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(共57张PPT)
　
第一章　1.3 等比数列
1.3.2　等比数列与指数函数
习题课2　等比数列的性质及其实际应用
学习目标
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算解决简单的数列问题， 提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式.
4.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题，培养数学建模的核心素养.
任务一　等比数列{an}的常用性质
新知构建
aman＝apaq
qn－m
qk

典例1
规律方法
等比数列的通项公式及变形的应用
1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.
2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.

√

√
典例2
(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解：由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
规律方法
利用等比数列的性质解题
1.基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.
2.优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量
√
对点练4.已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝______.

返回
任务二　等比数列的实际应用
典例3
√
(2)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12％，则该公司需经过_____年其投入资金开始超过7 000万元.
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
12

规律方法
1.与等比数列有关的实际应用解题步骤
第一步建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型；
第二步求解：利用等比数列知识求出该问题的解；
第三步还原：将所求结果还原到实际问题中.
注意：建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和项数.
2.产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
对点练5.一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为
A.55 989 B.46 656
C.216 D.36
√
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解：由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元.
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任务三　等比数列与等差数列的综合应用
典例4
√
(2)三个数成等比数列，其积为64，如果第一个数与第三个数各减去1，则这三个数成等差数列，求这三个数.

对点练7.(多选)已知a＞0，b＞0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是
A.M与G可能相等 B.M大于G
C.M小于G D.M不小于G
√

√
返回
随堂评价
√
2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么
A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
√
当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.
√

2
5.某工厂将在2025年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2033年年底达到原有的4倍，则总产值年平均增长率为__________.
返回
课时测评
√
2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于
A.6 B.2
C.2或6 D.－2
√
√
√
√
√
√
√

7.设数列{an}中a1＝2，若等比数列{bn}满足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，则
a2 020＝______.

2
8.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝______.

512
√

12.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于
A.±2 B.±4
C.2 D.4
因为T13＝4T9，所以a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4.
又因为a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，所以(a8·a15)2＝4，所以a8a15＝±2.
又因为{an}为递减数列，所以q＞0，所以a8a15＝2.
√

14.(13分)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1＜a8.
(1)求数列{an}的通项公式；
解：由已知，得17＝a3＋a6＝a1＋a8，
又a1a8＝－38，a1＜a8，所以a1＝－2，a8＝19，
所以数列{an}的公差d＝3，所以an＝3n－5.
√
√
√

(2)若任意n∈N＋，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.
解：由题意得，bk应为数列{bn}的最大项.
由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N＋).
当n＜3时，bn＋1－bn＞0，bn＜bn＋1，
即b1＜b2＜b3；
当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4；
当n＞3时，bn＋1－bn＜0，bn＞bn＋1，即b4＞b5＞b6＞…，
所以k＝3或k＝4.
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学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算解决简单的数列问题， 提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式. 4.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题，培养数学建模的核心素养.
任务一　等比数列{an}的常用性质
1.若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq.
特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则aman＝.
2.an＝am·qn－m(m，n∈N＋).
3.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列，公比为qk.
4.若数列{an}与{bn}是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{｜an｜}，{an·bn}，{}，等也是等比数列.
5.a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.
角度一　等比数列中任意两项之间的关系
在等比数列{an}中：
(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
(2)已知a5＝8，a7＝2，an＞0，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.
(1)由得q＝.
再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，
则an＝a3·qn－3＝32×()n－3＝()n－8＝，
所以n－8＝1，所以n＝9.
(2)由a7＝a5·q2得q2＝.
因为an＞0，所以q＝，
所以an＝a5·qn－5＝8×()n－5＝()n－8.
等比数列的通项公式及变形的应用 1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项. 2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项
对点练1.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　)
A.2 B.
C.2或 D.－2或
答案：C
解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，所以a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.故选C.
对点练2.已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则等于(　　)
A.16 B.8
C.4 D.2
答案：C
解析：等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝q4＝4q4＝16，所以q4＝4.
所以＝＝q4＝4，故选C.
角度二　等比数列中多项之间的关系
已知{an}为等比数列.
(1)若{an}满足a2a4＝，求a1a5；
(2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解：(1)在等比数列{an}中，
因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a1a5＝.
(2)由等比中项，化简条件得＋2a6a8＋＝49，即(a6＋a8)2＝49，
因为an＞0，所以a6＋a8＝7.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
利用等比数列的性质解题 1.基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. 2.优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量
对点练3.公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案：B
解析：因为a3a11＝16，所以＝16.
又因为an＞0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.
对点练4.已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝　　　　.
答案：5
解析：法一：因为{an}是等比数列，
所以a1a7＝，a2a8＝，a3a9＝.
所以··＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.
因为an＞0，所以a4a5a6＝5.
法二：因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝·a2＝＝5，所以a2＝.
因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝＝10，所以a8＝1.
同理a4a5a6＝＝(＝(a2a8＝＝5＝5.
任务二　等比数列的实际应用
(1)(2025·杭州高二检测)“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为(　　)
A.5f B.f
C.4f D.f
(2)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12％，则该公司需经过　　　　年其投入资金开始超过7 000万元.
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
答案：(1)B　(2)12
解析：(1)由题设依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为的等比数列{an}，
第四个单音的频率为a4＝f×()3＝f.故选B.
(2)设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n，由an＝2 000×1.12n＞7 000，可得n＞log1.12＝≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元.
1.与等比数列有关的实际应用解题步骤
第一步建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型；
第二步求解：利用等比数列知识求出该问题的解；
第三步还原：将所求结果还原到实际问题中.
注意：建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和项数.
2.产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
对点练5.一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为(　　)
A.55 989 B.46 656
C.216 D.36
答案：B
解析：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂.故选B.
对点练6.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10％)，a3＝13.5(1－10％)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10％＝0.9，
所以an＝a1·＝13.5×0..
所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元.
任务三　等比数列与等差数列的综合应用
(1)已知数列{}是等比数列，公比为q，则数列{an}(　　)
A.是等差数列，公差为log3q
B.是等差数列，公差为3q
C.是等比数列，公比为log3q
D.既不是等差数列，也不是等比数列
(2)三个数成等比数列，其积为64，如果第一个数与第三个数各减去1，则这三个数成等差数列，求这三个数.
答案：(1)A
解析：(1)因为数列{}是等比数列，所以＝＝q，
所以an＋1－an＝log3q(常数)，所以数列{an}是等差数列，公差为log3q.
(2)因为三个数成等比数列，
设三个数为，a，aq，则×a×aq＝a3＝64，
所以a＝4，所以三个数为，4，4q，
第一个数与第三个数各减去1后三个数变为－1，4，4q－1，
则－1＋4q－1＝8，即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或，所以这三个数为2，4，8或8，4，2.
[变式探究]
将本例(2)中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数.
解：由题意，设这四个数分别为，b，bq，a，
则所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.
对点练7.(多选)已知a＞0，b＞0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是(　　)
A.M与G可能相等 B.M大于G
C.M小于G D.M不小于G
答案：AD
解析：由于a＞0，b＞0时，，当且仅当a＝b时，等号成立.由a与b的等差中项为M＝，等比中项为G＝±，当a＝b，G＞0时，M＝G；当a≠b时，M＞G.
1.已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)
A.± B.－
C. D.±
答案：C
解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝ a5＝＝.故选C.
2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)
A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
答案：C
解析：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.
3.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　)
A. B.
C.2 D.2
答案：C
解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2.
4.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比是　　　　.
答案：2
解析：设正项等比数列{an}的公比为q，
因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4，
因此＋≥2＝2，
当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立.
所以数列{an}的公比是2.
5.某工厂将在2025年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2033年年底达到原有的4倍，则总产值年平均增长率为　　　　.
答案：－1
解析：设2025年年底总产值为a(a≠0)，年平均的增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，解得x＝－1.
课时测评10　等比数列的性质及其实际应用
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于(　　)
A.4 B.2
C.5 D.
答案：A
解析：因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，
数列{an}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故＝22＝4.
2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　)
A.6 B.2
C.2或6 D.－2
答案：B
解析：由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2＜0，a18＜0，故a10＜0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，故选B.
3.在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)
A. B.
C.－ D.或－
答案：C
解析：因为a4＝a2·q2，所以q2＝＝＝.
又因为a1＜0，a2＞0，所以q＜0.所以q＝－.
4.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　)
A.4 B.2
C.－2 D.－4
答案：B
解析：由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝＝32＝25，得a6＝2，
则＝＝a6＝2.
5.已知正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：在正项等比数列{an}中，a2·a8＝a4·a6，因为a2·a8＝6，a4＋a6＝5，
所以又an＋1＜an，所以a4＝3，a6＝2，所以＝＝，故选D.
6.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　)
A.{}是等比数列 B.{anan＋1}是等比数列
C.是等比数列 D.{lg｜an｜}是等比数列
答案：ABC
解析：由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n＞1).
A中，＝()2＝q2为常数，故A正确；
B中，＝＝q2，故B正确；
C中，＝＝为常数，故C正确；
D中，不一定为常数，故D错误.
7.设数列{an}中a1＝2，若等比数列{bn}满足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，则a2 020＝　　　　.
答案：2
解析：根据题意，数列{bn}满足an＋1＝anbn，即＝bn，
则有＝()·()·()…·＝b2 019·b2 018·b2 017…·b1，
而数列{bn}为等比数列，则b2 019·b2 018·b2 017…·b1＝(b1 010)2 019＝1，
则＝1，又由a1＝2，得a2 020＝2.
8.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝　　　　.
答案：512
解析：由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512.
由(舍去).
所以q＝ ＝－2.
所以a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512.
9.(10分)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
解：因为{an}为等比数列，
所以a1·a9＝a3·a7＝64.
又因为a3＋a7＝20，
所以a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，
此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，
此时a11＝a3q8＝16×()2＝1.
10.(10分)已知数列{an}为等比数列.
(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解：(1)因为a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
所以＋2a3a5＋＝36，即(a3＋a5)2＝36，
又因为an＞0，所以a3＋a5＝6.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
因为a2－a5＝42，所以q≠1.
由已知，得
所以
若G是a5，a7的等比中项，
则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×()10＝9，
所以a5，a7的等比中项为±3.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案：D
解析：法一：依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，
可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D.
法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝＝27.所以a5＝.故选D.
12.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　)
A.±2 B.±4
C.2 D.4
答案：C
解析：因为T13＝4T9，所以a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4.
又因为a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，所以(a8·a15)2＝4，所以a8a15＝±2.
又因为{an}为递减数列，所以q＞0，所以a8a15＝2.
13.在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝　　　　.
答案：或
解析：因为{an}是等比数列，所以a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，所以
因为＝q10，所以q10＝或q10＝.
而＝q10，所以＝.
14.(13分)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1＜a8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，使它们成为等比数列{bn}的前三项，求{bn}的通项公式.
解：(1)由已知，得17＝a3＋a6＝a1＋a8，
又a1a8＝－38，a1＜a8，所以a1＝－2，a8＝19，
所以数列{an}的公差d＝3，所以an＝3n－5.
(2)由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4.依题意可得数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4或b1＝4，b2＝－2，b3＝1.
①当等比数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1；
②当等比数列{bn}的前三项为b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝.
15.(5分)(多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　)
A.k不可能为0
B.“等差比数列”中的项不可能为0
C.等差数列一定是“等差比数列”
D.等比数列一定是“等差比数列”
答案：BCD
解析：因为当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，所以k≠0，故选项A正确；
因为当an＝n－1时，＝＝1为常数，
所以数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误；
又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD.
16.(17分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若任意n∈N＋，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.
解：(1)设{an}的公差为d，则d＝＝4，
所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*).
设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列.
c1＝a1－b1＝2－1＝1，
c4＝a4－b4＝14－6＝8，
设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2.
则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1.
所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋).
故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋).
(2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项.
由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N＋).
当n＜3时，bn＋1－bn＞0，bn＜bn＋1，
即b1＜b2＜b3；
当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4；
当n＞3时，bn＋1－bn＜0，bn＞bn＋1，即b4＞b5＞b6＞…，
所以k＝3或k＝4.
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