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(共49张PPT)
1.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
　
第1章　1.2　等差数列
学习目标
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，体会从特殊到一般的思想方法，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
2.掌握等差数列的前n项和公式与二次函数的关系及应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一　等差数列的前n项和公式
问题导思
新知构建
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝_____________ Sn＝______________

典例1
规律方法
等差数列中的基本计算
1.利用基本量求值
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
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任务二　利用数列前n项和公式判断等差数列
若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解：当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列.
典例2
规律方法
返回
任务三　求{｜an｜}的前n项和
典例3
规律方法
数列{｜an｜}的前n项和的三种类型的求解策略
1.等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解；
2.等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理；
3.等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.
对点练3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜的值为
A.61　　　　 B.62　　　　
C.65　　　　 D.67
√
返回
随堂评价
√
√
2.在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝
A.5或7 B.3或5
C.7或－1 D.3或－1
√
3.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是
A.a1＝－2 B.a1＝2
C.d＝4 D.d＝－4
√
4.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝____.
由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＋｜a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
18
5.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝______________.
－2n＋2(n∈N＋)
当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2且n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝
－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式.故an＝－2n＋2(n∈N＋).
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课时测评
依题意得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，d＝－2，故选C.
√
√
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于
A.49 B.42
C.35 D.28
√
3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于
A.10 B.15
C.20 D.30
由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
√
4.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于
A.18 B.20
C.22 D.24
√
5.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于
A.160 B.180
C.200 D.220
√
√
6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝1，则
A.a2＋a8＝2 B.a3a7＝1
C.S9＝9 D.S10＝10
因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝____.
5


9.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝____.
8
√
11.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为
A.5 B.6
C.7 D.8
√

13.把形如M＝mn(m，n∈N＋)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是_____.
35
15.(5分)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是
√
√
√
因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈
N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
返回1.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
学习目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，体会从特殊到一般的思想方法，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.掌握等差数列的前n项和公式与二次函数的关系及应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一　等差数列的前n项和公式
问题.对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
提示：倒序相加法

两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解：(1)
所以a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.所以a8＝39，d＝5.
等差数列中的基本计算 1.利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 2.结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用.
对点练1.在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝＝＝340.
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－，
所以n＝15，d＝－.
任务二　利用数列前n项和公式判断等差数列
若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解：当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列.
[变式探究]
把本例中的“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n－1”，如何求解？
解：因为Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
故an＝
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.
由Sn求通项公式an的步骤 1.令n＝1，则a1＝S1，求得a1. 2.令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. 3.验证a1与an的关系 (1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1. (2)若a1不适合an，则an＝
对点练2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
解：当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
所以数列{an}的通项公式是an＝
因为a2－a1＝4－1＝3≠2，所以数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，所以{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
任务三　求{｜an｜}的前n项和
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，满足a1＋a2＝10，S5＝40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝｜13－an｜，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，
S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，
所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
(2)令cn＝13－an＝11－2n，
bn＝｜cn｜＝｜11－2n｜＝
设数列{cn}的前n项和为Qn，
则Qn＝－n2＋10n.
当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.
当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.
数列{｜an｜}的前n项和的三种类型的求解策略 1.等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解； 2.等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理； 3.等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.
对点练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜的值为(　　)
A.61　　　　 B.62　　　　
C.65　　　　 D.67
答案：D
解析：当n＝1时，S1＝a1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，
所以an＝
由通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10，
所以｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67.
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A.－n2＋　　　　　 B.－n2－
C.n2＋ D.n2－
答案：A
解析：因为an＝2－3n，所以a1＝2－3＝－1，
所以Sn＝＝－n2＋.
2.在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　)
A.5或7 B.3或5
C.7或－1 D.3或－1
答案：D
解析：由an＝a1＋(n－1)×2＝11，得a1＋an＝11－2(n－1)＋11＝22－2(n－1)，又Sn＝＝35，则＝35，解得n＝5或n＝7.当n＝5时，a1＝3；当n＝7时，a1＝－1，故选D.
3.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是(　　)
A.a1＝－2 B.a1＝2
C.d＝4 D.d＝－4
答案：AC
解析：因为故选AC.
4.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝　　　　.
答案：18
解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＋｜a6｜＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
5.数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝　　　　.
答案：－2n＋2(n∈N＋)
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2且n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式.故an＝－2n＋2(n∈N＋).
课时测评6　等差数列的前n项和公式
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—9小题，每小题5分，共45分)
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于(　　)
A.1　　　　 B.　　　　
C.－2　　　　 D.3
答案：C
解析：依题意得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，d＝－2，故选C.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)
A.49 B.42
C.35 D.28
答案：B
解析：2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.
3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　)
A.10 B.15
C.20 D.30
答案：C
解析：因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，
解得n＝20或n＝－29(舍去).
4.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1等于(　　)
A.18 B.20
C.22 D.24
答案：B
解析：由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，
所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
5.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)
A.160 B.180
C.200 D.220
答案：B
解析：由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝1，则(　　)
A.a2＋a8＝2 B.a3a7＝1
C.S9＝9 D.S10＝10
答案：AC
解析：设数列{an}的公差为d，
由a2＋a8＝2a5＝2，知选项A正确；
a3a7＝(a5－2d)(a5＋2d)＝－4d2＝1－4d2，
由于d不确定，所以B错误；
由S9＝＝9a5＝9，知选项C正确；
S10＝S9＋a10＝9＋a5＋5d＝10＋5d，由于d不确定，所以D错误.
故选AC.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝　　　　.
答案：5
解析：因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.
8.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝　　　　.
答案：
解析：设数列{an}的公差为d，
由题意得10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，
所以＝.
9.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝　　　　.
答案：8
解析：由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n为8.
10.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋n，bn＝｜an｜.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝－×12＋×1＝13.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－[－(n－1)2＋(n－1)]＝16－3n.
n＝1时上式也成立.
所以an＝16－3n，n∈N＋.
(2)bn＝｜an｜＝
所以当1≤n≤5时，数列{bn}的前n项和为Tn＝Sn＝－n2＋n.
当n≥6时，数列{bn}的前n项和为Tn＝a1＋a2＋……＋a5－a6－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a5)－a1－a2－…－a5－a6－…－an
＝2S5－Sn
＝2×(－×52＋×5)－(－n2＋n)
＝n2－n＋70.
所以Tn＝
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
答案：B
解析：由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
所以4(a1＋an)＝280，
所以a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210，
所以n＝6.
12.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝.
13.把形如M＝mn(m，n∈N＋)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是　　　　.
答案：35
解析：设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
则由
14.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n＋1，求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
解：a1＝S1＝－×12＋×1＋1＝102，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104.
因为n＝1时不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋).
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34，
即当n≤34时，an＞0；当n≥35时，an＜0.
当n≤34时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n＋1，
当n≥35时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a34｜＋｜a35｜＋…＋｜an｜＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2×(－×342＋×34＋1)－(－n2＋n＋1)
＝n2－n＋3 503.
故Tn＝
15.(5分)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是(　　)
答案：ABC
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
16.(17分)已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.
解：(1)因为S4＝28，
所以＝28，a1＋a4＝14，
所以a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d＞0，
所以a2＜a3，
所以a2＝5，a3＝9，
所以
所以an＝4n－3，n∈N＋.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，
所以bn＝＝，
所以b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
所以b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去).
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