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§2　指数幂的运算性质
学习目标 1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，提升数学运算的核心素养.　2.能够熟练利用指数幂的运算性质进行化简、求值与证明，提升逻辑推理的核心素养.
任务一　指数幂的运算性质
问题.在初中我们学习了整数指数幂的运算性质：am·an＝；(am)n＝amn；(ab)n＝anbn，那么实数指数幂是否也满足整数指数幂的运算性质呢？
提示：实数指数幂也满足整数指数幂的运算性质，即：am·an＝；(am)n＝amn；(ab)n＝anbn.
对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质：
aα·aβ＝；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα.
[微提醒]　(1)＝，＝.(2)注意公式的使用范围.
角度1　利用指数幂的运算性质求值
(链教材P80例1、例2)计算下列各式的值：
(1)；
(2)6＋－；
(3)＋＋＋.
解：(1)原式＝(·＝(＝＝2.
(2)6＋－＝＋－＝16＋3－＝.
(3)＋＋＋＝－1＋1＋＋
＝＋＋＝＋＋＝＋1.
　　在进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行计算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.
对点练1.计算下列各式：
(1)0.00－＋1＋；
(2)×＋×－.
解：(1)0.00－＋1＋＝(10－3－1＋(24＋×＝10－1＋8＋72＝89.
(2)×＋×－＝×1＋×－
＝＋－＝＋2－＝2.
角度2　利用指数幂的运算性质化简
(链教材P80例3)化简(式中的字母均是正实数)：
(1)；
(2)(2)(－6)(－3)；
(3)2÷(4)·3.
解：(1)原式＝＝＝＝＝a－1＝.
(2)原式＝2×(－6)×(－3)＝36a.
(3)原式＝2÷·＝··＝.
1.根式化简的步骤
第一步：将根式化成分数指数幂的形式；
第二步：利用分数指数幂的运算性质求解.
2.化简的结果，一般用分数指数幂的形式.
对点练2.化简下列各式(式中的字母均是正实数)：
(1)；
(2)(xy－1·(5)·(2)；
(3)(6)(－)÷(－2).
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝10(y－1＝10＝10x.
(3)原式＝(－6)÷(－2)＝3a.
任务二　整体代换求分数指数幂
(链教材P81例4)(1)已知10m＝2，10n＝2，①求10m＋n的值；②求1的值；
(2)已知＋＝3，求下列各式的值：
①a＋a－1；②a2＋a－2；③＋.
解：(1)①因为10m＝2，10n＝2，
所以10m＋n＝10m×10n＝2×2＝4.
②因为10m＝2，10n＝2，
所以1＝(103m－2n＝＝＝＝＝1.
(2)①因为＋＝3，所以(＋)2＝9，
即a＋2＋a－1＝9，所以a＋a－1＝7.
②因为a＋a－1＝7，
所以(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
所以a2＋a－2＝47.
③＋＝()3＋()3
＝(＋)(a－1＋a－1)
＝3×(7－1)＝18.
[变式探究]
1.(变设问)在本例(2)的条件下，求的值.
解：因为＋＝3，由例题知，a＋a－1＝7，a2＋a－2＝47，
所以＝＝4.
2.(变设问)在本例(2)的条件下，求a2－a－2的值.
解：设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2 205.
所以y＝±21，即a2－a－2＝±21.
利用整体代换法求分数指数幂
1.分析观察条件与结论的结构特点，可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代换法”巧妙地求出代数式的值.
2.利用“整体代换法”求值时常用的变形公式如下：
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝(x－x－1)2＋2；(＋)(－)＝a－b(a＞0，b＞0)；
＋＝(＋)(a－＋b)；－＝(－)(a＋＋b).
对点练3.(1)已知实数a满足a＋a－1＝4，则a2＋a－2的值为(　　)
A.14 B.16
C.12 D.18
(2)已知a2m＋n＝，am－n＝256，a＞0，且a≠1，则a5m＋n＝　　　　.
答案：(1)A　(2)16
解析：(1)因为＝a2＋a－2＋2a·a－1，所以a2＋a－2＝－2a·a－1＝16－2＝14.故选A.
(2)a5m＋n＝·am－n＝×256＝16.
任务 再现 1.指数幂的运算性质.2.整体代换法求分数指数幂
方法 提炼 转化法、整体代换法
易错 警示 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数
1.化简的结果是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意可得＝＝＝.故选C.
2.化简·(a＜0)的结果为(　　)
A.－ B.－(－a
C.(－a D.－
答案：B
解析：·＝·(－)＝－(－a＝－(－a＝－(－a.故选B.
3.若2m＝5，4n＝3，则43n－m的值是(　　)
A.0.9 B.1.08
C.2 D.4
答案：B
解析：因为2m＝5，4n＝3，所以43n－m＝＝＝＝1.08.故选B.
4.＋2＋＋＝　　　　　.
答案：
解析：＋2＋＋＝＋＋1＋＝2＋9＋1＋＝.
课时分层评价24　指数幂的运算性质
(时间：40分钟　满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.化简·的结果是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为a＞0，所以·＝·＝＝＝.故选B.
2.已知2a＝5，8b＝3，则2a－3b的值为(　　)
A.25 B.5
C. D.
答案：D
解析：因为8b＝3，所以(23)b＝23b＝3，所以2a－3b＝＝.故选D.
3.若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是(　　)
A.a＋3＝8b B.3a＝8b
C.a＋3＝b8 D.3a＝8＋b
答案：A
解析：由题意知，正实数a，b，且满足＝，可得8×2a＝(2b)8，即23×2a＝28b，所以a＋3＝8b.故选A.
4.(5)0.5＋(－1)5÷()－2＋(2＝(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案：C
解析：(5)0.5＋(－1)5÷()－2＋(2＝()2×0.5－()－2＋(＝－()－2＋()－2＝.故选C.
5.(多选题)下列计算正确的是(　　)
A.÷(0.3a－1)＝10a2
B.÷＝－
C.·＝a2
D.＝
答案：ABD
解析：对于A，原式＝÷(0.3a－1)＝3a×a＝10a2，故A正确；对于B，原式＝＝＝－，故B正确；对于C，·＝，故C错误；对于D，原式＝＝＝＝＝，故D正确.故选ABD.
6.(多选题)下列各式正确的是(　　)
A.设a＞0，则＝
B.已知2a＋b＝1，则＝3
C.若a＝，b＝，则b2－a2＝5
D.＝(其中a＞0)
答案：BD
解析：对于A，因为a＞0，所以＝(a·＝(＝，故A错误；对于B，＝＝33a－a·3b＝32a＋b＝3，故B正确；对于C，b2－a2＝－≠5，故C错误；对于D，＝＝＝＝＝，故D正确.故选BD.
7.化简：··＝　　　　.
答案：1
解析：由题意可知a＞0，所以··＝··＝＝a0＝1.
8.设a＝100.2，则的值为　　　　.
答案：100
解析：因为a＝100.2，所以a5＝100.2×5＝10，则＝a10＝(100.2)10＝100.
9.若3m－3－m＝2，则9m＋9－m的值为　　　　　.
答案：14
解析：3m－3－m＝2，两边平方得＝12，即9m＋9－m－2＝12，解得9m＋9－m＝14.
10.(10分)(1)求值：－0.752＋6－2×；
(2)已知10m＋10n＝5，10m10n＝6，m＞n，求1.
解：(1)原式＝－＋×＝－＋×＝－＋×＝1.
(2)1＝＝，
由10m＋10n＝5和10m10n＝6，m＞n可得10m＝3，10n＝2，
则1＝＝＝.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案：B
解析：由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“国”字所对应的数字为3.故选B.
12.(多选题)已知x＋x－1＝3，则下列结论正确的是(　　)
A.x3＋x－3＝1 B.x2＋x－2＝7
C.＋＝ D.x2－x－2＝3
答案：BC
解析：由x＋x－1＝3可知：x＞0，x＋x－1＝3 ＝9 x2＋x－2＋2＝9 x2＋x－2＝7，故B正确；x3＋x－3＝＝3×＝18，故A错误；x＋x－1＝3 －2＝3 ＝5，因为x＞0，所以＋＝，故C正确；＝－4＝49－4＝45 x2－x－2＝±3，故D错误.故选BC.
13.已知3a＋2b＋1＝0，则8a·4b＝　　　　，＝　　　　.
答案：　
解析：8a·4b＝23a·22b＝23a＋2b＝2－1＝.由题意得a＋b＝－，所以＝＝×＝×＝.
14.(10分)(1)已知ax＝，求的值；
(2)已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值.
解：(1)原式＝＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.
(2)因为a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，所以(ab＝(ba，
即a＝＝(8a＝(8a，所以＝，所以a7＝8，所以a＝.
15.(5分)(新情境)1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolic rate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即F＝c0，其中F为基础代谢率，M为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据： ≈1.778 3)(　　)
A.5.4倍 B.5.5倍
C.5.6倍 D.5.7倍
答案：C
解析：设该哺乳动物原体重为M1，基础代谢率为F1，则F1＝c0，经过一段时间生长，其体重为10M1，基础代谢率为F2，则F2＝c0·(10M1＝1·c0·＝1F1，则＝1≈1.778 33≈5.6.故选C.
16.(15分)(1)已知a＝3，求＋＋＋的值；
(2)已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
解：(1)原式＝＋＋＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
(2)证明：因为2a·3b＝6，所以2a－1·3b－1＝1，
所以(2a－1·3b－1)d－1＝1，
即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1，①
又因为2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1，
所以(2c－1·3d－1)b－1＝1，
即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1，②
由①②可得，2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
所以(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
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§2　指数幂的运算性质
　
第三章　指数运算与指数函数
学习目标
1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，提升数学运算的核心素养.　
2.能够熟练利用指数幂的运算性质进行化简、求值与证明，提升逻辑推理的核心素养.
任务一　指数幂的运算性质
问题导思
新知构建
aαβ
aαbα
微提醒
典例
1
　　在进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行计算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.
规律方法
典例
1
1.根式化简的步骤
第一步：将根式化成分数指数幂的形式；
第二步：利用分数指数幂的运算性质求解.
2.化简的结果，一般用分数指数幂的形式.
规律方法
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任务二　整体代换求分数指数幂
典例
3
②a2＋a－2；
解：因为a＋a－1＝7，
所以(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
所以a2＋a－2＝47.

规律方法
对点练3.(1)已知实数a满足a＋a－1＝4，则a2＋a－2的值为
A.14 B.16
C.12 D.18
√
16
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课堂小结
任务
再现 1.指数幂的运算性质.2.整体代换法求分数指数幂
方法
提炼 转化法、整体代换法
易错
警示 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数
随堂评价
√
√
3.若2m＝5，4n＝3，则43n－m的值是
A.0.9 B.1.08
C.2 D.4
√


返回
课时分层评价
√
√
√

√

√
√
√

√
√

1
100
14
11.在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为
A.4 B.3
C.2 D.1
√
由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“国”字所对应的数字为3.故选B.
√

√



√

(2)已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
解：证明：因为2a·3b＝6，所以2a－1·3b－1＝1，
所以(2a－1·3b－1)d－1＝1，
即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1，①
又因为2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1，
所以(2c－1·3d－1)b－1＝1，
即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1，②
由①②可得，2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
所以(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1).
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