运算.按照“ ”运算的运算法则进行计算:
①(+2) (+3)=+5;
②(-2) (+3)=-5;
③(-2) (-3)=+5;
④(+2) (-3)=-5;
⑤0 (+5)=5;
⑥(+4) 0=4;
⑦(-5) 0=5;
⑧0 (-3)=3.
(1)观察上面的算式,请类比有理数的运算法则的学习,归纳“ ”运算的运算法则:
两数进行“ ”运算时,____________________;
一个数与0进行“ ”运算时,_________________________________________________________________.
(2)计算:(-3) [2 (-4)];
(3)有理数加法有结合律,结合律在有理数的“ ”运算中还适用吗 请你判断并举例验证(注:如果不适用,举出一个反例即可).
举一反三
对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( )
A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40°1　认识证明
第2课时
课时目标
1.通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义;会区分命题的条件和结论,了解判断命题真假的方法.(推理能力)
2.通过实例感受证明的过程与格式,知道八条基本事实.(推理能力)
3.感受证明的必要性,了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是否错误.(推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
1.定义 对名称和术语的含义加以描述,作出明确的　规定　. 2.命题 3.公理、定理和证明 (1)公理:公认的　真　命题. (2)定理:经过证明的　真　命题. (3)证明:演绎推理的　过程　. 4.命题证明的步骤 (1)根据命题,画出图形.(2)结合图形,写出已知和求证.(3)写出证明过程. 1.“在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线”这个句子是(A) A.定义 B.命题 C.公理 D.定理 2.下列句子中,是定理的是　②③⑤　,是公理的是　①　,是定义的是　④　.(填序号) ①两点确定一条直线; ②对顶角相等; ③全等三角形的对应边相等,对应角相等; ④有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形; ⑤两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
重点　典例研析　启思凝智
重点1　命题的结构(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P182思考·交流拓展)指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式.
(1)绝对值不相等的两个数一定不相等.
(2)与同一个角互补的两个角相等.
(3)三角形的内角和等于180°.
【自主解答】(1)这个命题的条件是“两个数的绝对值不相等”,结论是“这两个数一定不相等”,可以改写成“如果两个数的绝对值不相等,那么这两个数一定不相等”;
(2)这个命题的条件是“两个角与同一个角互补”,结论是“这两个角相等”,可以改写成“如果两个角与同一个角互补,那么这两个角相等”;
(3)这个命题的条件是“三个角都是一个三角形的内角”,结论是“这三个角的和等于180°”,可以改写成“如果三个角都是一个三角形的内角,那么这三个角的和等于180°”.
举一反三
命题“互为相反数的两个数的和为0”的条件是　两个数互为相反数　,结论是　这两个数的和为0　.
重点2　命题的真假(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P183尝试·思考强化)判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题,举一个反例.
(1)若a2>b2,则a>b.
(2)不是对顶角的两个角不相等.
(3)一个角的余角小于这个角.
【自主解答】(1)命题“若a2>b2,则a>b”是假命题,如:a=-1,b=0,满足a2>b2,但-1<0;
(2)命题“不是对顶角的两个角不相等”是假命题,如:等腰三角形的两个底角,不是对顶角,但它们相等;
(3)命题“一个角的余角小于这个角”是假命题,如:一个角为30°,它的余角是60°,30°的余角大于30°.
举一反三
1.(2025·泉州期中)下列命题是真命题的是(A)
A.若a=b,则a2=b2 B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ab=0,则a=0 D.若a2=b2,则a=b
2.(2025·温州质检)判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)三个角对应相等的两个三角形全等.
(2)有公共顶点且角度相等的两个角是对顶角.
【解析】(1)假命题,理由如下:两个边长不相等的等边三角形不是全等三角形.
(2)假命题,理由如下:
如图,∠AOB=∠COD,有公共顶点O,但不是对顶角.
重点3　命题的证明(推理能力)
【典例3】(2025·北京期中)探究并解决问题:
定义一种新的运算,叫作“ ”运算.按照“ ”运算的运算法则进行计算:
①(+2) (+3)=+5;
②(-2) (+3)=-5;
③(-2) (-3)=+5;
④(+2) (-3)=-5;
⑤0 (+5)=5;
⑥(+4) 0=4;
⑦(-5) 0=5;
⑧0 (-3)=3.
(1)观察上面的算式,请类比有理数的运算法则的学习,归纳“ ”运算的运算法则:
两数进行“ ”运算时,____________________;
一个数与0进行“ ”运算时,_________________________________________________________________.
(2)计算:(-3) [2 (-4)];
(3)有理数加法有结合律,结合律在有理数的“ ”运算中还适用吗 请你判断并举例验证(注:如果不适用,举出一个反例即可).
【自主解答】(1)“ ”运算的运算法则:两数进行“ ”运算时,同号得正,异号得负,再把绝对值相加,
一个数与0进行“ ”运算时,正数与0“ ”运算得它本身,负数与0“ ”运算得它的相反数.(或等于这个数的绝对值)
答案:同号得正,异号得负,再把绝对值相加
正数与0“ ”运算得它本身,负数与0“ ”运算得它的相反数
(2)(-3) [2 (-4)]=(-3) (-6)=+9;
(3)结合律在有理数的“ ”运算中不适用.
例如:[(-3) (-2)] 0=(+5) 0=5,
(-3) [(-2) 0]=(-3) 2=-5,这时,[(-3) (-2)] 0≠(-3) [(-2) 0],所以结合律在有理数的“ ”运算中不适用.
举一反三
对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是(A)
A.∠1=∠2=45° B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50° D.∠1=40°,∠2=40°
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 四十”1　认识证明
第1课时
　课时目标
1.知道证明的意义和证明的必要性.(推理能力)
2.知道要判断一个数学结论是否正确,仅仅靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.(推理能力、应用意识)
3.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确.(推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
证明的必要性 1.　实验　、　观察　、　归纳　是人们认识事物的重要手段.但通过以上手段得到的结论　不一定　正确. 2.判断一个数学结论是否正确,必须进行有根有据的　证明　. 判断(对的画“√”,错的画“×”) 1.凭经验观察甚至实验得到的数学结论都正确.(×) 2.在数学上要判断一个结论是否正确,有时也不需要有根有据的证明.(×) 3.检验数学结论常用的方法有实验验证、举出反例和推理论证等.(√)
重点　典例研析　启思凝智
重点1　证明的必要性(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P180尝试·思考补充)在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值为负数,于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗 请简要说明你的理由.
【自主解答】小明的猜想不正确.
因为当n=7时,n2-6n=72-6×7=7>0,所以小明的猜想不正确.
举一反三
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是(D)
A.只需观察得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自试验得出
D.必须进行有根据地推理
2.小芳和小明在手工课上用铁丝制作楼梯模型,他们制作的模型如图所示,下列关于所用铁丝长短的说法中正确的是(A)
A.一样长 B.小明的长
C.小芳的长 D.不能确定
技法点拨
推理证明必要性的四点注意
(1)直觉有时候会产生错误,不是永远可信的.
(2)图形的性质并不是都能通过测量得出的.
(3)通过对少数情况观察、测量、计算得出的结论,并不能保证一般情况下都能成立.
(4)通过推理的方法研究问题,能够解释问题的本质.
重点2　推理论证(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P187T4拓展)
发现:两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证:如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和;
探究:设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
【自主解答】验证:10的一半为5,5=1+4=12+22,
探究:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.理由如下:(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数;显然该偶数的一半是m2+n2,所以该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
举一反三
1.下列推理正确的是(B)
A.弟弟今年13岁,哥哥比弟弟大6岁,到了明年,哥哥比弟弟只大5岁了,因为弟弟明年比今年长大了1岁
B.如果a>b,b>c,则a>c
C.∠A与∠B相等,原因是它们看起来大小也差不多
D.因为对顶角必然相等,所以相等角也必是对顶角
2.一只皮箱的密码是一个三位数.小光说:“它是954.”小明说:“它是358.”小亮说:“它是214.”小强说:“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字.”这只皮箱的密码是　918　.
3.(2025·徐州期中)已知a与b互为相反数,m,n互为倒数,|c|=2,求3a+3b+的值.
解:∵a与b互为相反数,
∴a+b=__________.
∵m,n互为倒数,
∴mn=__________.
∵|c|=2,
∴c=__________.
∴3a+3b+=3(a+b)+=__________.
(1)数学离不开推理,请把上面推理的空白部分补充完整;
(2)请用推理的方式解决下面的问题:
已知x,y,z是三个有理数,若x0,试判断x+z的符号并且说明理由.
【解析】(1)∵a与b互为相反数,
∴a+b=0.∵m,n互为倒数,∴mn=1.
∵|c|=2,∴c=±2.
∴3a+3b+=3(a+b)+=±.
答案:0　1　±2　±
(2)x+z的符号为负,理由如下:
∵x+y=0,且x∴x与y互为相反数,∴x为负数,y为正数,∴xy<0.
又∵xyz>0,∴z<0,
∴x+z<0,∴x+z的符号为负.
技法点拨
　检验数学结论的具体过程
观察、度量、实验→猜想归纳→验证猜想
素养　思维提升　入境深探
趣味数学
　　　有三个人去投宿,一晚30元,三人每人给10元凑齐30元给了老板.后来老板说今晚优惠只要25元,就掏出5元命令服务生还给他们.服务生偷偷藏起了2元,然后把剩下3元以每人1元退还给他们.这样,一开始每人掏了10元,现又找回1元,也就是10-1=9,3个人每人9元,3×9=27元+服务生藏的2元=29元,还有1元去哪了 聪明的同学,你知道吗
【解析】每人所花费的9元钱已经包括了服务生藏起来的2元(即优惠价25元+服务生私藏2元=27元=3×9元).因此,在计算这30元的组成时不能算上服务生私藏的那2元钱,而应当加上返还给每人的1元钱.即:3×9+3×1=30元正好!
还可以换个角度想:那三个人一共出了30元,花了25元,服务生藏起来了2元,所以每人花了9元,加上返还的1元,刚好是30元,因此这一元钱就找到了.
课时巩固训练,请使用　“课时过程性评价 三十九”1　认识证明
第1课时
　课时目标
1.知道证明的意义和证明的必要性.(推理能力)
2.知道要判断一个数学结论是否正确,仅仅靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.(推理能力、应用意识)
3.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确.(推理能力、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基
新知要点 对点小练
证明的必要性 1. 、 、 是人们认识事物的重要手段.但通过以上手段得到的结论 正确. 2.判断一个数学结论是否正确,必须进行有根有据的 . 判断(对的画“√”,错的画“×”) 1.凭经验观察甚至实验得到的数学结论都正确.( ) 2.在数学上要判断一个结论是否正确,有时也不需要有根有据的证明.( ) 3.检验数学结论常用的方法有实验验证、举出反例和推理论证等.( )
重点　典例研析　启思凝智
重点1　证明的必要性(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P180尝试·思考补充)在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值为负数,于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗 请简要说明你的理由.
举一反三
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是( )
A.只需观察得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自试验得出
D.必须进行有根据地推理
2.小芳和小明在手工课上用铁丝制作楼梯模型,他们制作的模型如图所示,下列关于所用铁丝长短的说法中正确的是( )
A.一样长 B.小明的长
C.小芳的长 D.不能确定
技法点拨
推理证明必要性的四点注意
(1)直觉有时候会产生错误,不是永远可信的.
(2)图形的性质并不是都能通过测量得出的.
(3)通过对少数情况观察、测量、计算得出的结论,并不能保证一般情况下都能成立.
(4)通过推理的方法研究问题,能够解释问题的本质.
重点2　推理论证(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P187T4拓展)
发现:两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证:如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和;
探究:设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
【自主解答】验证:10的一半为5,5=1+4=12+22,
探究:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.理由如下:(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数;显然该偶数的一半是m2+n2,所以该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
举一反三
1.下列推理正确的是( )
A.弟弟今年13岁,哥哥比弟弟大6岁,到了明年,哥哥比弟弟只大5岁了,因为弟弟明年比今年长大了1岁
B.如果a>b,b>c,则a>c
C.∠A与∠B相等,原因是它们看起来大小也差不多
D.因为对顶角必然相等,所以相等角也必是对顶角
2.一只皮箱的密码是一个三位数.小光说:“它是954.”小明说:“它是358.”小亮说:“它是214.”小强说:“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字.”这只皮箱的密码是 .
3.(2025·徐州期中)已知a与b互为相反数,m,n互为倒数,|c|=2,求3a+3b+的值.
解:∵a与b互为相反数,
∴a+b=__________.
∵m,n互为倒数,
∴mn=__________.
∵|c|=2,
∴c=__________.
∴3a+3b+=3(a+b)+=__________.
(1)数学离不开推理,请把上面推理的空白部分补充完整;
(2)请用推理的方式解决下面的问题:
已知x,y,z是三个有理数,若x0,试判断x+z的符号并且说明理由.
技法点拨
　检验数学结论的具体过程
观察、度量、实验→猜想归纳→验证猜想
素养　思维提升　入境深探
趣味数学
　　　有三个人去投宿,一晚30元,三人每人给10元凑齐30元给了老板.后来老板说今晚优惠只要25元,就掏出5元命令服务生还给他们.服务生偷偷藏起了2元,然后把剩下3元以每人1元退还给他们.这样,一开始每人掏了10元,现又找回1元,也就是10-1=9,3个人每人9元,3×9=27元+服务生藏的2元=29元,还有1元去哪了 聪明的同学,你知道吗

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