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(共55张PPT)
　
第2章　 2.3　两条直线的位置关系
2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
学习目标
1. 理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.
2. 会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
3. 运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题，提升直观想象、数学运算等核心素养.
任务一　两条直线平行的判定
问题1.在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
问题2.平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
提示：两直线平行，倾斜角相等.
问题导思
新知构建
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 a1＝a2≠90° a1＝a2＝90°
对应关系 l1∥l2 ________ l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示

k1＝k2
典例1
规律方法
判断两条不重合的直线是否平行的方法
√
对点练2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，则过点(－1，3)，且与l平行的直线l'的方程为_________________.

返回
3x＋4y－9＝0
任务二　两条直线垂直的判定
问题3.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示：k1·k2＝－1.
问题导思
新知构建
图示

对应
关系 l1⊥l2(两直线斜率都存
在) _____________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ________
k1·k2＝－1
l1⊥l2
典例2
规律方法
判断两条直线是否垂直的方法
　　在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
对点练3.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为
A.x－2y＋4＝0
B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0
D.x－2y＋5＝0
√
对点练4.(多选)已知直线l：x－2y－2＝0，则
A.直线x－2y＋1＝0与直线l平行
B.直线2x＋y－2＝0与直线l平行
C.直线x＋2y－1＝0与直线l垂直
D.直线2x＋y－2＝0与直线l垂直
√
√
返回
任务三　已知直线的位置关系求参数
典例3
√

√
规律方法
利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
　　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).
①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.

√
对点练6.“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当a＝－2时，直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0分别为：
x－y＋3＝0和5x－5y－9＝0，显然，两直线平行；
当直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行时，有a(a－3)＝10
成立，
解得a＝－2或a＝5，
返回
√
当a＝－2时，两直线为x－y＋3＝0 和5x－5y－9＝0，显然，两直线不重合是平行关系；
当a＝5时，两直线为5x＋2y＋15＝0 和5x＋2y－2＝0，显然，两直线不重合是平行关系；
由此可判断“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的充分不必要条件，
故选A.
返回
任务四　平行与垂直的综合应用
典例4
规律方法
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
返回
随堂评价
√

√
√
√
由题设，m(m＋1)－12＝m2＋m－12＝(m＋4)(m－3)＝0，可得m＝－4或m＝3，
当m＝－4时，3x－3y－1＝0、4x－4y＋1＝0平行，符合题意；
当m＝3时，4x＋3y＋1＝0、4x＋3y＋1＝0重合，不合题意；所以m＝－4.
故选B.
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝____.


5.已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值为______.

返回
课时测评
1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是
A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
需考虑两条直线重合的情况，B，D都可能是两条直线重合，所以AC正确.故选AC.
√
√
√
3.已知直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为
A.15x－10y－6＝0 B.15x－10y＋6＝0
C.6x－4y－3＝0 D.6x－4y＋3＝0
√

√
√

√
6.已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为_____.
－2
7.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为____.
－1
8.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y).若l1⊥l2，则x＝_____，y＝_____.

－1
7
11.(多选)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列结论正确的是
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QR D.PR⊥QS
√
√
√
√
√

13.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为______________.

(－19，－62)
返回2.3　两条直线的位置关系
2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题，提升直观想象、数学运算等核心素养.
任务一　两条直线平行的判定
问题1.在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
问题2.平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
提示：两直线平行，倾斜角相等.
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 a1＝a2≠90° a1＝a2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
判断下列各对直线是否平行，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：x＝2，l2：x＝4.
解：(1)将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝；k2＝－，b2＝－.
因为k1＝k2，且b1≠b2，
所以l1∥l2.
(2)因为l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，所以l1∥l2.
判断两条不重合的直线是否平行的方法
对点练1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(－1，－)，B(0，0)，则直线l1，l2的位置关系是(　　)
A.平行或重合 B.平行
C.垂直 D.重合
答案：A
解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝，所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合.
对点练2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，则过点(－1，3)，且与l平行的直线l'的方程为　　　　　　 　.
答案：3x＋4y－9＝0
解析：l的方程可化为y＝－x＋3，所以l的斜率为－.
因为l'与l平行，所以l'的斜率为－.
又因为l'过点(－1，3)，
所以由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
任务二　两条直线垂直的判定
问题3.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示：k1·k2＝－1.
图示
对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(2)l1：y＝－3，l2：x＝1.
解：(1)将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝x＋，
l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2.
因为k1·k2＝－1，故l1⊥l2.
(2)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
判断两条直线是否垂直的方法 　　在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
对点练3.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
答案：A
解析：过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
对点练4.(多选)已知直线l：x－2y－2＝0，则(　　)
A.直线x－2y＋1＝0与直线l平行
B.直线2x＋y－2＝0与直线l平行
C.直线x＋2y－1＝0与直线l垂直
D.直线2x＋y－2＝0与直线l垂直
答案：AD
解析：对于A，因为x－2y＋1＝0与直线l斜率相同，但截距不同，所以x－2y＋1＝0与直线l平行，A正确；
对于B，因为1×1－×2＝5≠0，所以2x＋y－2＝0与直线l不平行，B错误；
对于C，因为1×1＋×2＝－3≠0，所以x＋2y－1＝0与直线l不垂直，C错误；
对于D，因为1×2＋×1＝0，所以2x＋y－2＝0与直线l垂直，D正确.
故选AD.
任务三　已知直线的位置关系求参数
(1)已知直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：x＋y＋a＝0平行，则a的值是(　　)
A.－4 B.1
C.－4或1 D.4或－1
(2)设直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay－3＝0.若l1⊥l2，则a的值为(　　)
A.0或1 B.0或－1
C.1 D.－1
答案：(1)B　(2)A
解析：(1)因为直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：x＋y＋a＝0平行，
则有a(a＋2)＋a－4＝0，解得a＝1或a＝－4，
当a＝1时，直线l1：x－y＋2＝0与直线l2：3x－3y＋1＝0平行；
当a＝－4时，直线l1：x＋4y＋2＝0与直线l2：－2x－8y－4＝0，即x＋4y＋2＝0重合，
所以a的值是1.
故选B.
(2)因为l1⊥l2，则a＋a＝a＝0，解得a＝0或1.
故选A.
利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 　　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). ①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. ②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
对点练5.若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A.1 B.3
C.0或1 D.1或3
答案：D
解析：因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，
即＝－1，
解得a＝1或a＝3.
对点练6.“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当a＝－2时，直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0分别为：
x－y＋3＝0和5x－5y－9＝0，显然，两直线平行；
当直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行时，有a(a－3)＝10成立，
解得a＝－2或a＝5，
当a＝－2时，两直线为x－y＋3＝0 和5x－5y－9＝0，显然，两直线不重合是平行关系；
当a＝5时，两直线为5x＋2y＋15＝0 和5x＋2y－2＝0，显然，两直线不重合是平行关系；
由此可判断“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的充分不必要条件，
故选A.
任务四　平行与垂直的综合应用
已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
对点练7.已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
解：设所求点D的坐标为(x，y)，
如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.
①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
因为kBC＝0，
所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，
所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，
故所求点D的坐标为(3，3).
②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
因为kAD＝，kCD＝，
所以
解得x＝，y＝，
所以D点坐标为.
综上，D点坐标为(3，3)或.
1.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A. B.－
C.2 D.－2
答案：B
解析：由题意知，PQ的斜率存在，
由kPQ＝kMN，即＝，解得m＝－.
经检验知，m＝－符合题意.
2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　)
A. B.－
C.a D.不存在
答案：BD
解析：当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－；
当a＝0时，l2的斜率不存在.
3.已知直线x＋3y＋1＝0与直线4x＋my＋1＝0平行，则m的值为(　　)
A.3 B.－4
C.3或－4 D.3或4
答案：B
解析：由题设，m(m＋1)－12＝m2＋m－12＝(m＋4)(m－3)＝0，可得m＝－4或m＝3，
当m＝－4时，3x－3y－1＝0、4x－4y＋1＝0平行，符合题意；
当m＝3时，4x＋3y＋1＝0、4x＋3y＋1＝0重合，不合题意；所以m＝－4.
故选B.
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝　　　　　.
答案：
解析：设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，
则有kAD·kBC＝－1，
所以有·＝－1，解得m＝.
5.已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值为　　　　.
答案：1或
解析：因为k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，所以
又l1∥l2，所以k1＝k2，
所以k1＋k2＋k3＝1或.
课时测评19　两条直线平行与垂直的判定
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是(　　)
A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
答案：AC
解析：需考虑两条直线重合的情况，B，D都可能是两条直线重合，所以AC正确.故选AC.
2.已知l1：3kx－ky＋1＝0，l2：x＋3ky＝0，若l1⊥l2，则实数k＝(　　)
A.0或1 B.－
C.1 D.0或－
答案：C
解析：因为l1⊥l2，所以3k×1＋×3k＝0，k＝0或k＝1，
又当k＝0时，l1不存在故舍去，所以k＝1.故选C.
3.已知直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(　　)
A.15x－10y－6＝0 B.15x－10y＋6＝0
C.6x－4y－3＝0 D.6x－4y＋3＝0
答案：A
解析：若直线l过原点，则直线l在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，
设直线l的方程为＋＝1，其中a≠0且a≠－1，
则直线l的斜率为k＝－＝－＝，解得a＝－，
所以直线l的方程为－＝1，即15x－10y－6＝0.故选A.
4.已知直线l1：x＋y＋a－2＝0与l2：ax＋2y＋8＝0平行，则a的值为(　　)
A.1 B.－2
C.－ D.1或－2
答案：A
解析：因为直线l1：x＋y＋a－2＝0与l2：ax＋2y＋8＝0平行，
所以解得a＝1.
故选A.
5.(多选)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　)
A.kAB＝－
B.kBC＝－
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
答案：AC
解析：kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，
因为kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，
所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.
故AC正确，BD错误.
6.已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为　　　　.
答案：－2
解析：因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.
所以kEF＝kAB＝＝－2.
7.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　　.
答案：－1
解析：由P，Q为不同两点，得a＋b≠3.由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
8.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y).若l1⊥l2，则x＝　　　　，y＝　　　　.
答案：－1　7
解析：因为l1⊥l2，l1的斜率为2，所以l2的斜率为－，
所以
9.(10分)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值.
解：直线l2的斜率k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝，所以＝－，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，k1＝，
由k1·k2＝－1得到＝－1，
解得a＝3或a＝－4，经检验当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
10.(13分)如图，在 OABC中，O为坐标原点，点C(1，3).
(1)求OC所在直线的斜率；
(2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率.
解：(1)点O(0，0)，C(1，3)，所以OC所在直线的斜率kOC＝＝3.
(2)在 OABC中，AB∥OC，因为CD⊥AB，所以CD⊥OC，所以kOC·kCD＝－1，
kCD＝＝－.
故直线CD的斜率为－.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.(多选)已知点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下列结论正确的是(　　)
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QR D.PR⊥QS
答案：ABCD
解析：由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，kQR＝＝＝.所以ABCD均正确.
12.已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设D(x，y).
因为AD⊥BC，所以·＝－1，
所以x＋5y－9＝0.
因为AB∥CD，所以＝，
所以x－2y－4＝0.
联立故选D.
13.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为　　　　.
答案：(－19，－62)
解析：设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，
所以
即
解得即A(－19，－62).
14.(15分)已知△ABC的三顶点是A，B，C，直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，且E、F分别是AC、BC的中点.求：
(1)AB边上的高所在直线的方程.
(2)直线l的方程.
解：(1)在△ABC中，A，B，C，则直线AB的斜率为k＝＝，
于是得AB边上的高所在直线斜率为－2，其方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0，
所以AB边上的高所在直线的方程是2x＋y－8＝0.
(2)因直线l平行于AB，则直线l的斜率为，又边AC的中点E(0，)在直线l上，
于是得直线l的方程为y＝x＋，即x－2y＋5＝0，
所以直线l的方程为x－2y＋5＝0.
15.(17分)如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m.其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，
(1)如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
(2)在问题(1)的条件下，若再在花园里设计一条过M且与AC平行的小路，怎样设计？
解：(1)如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3).设点M的坐标为(x，0).因为AC⊥DM，
所以kAC·kDM＝－1.
所以＝－1.即x＝.
即当BM＝ m时，两条小路AC与DM相互垂直.
(2)设过M与AC平行的小路(直线)交AB于N，且设N点坐标为(0，y)，则kAC＝kNM.
由(1)知M，所以＝，解得y＝，即当BM＝ m，BN＝ m时，小路MN与小路AC互相平行.
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