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(共58张PPT)
第1课时　对数函数y＝logax的图象和性质
　
第四章　§3　3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
学习目标
1.初步掌握对数函数的图象和性质.　
2.会类比指数函数研究对数函数的性质，培养数学抽象的核心素养.　
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用，培养数学运算的核心素养.
任务一　对数函数的图象和性质
问题导思
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质
新知构建
图象和
性质 a＞1 0＜a＜1
图象

图象和
性质 a＞1 0＜a＜1
性
质 定义域：___________
值域：R
过定点________，即当x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞___；
当0＜x＜1时，y＜___ 当x＞1时，y＜___；
当0＜x＜1时，y＞___
性
质 在定义域(0，＋∞)上是____函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是____函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
(0，＋∞)
(1，0)
0
0
0
0
增
减
(1)底数a的取值与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有什么关系？
提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”.
微思考
典例
1
求函数定义域的三个步骤
第一步：列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)；
第二步：解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围；
第三步：结论：写出函数的定义域.
规律方法
√

返回
任务二　对数函数图象及简单应用
√
典例
2
(2)函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点
A.(2，2) B.(3，2)
C.(3，3) D.(2，3)
√
由x－2＝1，得x＝3，所以y＝loga1＋2＝2，所以图象恒过定点(3，2).故选B.
1.有关对数型函数图象问题的求解技巧
求函数y＝logaf(x)＋m(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x＝x0，即得定点为(x0，m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴.
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
规律方法
对点练2.(1)函数f(x)＝log2(2x)的大致图象为
√
(2)已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝
A.1 B.2
C.3 D.4
√
令2x－3＝1，解得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.故选C.
返回
任务三　利用单调性比较对数值的大小
(链教材P114例7)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log60.7，log69.1；
解：因为6＞1，所以函数y＝log6x在定义域(0，＋∞)上是增函数，
由0.7＜9.1，得log60.7＜log69.1.
典例
3
(2)log0.27，log0.29；
解：因为0.2＜1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，
由7＜9，得log0.27＞log0.29.
(3)log0.35，log35；
解：因为0.3＜1，所以函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，
由5＞1，得log0.35＜log0.31＝0，即log0.35＜0.
因为3＞1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，
由5＞1，得log35＞log31＝0，即log35＞0.
所以log0.35＜log35.
(4)loga2，loga6(a＞0，且a≠1).
解：当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，此时由2＜6，得loga2＞loga6；
当a＞1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，此时由2＜6，得loga2＜loga6；
综上可得当0＜a＜1时，loga2＞loga6；当a＞1时，loga2＜loga6.
比较对数值大小时常用的四种方法
1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用在第一象限顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较.
4.若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
规律方法
√
②③

返回
任务四　解对数不等式
典例
4
对数不等式的三种考查类型及其解法
1.形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论.
2.形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
3.形如logf(x)a＞logg(x)a(f(x)，g(x)＞0且不等于1，a＞0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
规律方法
√

(0，1)
函数y＝lg x在(0，＋∞)是严格增函数，所以0＜2x＜2，得0＜x＜1，所以实数x的取值范围是(0，1).
返回
课堂小结
任务
再现 1.对数函数y＝logax的图象和性质.2.对数型函数的定义域.3.对数函数图象及简单应用.4.对数函数的综合运用：比较大小、解对数不等式
方法
提炼 分类讨论法、数形结合法
易错
警示 求与对数函数有关的定义域时，易漏掉真数大于零
随堂评价
√
√

√
返回
课时分层评价
√

2.如图，C1是函数y＝ax(0＜a＜1)的图象，C2，C3，C4是由C1经轴对称变换得到的函数图象，则C2，C3，C4对应的函数解析式分别是
A.y＝a－x，y＝logax，y＝－logax
B.y＝logax，y＝a－x，y＝－logax
C.y＝logax，y＝－logax，y＝a－x
D.y＝－logax，y＝a－x，y＝logax
√
由图可知，C2与C1关于直线y＝x对称，所以C2的解析式为y＝logax；C3与C1关于y轴对称，所以C3的解析式为y＝a－x；C4与C3关于y＝x轴对称，所以C4的解析式为y＝－logax.故选B.
3.已知a＝log23，b＝log2e，c＝log32，则a，b，c的大小关系是
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
√
a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝log32＜log33＝1，所以a，b，c的大小关系为a＞b＞c.故选A.
√

5.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是
A.a＞1，b＜－1
B.a＞1，－1＜b＜0
C.0＜a＜1，b＜－1
D.0＜a＜1，－1＜b＜0
√
因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b＞0，即b＞－1；又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0，故选D.
6. (多选题)下列不等式成立的是
A.log0.20.3＜log0.20.4 B.20.3＞log32
C.log3e＞ln 3 D.log25＞log35
√
对于A，y＝log0.2x在定义域上单调递减，故log0.20.3＞log0.20.4，故A错误；对于B，由20.3＞20＝1＝log33＞log32，故B正确；对于C，由log3e＜log33＝1＝ln e＜ln 3，故C错误；对于D，由log25＞log24＝2＝log39＞log35，故D正确.故选BD.
√
7.若函数f(x)＝loga(x－1)过点(a，0)，则f(x)＞0的解集为__________.
由函数f(x)＝loga(x－1)过点(a，0)，可得loga(a－1)＝0，则a－1＝1，即a＝2，此时f(x)＝log2(x－1).由log2(x－1)＞0可得x－1＞1即x＞2，故f(x)＞0的解集为(2，＋∞).
(2，＋∞)
8.已知logm8.1＜logn8.1＜0，那么m，n满足的条件是______________.
0＜n＜m＜1
9.不等式log2x＋log4x≤3的解集为________________.

(2)当a＞1时，求不等式f(x＋2)＜1的解集.
解：f(x＋2)＜1等价于log3a(x＋2)＜log3a3a，
当a＞1时，函数f(x)＝log3ax在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜x＋2＜3a，即－2＜x＜3a－2.
故当a＞1时，不等式f(x＋2)＜1的解集为{x｜－2＜x＜3a－2}.
√
√

12.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是
A.x2＜x3＜x1 B.x1＜x3＜x2
C.x1＜x2＜x3 D.x3＜x2＜x1
√
分别作出这三个函数的大致图象，如图所示.由图可
知，x2＜x3＜x1.故选A.


15.(5分)(多选题)下列不等式，正确的是
A.log0.30.5＞1 B.0.30.5＜1 C.log20.5＜20.5 D.log23＞log34
√
√
√

16.(15分)已知函数f(x)＝logax，其中a＞0且a≠1.
(1)若函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，求不等式f(2x－2)＜f(x)的解集；
解：因为f(4)＝2，则loga4＝2，所以a2＝4，因为a＞0，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，
因为f(2x－2)＜f(x)，所以2x－2＞0，x＞0，2x－2＜x，解得1＜x＜2.
所以不等式f(2x－2)＜f(x)的解集为(1，2).
返回3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
第1课时　对数函数y＝logax的图象和性质
学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.　2.会类比指数函数研究对数函数的性质，培养数学抽象的核心素养.　3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用，培养数学运算的核心素养.
任务一　对数函数的图象和性质
问题.在同一坐标系内画出函数y＝log2x，y＝lox，y＝lox和y＝log3x的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势和函数图象的共同特征.
提示：同一坐标系中函数的图象如图.
①y＝log2x与y＝log3x的图象从左到右是上升的，函数y＝lox和y＝lox的图象从左到右是下降的.
②图象都过定点(1，0)，函数的图象都在y轴的右侧，且向上向下无限延伸.
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质
图象和 性质 a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0
性 质 在定义域(0，＋∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
[微思考]　(1)底数a的取值与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有什么关系？
(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)与y＝lox (a＞0，且a≠1)有什么关系？
提示：(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”.
(2)在同一坐标系内，y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝lox(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称.
(链教材P114例6)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝；(3)y＝(a＞0，且a≠1).
解：(1)为使函数有意义，只需解得x＞2，且x≠3，
所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)为使函数有意义，只需解得1＜x＜2，
所以函数的定义域为{x｜1＜x＜2}.
(3)当0＜a＜1时，0＜4x－3≤1 ＜x≤1，所以函数的定义域为；
当a＞1时，4x－3≥1 x≥1，所以函数的定义域为{x｜x≥1}.
求函数定义域的三个步骤
第一步：列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)；
第二步：解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围；
第三步：结论：写出函数的定义域.
对点练1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B.(－∞，0)∪
C. D.∪
答案：D
解析：由题意得∪.故选D.
任务二　对数函数图象及简单应用
(1)如图，图象①②③④所对应的函数不属于y＝2x－，y＝log2x，y＝lox中的一个是(　　)
A.① B.②
C.③ D.④
(2)函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(　　)
A.(2，2) B.(3，2)
C.(3，3) D.(2，3)
答案：(1)D　(2)B
解析：(1)根据题意，函数y＝2x－，y＝log2x，y＝lox的图象分别过定点(0，)，(1，0)，(1，0)，它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.故选D.
(2)由x－2＝1，得x＝3，所以y＝loga1＋2＝2，所以图象恒过定点(3，2).故选B.
1.有关对数型函数图象问题的求解技巧
求函数y＝logaf(x)＋m(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x＝x0，即得定点为(x0，m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴.
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
对点练2.(1)函数f(x)＝log2(2x)的大致图象为(　　)
(2)已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)令f(x)＝0，解得x＝，由题意，f(x)＝log2＝log2x＋1，且x＞0，所以f(x)的图象由y＝log2x图象向上平移一个单位长度即可.故选C.
(2)令2x－3＝1，解得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.故选C.
任务三　利用单调性比较对数值的大小
(链教材P114例7)比较下列各题中两个数的大小：
(1)log60.7，log69.1；(2)log0.27，log0.29；(3)log0.35，log35；(4)loga2，loga6(a＞0，且a≠1).
解：(1)因为6＞1，所以函数y＝log6x在定义域(0，＋∞)上是增函数，
由0.7＜9.1，得log60.7＜log69.1.
(2)因为0.2＜1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，
由7＜9，得log0.27＞log0.29.
(3)因为0.3＜1，所以函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，
由5＞1，得log0.35＜log0.31＝0，即log0.35＜0.
因为3＞1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，
由5＞1，得log35＞log31＝0，即log35＞0.
所以log0.35＜log35.
(4)当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，此时由2＜6，得loga2＞loga6；
当a＞1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，此时由2＜6，得loga2＜loga6；
综上可得当0＜a＜1时，loga2＞loga6；当a＞1时，loga2＜loga6.
比较对数值大小时常用的四种方法
1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用在第一象限顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较.
4.若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
对点练3.(1)设a＝log2e(e为自然对数的底数)，b＝ln 2，c＝lo，则实数a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c　 B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.b＞a＞c
(2)若a＞b＞c＞1，则下列不等式不成立的是　　　　.(填写所有不成立的不等式的序号)
①logab＞logac；②loga＞loga；③lob＞loc；④lo＞lo.
答案：(1)C　(2)②③
解析：(1)因为a＝log2e＞log22＝1，b＝ln 2＜ln e＝1，c＝lo＝log23＞log2e＝a，所以c＞a＞b.故选C.
(2)因为a＞1，所以0＜＜1，所以y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝lox在(0，＋∞)上单调递减.又b＞c＞0，所以0＜＜，所以logab＞logac，loga＜loga，lob＜loc，lo＞lo.故答案为②③.
任务四　解对数不等式
解下列关于x的不等式：
(1)lox＞lo(4－x)；(2)loga(2x－5)＞loga(x－1)(a＞0，且a≠1).
解：(1)由题意可得解得0＜x＜2.所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜2}.
(2)当a＞1时，原不等式等价于解得x＞4.
当0＜a＜1时，原不等式等价于＜x＜4.
综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＞4}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
对数不等式的三种考查类型及其解法
1.形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论.
2.形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
3.形如logf(x)a＞logg(x)a(f(x)，g(x)＞0且不等于1，a＞0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
对点练4.(1)已知f(x)＝log2(2x－1)，则不等式f(x)＜2的解集为(　　)
A. B.
C. D.
(2)设函数y＝f(x)，其中f(x)＝lg x，若f＜f(2)，则实数x的取值范围是　　　　.
答案：(1)D　(2)(0，1)
解析：(1)由题意可知log2(2x－1)＜2，则＜x＜，即不等式f(x)＜2的解集为.故选D.
(2)函数y＝lg x在(0，＋∞)是严格增函数，所以0＜2x＜2，得0＜x＜1，所以实数x的取值范围是(0，1).
任务 再现 1.对数函数y＝logax的图象和性质.2.对数型函数的定义域.3.对数函数图象及简单应用.4.对数函数的综合运用：比较大小、解对数不等式
方法 提炼 分类讨论法、数形结合法
易错 警示 求与对数函数有关的定义域时，易漏掉真数大于零
1.函数f(x)＝ln(x＋6)的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由解析式可知，x＋6＞0，即x＞－6，所以定义域为.故选A.
2.如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y＝lox，y＝lox，y＝log5x中的一个是(　　)
A.(1) B.(2)
C.(3) D.(4)
答案：B
解析：因为lo＜lo＝lo，所以(3)是y＝lox，(4)是y＝lox，又y＝lox＝－log5x与y＝log5x关于x轴对称，所以(1)是y＝log5x.故选B.
3.不等式log2＜1的解集是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
答案：D
解析：log2＜1，即log2＜log22，则0＜x2－1＜2，解得x∈∪.故选D.
4.log3，log3，log32的大小关系为　　　　　　　　　.
答案：log3＜log3＜log32
解析：因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且＜＜2，所以log3＜log3＜log32.
课时分层评价30　对数函数y＝logax的图象和性质
(时间：40分钟　满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(1，2) B.
C.(2，＋∞) D.
答案：B
解析：由 得1＜x≤2，所以函数f(x)的定义域为(1，2].故选B.
2.如图，C1是函数y＝ax(0＜a＜1)的图象，C2，C3，C4是由C1经轴对称变换得到的函数图象，则C2，C3，C4对应的函数解析式分别是(　　)
A.y＝a－x，y＝logax，y＝－logax
B.y＝logax，y＝a－x，y＝－logax
C.y＝logax，y＝－logax，y＝a－x
D.y＝－logax，y＝a－x，y＝logax
答案：B
解析：由图可知，C2与C1关于直线y＝x对称，所以C2的解析式为y＝logax；C3与C1关于y轴对称，所以C3的解析式为y＝a－x；C4与C3关于y＝x轴对称，所以C4的解析式为y＝－logax.故选B.
3.已知a＝log23，b＝log2e，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
答案：A
解析：a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝log32＜log33＝1，所以a，b，c的大小关系为a＞b＞c.故选A.
4.已知log2a＜log2a4a＜0，则(　　)
A.0＜a＜ B.＜a＜
C.＜a＜ D.＜a＜1
答案：B
解析：由对数的定义得0＜2a＜1或2a＞1，又因为4a2＋1－4a＝(2a－1)2＞0(a≠)，所以4a2＋1＞4a，因为log2a＜log2a4a＜0，所以可得0＜2a＜1，因为log2a4a＜0＝log2a1，可得4a＞1，所以＜a＜.故选B.
5.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　)
A.a＞1，b＜－1
B.a＞1，－1＜b＜0
C.0＜a＜1，b＜－1
D.0＜a＜1，－1＜b＜0
答案：D
解析：因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b＞0，即b＞－1；又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0，故选D.
6. (多选题)下列不等式成立的是(　　)
A.log0.20.3＜log0.20.4 B.20.3＞log32
C.log3e＞ln 3 D.log25＞log35
答案：BD
解析：对于A，y＝log0.2x在定义域上单调递减，故log0.20.3＞log0.20.4，故A错误；对于B，由20.3＞20＝1＝log33＞log32，故B正确；对于C，由log3e＜log33＝1＝ln e＜ln 3，故C错误；对于D，由log25＞log24＝2＝log39＞log35，故D正确.故选BD.
7.若函数f(x)＝loga(x－1)过点(a，0)，则f(x)＞0的解集为　　　　.
答案：(2，＋∞)
解析：由函数f(x)＝loga(x－1)过点(a，0)，可得loga(a－1)＝0，则a－1＝1，即a＝2，此时f(x)＝log2(x－1).由log2(x－1)＞0可得x－1＞1即x＞2，故f(x)＞0的解集为(2，＋∞).
8.已知logm8.1＜logn8.1＜0，那么m，n满足的条件是　　　　　　.
答案：0＜n＜m＜1
解析：因为logm8.1＝＜logn8.1＝＜0，所以ln n＜ln m＜0，所以0＜n＜m＜1.
9.不等式log2x＋log4x≤3的解集为　　　　　.
答案：
解析：因为log2x＋log4x＝log2x＋log2x＝log2x，且x＞0，若log2x＋log4x≤3，即log2x≤3，则log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，所以不等式log2x＋log4x≤3的解集为.
10.(10分)已知函数f(x)＝log3ax(a＞0，且a≠)的定义域为(0，＋∞).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＞1时，求不等式f(x＋2)＜1的解集.
解：(1)当0＜3a＜1，即0＜a＜时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
当3a＞1，即a＞时，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
综上所述：0＜a＜时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
a＞时，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(2)f(x＋2)＜1等价于log3a(x＋2)＜log3a3a，
当a＞1时，函数f(x)＝log3ax在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜x＋2＜3a，即－2＜x＜3a－2.
故当a＞1时，不等式f(x＋2)＜1的解集为{x｜－2＜x＜3a－2}.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是(　　)
A.a＝2
B.函数f(x)为增函数
C.若x＞3，则f(x)＞1
D.若0＜x1＜x2，则＞f
答案：BC
解析：由loga9＝2，得a＝3，故A错误；f(x)＝log3x是增函数，故B正确；当x＞3时，f(x)＞f(3)＝1，故C正确；因为＝＝log3，f＝log3，又0＜x1＜x2，所以＜，所以log3＜log3，即＜f，故D错误.故选BC.
12.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A.x2＜x3＜x1 B.x1＜x3＜x2
C.x1＜x2＜x3 D.x3＜x2＜x1
答案：A
解析：分别作出这三个函数的大致图象，如图所示.由图可知，x2＜x3＜x1.故选A.
13.已知b＞a＞0，log4a＋log2b＝1，且＝，则a＋b＝　　　　.
答案：
解析：因为b＞a＞0，log4a＋log2b＝log4a＋log4b2＝log4ab2＝1，所以ab2＝4，因为＝，所以－lg a＝lg b，所以lg a＋lg b＝0，即ab＝1，所以b＝4，a＝，则a＋b＝.
14.(10分)已知函数f(x)＝logax，g(x)＝logbx，若f(4)＋g(4)＝3，f(4)－g(4)＝1.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)若f(m)＝g(n)，试比较m，n的大小.
解：(1)由
解得f(4)＝2，g(4)＝1，
即a＝2，b＝4，所以f(x)＝log2x，g(x)＝log4x.
(2)由f(m)＝g(n)，得log2m＝log4n；
当m＝1时，有log2m＝0，所以n＝1，此时m＝n；
当m＞1时，因为log2m＝log4n，
所以0＜＝，所以lg m＜lg n，此时m＜n；
当0＜m＜1时，因为log2m＝log4n，
所以0＞＝，所以lg m＞lg n，此时m＞n.
15.(5分)(多选题)下列不等式，正确的是(　　)
A.log0.30.5＞1 B.0.30.5＜1
C.log20.5＜20.5 D.log23＞log34
答案：BCD
解析：对于A，因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上递减，且0.5＞0.3，所以log0.30.5＜log0.30.3＝1，故A错误；对于B，因为y＝0.3x在R上递减，且0.5＞0，所以0.30.5＜0.30＝1，故B正确；对于C，因为y＝log2x在(0，＋∞)上递增，且0.5＜1，所以log20.5＜log21＝0，因为20.5＝＞0，所以log20.5＜20.5，故C正确；对于D，因为y＝log2x在(0，＋∞)上递增，且＜＜4，所以log2＜log2＜log24，所以log2＜log23＜log222，所以＜log23＜2，因为y＝log3x在(0，＋∞)上递增，3＜＜，所以log33＜log3＜log3，所以1＜log34＜log3，所以1＜log34＜，所以log23＞log34，故D正确.故选BCD.
16.(15分)已知函数f(x)＝logax，其中a＞0且a≠1.
(1)若函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，求不等式f(2x－2)＜f(x)的解集；
(2)若存在实数x，使得f(x＋1)＋f(x＋2)＝2f(ax)，求实数a的取值范围.
解：(1)因为f(4)＝2，则loga4＝2，所以a2＝4，因为a＞0，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，
因为f(2x－2)＜f(x)，所以2x－2＞0，x＞0，2x－2＜x，解得1＜x＜2.
所以不等式f(2x－2)＜f(x)的解集为(1，2).
(2)因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，则在方程2f(ax)＝f(x＋1)＋f(x＋2)中，应满足由a＞0，解得x＞0，
即当x＞0时，方程f(x＋1)＋f(x＋2)＝2f(ax)有实数解.
又f(x)＝logax，则loga(x＋1)＋loga(x＋2)＝2logaax，
即loga(a2x2)＝loga(x2＋3x＋2)，
所以a2x2＝x2＋3x＋2，
因为x＞0，两边同除以x2得a2＝＋＋1.
令t＝，由x＞0，则t∈(0，＋∞)，
所以a2＝2t2＋3t＋1在t＞0时有解.
又y＝2t2＋3t＋1＝2－在(0，＋∞)上为增函数，
所以y＝2t2＋3t＋1∈(1，＋∞)，即a2∈(1，＋∞)，
又a＞0，则a＞1.
所以实数a的取值范围为(1，＋∞).
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