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1.2.1　等差数列及其通项公式
　
第1章　1.2　等差数列
学习目标
1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念，培养数学抽象的核心素养.
2.理解等差数列通项公式的意义，掌握等差数列的通项公式、判断与证明方法，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一　等差数列的定义
问题导思
问题1．观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
提示：对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5，265－270＝－5，265－270＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.
新知构建
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于________常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的______，通常用字母___表示.
同一个
公差
d
典例1
规律方法
　　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
对点练1．(多选)下列数列中，是等差数列的是
A.1，4，7，10　　　　
B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22
D.10，8，6，4，2
√
√
√
A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
返回
任务二　等差数列的通项公式
问题导思
问题2．你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…，
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
新知构建
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_____________(n∈N＋).
a1＋(n－1)d
典例2
规律方法
　　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
√
对点练3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝____.
15

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任务三　等差中项
问题导思
问题3．由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示：由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
新知构建
在两个数a，b之间插入数M，使a，M， b成等差数列，则____称为a与b的等差中项.
M
典例3
√
√
因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
规律方法
在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an－1与an＋1的等差中项.
反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列.
因此，数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈
N＋).用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法.
√

对点练5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为
A.26 B.29
C.39 D.52
√
因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
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随堂评价
√
√
√
2.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是
A.1，4 B.－1，－4
C.4，1 D.－4，－1
√
n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
√
由题意a－1＋2a＋1＝2(a＋2)，解得a＝4.故选C.
(4n－3)2
返回
课时测评
因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N＋.
√
1.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是
A.3n－1　　　　　　　　 B.3n＋2
C.3n－2 D.3n＋1
√

√
3.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为
A.9.5 尺 B.10.5 尺
C.11.5 尺 D.12.5 尺
由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.
√
4.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于
A.90　　　　 B.96　　　　
C.98　　　　 D.100
√
√
√
7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为___.
3
8.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是______________.
a＝－b或a＝3b
9.(10分)在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
解：a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
解：由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
√


3

15.(5分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10
项为
A.116 B.131
C.146 D.161
√
依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1.设被3除余2且被5除余1的数由小到大排列而成的数列为{an}，由于被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则{an}是以11为首项，以15为公差的等差数列，所以a10＝11＋(10－1)×15＝146.
返回1.2　等差数列
1.2.1　等差数列及其通项公式
学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.理解等差数列通项公式的意义，掌握等差数列的通项公式、判断与证明方法，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一　等差数列的定义
问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
提示：对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5，265－270＝－5，265－270＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示.
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1，3，5，7，9，…；
(2)9，6，3，0，－3，…；
(3)1，3，4，5，6，…；
(4)7，7，7，7，7，…；
(5)1，，，，，….
解：(1)是，a1＝1，d＝2；(2)是，a1＝9，d＝－3；(3)不是；(4)是，a1＝7，d＝0；(5)不是.
　　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
对点练1.(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　)
A.1，4，7，10　　　　 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
答案：ABD
解析：A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
任务二　等差数列的通项公式
问题2.你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…，
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋).
在等差数列{an}中.
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：(1)因为a5＝－1，a8＝2，
所以
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
a9＝2×9－1＝17.
　　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
对点练2.等差数列{an}中，已知a3＋a5＝8，a1＝2，则公差d＝(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.1　　　　 D.2
答案：B
解析：由a3＋a5＝2a1＋6d＝8，a1＝2，可得公差d＝，故选B.
对点练3.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝　　　　.
答案：15
解析：设等差数列{an}的公差为d，则
所以a12＝a1＋11d＝－＋11×＝＝15，所以a12的值是15.
任务三　等差中项
问题3.由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示：由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
在两个数a，b之间插入数M，使a，M， b成等差数列，则M称为a与b的等差中项.
(1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
(2){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　　)
A.2 B.
C.1 D.
答案：(1)A　(2)C
解析：(1)a，b的等差中项为×＝×(－＋＋)＝.
(2)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
　　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an－1与an＋1的等差中项. 　　反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列. 　　因此，数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋).用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法.
对点练4.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：所以a＝，b＝x.所以＝.
对点练5.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A.26 B.29
C.39 D.52
答案：C
解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
1.(多选)下列数列是等差数列的是(　　)
A.1，1，1，1，1　　　　　　 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2
答案：ABC
解析：由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
2.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是(　　)
A.1，4 B.－1，－4
C.4，1 D.－4，－1
答案：B
解析：n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3.等差数列的前三项依次是a－1，a＋2，2a＋1，则a值为(　　)
A.2　　　　 B.1　　　　
C.4　　　　 D.8
答案：C
解析：由题意a－1＋2a＋1＝2(a＋2)，解得a＝4.故选C.
4.若数列{an}满足 ＝＋4且a1＝1，an＞0，则an＝　　　　.
答案：(4n－3)2
解析：因为＝＋4，所以－＝4，所以数列＝1为首项，4为公差的等差数列，所以＝＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝(4n－3)2.
课时测评3　等差数列及其通项公式
(时间：60分钟　满分：115分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是(　　)
A.3n－1　　　　　　　　 B.3n＋2
C.3n－2 D.3n＋1
答案：B
解析：因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N＋.
2.等差数列0，－3，－7，…的第n＋1项是(　　)
A.－n B.－(n＋1)
C.－n＋1 D.－(n－1)
答案：A
解析：由题意得，等差数列{an}中，a1＝0，a2－a1＝－3－0＝－＝d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)＝－n＋，
所以an＋1＝－(n＋1)＋＝－n，故选A.
3.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为(　　)
A.9.5 尺 B.10.5 尺
C.11.5 尺 D.12.5 尺
答案：D
解析：由题意得：为等差数列，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得：d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺.故选D.
4.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　)
A.90　　　　 B.96　　　　
C.98　　　　 D.100
答案：D
解析：由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.
5.(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝，则公差d等于(　　)
A.0 B.
C.1 D.2
答案：AB
解析：根据题意知，a4＋a8＝ a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0.
6.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1)
C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1)
答案：A
解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2.
7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为　　　　.
答案：3
解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6，
即解得d＝3.
8.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是　　　　　　.
答案：a＝－b或a＝3b
解析：由等差中项的定义知，x＝，x2＝，
所以＝，
即a2－2ab－3b2＝0，
所以(a－3b)(a＋b)＝0，
所以a＝3b或a＝－b.
9.(10分)在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
解：(1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
10.(10分)已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
(2)若a2＋a4＋a6＝18，a2a6＝20，求公差d.
解：(1)法一：由题意得
故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32.
法二：因为{an}为等差数列，所以d＝＝，
所以a105＝a60＋45×＝32.
法三：因为{an}为等差数列，所以a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，所以a105＝2×20－8＝32.
(2)由a2＋a4＋a6＝18，得3a4＝18，a4＝6，
由a2a6＝20得(a4－2d)(a4＋2d)＝20，
－4d2＝20，d＝±2.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设an＝－24＋(n－1)d，n∈N＋，
由＜d≤3.
12.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝　　　　.
答案：
解析：对an＋1＝＝＋3，
所以－＝3，
所以为首项，3为公差的等差数列.
所以＝＋(n－1)·3＝3n－＝，
所以an＝，所以a20＝.
13.若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为　　　　.
答案：3
解析：数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，
ln a2，ln a5成等差数列，
所以2ln (a1＋d)＝ln a1＋ln (a1＋4d)，
所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
所以＋2a1d＋d2＝＋4a1d，
解得d＝2a1，
所以＝＝3.
14.(13分)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解：设数列{an}的公差为d，
则
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项.
(3)由80＜3n－5＜110，
解得28＜n＜38，
所以n的取值为29，30，…，38，共10项.
15.(5分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为(　　)
A.116 B.131
C.146 D.161
答案：C
解析：依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1.设被3除余2且被5除余1的数由小到大排列而成的数列为{an}，由于被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则{an}是以11为首项，以15为公差的等差数列，所以a10＝11＋(10－1)×15＝146.
16.(17分)若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
解：(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，①
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，②
②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列.
(2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，
所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，
所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1.
所以an＝
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