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2.5.2　圆的一般方程
学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养. 3.能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一　圆的一般方程
问题1.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
问题2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点.
1.圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆
判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2＋x＋2＝0；
(4)x2＋y2－x＝0；
(5)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0).
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不能表示圆；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不能表示圆；
(3)因为D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圆；
(4)法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，所以方程能表示圆，圆心坐标为，即，半径r＝＝.
法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆.
(5)因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程不能表示圆.
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的2种判断方法 1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成标准形式后，观察是否表示圆. 2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆.
对点练1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为(　　)
A.1或－2 B.2或－1
C.－1 D.2
答案：C
解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0中二次项系数不一定为1，因此若它表示圆，需要二次项的系数相等且不等于0，转化为一般式后满足D2＋E2＋4F＞0.则解得a＝－1.
任务二　求圆的一般方程
(1)△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的方程；
(2)圆C过点P(1，2)和点Q(－2，3)，且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程.
解：(1)法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
故所求的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
法二：由题意可求得线段AC的垂直平分线的方程为x＝2，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
所以圆心是两垂直平分线的交点(2，1)，半径r＝＝5，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.
(2)设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆C过点P(1，2)和点Q(－2，3)，
所以
所以圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋(3D－8)y＋11－7D＝0，将y＝0代入得x2＋Dx＋11－7D＝0.
所以圆C在x轴上截得的弦长为｜x1－x2｜＝ .
将x＝0代入得y2＋(3D－8)y＋11－7D＝0，所以圆C在y轴上截得的弦长为｜y1－y2｜＝.
由题意有＝，即D2－4(11－7D)＝(3D－8)2－4(11－7D)，解得D＝4或D＝2.
故所求的圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0或x2＋y2＋2x－2y－3＝0.
待定系数法求圆的一般方程的步骤 1.根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 2.根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组. 3.解此方程组，求出D，E，F的值. 4.将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
对点练2.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆C的一般方程.
解：由题意得圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半径r＝＝，所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得
又圆心在第二象限，所以－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0.
所以所以圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
任务三　与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值.
解：原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故，最小值为－.
[变式探究]
1.在本例条件下，求y－x的最大值和最小值.
解：设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2.在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值.
解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题常见的几种类型 1.形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题； 2.形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； 3.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
任务四　与圆有关的轨迹方程问题
角度1　直接法求轨迹方程
求到两个定点A，B的距离之比等于2的点的轨迹方程.
解：设M为所求轨迹上一点，则＝2，
所以＝2，即＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
整理可得x2－4x＋y2＝0，即＋y2＝4.
角度2　定义法求轨迹方程
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解：设AB的中点为 D，由中点坐标公式，
得D(1，0).
由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
角度3　代入法求轨迹方程
已知定点Q，动点P在圆x2＋y2＝1上，求线段PQ的中点M的轨迹方程.
解：设P，PQ的中点M的坐标为，
因为Q，所以
又因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，
所以＋4y2＝1，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋y2－3x＋2＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方法 1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. 2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
对点练3.(1)若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且｜AB｜＝4，求线段AB中点M的轨迹方程.
(2)(一题多解)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程.
解：(1)由题意，设原点为O(0，0)，
则｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，
即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程.
(2)法一：设点P的坐标为(x，y).
当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意；
当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；
当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；
当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，
即kAP·kOP＝－1，
因为kAP＝，kOP＝，
所以·＝－1，
即(x－)2＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1).
经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式.
即中点P的轨迹方程为(x－)2＋(y－1)2＝.
法二：设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP重合或OP⊥AP，总有·＝0，
即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，
亦即(x－)2＋(y－1)2＝.
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)＞0，
所以m＞－.
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F分别为(　　)
A.4，8，－4 B.－4，8，4
C.8，－4，16 D.4，－8，16
答案：B
解析：圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比较系数知D，E，F分别是－4，8，4.
3.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　　　.
答案：x2＋y2＝9
解析：设M(x，y)，O(0，0)，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，由圆的定义，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求.
4.求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程.
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心是.
由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
课时测评23　圆的一般方程
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　)
A.(x－2)2＋(y－3)2＝16
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝16
D.(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
答案：C
解析：将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
2.过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是(　　)
A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0
C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0
答案：D
解析：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则所以所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
3.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　)
A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
答案：B
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
4.若a∈，则方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示的圆的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：B
解析：因为方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圆，
所以(2a)2＋(2a)2－4(a2＋a)＞0，即a2－a＞0，
解得a＜0或a＞1，
所以当a∈时，只有a＝－2时，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋a2＋a＝0表示圆.故选B.
5.(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列说法正确的是(　　)
A.圆心在直线y＝－x上 B.圆心在直线y＝x上
C.圆过原点 D.圆的半径为｜a｜
答案：ACD
解析：圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心坐标为(－a，a)，适合方程y＝－x，
不适合y＝x，故A正确，B错误；把(0，0)代入圆的方程，C正确；又r2＝2a2，r＝｜a｜，故D正确.故选ACD.
6.圆心在x轴上，半径为3，且过点(1，0)的圆的一般方程为　　　　　　　　.
答案：x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0
解析：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝9.
把(1，0)代入得(1－a)2＝9，解得a＝4或－2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝9或(x＋2)2＋y2＝9，
即x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0.
7.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　.
答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
解析：设M的坐标为(x，y)，
由题意可知圆心A的坐标为(2，－1)，P(2x－2，2y＋1)在圆上，
故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　.
答案：(－2，－4)　5
解析：由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.
9.(10分)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的一般方程.
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　③
由已知｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的两根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.　④
联立①②④解得，
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
10.(13分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3).
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将M，N，P三点的坐标代入上述方程，
可得
故所求圆的方程为x2＋y2－y－9＝0.
将圆的一般方程x2＋y2－y－9＝0化为标准方程，得x2＋(y－)2＝，
故所求圆的圆心坐标为(0，)，半径为.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆，则有(　　)
A.A＝C≠0且D2＋E2－4A＞0
B.D2＋E2－4F＞0
C.A＝C≠0且D2＋E2－4AF＞0
D.A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0
答案：C
解析：由题意A＝C≠0，方程化为x2＋y2＋x＋y＋＝0，则＋－4＞0，即D2＋E2－4AF＞0，故选C.
12.已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0
B.x2＋y2－6x－6y＋14＝0
C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0
D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0
答案：A
解析：设圆心C(0，0)关于直线l：x－y－3＝0的对称点为D(a，b)，则由
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋14＝0.故选A.
13.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案：C
解析：由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P'(7，－3)，
连接MP'，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q，由于P与P'关于x轴对称，所以｜SP｜＝｜SP'｜，｜S'P｜＝｜S'P'｜，所以｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＜｜S'P'｜＋｜S'Q｜＝｜S'P｜＋｜S'Q｜.
故(｜SP｜＋｜SQ｜)min＝｜P'M｜－1＝－1＝9.
14.(15分)已知圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的半径相等的圆.
解：(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，所以圆心为(1－m，2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.所以不论m为何值，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，半径都等于3的圆.
15.(17分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动.
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标.
解：(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，所以｜EF｜＝＝2，
整理得x2＋y2＝1，
所以线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1.
(2)证明：由已知设A1(－1，0)，A2(1，0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1，＋＝1，
直线PA1的方程为y＝(x＋1)，
令x＝3，得y＝，则M，
同理，可求N，MN的中点坐标为，｜MN｜＝＝2，
所以以MN为直径的圆C的方程为(x－3)2＋＝.
令y＝0，得(x－3)2＝－＋＝＝8.
所以x＝3±2，圆C总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0).
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第2章　 2.5 圆的方程
2.5.2　圆的一般方程
学习目标
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.
2. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养.
3. 能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一　圆的一般方程
问题导思
1.圆的一般方程
方程_____________________________________叫作圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
新知构建
条件 图形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
D2＋E2－4F＞0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
典例1
判断下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不能表示圆；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不能表示圆；
(3)x2＋y2＋x＋2＝0；
解：因为D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圆；
规律方法
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示
圆的2种判断方法
1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成标准形式后，观察是否表示圆.
2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆.
对点练1.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为
A.1或－2 B.2或－1
C.－1 D.2

√
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任务二　求圆的一般方程
典例2
规律方法
待定系数法求圆的一般方程的步骤
1.根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
2.根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.
3.解此方程组，求出D，E，F的值.
4.将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
返回
任务三　与圆有关的最值问题
典例3
规律方法

返回
任务四　与圆有关的轨迹方程问题
典例4
典例5
典例6
规律方法
求与圆有关的轨迹问题的方法
1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
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随堂评价
√
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F分别为
A.4，8，－4 B.－4，8，4
C.8，－4，16 D.4，－8，16
√
圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，比较系数知D，E，F分别是－4，8，4.
3.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为___________.
x2＋y2＝9
课时测评
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为
A.(x－2)2＋(y－3)2＝16
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝16
D.(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
√
2.过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是
A.x2＋y2＋8x＋6y＝0 B.x2＋y2－8x－6y＝0
C.x2＋y2＋8x－6y＝0 D.x2＋y2－8x＋6y＝0
√
3.与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是
A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
√
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
√
√
√
√
6.圆心在x轴上，半径为3，且过点(1，0)的圆的一般方程为_____________
______________________.
设圆的方程为(x－a)2＋y2＝9.
把(1，0)代入得(1－a)2＝9，解得a＝4或－2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝9或(x＋2)2＋y2＝9，
即x2－8x＋y2＋7＝0或x2＋4x＋y2－5＝0.
＝0或x2＋4x＋y2－5＝0
x2－8x＋y2＋7
7.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______________________.
设M的坐标为(x，y)，
由题意可知圆心A的坐标为(2，－1)，P(2x－2，2y＋1)在圆上，
故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____________，半径是_____.
　5
(－2，－4)
11.方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆，则有
A.A＝C≠0且D2＋E2－4A＞0
B.D2＋E2－4F＞0
C.A＝C≠0且D2＋E2－4AF＞0
D.A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0
√
12.已知圆C：x2＋y2＝4，则圆C关于直线l：x－y－3＝0对称的圆的方程为
A.x2＋y2－6x＋6y＋14＝0 B.x2＋y2－6x－6y＋14＝0
C.x2＋y2－4x＋4y＋4＝0 D.x2＋y2＋4x－4y＋4＝0

√
13.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则｜SP｜＋｜SQ｜的最小值为
A.7 B.8
C.9 D.10
√
由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，
所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点
P(7，3)关于x轴的对称点P'(7，－3)，

连接MP'，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时｜SP｜＋｜SQ｜的值最小，否则，在x轴上另取一点S'，连接S'P，S'P'，S'Q，由于P与P'关于x轴对称，所以｜SP｜＝｜SP'｜，｜S'P｜＝｜S'P'｜，所以｜SP｜＋｜SQ｜＝｜SP'｜＋｜SQ｜＝｜P'Q｜＜｜S'P'｜＋｜S'Q｜＝｜S'P｜＋｜S'Q｜.
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