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广东省深圳市宝安中学、中山一中2025届高三11月联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·宝安月考）复数方程解的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则，，
所以，解之得或或，共4组解.
故答案为：A.
【分析】解决复数方程解的个数问题.复数可表示为（）的形式，用复数的运算法则（乘方、共轭复数）以及复数相等的条件（实部与实部分别相等，虚部与虚部分别相等），将复数方程转化为实数方程组来求解，从而确定解的个数.
2．（2024高三上·宝安月考）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个
【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：分别在上取点，使得，连接，如下图所示：
易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等，
显然这样的平面可以作出无数个.
故答案为：D
【分析】因为点到平面距离相等，可转化为平面与 满足特定位置关系（平行或 中点在平面上 ），这里从平行角度，过 作与 平行的平面，由于作平行平面时，只要保证平面内有与 平行的直线，且过 ，这样的构造方式有无数种，进而分析平面个数.
3．（2024高三上·宝安月考）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏．甲、乙、丙共同写出三个集合A，B，C，然后他们三人各用一句话来正确描述集合中“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．已知集合，，．甲、乙、丙三位同学描述如下．甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（　　）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或3
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1，2，3，4，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又是的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
当时：集合 ，
此时，显然；同时可构造（如 ）满足，符合条件；
当时：集合 ，
此时，满足；也可构造（如 ）满足，符合条件；
当时：集合 ，
此时，不满足（真子集要求子集且不等 ），不符合条件；
当时：集合 ，
此时，不满足（范围小于 ），不符合条件；所以“”表示的数字是1或2.
故答案为：A.
【分析】先依据甲的描述确定的可能取值，再结合乙、丙对集合间条件关系（必要不充分、充分不必要 ）的描述，转化为集合间的包含关系（， ），然后代入可能取值逐一验证集合是否满足包含关系，从而确定符合条件的。
4．（2024高三上·宝安月考）在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】基本不等式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，令这个等差数列为，，，
则，
因此
，当且仅当，
即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：C
【分析】首先利用等差数列的性质，找到插入数后与和的关系，再结合基本不等式（“乘1法” ）来求解的最小值.
5．（2024高三上·宝安月考）若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数是偶函数，所以，又易得函数的定义域是，
即，
所以，
所以，又，所以解得，所以，
所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为.
故选：B.
【分析】本题考查曲线的切线方程.已知函数是偶函数，根据偶函数的性质可得：，据此可列出方程，解方程可求出，再对函数进行求导可得：，进而可求出在处的导数，据此可求出切线的斜率.
6．（2024高三上·宝安月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为的图象关于点对称，所以，
则，解得，当时，为最小值.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据对称得求解即可.
7．（2024高三上·宝安月考）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：若恰有两个零点，即恰有两个实数根，
因为，所以恰有两个实数根，等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当，单调递增，
当，函数单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象，如图所示：
要使有两个交点，则.
故答案为：D.
【分析】问题转化为恰有两个实数根，令，则则，求导利用导数判断函数的单调性，作出大致图象，数形结合求解即可.
8．（2024高三上·宝安月考）在锐角中，已知，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由，
可得，
因为为锐角三角形，所以，所以，
因为，所以，
则，从而，
由，可得
当时，与均属于，
因为函数在上递减，且，
所以，即，所以，
即，所以，
又在上递增，所以；
当时，，则，
即，所以，
又在上递增，所以；
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】从已知等式出发，利用三角形内角和（即 ）对式子变形，再结合锐角三角形的角度范围，分析正弦函数单调性，进而比较角、大小.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·宝安月考）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值，A错误；
B、，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值，B正确；
C、已知， ，当为奇数时，，则；当为偶数时，，则 ，所以奇数项都是，偶数项都是，此时最大值为，最小值为，数列既有最大值又有最小值，C正确；
D、，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值，D错误.
故答案为：BC
【分析】根据无穷等比数列的通项公式，结合首项的符号、公比的取值范围，分析数列的单调性、摆动性等特征，进而判断是否既有最大值又有最小值.
10．（2024高三上·宝安月考）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（　　）
A．存在点，使得 B．存在点，使得平面
C．对于任意点Q，均不成立 D．三棱锥的体积是定值
【答案】B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，，
令，则点，，
A，若，则与共线，即存在实数，使 ，
由分量：，解得，但不包括端点，，矛盾，所以不存在这样的，A错误；
B，，若平面，则，
即，解得，则点是中点时，，
而平面，因此平面，B正确；
C， ，
因为，所以，则，即与不垂直，
对于任意，都不成立，C正确；
D，，设平面的法向量，
则，令，得，
于是点到平面的距离，，不是常数，
又点是三个定点，面积是定值，因此三棱锥的体积不是定值，D错误.
故答案为：BC
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量工具分析线线平行、线面垂直关系，以及利用点到平面距离公式判断三棱锥体积是否为定值。先设定正方体棱长，确定各点坐标，再用向量运算逐一分析选项.
11．（2024高三上·宝安月考）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】抽象函数及其应用；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由任意，，则式子两边对求导，
可得，又，令，则，.
所以.设，由，代入得，解得.
故，且.
所以有.
故ABD项正确，C项错误.
故答案为：ABD.
【分析】用函数方程、求导法则以及赋值法来推导函数及其导函数的表达式，判断各选项的正确性.对函数方程关于求导，通过赋值求出导函数表达式，确定原函数表达式，代入计算验证选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三上·宝安月考）已知平面向量满足，且，则　 　.
【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查平面向量数量垂直的转化.根据，可得，通过计算可求出.
13．（2024高三上·宝安月考）已知正四面体中，，、，…，在线段上，且，过点（、、…、）作平行于直线、的平面，截面面积为，则所有截面积之和为　 　.
【答案】
【知识点】数列的求和；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：过作平行于的平面分别交，，于，，，如图，
因为平面，且平面平面，所以，
同理，，，故四边形为平行四边形．
过作，可得为的中点，连接，可得，
而，平面，可得平面，
平面，则．
故，则四边形为矩形．
又为靠近的第个等分点，
故．
故．
，
由于，
故
，
故答案为：
【分析】 先利用正四面体的性质（线线垂直 ）确定截面形状为矩形，再根据线段等分关系，用相似比求出截面矩形的边长，进而得到截面面积的表达式，最后通过数列求和公式计算所有截面积之和 .
14．（2024高三上·宝安月考）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为　 　．
（参考值：，）
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为对任意，，所以在和上符号相反.
又，说明在有零点，结合符号关系推测（若，难以保证区间内符号稳定 ）
由，，得，所以
时，取，，
因为，正整数，所以，即时，
那么时 ，令（ ），则，，
整理得
因为，所以，即
取，则，所以正整数
当，时，，求导
令，得（ ）
当时，，递增；当时，，递减
所以时，；时，；时，，即时
因此对任意，，，，符合条件 .
综上，正整数的最小值为 .
故答案为：.
【分析】要确定正整数的最小值，需先分析函数在区间和上的符号关系，利用零点存在性和函数单调性，结合特殊值验证来推导.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高三上·宝安月考）已知数列的首项，且满足，设．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最小正整数．
【答案】（1）证明：，
又因为，
所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）解：由（1）可得，
，
即，
∴，
因为在上均为增函数，
则随着的增大而增大，
要使，
即，则，
∴的最小值为2024.
【知识点】函数单调性的性质；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式以及等比数列的定义，从而证出数列为等比数列.
（2）利用分组求和的方法得到，再利用的单调性，从而解不等式得出满足要求的n的取值范围，进而得出满足条件的最小正整数．
（1），
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得
，
即，
∴，
而因为在上均单调递增，则随着的增大而增大，
要使，即，则，
∴的最小值为2024.
16．（2024高三上·宝安月考）在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为.
（1）求角的值；
（2）如果，求的面积；
（3）求内切圆半径的最大值.
【答案】（1）解：由及正弦定理，可得
又因为
所以，故，
由于，所以.
（2）解：由已知，
由余弦定理可得①
又由可得②
由①②可解得，
所以.
（3）解：因为，
所以，即
由可知，即
从而
又因为，所以，因此
从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和及正弦的和角公式消角得，计算结果.
（2）利用正弦定理先计算c，结合正余弦定理得出，再利用面积公式计算结果.
（3）利用面积公式及三角形内切圆半径、周长及三角形面积的关系式，结合余弦定理得，再利用基本不等式计算最值.
（1）由及正弦定理，可得
又因为
所以，故，
由于，所以.
（2）由已知，
由余弦定理可得①
又由可得②
由①②可解得，
所以.
（3）因为，
所以，即
由可知，即
从而
又因为，所以，因此
从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立
17．（2024高三上·宝安月考）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，
可得得，
而平面APC，平面APC，所以平面APC.
（2）解：由直线平面ABCD，平面ABCD，得，
由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面BCF的法向量，则，令，得，
设平面APC的法向量为，则，令，得，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面APC的法向量，而，
所以点F到平面ACP的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题围绕空间几何体中的线面平行、二面角、点面距离展开，通过几何定理与空间向量工具求解：
（1）利用中位线找线线平行，结合线面平行判定定理证明.
（2）建立空间直角坐标系，求两个平面法向量，用向量夹角公式算二面角余弦.
（3）借助平面法向量与向量投影求点面距离.
（1）连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得，
而平面APC，平面APC，所以平面APC.
（2）由直线平面ABCD，平面ABCD，得，
由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面BCF的法向量，则，令，得，
设平面APC的法向量为，则，令，得，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.
（3）由（2）知，平面APC的法向量，而，
所以点F到平面ACP的距离.
18．（2024高三上·宝安月考）已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：，
，，单调递减，
，，单调递增，
.
（2）解：方程可化简为
方程的根就是函数的零点，
注意到，则在，上单调递增.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且
则，因此，.
（3）解：设，则当时恒成立，
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
.∴
②当时，，这与矛盾，
综上，．
【知识点】函数单调性的性质；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）对求导，根据导数符号判断单调性，进而确定最小值.
（2）将方程变形，构造新函数，研究其零点（即方程根 ），通过分析函数单调性和零点存在性确定根的个数与范围，进而求根之和的范围.
（3）将不等式变形，构造新函数，通过求导分析其单调性，找到最小值，令最小值大于等于，进而确定的范围.
（1），
，，单调递减，
，，单调递增，
；
（2）方程可化简为
方程的根就是函数的零点，
注意到，则在，上单调递增.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且
则，因此，．
（3）设，则当时恒成立，
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
.∴
②当时，，这与矛盾，
综上，．
19．（2024高三上·宝安月考）已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数；二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，.
（1）试判断在为凹函数还是凸函数
（2）设，，，，且，求的最大值；
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值.
【答案】（1）解：凸函数，理由如下，
，，
所以，，
因为，所以，
所以在为凸函数.
（2）解：由（1）知在内为凸函数，
又，且（，，，），
所以
所以
（3）解：令，，则在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去；
当，则，
故，
令，则
，
令，，则，
所以在上递增，所以，
所以，即在上递增，
又，则，所以在上递增，
又，即，，符合题意；
当，令，则，，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数a的取值集合为
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二阶导数
【解析】【分析】（1）根据凹凸函数定义，需先求函数的一阶导数、二阶导数，再依据二阶导数在区间的符号判断.
（2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解.
（3）将不等式变形，构造函数，要使其在上恒大于，通过对分类讨论（、、 ），利用导数分析函数单调性与取值情况.
（1），，
所以，，
因为，所以，
所以在为凸函数.
（2）由（1）知在内为凸函数，
又，且（，，，），
所以
所以
（3）令，，则在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去；
当，则，
故，
令，则
，
令，，则，
所以在上递增，所以，
所以，即在上递增，
又，则，所以在上递增，
又，即，，符合题意；
当，令，则，，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数a的取值集合为
1 / 1广东省深圳市宝安中学、中山一中2025届高三11月联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·宝安月考）复数方程解的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024高三上·宝安月考）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个
3．（2024高三上·宝安月考）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏．甲、乙、丙共同写出三个集合A，B，C，然后他们三人各用一句话来正确描述集合中“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．已知集合，，．甲、乙、丙三位同学描述如下．甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件．则“”表示的数字是（　　）
A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或3
4．（2024高三上·宝安月考）在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
5．（2024高三上·宝安月考）若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（　　）
A． B．0 C． D．
6．（2024高三上·宝安月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·宝安月考）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024高三上·宝安月考）在锐角中，已知，则，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·宝安月考）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024高三上·宝安月考）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（　　）
A．存在点，使得 B．存在点，使得平面
C．对于任意点Q，均不成立 D．三棱锥的体积是定值
11．（2024高三上·宝安月考）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三上·宝安月考）已知平面向量满足，且，则　 　.
13．（2024高三上·宝安月考）已知正四面体中，，、，…，在线段上，且，过点（、、…、）作平行于直线、的平面，截面面积为，则所有截面积之和为　 　.
14．（2024高三上·宝安月考）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为　 　．
（参考值：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2024高三上·宝安月考）已知数列的首项，且满足，设．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最小正整数．
16．（2024高三上·宝安月考）在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为.
（1）求角的值；
（2）如果，求的面积；
（3）求内切圆半径的最大值.
17．（2024高三上·宝安月考）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．（2024高三上·宝安月考）已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
19．（2024高三上·宝安月考）已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数；二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，.
（1）试判断在为凹函数还是凸函数
（2）设，，，，且，求的最大值；
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则，，
所以，解之得或或，共4组解.
故答案为：A.
【分析】解决复数方程解的个数问题.复数可表示为（）的形式，用复数的运算法则（乘方、共轭复数）以及复数相等的条件（实部与实部分别相等，虚部与虚部分别相等），将复数方程转化为实数方程组来求解，从而确定解的个数.
2．【答案】D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：分别在上取点，使得，连接，如下图所示：
易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等，
显然这样的平面可以作出无数个.
故答案为：D
【分析】因为点到平面距离相等，可转化为平面与 满足特定位置关系（平行或 中点在平面上 ），这里从平行角度，过 作与 平行的平面，由于作平行平面时，只要保证平面内有与 平行的直线，且过 ，这样的构造方式有无数种，进而分析平面个数.
3．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1，2，3，4，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又是的充分不必要条件，所以是的真子集，
又，
当时：集合 ，
此时，显然；同时可构造（如 ）满足，符合条件；
当时：集合 ，
此时，满足；也可构造（如 ）满足，符合条件；
当时：集合 ，
此时，不满足（真子集要求子集且不等 ），不符合条件；
当时：集合 ，
此时，不满足（范围小于 ），不符合条件；所以“”表示的数字是1或2.
故答案为：A.
【分析】先依据甲的描述确定的可能取值，再结合乙、丙对集合间条件关系（必要不充分、充分不必要 ）的描述，转化为集合间的包含关系（， ），然后代入可能取值逐一验证集合是否满足包含关系，从而确定符合条件的。
4．【答案】C
【知识点】基本不等式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，令这个等差数列为，，，
则，
因此
，当且仅当，
即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：C
【分析】首先利用等差数列的性质，找到插入数后与和的关系，再结合基本不等式（“乘1法” ）来求解的最小值.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数是偶函数，所以，又易得函数的定义域是，
即，
所以，
所以，又，所以解得，所以，
所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为.
故选：B.
【分析】本题考查曲线的切线方程.已知函数是偶函数，根据偶函数的性质可得：，据此可列出方程，解方程可求出，再对函数进行求导可得：，进而可求出在处的导数，据此可求出切线的斜率.
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为的图象关于点对称，所以，
则，解得，当时，为最小值.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据对称得求解即可.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：若恰有两个零点，即恰有两个实数根，
因为，所以恰有两个实数根，等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当，单调递增，
当，函数单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象，如图所示：
要使有两个交点，则.
故答案为：D.
【分析】问题转化为恰有两个实数根，令，则则，求导利用导数判断函数的单调性，作出大致图象，数形结合求解即可.
8．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由，
可得，
因为为锐角三角形，所以，所以，
因为，所以，
则，从而，
由，可得
当时，与均属于，
因为函数在上递减，且，
所以，即，所以，
即，所以，
又在上递增，所以；
当时，，则，
即，所以，
又在上递增，所以；
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】从已知等式出发，利用三角形内角和（即 ）对式子变形，再结合锐角三角形的角度范围，分析正弦函数单调性，进而比较角、大小.
9．【答案】B,C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值，A错误；
B、，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值，B正确；
C、已知， ，当为奇数时，，则；当为偶数时，，则 ，所以奇数项都是，偶数项都是，此时最大值为，最小值为，数列既有最大值又有最小值，C正确；
D、，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值，D错误.
故答案为：BC
【分析】根据无穷等比数列的通项公式，结合首项的符号、公比的取值范围，分析数列的单调性、摆动性等特征，进而判断是否既有最大值又有最小值.
10．【答案】B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，，
令，则点，，
A，若，则与共线，即存在实数，使 ，
由分量：，解得，但不包括端点，，矛盾，所以不存在这样的，A错误；
B，，若平面，则，
即，解得，则点是中点时，，
而平面，因此平面，B正确；
C， ，
因为，所以，则，即与不垂直，
对于任意，都不成立，C正确；
D，，设平面的法向量，
则，令，得，
于是点到平面的距离，，不是常数，
又点是三个定点，面积是定值，因此三棱锥的体积不是定值，D错误.
故答案为：BC
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量工具分析线线平行、线面垂直关系，以及利用点到平面距离公式判断三棱锥体积是否为定值。先设定正方体棱长，确定各点坐标，再用向量运算逐一分析选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抽象函数及其应用；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由任意，，则式子两边对求导，
可得，又，令，则，.
所以.设，由，代入得，解得.
故，且.
所以有.
故ABD项正确，C项错误.
故答案为：ABD.
【分析】用函数方程、求导法则以及赋值法来推导函数及其导函数的表达式，判断各选项的正确性.对函数方程关于求导，通过赋值求出导函数表达式，确定原函数表达式，代入计算验证选项.
12．【答案】
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查平面向量数量垂直的转化.根据，可得，通过计算可求出.
13．【答案】
【知识点】数列的求和；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：过作平行于的平面分别交，，于，，，如图，
因为平面，且平面平面，所以，
同理，，，故四边形为平行四边形．
过作，可得为的中点，连接，可得，
而，平面，可得平面，
平面，则．
故，则四边形为矩形．
又为靠近的第个等分点，
故．
故．
，
由于，
故
，
故答案为：
【分析】 先利用正四面体的性质（线线垂直 ）确定截面形状为矩形，再根据线段等分关系，用相似比求出截面矩形的边长，进而得到截面面积的表达式，最后通过数列求和公式计算所有截面积之和 .
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为对任意，，所以在和上符号相反.
又，说明在有零点，结合符号关系推测（若，难以保证区间内符号稳定 ）
由，，得，所以
时，取，，
因为，正整数，所以，即时，
那么时 ，令（ ），则，，
整理得
因为，所以，即
取，则，所以正整数
当，时，，求导
令，得（ ）
当时，，递增；当时，，递减
所以时，；时，；时，，即时
因此对任意，，，，符合条件 .
综上，正整数的最小值为 .
故答案为：.
【分析】要确定正整数的最小值，需先分析函数在区间和上的符号关系，利用零点存在性和函数单调性，结合特殊值验证来推导.
15．【答案】（1）证明：，
又因为，
所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）解：由（1）可得，
，
即，
∴，
因为在上均为增函数，
则随着的增大而增大，
要使，
即，则，
∴的最小值为2024.
【知识点】函数单调性的性质；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式以及等比数列的定义，从而证出数列为等比数列.
（2）利用分组求和的方法得到，再利用的单调性，从而解不等式得出满足要求的n的取值范围，进而得出满足条件的最小正整数．
（1），
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得
，
即，
∴，
而因为在上均单调递增，则随着的增大而增大，
要使，即，则，
∴的最小值为2024.
16．【答案】（1）解：由及正弦定理，可得
又因为
所以，故，
由于，所以.
（2）解：由已知，
由余弦定理可得①
又由可得②
由①②可解得，
所以.
（3）解：因为，
所以，即
由可知，即
从而
又因为，所以，因此
从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和及正弦的和角公式消角得，计算结果.
（2）利用正弦定理先计算c，结合正余弦定理得出，再利用面积公式计算结果.
（3）利用面积公式及三角形内切圆半径、周长及三角形面积的关系式，结合余弦定理得，再利用基本不等式计算最值.
（1）由及正弦定理，可得
又因为
所以，故，
由于，所以.
（2）由已知，
由余弦定理可得①
又由可得②
由①②可解得，
所以.
（3）因为，
所以，即
由可知，即
从而
又因为，所以，因此
从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立
17．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，
可得得，
而平面APC，平面APC，所以平面APC.
（2）解：由直线平面ABCD，平面ABCD，得，
由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面BCF的法向量，则，令，得，
设平面APC的法向量为，则，令，得，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面APC的法向量，而，
所以点F到平面ACP的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题围绕空间几何体中的线面平行、二面角、点面距离展开，通过几何定理与空间向量工具求解：
（1）利用中位线找线线平行，结合线面平行判定定理证明.
（2）建立空间直角坐标系，求两个平面法向量，用向量夹角公式算二面角余弦.
（3）借助平面法向量与向量投影求点面距离.
（1）连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得，
而平面APC，平面APC，所以平面APC.
（2）由直线平面ABCD，平面ABCD，得，
由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面BCF的法向量，则，令，得，
设平面APC的法向量为，则，令，得，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.
（3）由（2）知，平面APC的法向量，而，
所以点F到平面ACP的距离.
18．【答案】（1）解：，
，，单调递减，
，，单调递增，
.
（2）解：方程可化简为
方程的根就是函数的零点，
注意到，则在，上单调递增.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且
则，因此，.
（3）解：设，则当时恒成立，
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
.∴
②当时，，这与矛盾，
综上，．
【知识点】函数单调性的性质；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）对求导，根据导数符号判断单调性，进而确定最小值.
（2）将方程变形，构造新函数，研究其零点（即方程根 ），通过分析函数单调性和零点存在性确定根的个数与范围，进而求根之和的范围.
（3）将不等式变形，构造新函数，通过求导分析其单调性，找到最小值，令最小值大于等于，进而确定的范围.
（1），
，，单调递减，
，，单调递增，
；
（2）方程可化简为
方程的根就是函数的零点，
注意到，则在，上单调递增.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且.
因为，，
所以函数在有唯一零点，且
则，因此，．
（3）设，则当时恒成立，
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
.∴
②当时，，这与矛盾，
综上，．
19．【答案】（1）解：凸函数，理由如下，
，，
所以，，
因为，所以，
所以在为凸函数.
（2）解：由（1）知在内为凸函数，
又，且（，，，），
所以
所以
（3）解：令，，则在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去；
当，则，
故，
令，则
，
令，，则，
所以在上递增，所以，
所以，即在上递增，
又，则，所以在上递增，
又，即，，符合题意；
当，令，则，，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数a的取值集合为
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二阶导数
【解析】【分析】（1）根据凹凸函数定义，需先求函数的一阶导数、二阶导数，再依据二阶导数在区间的符号判断.
（2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解.
（3）将不等式变形，构造函数，要使其在上恒大于，通过对分类讨论（、、 ），利用导数分析函数单调性与取值情况.
（1），，
所以，，
因为，所以，
所以在为凸函数.
（2）由（1）知在内为凸函数，
又，且（，，，），
所以
所以
（3）令，，则在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去；
当，则，
故，
令，则
，
令，，则，
所以在上递增，所以，
所以，即在上递增，
又，则，所以在上递增，
又，即，，符合题意；
当，令，则，，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数a的取值集合为
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