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2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1　直线与圆的位置关系
学习目标 1.能根据给定直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.掌握直线与圆相切时的切线方程和相交时的弦长问题，提升数学运算的核心素养.
任务一　直线与圆的位置关系的判断
问题.如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断 方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4).
当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ＜0时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d＞2时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
对点练1.设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A.相切 B.相交
C.相切或相离 D.相交或相切
答案：C
解析：圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，因为d－r＝－＝(m－2＋1)＝－1)2≥0，所以d≥r，故直线l和圆O相切或相离.
对点练2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：[－3，1]
解析：因为直线与圆有公共点，
则(x－a)2＋(x＋1)2＝2，
即x2＋(1－a)x＋＝0有解，
所以Δ＝(1－a)2－4×≥0.所以－3≤a≤1.
故实数a的取值范围是[－3，1].
任务二　直线与圆相切问题
(1)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝(　　)
A.－3 B.1
C. D.－3或1
(2)若过点P(0，1)作直线l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相切，则切线长为　　　　　，直线l的方程为　　　　　　.
答案：(1)D　(2)3　y＝1或3x＋4y－4＝0
解析：(1)圆(x－1)2＋(y－b)2＝2的圆心坐标为(1，b)，半径为.根据题意，得＝，
即｜1＋b｜＝2，解得b＝1或b＝－3，故选D.
(2)如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q，连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.
而｜CP｜2＝32＋12＝10，｜CQ｜＝r＝1.
所以｜PQ｜2＝｜PC｜2－｜CQ｜2＝10－1＝9，
则｜PQ｜＝3.
依题意可设直线l：y＝kx＋1.
即kx－y＋1＝0.
圆心C(3，0)到直线l的距离为d＝＝1，整理得4k2＋3k＝0，解得k＝－或k＝0，故直线l的方程为y＝1或3x＋4y－4＝0.
1.求过已知点的圆的切线的方法 (1)如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程. (2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 2.求切线长最小值的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值. (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
对点练3.已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l切于点P(1，)，则直线l的方程为(　　)
A.x－y＋2＝0 B.x－y＋4＝0
C.x＋y－4＝0 D.x＋y－2＝0
答案：A
解析：圆C：x2＋y2－4x＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，显然过点P(1，)的直线x＝1不与圆C相切.直线PC的斜率为＝－，则所求直线的斜率为，利用直线的点斜式方程可得y－＝(x－1)，整理得x－y＋2＝0.故选A.
对点练4.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A.1 B.2
C. D.3
答案：C
解析：设圆心为C，切点为A，点P为符合题意的直线y＝x＋1上的点，因为在圆心C，切点A，切线上的点P构成的直角三角形中，切线长｜PA｜＝，所以切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心(3，0)的距离｜PC｜最小时取得.
因为圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝.
任务三　直线与圆相交的弦长问题
已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程.
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
因为圆心为(0，0)，所以｜OC｜＝＝.
因为r＝2，所以｜BC｜＝＝.
所以｜AB｜＝2｜BC｜＝.
法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8.
得2x2－2x－7＝0.
所以x1＋x2＝1，x1x2＝－.
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝＝.
(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，因为kOP＝－2，
所以kAB＝.
所以直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
1.求圆的弦长的两种方法 圆的 性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题交点 坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
2.与弦长相关的问题 利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组，解出其中的未知量.
对点练5.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线l：x－y－5＝0所得的弦长等于(　　)
A. B.
C.1 D.5
答案：A
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径为，圆心(2，－2)到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝.
对点练6.直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)
A. B.±
C. D.±
答案：D
解析：因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±，故选D.
1.直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
答案：C
解析：圆C的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝＝＜2，所以圆C与直线l相交.
2.若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意得圆心(2，3)到直线的距离d＝＜1，解得0＜k＜.
3.若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)
A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－3＝0
C.2x－y－5＝0 D.x－y－3＝0
答案：D
解析：圆心是点C(1，0)，kCP＝＝－1，由CP⊥AB，得kAB＝－＝1，
所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D.
4.已知圆M与直线x＝2相切，圆心在直线x＋y＝0上，且直线x－y－2＝0被圆M截得的弦长为2，求圆的方程.
解：因为圆心在直线x＋y＝0上，所以设圆心M(a，－a)，因为圆M与直线x＝2相切，且直线x－y－2＝0被圆M截得的弦长为2，
所以所以圆的方程为x2＋y2＝4.
课时测评24　直线与圆的位置关系
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形(　　)
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
答案：B
解析：由题意，知＝1，则｜c｜＝，即c2＝a2＋b2，故三条边长分别为｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形是直角三角形.
2.直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A.4 B.2
C.2 D.4
答案：B
解析：因为x2＋y2－2x－4y＝0，所以(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，
所以直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.
3.与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　)
A.4x－3y＝6 B.4x－3y＝－6
C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6
答案：B
解析：设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，
则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2，
所以m＝6或m＝－14，
所以直线方程为4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，故选B.
4.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离是(　　)
A.18 B.6
C.5 D.4
答案：C
解析：由题意得，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆的半径r＝3，圆心(2，2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝＝2，故圆上的点到直线的最大距离是3＋2＝5.
5.已知圆C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0关于直线l：x＋y－1＝0对称，圆C交x轴于A，B两点，则｜AB｜＝(　　)
A.4 B.2
C.2 D.
答案：A
解析：圆C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0的圆心(，－1)，
圆C：x2＋y2－ax＋2y－4＝0关于直线l：x＋y－1＝0对称，
可得：－1－1＝0，解得a＝4，所以圆的方程为：x2＋y2－4x＋2y－4＝0，圆心(2，－1)，半径为3.
圆C交x轴于A，B两点，令y＝0，可得x2－4x－4＝0，解得x1＝2＋2，x2＝2－2，
｜AB｜＝｜x1－x2｜＝4.
6.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　　.
答案：x＋2y－5＝0
解析：设切线斜率为k，则由已知得：k·kOP＝－1.
所以k＝－，所以切线方程为x＋2y－5＝0.
7.过点P(2，1)作圆x2＋(y－2)2＝1的切线，则切线长为　　　　.
答案：2
解析：点P(2，1)到圆心(0，2)的距离为
＝，
所以切线长为＝2.
8.直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是　　　　.
答案：π
解析：易知直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0平行，若两条直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线x－y＋1＝0，即2x－2y＋2＝0与直线2x－2y－1＝0间的距离d＝＝，则圆的半径r＝，则圆C的面积S＝πr2＝π.
9.(10分)已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求圆C的方程.
解：因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，
故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆C的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10.(13分)已知过点A(－1，0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当｜PQ｜＝2时，求直线l的方程.
解：(1)证明：因为l与m垂直，且km＝－，所以kl＝3，故直线l的方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
因为圆心坐标为(0，3)，满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
因为｜PQ｜＝2，
所以｜CM｜＝＝1，
则由｜CM｜＝＝1，得k＝，
所以直线l：4x－3y＋4＝0.
故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
答案：ABD
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去).
12.过圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为A，B，则｜AB｜＝(　　)
A.2 B.
C. D.3
答案：C
解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝5的圆心为(0，0)，半径r＝，
若P(2，)，则｜PO｜＝＝3，
圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为A，B，
则｜PA｜＝｜PB｜＝＝2，
设OP交AB于D，在△AOP中，由等面积法可知OA·AP＝AD·OP，
故AD＝＝，
所以AB＝2AD＝.
13.过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为　　　　，同时△PAB的面积为　　　　.
答案：1　
解析：依题意作出图象，如图.
因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A，所以PA⊥OA，所以PA＝＝ ，要使得PA最小，则OP要最小.由题可得，OP的最小值就是点O到直线l：y＝x－2的距离
d＝＝.
此时，PAmin＝＝＝1，
故∠OPA＝.
由切线的对称性可得∠BPA＝，PB＝1，
所以S△PAB＝×1×1＝.
14.(15分)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0).
(1)若l1与圆C相切，求l1的方程；
(2)若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于点P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
(3)若l1与圆C相交于点P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程.
解：(1)①若直线l1的斜率不存在，则直线x＝1，圆的圆心坐标(3，4)，半径为2，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即：＝2，
解得k＝.所求直线方程是：x＝1，或3x－4y－3＝0.
(2)直线l1的方程为x－y－1＝0，因为PQ⊥CM，
所以线段CM所在的直线方程为y－4＝－(x－3)，
即x＋y－7＝0.
联立所以M点的坐标是(4，3).
(3)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线l1的方程为kx－y－k＝0，则圆心到直线l1的距离d＝.又S△CPQ＝d×2＝d＝＝，
所以当d＝时，S取得最大值2，所以d＝＝，解得k＝1或k＝7.
所以直线l1的方程为y＝x－1或y＝7x－7.
15.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A(0，3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y＝2x－4上.
(1)若圆心C也在直线y＝－x＋5上，求圆C的方程；
(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(3)若圆C上存在点M，使｜MA｜＝｜MO｜，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解：(1)由得圆心C(3，2).
因为圆C的半径为1，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.
(2)由题意知切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，
即kx－y＋3＝0.
由＝1得k＝0或k＝－，
所以所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3.
即y＝3或3x＋4y－12＝0.
(3)设M(x，y)，
由｜MA｜＝｜MO｜
得＝.
整理得y＝，
故点M在直线m：y＝上，
所以点M既在圆C上又在直线m上，
即圆C和直线m有公共点，
所以≤1，
所以≤a≤.
综上所述，a的取值范围为.
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第2章　 2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.6.1　直线与圆的位置关系
学习目标
1. 能根据给定直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象、数学运算的核心素养.
2. 掌握直线与圆相切时的切线方程和相交时的弦长问题，提升数学运算的核心素养.
任务一　直线与圆的位置关系的判断
问题.如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
问题导思
新知构建
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ___个 ___个 ___个
判断
方法 ______ ______ ______
_______ _______ _______
2
1
0
d＜r
d＝r
d＞r
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
典例1
规律方法
√
对点练2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________.

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[－3，1]
任务二　直线与圆相切问题
典例2
√

(2)若过点P(0，1)作直线l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相切，则切线长为_____，直线l的方程为______________________.
y＝1或3x＋4y－4＝0
3

规律方法
1.求过已知点的圆的切线的方法
(1)如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程.
(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
2.求切线长最小值的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值.
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
√
√

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任务三　直线与圆相交的弦长问题
典例3
规律方法
1.求圆的弦长的两种方法
2.与弦长相关的问题
利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组，解出其中的未知量.
圆的
性质
交点
坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
√

√

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随堂评价
1.直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
√
√
3.若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为
A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－3＝0
C.2x－y－5＝0 D.x－y－3＝0
√
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课时测评
1.已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为｜a｜，｜b｜，｜c｜的三角形
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
√
√

3.与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是
A.4x－3y＝6 B.4x－3y＝－6
C.4x＋3y＝6 D.4x＋3y＝－6
√

√
√

6.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________.
x＋2y－5＝0
7.过点P(2，1)作圆x2＋(y－2)2＝1的切线，则切线长为_____.
2
8.直线x－y＋1＝0与直线2x－2y－1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是_____.

11.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为
A.x＋y＝0 B.x－y＝0
C.x＝0 D.x＋y＝4
√
√
√

√

13.过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为______，同时△PAB的面积为______.


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