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(共52张PPT)
3.2.1　双曲线的标准方程
　
第3章　3.2　双曲线
学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心素养.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
4.了解双曲线的简单应用.
任务一　双曲线的定义
问题导思
问题1．如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果｜F1F2｜＜｜AB｜，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果｜F1F2｜＞｜AB｜，两圆不相交，不存在交点轨迹.
如图，在｜F1F2｜＞｜AB｜的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示：如题图，曲线上的点满足条件：｜MF1｜－｜MF2｜＝常数.
新知构建
平面上到两个定点F1，F2的距离之差的________为正常数(小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离｜F1F2｜叫作双曲线的______.
绝对值
焦点
焦距
已知A(0，－5)，B(0，5)，｜PA｜－｜PB｜＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为
A.双曲线或一条直线　　 B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线
典例1
当a＝3时，2a＝6，此时｜AB｜＝10，
所以点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时｜AB｜＝10，
所以点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
√
规律方法
　　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
F1，F2是定点，且｜F1F2｜＝10，所以满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝10的点P的轨迹应为一条射线.
√
对点练1．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝10，则P点的轨迹是
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
返回
任务二　双曲线的标准方程
问题导思
问题2．类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，
而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在
直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面
直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c＞0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a(a为大于0的
常数)，
新知构建
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
_________________________
_________________________
焦点 ________________________ ________________________
a，b，c的关系 b2＝________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
c2－a2
典例2

规律方法

返回
任务三　双曲线定义的简单应用
典例3
由题意得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6，
所以｜PF2｜＝｜PF1｜±6，所以｜PF2｜＝9或－3(舍去)，故选B.
√
规律方法
双曲线的定义的应用
1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.

√
返回
随堂评价
√
因为已知方程表示双曲线，
所以(2＋m)(2－m)＞0.
所以－2＜m＜2.
√
√
√
返回
课时测评

√
√

√

√
√
√
不妨设｜AF2｜＞｜AF1｜，
由双曲线的定义，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，
所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.
√



√

√
12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜等于
A.1 B.4
C.7 D.9
在△PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°
＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜｜PF2｜，
即4c2＝4a2＋｜PF1｜·｜PF2｜，
即｜PF1｜·｜PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是
A.双曲线的一支 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
√
设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得｜MO1｜＝r＋1，｜MO2｜＝r＋2.
所以｜MO2｜－｜MO1｜＝1，
又｜O1O2｜＝4，
所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
√
√


√

返回3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心素养. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 4.了解双曲线的简单应用.
任务一　双曲线的定义
问题1.如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果｜F1F2｜＜｜AB｜，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果｜F1F2｜＞｜AB｜，两圆不相交，不存在交点轨迹.
如图，在｜F1F2｜＞｜AB｜的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示：如题图，曲线上的点满足条件：｜MF1｜－｜MF2｜＝常数.
平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离｜F1F2｜叫作双曲线的焦距.
已知A(0，－5)，B(0，5)，｜PA｜－｜PB｜＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　)
A.双曲线或一条直线　　 B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线
答案：D
解析：当a＝3时，2a＝6，此时｜AB｜＝10，
所以点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时｜AB｜＝10，
所以点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
　　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
对点练1.已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝10，则P点的轨迹是(　　)
A.双曲线　　　　　　　 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
答案：D
解析：F1，F2是定点，且｜F1F2｜＝10，所以满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝10的点P的轨迹应为一条射线.
任务二　双曲线的标准方程
问题2.类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c＞0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a(a为大于0的常数)，
因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得－＝1(a＞0，b＞0).
问题3.设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，其中c＞a＞0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示：－＝1(a＞0，b＞0).
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系 b2＝c2－a2
(1)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为　　　　　　.
(2)求过点P，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
答案：(1)－＝1
解析：(1)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，
且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，
解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0.
因为点P，Q在双曲线上，
则
故双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线的标准方程 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解. 2.当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线.
对点练2.焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为　　　　　　.
答案：－＝1
解析：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
任务三　双曲线定义的简单应用
(1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜等于(　　)
A.11　　　　 B.9　　　　
C.5　　　　 D.3
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
答案：(1)B
解析：(1)由题意得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6，
所以｜PF2｜＝｜PF1｜±6，所以｜PF2｜＝9或－3(舍去)，故选B.
(2)解：由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°，
所以102＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜·｜PF2｜，
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
双曲线的定义的应用 1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离. 2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
对点练3.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3｜PF1｜＝4｜PF2｜，则△PF1F2的面积等于(　　)
A.4 B.8
C.24 D.48
答案：C
解析：由解得｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6.
在△PF1F2中，｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝10，
所以△PF1F2为直角三角形，
所以＝｜PF1｜｜PF2｜＝24.
1.已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　)
A.椭圆　　　　　　　　　 B.双曲线
C.两条射线 D.双曲线的一支
答案：B
解析：设A(1，0)，B(－1，0)，
则由已知得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又｜AB｜＝2，且＜2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线.
2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A.－2＜m＜2 B.m＞0
C.m≥0 D.｜m｜≥2
答案：A
解析：因为已知方程表示双曲线，
所以(2＋m)(2－m)＞0.
所以－2＜m＜2.
3.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A.1 B.1或－2
C.1或 D.
答案：A
解析：依题意得解得a＝1.
4.已知双曲线的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，P是双曲线上一点且｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：C
解析：由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1.
课时测评30　双曲线的标准方程
(时间：60分钟　满分：110分)
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：2a＝｜－｜
＝4，
所以a＝2，
又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
2.已知方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A.(－1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－1，2)
答案：D
解析：因为方程＋＝1表示双曲线，
所以(m－2)(m＋1)＜0，
解得－1＜m＜2，
所以m的取值范围是(－1，2).
3.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.(，0)
答案：B
解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
所以a2＝1，b2＝，所以c2＝a2＋b2＝，所以c＝，
故右焦点坐标为.
4.(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A.17　　　　 B.7　　　　
C.22　　　　 D.2
答案：CD
解析：设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝，
设P为双曲线上一点，不妨令｜PF1｜＝12(12＞a＋c＝5＋)，
所以点P可能在左支，也可能在右支，
由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，得｜12－｜PF2｜｜＝10，
所以｜PF2｜＝22或2.
所以点P到另一个焦点的距离是22或2.
5.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长｜AB｜＝m，则△ABF2的周长为(　　)
A.4a B.4a－m
C.4a＋2m D.4a－2m
答案：C
解析：不妨设｜AF2｜＞｜AF1｜，
由双曲线的定义，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，
所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.
6.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
答案：A
解析：设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
所以｜ON｜＝｜PF2｜，
因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，｜PF1｜＝10，
所以｜PF2｜＝14或6，
所以｜ON｜＝｜PF2｜＝7或3.
7.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　　　　.
答案：－＝1
解析：设焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，
则由QF1⊥QF2，得·＝－1，
所以·＝－1，所以c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1，
又因为c2＝a2＋b2＝25，
所以a2＝16，b2＝9.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
8.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点.若P在双曲线上，且·＝0，则｜＋｜的值为　　　　.
答案：2
解析：由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(－，0)，F2(，0).
设点P(x，y)，
则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y).
因为·＝0，所以x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
所以｜＋｜＝＝＝2.
9.(13分)在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.
解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设｜PN｜＝3k，｜PM｜＝4k，则｜MN｜＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以｜PN｜＝12，｜PM｜＝16，｜MN｜＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示.
设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0).
由｜PM｜－｜PN｜＝4，
得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由｜MN｜＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
故所求方程为－＝1(x＞2).
10.(15分)如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且｜PF1｜·｜PF2｜＝32，试求△F1PF2的面积.
解：(1)F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，
则a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知｜m－16｜＝2a＝6，
解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)P是双曲线左支上的点，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a＝6，
则｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＋｜PF1｜2＝36，
代入｜PF1｜·｜PF2｜＝32，
可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2×32＝100，
即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16.
(11—14小题，每小题5分，共20分)
11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
答案：B
解析：设｜PF1｜＝d1，｜PF2｜＝d2，
则d1＋d2＝2，①
｜d1－d2｜＝2，②
①2＋②2，得＋＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，
所以cos∠F1PF2＝.
12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜等于(　　)
A.1 B.4
C.7 D.9
答案：B
解析：在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
设P在右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，
因为∠F1PF2＝60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°
＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜｜PF2｜，
即4c2＝4a2＋｜PF1｜·｜PF2｜，
即｜PF1｜·｜PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A.双曲线的一支 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
答案：A
解析：设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
｜MO1｜＝r＋1，｜MO2｜＝r＋2.
所以｜MO2｜－｜MO1｜＝1，
又｜O1O2｜＝4，
所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
14.(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A.点P到x轴的距离为
B.｜PF1｜＋｜PF2｜＝
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2＝
答案：BC
解析：因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c｜yP｜＝×10×｜yP｜＝20，所以｜yP｜＝4，所以选项A错误；
将｜yP｜＝4代入C：－＝1得－＝1，即｜xP｜＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知｜PF2｜＝＝.由双曲线定义可知｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a＝＋8＝，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝＋＝，所以选项B正确；
由对称性，对于点P，在△PF1F2中，｜PF1｜＝＞2c＝10＞｜PF2｜＝.且cos∠PF2F1＝＝－＜0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误.
15.(5分)已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A.2 B.10
C.8 D.6
答案：B
解析：设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＝＋8，
所以(｜PF1｜－｜PF2｜)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝·2c·R＝10.
16.(17分)如图所示，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程.
解：由题意得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝，
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝4(c2－a2)＝4b2.
所以＝｜PF1｜｜PF2｜·sin 60°＝2b2·＝b2.
所以b2＝12，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
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