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(共51张PPT)
　
第2章　 2.3　两条直线的位置关系
2.3.2　两条直线的交点坐标
学习目标
1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2. 会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一　求相交直线的交点坐标
问题导思
设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，______的坐标一定是这两个方程的______解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有______解，那么以这个解为坐标的____必是直线l1和直线l2的交点.
新知构建
交点
公共
唯一
点
典例1
法二：因为l2不过原点，
所以可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，
所以直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
规律方法
求与已知两直线的交点有关问题的解法
1.先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.
2.运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，
所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为l与l3垂直，
所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，
所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
返回
任务二　判断两直线位置关系
新知构建
一组 无数组 ______
直线l1与l2的公共点的个数 一个 ________ 零个
直线l1与l2的位置关系 ______ 重合 ______
无解
无数个
相交
平行
微提醒
典例2
规律方法
　　判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
对点练2.已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是____________.
返回


任务三　直线系过定点问题
典例3
(1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是__________.
(－2，1)

(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程.


规律方法
1.求过两直线交点的直线方程的方法
(1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程.
(2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
如：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
规律方法
2.含有参数的直线恒过定点问题的解法
(1)直接法
将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点.
(2)特殊值法
取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点.
(3)方程法
将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点.
对点练3.不论m为何实数，直线l：mx－y－2m－1＝0恒过定点
A.(－3，－1) B.(2，－1)
C.(－3，1) D.(－2，1)
√
返回
随堂评价
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为
A.(3，2) B.(2，3)
C.(－2，－3) D.(－3，－2)
√
2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点
A.(－3，－1) B.(－2，－1)
C.(－3，1) D.(－2，1)
√

3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________________.
2x＋y－4＝0
4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝______.

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课时测评
1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为
A.(－4，－3) B.(4，3)
C.(－4，3) D.(3，4)
√
2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为
A.12 B.10
C.－8 D.－6
√
因为直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).
所以将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
所以m＋n＝10.
3.过两直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点和原点的直线方程为
A.3x＋2y＝0 B.3x－2y＝0
C.2x＋3y＝0 D.2x－3y＝0
√
4.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是
A.－24 B.6
C.±6 D.24
√
√

√

7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为___________.

3x＋y＝0
8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝____.
由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上，
所以a＋2m－1＝0，
所以m＝－2.
－2
11.已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________.

y＝2x
12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________.

x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
13.若集合{(x，y)｜x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0} {(x，y)｜y＝3x＋b}，则b＝_____.
2
14.已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________________.
(－∞，－3]∪[1，＋∞)
如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，

√

返回2.3.2　两条直线的交点坐标
学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一　求相交直线的交点坐标
问题.已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系.
提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.
即交点坐标是方程组的解.
设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点.
求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
解：法一：由方程组
解得
即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
因为直线过坐标原点，
所以其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
法二：因为l2不过原点，
所以可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，
所以直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
求与已知两直线的交点有关问题的解法 1.先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解. 2.运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
对点练1.求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解：法一：由方程组
得即P(0，2).
因为l⊥l3，l3的斜率为，
所以kl＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，
所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为l与l3垂直，
所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，
所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
任务二　判断两直线位置关系
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(＋≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(＋≠0)：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
[微提醒]　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解：(1)方程组
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)解方程组
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
　　判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
对点练2.已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是　　　　　.
答案：
解析：由
由所以－＜a＜2.
任务三　直线系过定点问题
(1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是　　　　.
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程.
答案：(1)(－2，1)
解析：(1)直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0.
由题意，可得
所以x＝－2，y＝1，
所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点(－2，1).
(2)法一：由方程组
解得
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行.
所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有y－
＝－3.
即所求直线l的方程为15x＋5y＋16＝0.
法二：设直线l的方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0，因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以2＋λ－3(λ－3)＝0，解得λ＝.所以直线l的方程为x＋y＋2×－3＝0.化简得15x＋5y＋16＝0.
1.求过两直线交点的直线方程的方法 (1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. (2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 如：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 2.含有参数的直线恒过定点问题的解法 (1)直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点. (2)特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点. (3)方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点.
对点练3.不论m为何实数，直线l：mx－y－2m－1＝0恒过定点(　　)
A.(－3，－1) B.(2，－1)
C.(－3，1) D.(－2，1)
答案：B
解析：根据题意，将直线方程变形为m(x－2)－y－1＝0.
因为m为任意实数，所以联立
所以直线l过定点(2，－1).故选B.
对点练4.求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程.
解：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，解得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A.(3，2) B.(2，3)
C.(－2，－3) D.(－3，－2)
答案：B
解析：解方程组
2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A.(－3，－1) B.(－2，－1)
C.(－3，1) D.(－2，1)
答案：C
解析：根据题意，将直线方程变形为(x＋2y＋1)m－x－3y＝0.
因为m为任意实数，所以联立
所以直线l过定点(－3，1).故选C.
3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为　　　　　　　.
答案：2x＋y－4＝0
解析：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
所以k＝＝－2，解得λ＝5.
所以所求直线方程为2x＋y－4＝0.
4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝　　　　.
答案：－
解析：解方程组
又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
所以－1－2k＝0，所以k＝－.
课时测评20　两条直线的交点坐标
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　)
A.(－4，－3) B.(4，3)
C.(－4，3) D.(3，4)
答案：C
解析：由方程组
2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　)
A.12 B.10
C.－8 D.－6
答案：B
解析：因为直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).
所以将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
所以m＋n＝10.
3.过两直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点和原点的直线方程为(　　)
A.3x＋2y＝0 B.3x－2y＝0
C.2x＋3y＝0 D.2x－3y＝0
答案：A
解析：由题意得：
解得
即直线l1：2x－y＋7＝0和l2：y＝1－x的交点坐标是(－2，3).
又因为该直线过原点，则该直线方程为：＝，
即3x＋2y＝0.
故选A.
4.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　)
A.－24 B.6
C.±6 D.24
答案：C
解析：因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，
所以消去b，可得k＝±6.
5.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由a＋2b＝1，得a＝1－2b，
则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，
整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，
所以.
6.若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　)
A.{θ｜0°＜θ＜60°} B.{θ｜30°＜θ＜60°}
C.{θ｜30°＜θ＜90°} D.{θ｜60°＜θ＜90°}
答案：C
解析：由题可知k≠－1，
联立解得x＝，y＝，
所以两直线的交点坐标为.
因为两直线的交点在第一象限，所以
解得k＞.
又直线l的倾斜角为θ，则tan θ ＞，所以30°＜θ＜90°.
7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为　　　　　　　　　　.
答案：3x＋y＝0
解析：由
得
则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)，
即3x＋y＝0.
8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝　　　.
答案：－2
解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上，
所以a＋2m－1＝0，
所以m＝－2.
9.(13分)求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
解：由方程组
所以交点坐标为.
又因为直线斜率为k＝－，
所以所求直线方程为y＋＝，
即27x＋54y＋37＝0.
10.(15分)若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.
解：联立两直线的方程
因为该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
所以
即－＜k＜－.
则k的取值范围为.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是　　　　　　　.
答案：y＝2x
解析：由直线ax＋y＋a＋2＝0，
得a(x＋1)＋(y＋2)＝0，
令解得x＝－1，y＝－2，
所以直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，
所以过这一定点和原点的直线方程是＝，即y＝2x.
12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　.
答案：x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝.
由＝，得λ＝或λ＝.
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
13.若集合{(x，y)｜x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0} {(x，y)｜y＝3x＋b}，则b＝　　　　.
答案：2
解析：解方程组
代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2.
14.已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为　　　　　　　.
答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，
即a≥＝1，即a≥1.
当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
即a≤＝－3，即a≤－3.
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).
15.(5分)已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为(　　)
A.y＝2x＋4 B.y＝x－3
C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0
答案：C
解析：设B关于直线y＝x＋1的对称点B'(x，y)，
则
解得即B'(1，0).
又B'在直线AC上，
则直线AC的方程为＝，即x－2y－1＝0.
16.(17分)如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
解：设B(x0，y0)，
则AB的中点E的坐标为，
由条件可得
得即B(6，4).
同理可求得C点的坐标为(5，0).
故所求直线BC的方程为＝，
即4x－y－20＝0.
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