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§3　指数函数
3.1　指数函数的概念
3.2　指数函数的图象和性质(一)
学习目标 1.理解指数函数的概念.　2.会画指数函数的图象并能简单应用，培养直观想象的核心素养.
任务一　指数函数的概念
问题1.(1)拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系是什么？
(2)上述两个函数关系式共同点是什么？
提示：(1)第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N＋)，对折后的面积S＝(x∈N＋).
(2)两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数.
指数函数的概念
指数函数的定义 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应.因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数
指数函数的基本性质 (1)指数函数的定义域为R，函数值大于0； (2)图象过定点(0，1)
[微思考]　指数函数的解析式有什么特征？
提示：指数函数解析式的四个特征：
(1)定义域必须是实数集R.(2)底数a的范围必须是a＞0，且a≠1.(3)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项.(4)指数式只有一项，并且指数式的系数为1.
(1)(多选题)给出下列函数，不是指数函数的是(　　)
A.y＝2·3x B.y＝(－2)x
C.y＝3x D.y＝x3
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a等于　　　　.
答案：(1)ABD　(2)2
解析：(1)对于A，3x的系数是2，故A不是指数函数；对于B，底数－2＜0，故B不是指数函数；对于C，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；对于D，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数.故选ABD.
(2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得所以a＝2.
判断一个函数是否为指数函数的方法
1.看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式.
2.明特征：看是否具备指数函数解析式具有的所有特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
对点练1.(1)若函数y＝ax＋4－2a是指数函数，则有(　　)
A.a＝2 B.a＝3
C.a＝2或a＝3 D.a＞2，且a≠3
(2)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　)
A.2 B.3
C. D.4
答案：(1)A　(2)A
解析：(1)因为y＝ax＋4－2a是指数函数，所以a2－5a＋7＝1，a2－5a＋6＝0，＝0，且4－2a＝0，所以a＝2.故选A.
(2)因为函数f(x)＝·ax是指数函数，所以a－3＝1且a＞0且a≠1，解得a＝8，
所以f(x)＝8x，所以f＝＝2.故选A.
任务二　指数函数的图象和性质
问题2.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝3x的图象.观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝3x
提示：表格依次填写：　　1　2　4　　　1　3　9
y＝2x和y＝3x的图象如图所示.
从y＝2x和y＝3x的图象上看：都在R上是增函数，公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞).
问题3.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝与y＝的图象.
观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
x －2 －1 0 1 2
y＝
y＝
提示：表格依次填写：4　2　1　　　9　3　1　　
y＝和y＝的图象如图所示.
从y＝和y＝的图象上看：都在R上是减函数，公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞).
问题4.观察y＝2x和y＝3x的图象以及y＝和y＝的图象，它们各具有什么简单性质？
提示：y＝2x和y＝3x的图象，在(0，＋∞)上都是增函数.x＜0时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x的图象下方；x＞0时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x的图象上方.y＝和y＝的图象在(0，＋∞)上都是减函数.x＜0时，函数y＝的图象在函数y＝的图象上方；x＞0时，函数y＝的图象在函数y＝的图象下方.
指数函数的图象和简单性质
a＞1 0＜a＜1
图 象
简单 性质 定义域为R，值域为(0，＋∞)，过定点(0，1).
在R上是增函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
简单 性质 对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： 当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，ax＞bx＞1 对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： 当x＜0时，ax＞bx＞1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，0＜ax＜bx＜1
(1)对任意实数a＜1，且a≠0，关于x的函数y＝(1－a)x＋4图象必过定点(　　)
A.(0，4) B.(0，1)
C.(0，5) D.(1，5)
(2)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)因为a＜1，且a≠0，所以1－a＞0，且1－a≠1，故函数y＝(1－a)x是指数函数，过定点(0，1)，则y＝(1－a)x＋4过定点(0，5).故选C.
(2)由题图，易知直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而＞＞＞，故选C.
解决指数函数图象问题的注意点
1.熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状.
2.在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
对点练2.(1)已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
(2)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，可能成立的关系式有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)由于0＜m＜n＜1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略)，交点在下面的是函数y＝mx的图象，在上面的是函数y＝nx的图象.故选C.
(2)在同一坐标系中画出函数y＝2 024x与y＝2 025x的图象如图所示，结合图象可知：若2 024a＝2 025b＞1，如图①所示，则0＜b＜a，①可能成立；若2 024a＝2 025b＝1，则0＝b＝a，⑤可能成立；若2 024a＝2 025b＜1，如图②所示，则a＜b＜0，②可能成立.综上，可能成立的关系式有3个.故选C.
任务三　指数函数图象的简单应用
如图所示，函数f(x)＝的图象是(　　)
答案：B
解析：因为y＝＝所以x＝1时，y＝0，x≠1时，y＞0.故选B.
[变式探究]
(变设问)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是　　　　　　　　；若有两个交点，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.
答案：{m｜m≥2，或m＝0}　
解析：根据函数f(x)＝的图象，若直线y＝m与函数f(x)＝的图象只有1个交点，则m≥2或m＝0，即实数m的取值范围是{m｜m≥2，或m＝0}.若有两个交点时0＜m＜2，即实数m的取值范围是.
处理函数图象问题的策略
1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)和翻折变换.
对点练3.(1)(多选题)若函数y＝ax－2b－1(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则(　　)
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＞0 D.b＜0
(2)对a，b∈R，记max＝则函数f(x)＝max{｜x＋1｜，()x}的最小值为　　　　.
答案：(1)BC　(2)1
解析：(1)由题意可知：函数大致图象如图所示，若0＜a＜1，则y＝ax－2b－1的图象必过第二象限，不符合题意，所以a＞1.当a＞1时，要使y＝ax－2b－1的图象过第一、三、四象限，则a0－2b－1＜0，解得b＞0.故选BC.
(2)在同一坐标系内作出函数y＝｜x＋1｜，y＝()x的图象，如图，观察图象知，当x＜0时，()x＞｜x＋1｜，当x＝0时，()x＝｜x＋1｜，当x＞0时，()x＜｜x＋1｜，因此f(x)＝函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝1.
任务 再现 1.指数函数的概念.2.指数函数的图象和性质以及图象的简单应用
方法 提炼 待定系数法、数形结合法
易错 警示 易忽视底数a的限制条件；易忽视对于a是否大于1进行讨论
1.下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝－4x
C.y＝3x－1 D.y＝
答案：D
解析：由指数函数的定义知y＝是指数函数.故选D.
2.若函数y＝(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.［，＋∞)
答案：C
解析：因为函数y＝(x是自变量)是指数函数，所以解得a＞且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞).故选C.
3.甲同学在同一坐标系画函数y＝2x，y＝3x，y＝的图象(如图)，其中多余的一个是(　　)
A.① B.②
C.③ D.④
答案：B
解析：因为y＝＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，且当x＞0时，y＝3x的图象在y＝2x图象的上方，所以①③④存在.故选B.
4.函数f(x)＝ax－3＋2x(a＞0，a≠1)的图象恒过的定点为　　　　.
答案：
解析：令x－3＝0，解得x＝3，且f(3)＝7，所以函数f(x)的图象恒过的定点为.
课时分层评价25　指数函数的概念　指数函数的图象和性质(一)
(时间：40分钟　满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.若指数函数f(x)的图象过点，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案：B
解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为函数f(x)的图象过点，则f(4)＝a4＝81，解得a＝3，所以f(x)＝3x.故选B.
2.(多选题)若函数f(x)＝ax是指数函数，则实数m的值为(　　)
A.－3 B.1
C.－1 D.－2
答案：AB
解析：因为函数f(x)＝ax是指数函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3.故选AB.
3.函数y＝与y＝4x的图象(　　)
A.关于x轴对称 B.关于直线y＝x对称
C.关于原点对称 D.关于y轴对称
答案：D
解析：因为＝＝4x，且函数y＝与y＝4x的图象如图所示，所以函数y＝与y＝4x的图象关于y轴对称.故选D.
4.要得到函数y＝22x－1的图象，只需将指数函数y＝4x的图象(　　)
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
答案：D
解析：因为22x－1＝＝，所以为了得到函数y＝22x－1的图象，只需将指数函数y＝4x的图象向右平移个单位.故选D.
5.函数y＝xa(x≥0)和函数y＝ax(x≥0)在同一坐标系下的图象可能是(　　)
答案：C
解析：y＝xa(x≥0)的图象必过(0，0)，y＝ax(x≥0)的图象必过(0，1)，故D错误；对于A，由y＝ax图象知a＞1，由y＝xa图象可知0＜a＜1，故A错误；对于B，由y＝ax图象知0＜a＜1，由y＝xa图象可知a＞1，故B错误；对于C，由y＝ax图象知0＜a＜1，由y＝xa图象可知0＜a＜1，故C正确.故选C.
6.(多选题)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＜0 D.b＞0
答案：AC
解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选AC.
7.已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝　　　　.
答案：
解析：因为f(x)＝所以f(－3)＝2－3＝，则f(f(－3))＝f＝＝.
8.若函数y＝2x＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是　　　　.
答案：(－∞，－1]
解析：指数函数y＝2x的图象过点(0，1)，则函数y＝2x＋m的图象过点(0，1＋m)，若图象不经过第二象限，则1＋m≤0，即m≤－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1].
9.函数f(x)＝的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，则实数m＋n的取值范围是　　　　.
答案：(1，2)
解析：f(x)＝的图象如图所示，不妨设m＞n，因为f(x)＝的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，所以由图可知m＝1，0＜n＜1，所以1＜m＋n＜2，即实数m＋n的取值范围是(1，2).
10.(10分)已知函数y＝ax－1(a＞0且a≠1)的图象经过点.
(1)求实数a的值；
(2)作出此函数的图象.
解：(1)将点代入y＝ax－1，得a2－1＝，即a＝，所以a＝.
(2)由(1)知y＝，
将函数y＝的图象向右平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图，
即为函数y＝的图象.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.下列函数中，满足对任意x1，x2∈R恒有f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)的是(　　)
A.f(x)＝2x2 B.f(x)＝
C.f(x)＝4x3 D.f(x)＝2x－2
答案：B
解析：对于A，若f(x)＝2x2，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得2＝16，取x1＝x2＝1，得2＝16，故A不成立；对于B，f(x)＝满足对任意x1，x2∈R恒有f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)，故B正确；对于C，若f(x)＝4x3，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得4＝4·4·4，取x1＝x2＝1，得4＝64，故C不成立；对于D，若f(x)＝2x－2，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得＝4··，取x1＝x2＝1，得＝1，故D不成立.故选B.
12.(多选题)已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)，则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)恒过定点(0，1)
B.函数f(x)的值域为
C.函数f(x)在区间上单调递增
D.若直线y＝2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
答案：BC
解析：已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)，则x∈R，对于A，f(0)＝＝0，函数f(x)恒过定点，故A错误；对于B，x∈R，则ax－1＞－1，所以≥0，函数f(x)的值域为，故B正确；对于C，当0＜a＜1时，则y＝ax单调递减，又x≥0，所以ax≤1，所以f(x)＝＝－ax＋1，显然此时f(x)在上单调递增；当a＞1时，则y＝ax单调递增，又x≥0，所以ax≥1，所以f(x)＝＝ax－1，显然此时f(x)在上单调递增，故C正确；对于D，y＝｜ax－1｜的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a＞1和0＜a＜1两种情况分别作图，如图所示：
当a＞1时，2a＞2，显然不合题意；当0＜a＜1时，此时0＜2a＜1满足有两个公共点，即0＜a＜，故D错误.故选BC.
13.(开放题)已知函数f(x)满足： x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)；当x＞0时，f(x)＜1.则满足这两个条件的一个函数为　　　　.
答案：f(x)＝(答案不唯一)
解析：由 x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)，知f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)满足该条件；又当x＞0时，f(x)＜1，可得0＜a＜1，故f(x)可以为f(x)＝(答案不唯一).
14.(10分)已知函数f(x)＝ax，g(x)＝bx，若f(1)＋g(1)＝5，f(1)－g(1)＝1.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)若f(m)＝g(n)，试比较m，n的大小.
解：(1)由解得f(1)＝3，g(1)＝2，即a＝3，b＝2.
所以f(x)＝3x，g(x)＝2x.
(2)由f(m)＝g(n)，得3m＝2n，
当m＝0时，有2n＝1，所以n＝0，此时m＝n；
当m＞0时，2m＜3m＝2n，此时m＜n；
当m＜0时，2m＞3m＝2n，此时m＞n.
15.(5分)(新情境)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f(A)，得到另一数集B，也就是B＝f(A).那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数.已知集合A＝{－2，1，2，4}，B＝{0，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从A到B的函数的是(　　)
A.y＝2x B.y＝｜x｜
C.y＝x2 D.y＝2｜－x｜
答案：D
解析：对于A，对于数集A中的－2，根据y＝2x可得y＝－4，而B＝{0，2，4，16}中无－4，故A错误；对于B，对于数集A中的1，根据y＝｜x｜可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故B错误；对于C，对于数集A中的1，根据y＝x2可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故C错误；对于D，对于数集A中的－2和2，根据y＝2｜－x｜可得y＝4，对于数集A中的1，根据y＝2｜－x｜可得y＝2，对于数集A中的4，根据y＝2｜－x｜可得y＝16，{2，4，16} B，故D正确.故选D.
16.(15分)(一题多问)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求实数a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数解，求出实数m的取值范围.
解：(1)因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，
所以解得a＝，b＝－3.
(2)由f(x)为减函数可知实数a的取值范围为(0，1)，
因为f(0)＝1＋b＜0，即b＜－1，
所以实数b的取值范围为(－∞，－1).
(3)由题中图①可知y＝｜f(x)｜的图象如图，
由图可知，若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数解，则m＝0或m≥3.
所以实数m的取值范围为{m｜m＝0，或m≥3}.
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3.1　指数函数的概念
3.2　指数函数的图象和性质(一)
　
第三章　§3 指数函数
学习目标
1.理解指数函数的概念.　
2.会画指数函数的图象并能简单应用，培养直观想象的核心素养.
任务一　指数函数的概念
问题导思
(2)上述两个函数关系式共同点是什么？
提示：两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数.
指数函数的概念
新知构建
指数函数
的定义 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有__________的正数y＝ax与之对应.因此，_______是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数
指数函数的
基本性质 (1)指数函数的定义域为____，函数值大于___；
(2)图象过定点(0，1)
唯一确定
y＝ax
R
0
指数函数的解析式有什么特征？
提示：指数函数解析式的四个特征：
(1)定义域必须是实数集R.(2)底数a的范围必须是a＞0，且a≠1.(3)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项.(4)指数式只有一项，并且指数式的系数为1.
微思考
(1)(多选题)给出下列函数，不是指数函数的是
A.y＝2·3x B.y＝(－2)x
C.y＝3x D.y＝x3
√
典例
1
√
√
对于A，3x的系数是2，故A不是指数函数；对于B，底数－2＜0，故B不是指数函数；对于C，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；对于D，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数.故选ABD.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a等于______.
2

判断一个函数是否为指数函数的方法
1.看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式.
2.明特征：看是否具备指数函数解析式具有的所有特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
规律方法
√

√
返回
任务二　指数函数的图象和性质
问题2.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝3x的图象.观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
问题导思
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝3x
提示：y＝2x和y＝3x的图象如图所示.
从y＝2x和y＝3x的图象上看：都在R上是增函数，
公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞).


1
2
4


1
3
9
x －2 －1 0 1 2


4
2
1


9
3
1


指数函数的图象和简单性质
新知构建
a＞1 0＜a＜1
图
象

简单
性质 定义域为R，值域为___________，过定点________.
在R上是________.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于___ 在R上是减函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于___；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__________
(0，＋∞)
(0，1)
增函数
正无穷大
0
0
正无穷大
a＞1 0＜a＜1
简单
性质 对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)：
当x＜0时，0＜ax＜bx＜1；
当x＝0时，ax＝bx＝1；
当x＞0时，ax＞bx＞1 对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)：
当x＜0时，ax＞bx＞1；
当x＝0时，ax＝bx＝1；
当x＞0时，0＜ax＜bx＜1
(1)对任意实数a＜1，且a≠0，关于x的函数y＝(1－a)x＋4图象必过定点
A.(0，4) B.(0，1)
C.(0，5) D.(1，5)
√
典例
2
因为a＜1，且a≠0，所以1－a＞0，且1－a≠1，故函数y＝(1－a)x是指数函数，过定点(0，1)，则y＝(1－a)x＋4过定点(0，5).故选C.
√
解决指数函数图象问题的注意点
1.熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状.
2.在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
规律方法
对点练2.(1)已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为
√
由于0＜m＜n＜1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略)，交点在下面的是函数y＝mx的图象，在上面的是函数y＝nx的图象.故选C.
(2)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，可能成立的关系式有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
在同一坐标系中画出函数y＝2 024x与y＝2 025x
的图象如图所示，结合图象可知：若2 024a＝
2 025b＞1，如图①所示，则0＜b＜a，①可能
成立；若2 024a＝2 025b＝1，则0＝b＝a，⑤
可能成立；若2 024a＝2 025b＜1，如图②所示，则a＜b＜0，②可能成立.综上，可能成立的关系式有3个.故选C.
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任务三　指数函数图象的简单应用
典例
3
√

{m｜m≥2，或m＝0}


处理函数图象问题的策略
1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)和翻折变换.
规律方法
对点练3.(1)(多选题)若函数y＝ax－2b－1(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则
A.0＜a＜1 B.a＞1
C.b＞0 D.b＜0
√
√
由题意可知：函数大致图象如图所示，若0＜a＜1，则y＝ax
－2b－1的图象必过第二象限，不符合题意，所以a＞1.当a
＞1时，要使y＝ax－2b－1的图象过第一、三、四象限，则
a0－2b－1＜0，解得b＞0.故选BC.
1

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课堂小结
任务
再现 1.指数函数的概念.2.指数函数的图象和性质以及图象的简单应用
方法
提炼 待定系数法、数形结合法
易错
警示 易忽视底数a的限制条件；易忽视对于a是否大于1进行讨论
随堂评价
√
√

√
4.函数f(x)＝ax－3＋2x(a＞0，a≠1)的图象恒过的定点为__________.

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课时分层评价
√
√
√
√
√
5.函数y＝xa(x≥0)和函数y＝ax(x≥0)在同一坐标系下的图象可能是
y＝xa(x≥0)的图象必过(0，0)，y＝ax(x≥0)的图象必过(0，1)，故D错误；对于A，由y＝ax图象知a＞1，由y＝xa图象可知0＜a＜1，故A错误；对于B，由y＝ax图象知0＜a＜1，由y＝xa图象可知a＞1，故B错误；对于C，由y＝ax图象知0＜a＜1，由y＝xa图象可知0＜a＜1，故C正确.故选C.
√
6.(多选题)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
A.0＜a＜1
B.a＞1
C.b＜0
D.b＞0
√
由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选AC.
√

8.若函数y＝2x＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是____________.
指数函数y＝2x的图象过点(0，1)，则函数y＝2x＋m的图象过点(0，1＋m)，若图象不经过第二象限，则1＋m≤0，即m≤－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1].
(－∞，－1]

(1，2)
√
√
√

13.(开放题)已知函数f(x)满足： x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)；当x＞0时，f(x)＜1.则满足这两个条件的一个函数为_______________________.

(2)若f(m)＝g(n)，试比较m，n的大小.
解：由f(m)＝g(n)，得3m＝2n，
当m＝0时，有2n＝1，所以n＝0，此时m＝n；
当m＞0时，2m＜3m＝2n，此时m＜n；
当m＜0时，2m＞3m＝2n，此时m＞n.
15.(5分)(新情境)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f(A)，得到另一数集B，也就是B＝f(A).那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数.已知集合A＝{－2，1，2，4}，B＝{0，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从A到B的函数的是
A.y＝2x B.y＝｜x｜
C.y＝x2 D.y＝2｜－x｜
√
对于A，对于数集A中的－2，根据y＝2x可得y＝－4，而B＝{0，2，4，16}中无－4，故A错误；对于B，对于数集A中的1，根据y＝｜x｜可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故B错误；对于C，对于数集A中的1，根据y＝x2可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故C错误；对于D，对于数集A中的－2和2，根据y＝2｜－x｜可得y＝4，对于数集A中的1，根据y＝2｜－x｜可得y＝2，对于数集A中的4，根据y＝2｜－x｜可得y＝16，{2，4，16} B，故D正确.故选D.
(2)若f(x)的图象如图②所示，求实数a，b的取值范围；
解：由f(x)为减函数可知实数a的取值范围为(0，1)，
因为f(0)＝1＋b＜0，即b＜－1，
所以实数b的取值范围为(－∞，－1).
(3)在(1)中，若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数解，求出实数m的取值范围.
解：由题中图①可知y＝｜f(x)｜的图象如图，
由图可知，若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数解，
则m＝0或m≥3.
所以实数m的取值范围为{m｜m＝0，或m≥3}.
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