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(共23张PPT)
八年级上册数学（北师版）
2.1 认识实数
第1课时 认识无理数
1. 经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，培养自主学习的习惯，发展理论与实践相结合的能力. (重点)
2. 借助计算器对无理数进行估算，培养动手能力.
(难点)
古希腊的毕达哥拉斯学派认为，所有的数量都可以用整数或整数的比表示，这个论断正确吗？你能求出面积为 2 的正方形的边长吗？它能用整数或分数（即有理数）来表示吗？
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活动1 请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.
探究点一：无理数的概念及认识
1
1
拼接前后两个图形的面积保持不变.
问题1：(1)设大正方形的边长为 a ，a 满足什么条件？
(2) a 能是整数吗？说说你的理由.
a 不能是整数.
探究点：无理数的概念及认识
因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
a
1
从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整数.
(3) a 能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.
讨论：① a 是分母为 2 的分数吗？
② a 是分母为 3 的分数吗？
③ a 是分母为 4 的分数吗？
④ a 是分母为多少的分数？
a2 = 2
不是
总结：事实上，满足等式 a = 2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。
不是
···
···
···
不是
思考：(1) 如下图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少
(3) b 是有理数吗
(2) 设该正方形的边长为 b ，b 满足什么条件
1
2
b
b2 = 12 + 22 = 5，正方形的面积是 5 .
b 满足 b2 = 5。
b 不是有理数
探究点一：无理数的概念及认识
总结：上面的两个问题中，数 a，b 确实存在，但都不是有理数。
问题2：(1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
1
a
2
面积为 2
活动2：面积为 2 的正方形边长 a 是多少？
面积为 1
面积为 4
1＜a＜2
探究点一：无理数的概念及认识
(2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行计算：
1×1＜ a2＜2×2 ， a 的整数部分为 1
1.4×1.4 =1.96 ，a2 = 2 ，1.5×1.5 = 2.25。
所以 a 的十分位是 4 。
1.42＜ a2＜1.52，
同理可以得到百分位和千分位上的数。
分别计算 1 和 2 之间一位小数的平方：
1.12=1.21，
1.22=1.44，
1.32=1.69，
1.42=1.96，
1.52=2.25，
探究点一：无理数的概念及认识
边长 a 正方形面积 S
1 < a < 2
1.4 < a < 1.5
1.41 < a < 1.42
1.414 < a < 1.415
1.414 2 < a < 1.414 3
1 < S < 4
1.96 < S < 2.25
1.988 1 < S < 2.016 4
1.999 396 < S < 2.002 225
1.999 961 64 < S < 2.000 244 49
(3) 小明将他的探索过程整理如下：
还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗
探究点一：无理数的概念及认识
(4) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？
a = 1.414 213 56···，它是一个无限不循环小数.
(5) 面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少？ b 可能是有限小数吗？
b = 2.236 067 977···，它是一个无限不循环小数.
探究点一：无理数的概念及认识
总结：事实上，a =1.414 213 56···，b = 2.236 067 977···，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。
活动3：把下列有理数写成小数的形式：
探究点一：无理数的概念及认识
思考2：像 π 这样的无限不循环小数属于有理数吗？
不属于。因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数。
思考1：观察运算结果，请问你有什么发现
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
探究点一：无理数的概念及认识
思考3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材 P26-27 说说它属于哪一类数
无理数
0.585 885 888 588 885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)
想一想：你能找到其他的无理数吗？
如 π = 3.14159265…，
总结：无限不循环小数称为无理数
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57，0.101 000 100 0001…（相邻两个 1
之间 0 的个数逐次加 2）。
. .
无理数有：0.101 000 100 000 1…
解：有理数有：3.14， ， 0.57；
. .
（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。
【解析】因为 3.14 是小数， 是分数，
是无限循环小数，所以选项 A，B，D 都是有理数；
是无限不循环小数，所以是无理数。
【练一练】1. 下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. 0.305305530555··· D.
C
2. 下列各数中，是无理数的有 （填序号）.
① 1 ② -π ③ 0 ④ 3.14
⑤ 0.312 ⑥ π - 3.14 ⑦2.020020002 ⑧
⑨ 1.23456… ⑩ 32
· ·
②⑥⑨
无省略号，为有限小数
(1) 无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示；
【方法总结】有理数与无理数的主要区别:
(2) 任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。
1. 下列各数中是无理数的是(　B　)
A. －1 B. π
C. 3.14
2. 一个长方形的长和宽分别是 6 cm和 3 cm，它的对
角线的长的值是一个(　D　)
A. 整数 B. 分数
C. 有理数 D. 无理数
B
D
3. 下列语句正确的是(　D　)
A. 3.787 887 888 788 88是无理数
B. 无理数分正无理数、零、负无理数
C. 无限小数不能化成分数
D. 无限不循环小数是无理数
D
4. 若边长为a的正方形的面积为3，则a是 数.
5. [教材变式]下列各数：①3.1415926，②－ ，
③ 2. ，④6.7517551755517…(相邻 7，1 之间 5 的个
数逐次加1)，⑤0，⑥ ，⑦－ . 其中有理数
是 ，无理数是 .(填序号)
无理
①②③⑤⑥　
④⑦　
认识无理数
无理数的概念及认识
有理数与无理数的区别第2章 实数
2.1 认识实数
第 1 课时 认识无理数
【素养目标】
1. 经历无理数的探究过程, 理解无理数的概念, 会判断一个数是否为无理数, 培养自主学习的习惯, 发展理论与实践相结合的能力. (重点)
2. 借助计算器对无理数进行估算,培养动手能力. (难点)
【情境导入】
古希腊的毕达哥拉斯学派认为,所有的数量都可以用整数或整数的比表示,这个论断正确吗 你能求出面积为 2 的正方形的边长吗 它能用整数或分数 (即有理数) 来表示吗 观看配套课件视频
【合作探究】
探究点一、无理数的概念及认识
活动1：请大家以四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形.
问题1: (1) 设大正方的边长为 满足什么条件
(2) 能是整数吗 说说你的理由.
(3) 能是分数吗 说说你的理由,并与同伴进行交流.
讨论: ① 是分母为 2 的分数吗
② 是分母为 3 的分数吗？
③ 是分母为 4 的分数吗
④ a 是分母为多少的分数？
总结:________________________________________________________。
思考: (1) 如下图, 以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少
(2) 设该正方形的边长为 满足什么条件
(3) 是有理数吗
活动2:面积为 2 的正方形边长 是多少？
问题2: (1) 如图, 三个正方形的边长之间有怎样的大小关系
(2) 的整数部分是几 十分位是几 百分位呢 千分位呢 借助计算器进行计算:
( 3 )小明将他的探索过程整理如下:
边长 正方形面积 S
1.988
1.999 396 < S < 2.002 225
1.999 961 64 < S < 2.000 244 49
还可以继续算下去吗 可能是有限小数吗
(4) 可能是有限小数吗 它会是一个怎样的数呢
(5) 面积为 5 的正方形的边长 的值是多少？ 可能是有限小数吗
活动3:把下列有理数写成小数的形式:
思考1: 观察运算结果, 请问你有什么发现
思考2: 像 这样的无限不循环小数属于有理数吗
思考3: 如果无限不循环小数不属于有理数, 通过阅读教材 P26-27说说它属于哪一类数？
总结:无限不循环小数称为无理数
如,0.585 885 888 588 885(相邻两个5之间8的个数逐次加1)
想一想:你能找到其他的无理数吗？
例1 下列各数中, 哪些是有理数 哪些是无理数
3.14, (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2 )。
【练一练】1. 下列各数中,是无理数的为( )
A. 3.14 B. C. D.
2. 下列各数中，是无理数的有___________(填序号).
①1 ，② ， ③ 0 ，④ 3.14，⑤ ，⑥ ，⑦2. ， ⑧ ，⑨ 1.23456…⑩ 32 .
方法总结：_______________________________________________.
当堂反馈
1. 下列各数中是无理数的是( )
A. -1 B. C. 3.14 D.
2.一个长方形的长和宽分别是和 ,它的对角线的长的值是一个( )
A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数
3. 下列语句正确的是( )
A. 3.787 887 888 788 88是无理数
B. 无理数分正无理数、零、负无理数
C. 无限小数不能化成分数
D. 无限不循环小数是无理数
4. 若边长为 的正方形的面积为 3 ,则 是_______数.
5. [教材变式]下列各数:① 3.1415926, ② ,③, ④ 6.7517551755517… (相邻 7,1 之间 5 的个数逐次加 1), ⑤ 0, ⑥ ,⑦ . 其中有理数是 _________ ,无理数是 _____.(填序号)
参考答案
探究点一、无理数的概念及认识
活动1 问题1: (1)因为 ,所以 .
(2) 不能是整数. 从 “数” 的角度: 因为 ,而 , 所以 . 所以 ,故 不是整数.
(3) 总结: 满足等式 的 既不是整数, 也不是分数,所以不是有理数。
思考: (1) ,正方形的面积是 5 .
(2) 满足 (3) 不是有理数
活动2问题2: (1)
(2) 的整数部分为 1分别计算1和2之间一位小数的平方:
。 ,所以 的十分位是 4 。
同理可以得到百分位和千分位上的数。
(4) ,它是一个无限不循环小数.
(5) ,它是一个无限不循环小数.
活动3:把下列有理数写成小数的形式:
思考1: 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
思考2: 不属于。因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。反过来, 不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数。
思考3: 无理数
例1 解: 有理数有: ;
无理数有: 0.1010001000001 ... (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2 )。
【练一练】1.
2. ② ⑥ ⑨
当堂反馈
1. B 2. D 3. D 4. 无理数.
5. 有理数是 ①②③⑤⑥ ,无理数是 ④⑦.2.1　认识实数
第1课时　认识无理数
1.经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，培养自主学习的习惯，发展理论与实践相结合的能力.
2.借助计算器对无理数进行估算，培养动手能力.
重点：经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
难点：会对一个无理数进行估算.
知识链接
回顾思考：1.有理数的概念是什么？
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称.
2.有理数的分类方法有哪些？
按定义分类、按性质分类，学生回归总结.
创设情境——见配套课件
探究点：无理数的概念及认识
活动1：拼一拼
请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.（同学们展示拼图的结果）
问题1：（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
大正方形的边长a应满足a2＝2.
（2）a能是整数吗？说说你的理由.
a不能是整数.
（3）a能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.
a不能是分数.
活动2：做一做
问题2：（1）请同学们判断一下上面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.
（结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数）
（2）同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？
请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.
边长a 面积S
1＜a＜2 1＜S＜4
1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449
思考：还可以进行下去吗？a是有限小数吗？
活动3：算一算
计算：把下列有理数写成小数的形式：
＝2.5，－＝－0.6，＝6.75，＝1.，＝0..
思考1：观察运算结果，请问你有什么发现？请同学们自主讨论并得出自己的结论.
（任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.）
思考2：像π这样的无限不循环小数属于有理数吗？为什么？
（有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数.）
思考3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P26－P27说说它属于哪一类数？
（无理数）
要点归纳：类比有理数，我们将无限不循环小数称为无理数.无理数的常见的表现形式有：构造型的无限不循环小数[如0.3010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）、具有特定意义的数（如π）等].我们将有理数和无理数统称为实数.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，－，0.，－0.125，－5π，0.35，，5.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）.
解析：准确理解有理数和无理数的概念是解答本题的关键.任何有限小数或无限循环小数都是有理数；无限不循环小数称为无理数，故－5π，5.3131131113…是无理数，其他都是有理数.
解：有理数：3.14，－，0.，－0.125，0.35，；无理数：－5π，5.3131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）.
方法总结：有理数与无理数的主要区别：
（1）无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示.
（2）任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能.
1.下列各数中是无理数的是（　B　）
A.－1 B.π C.3.14 D.
2.一个长方形的长和宽分别是6cm和3cm，它的对角线的长的值是一个（　D　）
A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数
3.下列语句正确的是（　D　）
A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数
C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数
4.若边长为a的正方形的面积为3，则a是　无理　数.
5.（教材变式）下列各数：①3.1415926，②－，③2.，④6.7517551755517…（相邻7，1之间5的个数逐次加1），⑤0，⑥，⑦－.其中有理数是　①②③⑤⑥　，无理数是　④⑦　（填序号）.（其他课堂拓展题，见配套PPT）
认识无理数

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