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苏科版·九年级上册
1.2.4 一元二次方程的
解法——因式分解法
第一章
一元二次方程
章节导读
学 习 目 标
1
2
理解用因式分解法解一元二次方程的原理，体会数学转化思想
掌握用因式分解法解一元二次方程的一般步骤，并能选择合适的方法进行因式分解
新知探究
思
考
1. 请完成下列填空：
若a·b = 0，则________________；
若( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0，则________________；
若( 2x + 5 ) ( 3x + 7 ) = 0，则________________。
a = 0或b = 0
x = 2或x = 3
x = 或x =
新知探究
思
考
2. 解方程：x2 - x = 0。
可以用配方法或公式法求解
还有其他方法吗？
x2 - x可以化为x ( x - 1 )
新知探究
思
考
2. 解方程：x2 - x = 0。
解：将方程左边分解因式得：x ( x - 1 ) = 0，
则x和x-1两个因式中至少有一个为0，即x = 0或x - 1 = 0，
∴x1 = 0，x2 = 1。
新知探究
因式分解法的定义：
当一个一元二次方程的一边是0，
另一边能分解为两个一次因式的乘积时，
就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
知识要点
蕴含了“降次”的数学转化思想
一元二次方程
( ax + b ) ( cx + d ) = 0
( ax + b ) = 0或( cx + d ) = 0
典例分析
典例1 解方程：x2 = -16x。
解：① 移项：x2 + 16x = 0，
② 因式分解：x ( x + 16 ) = 0，
③ 赋值：x = 0或x + 16 = 0，
④ 求解：x1 = 0，x2 = -16。
方法技巧
解题关键：
严格按照步骤计算。
注意：
提公因式x
典例分析
典例2 解方程：( x + 5 ) - x ( x + 5 ) = 0。
将( x + 5)看作整体，
提公因式( x + 5)
解：① 因式分解：( x + 5 ) ( 1 - x ) = 0，
② 赋值：x + 5 = 0或1 - x = 0，
③ 求解：x1 = -5，x2 = 1。
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
① 移项：使方程的右边化为零；
② 因式分解：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 赋值：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④ 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。
知识要点
新知探究
【复习巩固】因式分解的常用方法：
① 提公因式法：ax + bx + cx = x ( a + b + c )；
② 公式法：a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2，a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )；
③ 分组分解法：am + bm + an + bn
= m ( a + b ) + n ( a + b ) = ( a + b ) ( m + n )；
④ 十字相乘法：x2 + ( p + q ) x + pq = ( x + p ) ( x + q )。
知识要点
典例分析
典例3 解方程：x2 + 9 = 6x。
解：① 移项：x2 - 6x + 9 = 0，
② 因式分解：( x - 3 )2 = 0，
③ 直接开平方：x - 3 = ±0，
④ 解一元一次方程：x1 = x2 = 3。
公式法：
a2 ± 2ab + b2
= ( a ± b )2
典例分析
典例4 解方程：( 2x + 1 )2 - ( x - 7 )2 = 0。
将( 2x + 1 )、( x + 7 )分别看作整体，
用公式法：
a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b)
解：法一：
①因式分解：
( 2x + 1 + x - 7 ) ( 2x + 1 - x + 7 ) = 0，
( 3x - 6 ) ( x + 8 ) = 0，
②赋值：3x - 6 = 0或x + 8 = 0，
③求解：x1 = 2，x2 = -8。
方法技巧
解题关键：
已知A2 - B2 = 0 ( 或A2 = B2 )
法一：因式分解法
( A + B )( A - B ) = 0，
A + B = 0或A - B = 0，
A = -B或A = B。
典例分析
典例4 解方程：( 2x + 1 )2 - ( x - 7 )2 = 0。
法二：( 2x + 1 )2 = ( x - 7 )2，
两边同时开平方：2x + 1 = ± ( x - 7 )，
2x + 1 = x - 7或2x + 1 = -x + 7，
∴x1 = -8，x2 = 2。
方法技巧
解题关键：
已知A2 - B2 = 0 ( 或A2 = B2 )
法二：直接开平方法
A = ±B。
典例分析
典例5 解方程：x2 - 6x + 8 = 0。
十字相乘
解：① 因式分解：( x - 2 ) ( x - 4 ) = 0，
② 赋值：x - 2 = 0或x - 4 = 0，
③ 求解：x1 = 2，x2 = 4。
典例分析
典例6 已知方程( x + 2 )2 = 4 ( x + 2 )，请判断小丽、小明的解法是否正确。
小丽
( x + 2)2 - 4 ( x + 2 ) = 0
( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0
x + 2 = 0或x - 2 = 0
∴x1 = -2，x2 = 2。
小明
方程两边都除以( x + 2 )
x + 2 = 4
∴x = 2。
当x + 2 = 0时，
方程两边不能同时除以( x + 2 )
典例分析
典例6 已知方程( x + 2 )2 = 4 ( x + 2 )，请判断小丽、小明的解法是否正确。
小明
方程两边都除以( x + 2 )
x + 2 = 4
∴x = 2。
当x + 2 = 0时，
方程两边不能同时除以( x + 2 )
解：小明的正解：
① 当x + 2 ≠ 0时，
方程两边都除以( x + 2 )，
x + 2 = 4，
∴x = 2；
② 当x + 2 = 0时，
x = -2，成立；
综上，x = -2或x = 2。
题型探究
【例1】解方程：
( 1 ) 3x ( x - 4 ) = x - 4； ( 2 ) x ( x + 2 ) = 3x + 6；
因式分解法解方程——提公因式
题型一
( 2 ) x ( x + 2 ) = 3 ( x + 2 )，
x ( x + 2 ) - 3 ( x + 2 ) = 0，
( x + 2 ) ( x - 3 ) = 0，
x + 2 = 0或x - 3 = 0，
∴x1 = -2，x2 = 3；
解：( 1 ) 3x ( x - 4 ) - ( x - 4 ) = 0，
( x - 4 ) ( 3x - 1 ) = 0，
x - 4 = 0或3x - 1 = 0，
∴x1 = 4，x2 = ；
题型探究
【例1】解方程：
( 3 ) x2 - 4 = 2x ( x - 2 )。
因式分解法解方程——提公因式
题型一
( 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 2x ( x - 2 )，
( x + 2 )( x - 2 ) - 2x ( x - 2 ) = 0，
( x - 2 ) ( -x + 2 ) = 0，
x - 2 = 0或-x + 2 = 0，
∴x1 = x2 = 2。
题型探究
因式分解法解方程——公式法
题型二
解：法一：
( 3x + 4 + 4x - 1 ) (3x + 4 - 4x + 1 ) = 0，
( 7x + 3 ) ( -x + 5 ) = 0，
7x + 3 = 0或-x + 5 = 0，
∴x1 = ，x2 = 5。
法二：( 3x + 4 )2 = ( 4x - 1 )2
两边同时开平方：3x + 4 = ± ( 4x - 1 )，
3x + 4 = 4x - 1或3x + 4 = -4x + 1，
∴x1 = 5，x2 = -。
【例2】解方程：( 3x + 4 )2 - ( 4x - 1 )2 = 0。
题型探究
因式分解法解方程——十字相乘法
题型三
【例3】解方程：
( 1 ) 2x2 - x - 3 = 0； ( 2 ) 3x2 - 5x - 2 = 0；
解：( 1 ) ( 2x - 3) ( x + 1 ) = 0，
2x - 3 = 0或x + 1 = 0，
∴x1 = ，x2 = -1；
( 2 ) ( 3x + 1 ) ( x - 2 ) = 0，
3x + 1 = 0或x - 2 = 0，
∴x1 = ，x2 = 2；
题型探究
因式分解法解方程——十字相乘法
题型三
【例3】解方程：
( 3 ) ( x - 2 )2 - 5 ( x - 2 ) + 6 = 0。
解：( x - 2 - 2 ) ( x - 2 - 3 ) = 0，
( x - 4 ) ( x - 5 ) = 0，
x - 4 = 0或x - 5 = 0，
∴x1 = 4，x2 = 5。
题型探究
因式分解法的应用
题型四
【例4】已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2 - 7x + 10 = 0的根，则这个三角形的周长是________。
解：∵三角形两边的长分别是2和5，
∴第三条边长的取值范围是：3 < 第三边的长 < 7，
∵第三边的长是方程x2 - 7x + 10 = 0的根，
∴( x - 2 ) ( x - 5 ) = 0，解得：x1 = 2，x2 = 5，
∴第三边长为：5，
∴这个三角形的周长是：2+ 5 + 5 = 12。
12
题型探究
因式分解法的应用
题型四
【例5】已知( x2 + y2 + 1 ) ( x2 + y2 - 3 ) = 5，则x2 + y2的值为（　　）
A．0 B．4 C．4或-2 D．-2
解：设 x2 + y2 = z，则原方程换元为( z + 1) ( z - 3 ) = 5，
整理得：z2 - 2z - 8 = 0，
∴( z - 4 ) ( z + 2 ) = 0，解得：z1 = 4，z2 = -2，
∴x2 + y2 = 4或 x2 + y2 = -2（舍） 。
B
课堂小结
因式分解法的定义：
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，
就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
① 移项：使方程的右边化为零；
② 因式分解：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 赋值：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④ 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。
感谢聆听!

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