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平行线的证明(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　平行线的判定
1.如图,不能判断l1∥l2的条件是(C)
A.∠1=∠3 B.∠4=∠5
C.∠2=∠3 D.∠2+∠4=180°
2.如图,在下列给出的条件中,不能判定AC∥DF的是(A)
A.∠1=∠2 B.∠4+∠2=180°
C.∠2=∠3 D.∠A=∠1
3.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,交点为M,N.∠AMN=60°,∠DNF=120°.对AB∥CD的说理过程中的理由表述错误的是(D)
∵∠AMN+∠DNF=60°+120°=180°(☆), ∠DNF=∠CNM(○), ∴∠AMN+∠CNM=180°(　), ∴AB∥CD(△).
A.☆代表已知
B.○代表对顶角相等
C.　代表等量代换
D.△代表两直线平行,同旁内角互补
4.如图,在下列给出的条件中,可以判定AB∥CD的有　①②④　 .(填序号)
①∠1=∠3;
②∠2=∠4;
③∠DAB+∠ABC=180°;
④∠BAD+∠ADC=180°.
5.(2025·惠州期中)如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F.
求证:(1)∠ABC+∠ADC=180°;
(2)BE∥DF.
【证明】(1)四边形ABCD中,∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°,∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.
(2)∵BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F,
∴∠ABC=2∠1,∠ADC=2∠3,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∵△ADF中∠5+∠3=90°,
∴∠1=∠5,∴BE∥DF.
知识点2　平行线判定定理的应用
6.如图1是生活中常见的晾衣架,将其侧面抽象成平面图形,如图2所示,则使EG∥BH成立的条件是(B)
A.∠1=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠4=∠5
7.某学员在驾校练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的角度可能是(D)
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B.第一次向左拐45°,第二次向右拐135°
C.第一次向左拐60°,第二次向右拐120°
D.第一次向左拐53°,第二次向左拐127°
8.下列各图中,能画出AB∥CD的是(D)
A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④
B层能力进阶
9.如图,下列条件中,能判定AB∥CD的是(A)
A.∠BAC=∠ACD
B.∠B=∠ACD
C.∠BAD=∠CDA
D.∠B+∠DCE=180°
10.以下四种沿AB折叠的方法中,由相应条件不能判定纸带两条边线a,b互相平行的是(C)
A.展开后测得∠1=∠2
B.展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.测得∠1=∠2
D.测得∠1=∠2
11.如图,已知点E、D、C、F在一条直线上,∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E.
(1)AD与BC平行吗 请说明理由;
(2)AB与EF的位置关系如何 请说明理由.
解:(1)AD∥BC,理由如下:
∵∠ADE+∠ADF=180°(　　　　　　),
∠ADE+∠BCF=180°(已知),
∴∠ADF=∠　　　　,
∴AD∥BC(　　　　　　　　　　　　　).
(2)AB与EF的位置关系是　　　　.
请完成说理过程:
【解析】(1)AD∥BC,理由如下:
∵∠ADE+∠ADF=180°(平角定义),∠ADE+∠BCF=180°(已知),
∴∠ADF=∠BCF,
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
答案:平角定义　BCF　同位角相等,两直线平行
(2)AB与EF的位置关系是平行,
理由:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABE,
∵∠ABC=2∠E,∴∠ABE=∠E,∴AB∥EF.
答案:平行
12.(1)如图(1)所示,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)如图(2)所示在(1)的条件下,若小路OM平分∠EOB.通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F,试判断OM与O'N的位置关系.
【解析】(1)∵AB⊥EF,CD⊥EF,
∴AB∥CD.
(2)延长NO'至P.
∵OM平分∠EOB,O'N平分∠CO'F,
∴∠EOM=∠FO'N=45°,
∵∠FO'N=∠EO'P,
∴∠EOM=∠EO'P=45°,
∴OM∥O'N(同位角相等,两直线平行).
13.如图,已知点E在BD上,EA平分∠BEF,EC平分∠DEF.
(1)求证:AE⊥CE;
(2)若∠1=∠A,∠2=∠C,求证:AB∥CD.
【证明】(1)∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF,
∴∠1=∠BEF,∠2=∠DEF,
∵∠BEF+∠DEF=180°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠AEC=90°,
∴AE⊥CE;
(2)∵∠1=∠A,∠2=∠C,
∴∠1+∠A+∠2+∠C=2(∠1+∠2)=180°,
∴∠B+∠D=(180°-2∠1)+(180°-2∠2)=360°-2(∠1+∠2)=180°,∴AB∥CD.
14.如图,已知AB,CD被EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,且∠1+∠2=90°,求证:AB∥CD.
【证明】∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD(已知),
∴∠BEF=2∠1,∠EFD=2∠2(角平分线定义),
∴∠BEF+∠EFD=2∠1+2∠2(等式性质),
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠BEF+∠EFD=2(∠1+∠2)=180°,
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
C层创新挑战(选做)
15.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.
【观察猜想】(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是　　　　　　;∠BCE与∠ACD的数量关系是　　　　　　.
【类比探究】(2)若保持三角尺ABC不动,绕直角顶点C顺时针转动三角尺DCE,试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB,画出图形并简要说明理由;
【拓展应用】(3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数;并直接写出此时DE与AC的位置关系.
【解析】(1)∵∠BCD+∠ACD=90°,∠ACE+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠ACE;
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE,
∴∠BCE+∠ACD=90°+∠ACE+∠ACD=90°+90°=180°,∴∠BCE+∠ACD=180°.
答案:相等　互补
(2)分两种情况:
①如图1所示,当∠ACE=∠A=30°时,CE∥AB,
∴∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60°.
②如图2所示,当∠BCE=∠B=60°时,CE∥AB,
∴∠ACD=360°-∠ACB-∠BCE-∠DCE=360°-90°-60°-90°=120°.
综上所述,当∠ACD等于60°或120°时,CE∥AB;
(3)设∠ACD=α,则∠BCE=3α.
由(1)可知,∠BCE+∠ACD=180°,
∴3α+α=180°,∴α=45°,即∠ACD=45°,当D,E在AC两侧时DE⊥AC,
当D,E在AC同侧时DE∥AC.平行线的证明(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　平行线的判定
1.如图,不能判断l1∥l2的条件是( )
A.∠1=∠3 B.∠4=∠5
C.∠2=∠3 D.∠2+∠4=180°
2.如图,在下列给出的条件中,不能判定AC∥DF的是( )
A.∠1=∠2 B.∠4+∠2=180°
C.∠2=∠3 D.∠A=∠1
3.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,交点为M,N.∠AMN=60°,∠DNF=120°.对AB∥CD的说理过程中的理由表述错误的是( )
∵∠AMN+∠DNF=60°+120°=180°(☆), ∠DNF=∠CNM(○), ∴∠AMN+∠CNM=180°(　), ∴AB∥CD(△).
A.☆代表已知
B.○代表对顶角相等
C.　代表等量代换
D.△代表两直线平行,同旁内角互补
4.如图,在下列给出的条件中,可以判定AB∥CD的有 .(填序号)
①∠1=∠3;
②∠2=∠4;
③∠DAB+∠ABC=180°;
④∠BAD+∠ADC=180°.
5.(2025·惠州期中)如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F.
求证:(1)∠ABC+∠ADC=180°;
(2)BE∥DF.
知识点2　平行线判定定理的应用
6.如图1是生活中常见的晾衣架,将其侧面抽象成平面图形,如图2所示,则使EG∥BH成立的条件是( )
A.∠1=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠4=∠5
7.某学员在驾校练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的角度可能是( )
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B.第一次向左拐45°,第二次向右拐135°
C.第一次向左拐60°,第二次向右拐120°
D.第一次向左拐53°,第二次向左拐127°
8.下列各图中,能画出AB∥CD的是( )
A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④
B层能力进阶
9.如图,下列条件中,能判定AB∥CD的是( )
A.∠BAC=∠ACD
B.∠B=∠ACD
C.∠BAD=∠CDA
D.∠B+∠DCE=180°
10.以下四种沿AB折叠的方法中,由相应条件不能判定纸带两条边线a,b互相平行的是( )
A.展开后测得∠1=∠2
B.展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.测得∠1=∠2
D.测得∠1=∠2
11.如图,已知点E、D、C、F在一条直线上,∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E.
(1)AD与BC平行吗 请说明理由;
(2)AB与EF的位置关系如何 请说明理由.
解:(1)AD∥BC,理由如下:
∵∠ADE+∠ADF=180°( ),
∠ADE+∠BCF=180°(已知),
∴∠ADF=∠ ,
∴AD∥BC( ).
(2)AB与EF的位置关系是 .
请完成说理过程:
12.(1)如图(1)所示,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)如图(2)所示在(1)的条件下,若小路OM平分∠EOB.通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F,试判断OM与O'N的位置关系.
13.如图,已知点E在BD上,EA平分∠BEF,EC平分∠DEF.
(1)求证:AE⊥CE;
(2)若∠1=∠A,∠2=∠C,求证:AB∥CD.
14.如图,已知AB,CD被EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,且∠1+∠2=90°,求证:AB∥CD.
C层创新挑战(选做)
15.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.
【观察猜想】(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是 ;∠BCE与∠ACD的数量关系是 .
【类比探究】(2)若保持三角尺ABC不动,绕直角顶点C顺时针转动三角尺DCE,试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB,画出图形并简要说明理由;
【拓展应用】(3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数;并直接写出此时DE与AC的位置关系.平行线的证明(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　平行线的性质
1.如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为( )
A.66° B.64° C.62° D.60°
2.(2025·沈阳期中)如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=55°,则∠AED'=( )
A.30° B.45° C.60° D.70°
3. (2025·常州期中)如图,点F是∠ABC的平分线BM上一点,E在BC上,且EF∥AB.若∠CEF=40°,则∠BFE的大小为 °.
4.如图1,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,且AB∥CE,CD∥BE.
(1)求证:∠1=∠2.
(2)如图2,延长AB,DC交于点F,求∠F的度数.
知识点2　平行线性质和判定的综合应用
5.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=108°,则∠4=( )
A.108° B.82° C.80° D.72°
6.(2025·衡水质检)如图,已知CB∥DE,∠D+∠B=180°.求证:AB∥CD.以下是排乱的证明过程:①∵∠D+∠B=180°;②∴∠D+∠C=180°;③∴AB∥CD;④∵CB∥DE;⑤∴∠B=∠C,正确的顺序应是( )
A.①②③④⑤ B.④②①⑤③
C.④⑤①②③ D.①②④⑤③
7.如图,已知∠B=∠BCD,∠BAC=90°,∠B+∠D=180°,∠ACB∶∠ACD=1∶2,则∠BAD= °.
8.(2025·长沙期中)如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于点D,FG⊥AB于G,DE∥BC,求证:∠1=∠2.
B层能力进阶
9.如图,直线CE∥DF,∠CAB=125°,∠ABD=85°,则∠1+∠2=( )
A.15° B.25° C.30° D.45°
10.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图,EF与桌面MN垂直,当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时,若∠BCD=110°,∠CDE=95°,则∠DEF的度数为 .
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如果两个角的两边分别平行,其中一个角α比另一个角的4倍少30度,则角α的度数为 .
12.如图,D、E、F、G是△ABC边上的点,DE∥AC,∠ADE=∠CGF.
(1)求证:AD∥GF;
(2)若AD平分∠BAC,∠AED=100°,∠C=56°,求∠CFG的度数.
13.如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度
C层创新挑战(选做)
14.(模型观念、推理能力、运算能力)(1)如图1,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE,求证:∠BFE=∠FEC;
(2)如图2,已知AB∥CD,∠EAF=∠EAB,∠ECF=∠ECD,求证:∠AFC=∠AEC.平行线的证明(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　平行线的性质
1.如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为(C)
A.66° B.64° C.62° D.60°
2.(2025·沈阳期中)如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置.若∠EFB=55°,则∠AED'=(D)
A.30° B.45° C.60° D.70°
3. (2025·常州期中)如图,点F是∠ABC的平分线BM上一点,E在BC上,且EF∥AB.若∠CEF=40°,则∠BFE的大小为　20　°.
4.如图1,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,且AB∥CE,CD∥BE.
(1)求证:∠1=∠2.
(2)如图2,延长AB,DC交于点F,求∠F的度数.
【解析】(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠ABE=∠1,∠DCE=∠2,
∵AB∥CE,CD∥BE,
∴∠ABE=∠E,∠DCE=∠E,
∴∠ABE=∠DCE,∴∠1=∠2;
(2)∵∠2=∠1,∠DCE=∠2,∠DCE=∠E,
∴∠2=∠1=∠E=∠DCE,
∵∠1+∠2+∠E=180°,
∴∠1=∠2=∠E=60°,
∴∠E=∠DCE=60°,
∵CE∥AB,∴∠F=∠DCE=60°.
知识点2　平行线性质和判定的综合应用
5.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=108°,则∠4=(D)
A.108° B.82° C.80° D.72°
6.(2025·衡水质检)如图,已知CB∥DE,∠D+∠B=180°.求证:AB∥CD.以下是排乱的证明过程:①∵∠D+∠B=180°;②∴∠D+∠C=180°;③∴AB∥CD;④∵CB∥DE;⑤∴∠B=∠C,正确的顺序应是(B)
A.①②③④⑤ B.④②①⑤③
C.④⑤①②③ D.①②④⑤③
7.如图,已知∠B=∠BCD,∠BAC=90°,∠B+∠D=180°,∠ACB∶∠ACD=1∶2,则∠BAD=　112.5　°.
8.(2025·长沙期中)如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于点D,FG⊥AB于G,DE∥BC,求证:∠1=∠2.
【证明】∵CD⊥AB,FG⊥AB,
∴∠CDB=∠FGB=90°,
∴CD∥FG,∴∠2=∠3,
∵DE∥BC,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2.
B层能力进阶
9.如图,直线CE∥DF,∠CAB=125°,∠ABD=85°,则∠1+∠2=(C)
A.15° B.25° C.30° D.45°
10.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图,EF与桌面MN垂直,当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时,若∠BCD=110°,∠CDE=95°,则∠DEF的度数为　115°　.
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如果两个角的两边分别平行,其中一个角α比另一个角的4倍少30度,则角α的度数为　10°或138°　.
12.如图,D、E、F、G是△ABC边上的点,DE∥AC,∠ADE=∠CGF.
(1)求证:AD∥GF;
(2)若AD平分∠BAC,∠AED=100°,∠C=56°,求∠CFG的度数.
【解析】(1)∵DE∥AC,
∴∠ADE=∠DAC,
∵∠ADE=∠CGF,
∴∠DAC=∠CGF,∴FG∥AD;
(2)∵DE∥AC,∠AED=100°,
∴∠EAC=180°-∠AED=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠EAC=40°,
∵AD∥FG,∴∠DAC=∠FGC=40°,
∵∠C=56°,∴∠CFG=180°-∠C-∠FGC=84°.
13.如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度
【解析】如图,过点B作直线BE∥CD.
∵CD∥AF,∴BE∥CD∥AF,
∴∠ABE=∠A=105°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
又∵BE∥CD,∴∠CBE+∠C=180°,
∴∠C=180°-∠CBE=150°.
C层创新挑战(选做)
14.(模型观念、推理能力、运算能力)(1)如图1,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE,求证:∠BFE=∠FEC;
(2)如图2,已知AB∥CD,∠EAF=∠EAB,∠ECF=∠ECD,求证:∠AFC=∠AEC.
【证明】(1)如图1,延长BF、DC相交于点G,
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠G.
∵∠ABF=∠DCE,∴∠DCE=∠G,
∴BG∥CE.∴∠BFE=∠FEC;
(2)如图2,连接AC,
设∠EAF=x,∠ECF=y,
则∠EAB=4x,∠ECD=4y,
∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°,
∴∠CAE+∠ACE=180°-(4x+4y),∠FAC+∠FCA=180°-(3x+3y),
∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)=180°-[180°-(4x+4y)]=4x+4y=4(x+y),
∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-[180°-(3x+3y)]=3x+3y=3(x+y),
∴∠AFC=∠AEC.

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