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(共57张PPT)
2.2　古典概型的应用
　
第七章　 §2　古典概型
学习目标
1.进一步熟悉古典概型的特点，学会选择简单、适用的概率模型解决实际生活中的相关概率问题.　
2.掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式，培养数学运算的核心素养.　
3.学会利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题，培养数学建模的核心素养.
任务一　古典概型的实际应用
典例
1
如何建立概率模型(古典概型)
　　在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型.
规律方法

√
(2)在如图的4×4的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为109”的概率为_______.
11 13 13 15
20 22 23 24
31 32 33 35
41 42 42 44


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任务二　互斥事件的概率
问题导思
1.互斥事件的概率加法公式
新知构建
概率公式
互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝________________
一般情况下的互斥事件的概率加法公式 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝_______________________________
P(A)＋P(B)
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
1－P(A)
设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A＋B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定.当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)≠P(A)＋P(B).
微思考
典例
2
1.应用互斥事件的概率加法公式的关注点
2.含“至少、至多、不全”等字样的概率的计算，通常利用对立事件的概率，可以简化运算.
规律方法
公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
条件 A，B两事件是互斥事件
目的 求A事件或B事件发生的概率
推广 公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率
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任务三　“放回与不放回”模型的概率计算
典例
3
“抽取”问题的解题策略
　　解决抽取问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件；二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取看作有序抽取.
规律方法
　　2
1　　 a b c d e
a × × √ √ ×
b × × √ √ ×
c √ √ × × √
d √ √ × × √
e × × √ √ ×
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课堂小结
任务
再现 1.古典概型的实际应用.2.互斥事件的概率加法公式及应用.3.对立事件的概率公式及应用
方法
提炼 树状图法、列举法、转化法
易错
警示 混淆“放回”与“不放回”抽取，导致列举样本点错误；将事件拆分为若干个事件时出现遗漏，导致计算概率错误
随堂评价
1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
√
因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，因为P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0
√
摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.故选C.
√
4.袋中有标号为1，2，3的3个形状和大小相同的小球，某人每次取出1球，记下标号数字后又放回袋中，则此人两次抽取的小球上数字之和为偶数的概率为______.


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课时分层评价
1.一大型超市有奖促销活动中仅有特等奖、一等奖、二等奖、三等奖四个奖项，已知中特等奖的概率为0.02，中一等奖的概率为0.08，中二等奖的概率为0.12，中三等奖的概率为0.16，则不中奖的概率为
A.0.6 B.0.62
C.0.64 D.0.66
√
√

√
√
√

√
√
√
√
√

P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋(1－0.6)＋0.2＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
0.9



9.(新情境)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1～9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则c＋d＞8的概率为______.
9 a 7
b c d
4 e 6


a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5
b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8
c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3
d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2
e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1
√

√

√
√
√

√
√

(2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率.
解：由(1)可知连续取球两次所包含的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的总数为16.
设事件B：连续取两次分数之和为3分，设事件C：连续取两次分数之和为4分，
设事件D：连续取两次分数之和大于2分，则D＝B＋C，且事件B与事件C互斥，
返回2.2　古典概型的应用
学习目标 1.进一步熟悉古典概型的特点，学会选择简单、适用的概率模型解决实际生活中的相关概率问题.　2.掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式，培养数学运算的核心素养.　3.学会利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题，培养数学建模的核心素养.
任务一　古典概型的实际应用
(链教材P198例2)甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求下列事件的概率：
(1)甲站在乙的左边；(2)甲在边上；(3)甲和乙都在边上；(4)甲和乙都不在边上.
解：(1)法一：利用树状图来列举样本点，如图所示.
由树状图可看出共有24个样本点.设事件A＝“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个.
所以甲站在乙的左边的概率为P＝＝.
法二：因为要计算甲站在乙的左边的概率，所以可以只考虑甲、乙两个人排队.
所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙).
所以甲站在乙的左边的概率为P＝.
(2)由(1)知，共有24个样本点.甲在边上有12个样本点：(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，(丙乙丁甲)，(丙丁乙甲)，(丁乙丙甲)，(丁丙乙甲).
故甲在边上的概率为P＝＝.
(3)甲和乙都在边上有4个样本点：(甲丙丁乙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，
故甲和乙都在边上的概率为P＝＝.
(4)甲和乙都不在边上有4个样本点：(丙甲乙丁)，(丙乙甲丁)，(丁甲乙丙)，(丁乙甲丙)，
故甲和乙都不在边上的概率为P＝＝.
如何建立概率模型(古典概型)
　　在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型.
对点练1.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率是(　　)
A. B.
C. D.
(2)在如图的4×4的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为109”的概率为　　　　.
11 13 13 15
20 22 23 24
31 32 33 35
41 42 42 44
答案：(1)B　(2)
解析：(1)根据题意，a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则总的基本事件为：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)共有12个，因为一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根，则Δ＝4a2－4b2≥0，即a≥b，满足条件的有(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)共9个.所以方程有实根的概率为P＝＝.故选B.
(2)在如图的4×4的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则所有的可能为(11，22，33，44)，(11，22，42，35)，(11，32，23，44)，(11，32，42，24)，(11，42，23，35)，(11，42，33，24)，(20，13，33，44)，(20，13，42，35)，(20，32，13，44)，(20，32，42，15)，(20，42，13，35)，(20，42，33，15)，(31，13，23，44)，(31，13，42，24)，(31，22，13，44)，(31，22，42，15)，(31，42，13，24)，(31，42，23，15)，(41，13，23，35)，(41，13，33，24)，(41，22，13，35)，(41，22，33，15)，(41，32，13，24)，(41，32，23，15)，共24种可能；其中满足“选中方格中的4个数之和为109”的可能为(11，32，42，24)，(20，32，13，44)，(20，32，42，15)，共3种可能；故所求概率为＝.
任务二　互斥事件的概率
问题1.前面我们用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，并且知道C3和C4是互斥的，你能发现C3∪C4与C3 ，C4之间的概率关系吗？
提示：P(C3)＝，P(C4)＝，P(C3∪C4)＝＝＝ P(C3)＋P(C4).
问题2.若事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，并且知道F和G是对立的，你能发现F与G之间的概率关系吗？
提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.P(F)＝＝， P(G)＝＝， P(F)＋P(G)＝1.
1.互斥事件的概率加法公式
概率公式
互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
一般情况下的互斥事件的概率加法公式 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
2.对立事件的概率
P(A∪)＝P(A)＋P()，即P(A)＋P()＝1，所以P()＝1－P(A).
[微思考]　设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A＋B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定.当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)≠P(A)＋P(B).
(链教材P203例5)玻璃球盒中装有各色球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中任取1球.求：
(1)取得红球或黑球的概率；
(2)取得红球或黑球或白球的概率.
解：记事件A1表示“任取1球为红球”，A2表示“任取1球为黑球”，A3表示“任取1球为白球”，A4表示“任取1球为绿球”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
(1)法一：利用互斥事件求概率.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
法二：从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，从而得红球或黑球的不同取法共有5＋4＝9(种).任取1球有12种取法，
故任取1球是红球或黑球的概率为＝.
(2)法一：取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法二： 从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.
法三：利用对立事件的概率.
取出1球为红球或黑球或白球的概率为1－＝.
1.应用互斥事件的概率加法公式的关注点
公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
条件 A，B两事件是互斥事件
目的 求A事件或B事件发生的概率
推广 公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率
2.含“至少、至多、不全”等字样的概率的计算，通常利用对立事件的概率，可以简化运算.
对点练2.将一枚均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数.
(1)求两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上的点数为x，第二次向上的点数为y，求x2＋y2≥15的概率.
解：(1)由题意，先后抛掷2次，则掷两次骰子的可能结果包括：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)共36个基本事件.
记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.
因为事件包含的基本事件为(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共9个基本事件，
所以P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝，因此，两数中至少有一个奇数的概率为.
(2)记“x2＋y2＜15”为事件C，则事件表示“x2＋y2≥15”，
事件C包含的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8个基本事件，所以P(C)＝＝，则P()＝1－P(C)＝，所以x2＋y2≥15的概率为.
任务三　“放回与不放回”模型的概率计算
从2名男生(记为B1和B2)和3名女生(记为G1，G2和G3)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.
(1)不放回抽取求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率；
(2)有放回抽取求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.
解：(1)从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G1，G3)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G3)，(G3，B1)，(G3，B2)，(G3，G1)，(G3，G2)，共20种结果.
设事件A为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件A发生的所有可能结果为(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G3，B1)，(G3，B2)，共12种结果.由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝，
即不放回抽取抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.
(2)有放回抽取2名学生的所有可能结果为
(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)(G1，G2)，(G1，G3)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)，(G2，G3)，(G3，B1)，(G3，B2)，(G3，G1)，(G3，G2)，(G3，G3)，共25种结果.
设事件B为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件B发生的所有可能结果为(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G3，B1)，(G3，B2)，共12种结果.由古典概型的概率计算公式得P(B)＝，
即有放回抽取抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.
“抽取”问题的解题策略
　　解决抽取问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件；二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响.另外，不放回抽取看作无序或有序抽取均可，有放回抽取看作有序抽取.
对点练3.在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各2个，黄球1个，从中随机摸出2个球.
(1)若采用有放回抽取，求恰好摸到一个红球的概率；
(2)若采用无放回抽取，求取出的球颜色相同的概率.
解：(1)记2个蓝球分别为a，b，2个红球分别为c，d，黄球为e，
若采用有放回抽取，共有25个基本事件，恰好摸到一个红球的有12个基本事件，如下表所示，
所以恰好摸到一个红球的概率P1＝.
　　2 1　　 a b c d e
a × × √ √ ×
b × × √ √ ×
c √ √ × × √
d √ √ × × √
e × × √ √ ×
(2)若采用无放回抽取，
则有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个基本事件，取出的球颜色相同的有(a，b)，(c，d)，共2个基本事件，所以取出的球颜色相同的概率P2＝＝.
任务 再现 1.古典概型的实际应用.2.互斥事件的概率加法公式及应用.3.对立事件的概率公式及应用
方法 提炼 树状图法、列举法、转化法
易错 警示 混淆“放回”与“不放回”抽取，导致列举样本点错误；将事件拆分为若干个事件时出现遗漏，导致计算概率错误
1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
答案：A
解析：因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，因为P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0
答案：C
解析：摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.故选C.
3.已知样本空间Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，B＝{2，3}，则P(A∪B)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为Ω＝{1，2，3，4}，且事件A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝{1，2，3}，所以P(A∪B)＝.故选A.
4.袋中有标号为1，2，3的3个形状和大小相同的小球，某人每次取出1球，记下标号数字后又放回袋中，则此人两次抽取的小球上数字之和为偶数的概率为　　　　.
答案：
解析：由题意得，所有样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个，事件“两次抽取的小球上数字之和为偶数”包含(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，共5个样本点，故其概率为P＝.
课时分层评价45　古典概型的应用
(时间：40分钟　满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.一大型超市有奖促销活动中仅有特等奖、一等奖、二等奖、三等奖四个奖项，已知中特等奖的概率为0.02，中一等奖的概率为0.08，中二等奖的概率为0.12，中三等奖的概率为0.16，则不中奖的概率为(　　)
A.0.6 B.0.62
C.0.64 D.0.66
答案：B
解析：设事件A＝“不中奖”，所以P(A)＝1－P()＝1－(0.02＋0.08＋0.12＋0.16)＝0.62.故选B.
2.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和，则该市球队夺得全省足球冠军的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设事件A，B分别表示该市的甲、乙两队夺取冠军，则P(A)＝，P(B)＝，且A，B互斥.该市球队夺得冠军即事件A∪B发生.于是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.
3.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同色的概率是(　　)
A. B.
C. D.1
答案：C
解析：易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为＋＝.故选C.
4.(新情境)孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数.那么在不超过12的素数中任意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：不超过12的素数有2，3，5，7，11共5个，任意取出不同的两个素数有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(5，7)，(5，11)，(7，11)共10对，又素数对(p，p＋2)为孪生素数，所以不超过12的素数组成的孪生素数有(3，5)，(5，7)共2对，所以能够组成孪生素数的概率为＝.故选B.
5.(多选题)在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是(　　)
A.P(AB)＝
B.P(A)＝P(B)
C.P(A)＝1－P()
D.事件A或B至少有一个发生的概率为
答案：BCD
解析：事件A表示“出现的点数为1，3”，事件B表示“出现的点数为5，6”，可知A，B互斥，所以P(AB)＝P( )＝0，故A错误；事件A表示“出现的点数为1，3”，所以P(A)＝＝，而P(B)＝＝，故B正确；由上知P(A)＝，P()＝＝，所以P(A)＝1－P()，故C正确；因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，故D正确.故选BCD.
6.(多选题)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.则下列结论正确的是(　　)
A.此人被评为优秀的概率为
B.此人被评为良好的概率为
C.此人被评为不合格的概率为
D.此人被评为良好及以上的概率为
答案：ACD
解析：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本点为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10个.令事件D表示“此人被评为优秀”，事件E表示“此人被评为良好”，事件F表示“此人被评为不合格”，事件G表示“此人被评为良好及以上”.则事件D包括的样本点为(1，2，3)，只有1个，事件E包括的样本点为(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共6个.故P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝1－P(D)－P(E)＝，P(G)＝P(D)＋P(E)＝.故选ACD.
7.已知三个事件A，B，C两两互斥，且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝　　　　.
答案：0.9
解析：P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋(1－0.6)＋0.2＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
8.(双空题)在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为　　　　；至少取得一个红玻璃球的概率为　　　　.
答案：　
解析：取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球，故取得两个同颜色的玻璃球的概率为＋＝；“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”，故至少取得一个红玻璃球的概率为1－＝.
9 a 7
b c d
4 e 6
9.(新情境)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1～9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为偶数，则c＋d＞8的概率为　　　　.
答案：
解析：这个试验的等可能结果用下表表示：
a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5
b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8
c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3
d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2
e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1
共有12种等可能的结果，其中c＋d＞8的结果有6种，所以c＋d＞8的概率为P＝＝.
10.(10分)袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是.
(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
(2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，
由于A，B，C为互斥事件，
根据已知得
解得
所以从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
(2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，
而从9个球中取出2个球共有36种情况，所以所求概率为＝，
则得到的两个球颜色不相同的概率是1－＝.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为1，3，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意知，x的可能取值为1，2，3，4，5，6，共6种情况，当这6个点数的中位数为4时，x的取值为4，只有1种情况，所以这6个点数的中位数为4的概率为.故选A.
12.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A＝“出现点数为奇数”，事件B＝“出现点数为3”，事件C＝“出现点数为3的倍数”，事件D＝“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是(　　)
A.B与D互斥 B.A与D互为对立事件
C.P(C)＝ D.P(AC)＝P(B)
答案：ABD
解析：由题意A＝{1，3，5}，B＝{3}，C＝{3，6}，D＝{2，4，6}，样本空间为U＝{1，2，3，4，5，6}，对于A，B∩D＝ ，这意味着B，D不可能同时发生，故A正确；对于B，A∩D＝ ，A∪D＝U，这意味着A，D中有且仅有一个事件发生，故B正确；对于C，P(C)＝＝，故C错误；对于D，因为A∩C＝B＝{3}，所以P(AC)＝P(B)＝，故D正确.故选ABD.
13.对于二元一次方程组其系数a，b的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定.令a的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时b的值为1，若硬币出现反面时b的值为2.对于以下两个命题判断正确的是(　　)
①此方程组无解或有无穷多解的概率为；
②在硬币出现反面且此方程组有解的条件下，x的值为正的概率为.
A.①真②真 B.①真②假
C.①假②真 D.①假②假
答案：B
解析：由题意可得a∈{1，2，3，4，5，6}，b∈{1，2}，所以方程组一共有6×2＝12种情况；当此方程组无解时，则有共1种情况，所以方程组无解的概率P1＝；当此方程组有无数组解时，则有a＝＝6，此时只有这一种情况，所以方程组有无数组解的概率P2＝；所以方程组无解或有无穷多解的概率为＋＝，故①正确；当硬币出现反面时，b＝2，此时方程组为要使方程组有解，则必有a≠，即a≠3，所以a∈{1，2，4，5，6}，消去y，得(a－3)x＝3，要使x的值为正，则a∈{4，5，6}，所以此时x的值为正的概率为，故②错误.故选B.
14.(10分)从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(x，y)，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字.设事件A＝“第一次取出的数字是1”，B＝“第二次取出的数字是2”.
(1)写出此试验的样本空间及P(A)，P(B)的值；
(2)判断A与B是否为互斥事件，并求P(A∪B).
解： (1)样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，
所以n(Ω)＝12.因为A＝{(1，0)，(1，2)，(1，3)}，所以n(A)＝3.从而P(A)＝＝.
因为B＝{(0，2)，(1，2)，(3，2)}，所以n(B)＝3.从而P(B)＝＝.
(2)因为A∩B＝{(1，2)}，故A与B不是互斥事件.又A∪B＝{(1，0)，(1，2)，(1，3)，(0，2)，(3，2)}，所以n(A∪B)＝5.从而P(A∪B)＝.
15.(5分)(多选题)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件A＝“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件B＝“两个球中至多一个黑球”，事件C＝“两个球均为白球”，则(　　)
A.P(A)＝ B.P(A＋C)＝
C.P(AB)＝ D.P(B)＝P()
答案：AB
解析：记3个白球为E，F，G，2个黑球为a，b，随机取出2个小球的事件如下，(E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，(a，b)，事件A对应的基本事件有(E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，所以P(A)＝＝，故A正确；事件B对应的基本事件有(E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，所以P(B)＝，事件C对应的基本事件有 (E，F)，(E，G)，(F，G)，所以P(C)＝，又P()＝1－P(C)＝1－＝≠P(B)，故D错误；A＋C对应的基本事件有(E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，所以P(A＋C)＝，故B正确；AB对应的基本事件有(E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，所以P(AB)＝＝，故C错误.故选AB.
16.(15分)袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球n个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件A，且事件A发生的概率是.
(1)求n的值；
(2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率.
解：(1)由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有n＋2种结果，每种结果可能性相同，其中事件A发生有n种结果，所以P(A)＝＝，解得n＝2.
(2)由(1)可知连续取球两次所包含的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的总数为16.
设事件B：连续取两次分数之和为3分，设事件C：连续取两次分数之和为4分，
设事件D：连续取两次分数之和大于2分，则D＝B＋C，且事件B与事件C互斥，
因为事件B所包含的基本事件有(红，白1)，(红，白2)，(白1，红)，(白2，红)，共4个，
所以P(B)＝，
因为事件C所包含的基本事件仅有(红，红)1个，所以P(C)＝，
故P(D)＝P(B)＋P(C)＝.即连续两次取球所得分数之和大于2分的概率为.
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