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(共45张PPT)
　
第2章　 2.5　圆的方程
2.5.1　圆的标准方程
学习目标
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆
的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
2. 能根据所给条件求圆的标准方程，提升数学运算的核心素养.
3. 能够判断点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升直观想象、数学运算的核心素养.
任务一　圆的标准方程
问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题导思
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
新知构建
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为_________
___________.
典例1
因为圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
所以该圆的半径为5，
所以该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x＋5)2＋
(y＋3)2＝25
(2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是__________
____________.
(y－2)2＝25
(x－1)2＋
规律方法
直接法求圆的标准方程的策略
　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
对点练1.求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
解：r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
解：设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
返回
任务二　点与圆的位置关系
√
典例2
　a＜－6或a＞－2
－2或－6

规律方法

位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
[0，1)

返回
任务三　求圆的标准方程
典例3
规律方法
求圆的标准方程的两种方法
1.几何法：利用平面几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程.
2.待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
对点练3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

√
法二：本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；
根据点B(－1，1)在圆上，排除A.
返回
随堂评价
1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
√
以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
√
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是
A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
√

4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为____________________.

(x－1)2＋(y＋1)2＝5
返回
课时测评
1.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2) 为直径的圆的方程为
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y－1)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D.(x－1)2＋(y－1)2＝8

√
2.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是
A.(0，2) B.(3，3)
C.(－2，2) D.(4，1)
√
由(0－1)2＋(2＋2)2＜25，知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2＞25，知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，知(－2，2)在圆上；
由(4－1)2＋(1＋2)2＜25，知(4，1)在圆内，故选B.
√
4.方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
√
√
6.过点A(1，－2)，B(－1，4)且周长最小的圆的方程为________________.
x2＋(y－1)2＝10
7.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是__________.
因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
(－1，1)
8.若圆C的半径为1，圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________.
因为点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，所以圆C的圆心为点C(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
x2＋(y－1)2＝1
√
12.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是______.
13.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为_____.
设P(x，y)，且点P在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上，则圆心C(－5，12)，r＝14，x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2＝｜OP｜2.又｜OP｜的最小值是r－
｜OC｜＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1.
1
返回2.5　圆的方程
2.5.1　圆的标准方程
学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养. 2.能根据所给条件求圆的标准方程，提升数学运算的核心素养. 3.能够判断点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升直观想象、数学运算的核心素养.
任务一　圆的标准方程
问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题2.已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示：设圆上任一点M(x，y)，则｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　.
答案：(1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25　(2)(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：(1)因为圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
所以该圆的半径为5，
所以该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)因为AB为直径，
所以AB的中点(1，2)为圆心，
｜AB｜＝＝5为半径，
所以该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
直接法求圆的标准方程的策略 　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
对点练1.求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
任务二　点与圆的位置关系
(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
(2)已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝　　　　.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　.
答案：(1)A　(2)－2或－6　a＜－6或a＞－2
解析：(1)由题意，得a＋b＝1，ab＝－，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2＜8，
所以点P在圆C内.
(2)由题意，得＋(y－1)2＝1，
当点P在圆C上时，＋(1－1)2＝1 ，
解得a＝－2或－6.
当点P在圆C外时，＋(1－1)2＞1，
解得a＜－6或a＞－2.
判断点与圆的位置关系的两种方法 1.几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. 2.代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝｜PC｜＝. 位置关系利用距离判断利用方程判断点在圆外d＞r(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d＜r(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
对点练2.已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为　　　　　　　　.
答案：[0，1)
解析：由题意知
即解得0≤a＜1.
任务三　求圆的标准方程
求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解：法一：(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二：(几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
因为弦的垂直平分线过圆心，
所以由
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
求圆的标准方程的两种方法 1.几何法：利用平面几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. 2.待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
对点练3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
解析：法一：因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0，0).
所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x.
由
所以圆心坐标为(1，1)，半径为2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；
根据点B(－1，1)在圆上，排除A.
1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(　　)
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
答案：C
解析：以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
答案：B
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　)
A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
答案：A
解析：法一：(直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，
所以b＝2，所以圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
法二：(数形结合法)
作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0，2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a).又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝.所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
课时测评22　圆的标准方程
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2) 为直径的圆的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B.(x－1)2＋(y－1)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D.(x－1)2＋(y－1)2＝8
答案：B
解析：线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点坐标为(0，2)，(2，0)，则线段AB的中点坐标为(1，1)，｜AB｜＝2，故圆心坐标为(1，1)，半径为＝，
所以以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　)
A.(0，2) B.(3，3)
C.(－2，2) D.(4，1)
答案：B
解析：由(0－1)2＋(2＋2)2＜25，知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2＞25，知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，知(－2，2)在圆上；
由(4－1)2＋(1＋2)2＜25，知(4，1)在圆内，故选B.
3.方程｜x－1｜＝表示的曲线是(　　)
A.一个圆 B.两个半圆
C.两个圆 D.半圆
答案：A
解析：方程｜x－1｜＝两边平方得｜x－1｜2＝()2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆，故选A.
4.方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
答案：D
解析：易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
5.圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝5
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝
C.(x－1)2＋(y－1)2＝5
D.(x＋1)2＋(y－1)2＝
答案：A
解析：由题意得圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1).又A(－3，0)，半径r＝｜AM｜＝＝.
则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.
6.过点A(1，－2)，B(－1，4)且周长最小的圆的方程为　　　　　　　.
答案：x2＋(y－1)2＝10
解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝｜AB｜＝，则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
7.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：(－1，1)
解析：因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
8.若圆C的半径为1，圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为　　　　　　　.
答案：x2＋(y－1)2＝1
解析：因为点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，所以圆C的圆心为点C(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
9.(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)，求其外接圆P的方程.
解：设外接圆P的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得即外接圆P的方程为
(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10.(13分)求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5，2)，B(3，－2)的圆的标准方程.
解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：因为圆过A，B两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
由于线段AB的中点坐标为(4，0)，kAB＝＝2，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4).
由即圆心为(2，1)，
r＝＝，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11. 已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，则圆C的方程为(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝4
B.(x－)2＋(y－)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－2)2＝5
答案：C
解析：因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C(1，m)，且△ABC为等腰直角三角形，所以｜AC｜＝＝.因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐标为(1，1)，圆的半径为，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
12.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是　　　　.
答案：1＋
解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
13.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为　　　　.
答案：1
解析：设P(x，y)，且点P在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上，则圆心C(－5，12)，r＝14，x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2＝｜OP｜2.又｜OP｜的最小值是r－｜OC｜＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1.
14.(15分)已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上，求△QAB的面积.
解：(1)依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点.
因为AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3.
由即圆心C(－3，6).
所以半径r＝＝2.
故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)因为点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上，
所以m＝12或m＝0(舍去)，所以Q(－1，12)，
易得｜AQ｜＝12，点B到直线AQ的距离为4，
所以△QAB的面积S＝×｜AQ｜×4＝×12×4＝24.
15.(17分)已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)且过定点P(4，2).
(1)求圆C的方程；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程.
解：(1)由题意，设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2).
所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0).
所以r2＝2－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2－12x0＋20.
(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2－12x0＋20＝＋2，
所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小，
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
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